第3章 幂、指数与对数（单元分层自测·能力提升卷）高一数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．__________． 【答案】 【详解】根据乘方运算法则，， 利用对数运算性质可得： ， 再化简指数：， 然后根据对数恒等式可得： ， 所以. 2．若，则________　. 【答案】1 【详解】因为， 且， 所以且， 即，解得， . 3．一般地，个相同因数相乘：记为， 如，此时，指数叫做以为底的 的对数， 记为， (即). 请计算________. 【答案】 【详解】由题知，因为， 所以， 所以. 4．方程的实数解为____________． 【答案】 【详解】令，由指数函数的性质可知，原方程可变形为： ， 对一元二次方程因式分解得，解得或. 由于，故舍去，即. 根据对数的定义，可得. 5．已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 6．若，则_______. 【答案】1 【详解】因为， 即， 所以， 则， 解得. 7．若，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由，得，所以，， ，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 8．已知，则__________． 【答案】10 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 9．放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则，，之间的关系为________． 【答案】 【详解】由题意可得 则 即因为，所以． 故答案为：． 10．设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 【答案】68 【详解】设，则或4， 于是或．由于， 当时，，此时共有62个； 当时，，此时共有6个， 所以集合的元素个数为68． 故答案为： 11．对于正整数和非零实数，若，则的值为______. 【答案】 【详解】.同理可得， 所以，又， 所以，又为正整数，且均不为1， 又因为，所以. 故答案为：. 12．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 【答案】12 【详解】原方程可变形为：可看作关于的一元二次方程， 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 所以这个方程两个真实根的和为. 故答案为：12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由,，得. 故选：A 14．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ）（参考数据，） A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒 【答案】C 【详解】设最坏情况下破译该密码需要秒，则， 方程两边同时取以为底的对数得，，化简得， 所以，化简得， 由题目提供的参考数据，，，所以， 所以； 估算，与接近，因此有， 故 15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，当，，时，， 代入公式得，即，解得， 将，，代入公式得， 所以，故， 所以从降温到大约需要. 16．已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 【答案】C 【详解】， 由基本不等式得，，即， 又因为恒成立，所以， 故即， 所以． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设. (1)求的值； (2)在与这两个等式中，只有一个是正确的，请指出这个正确的等式是哪一个并加以证明. 【详解】（1）因为，所以 . 6分 （2）正确的等式是. 证明如下： . 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解法一： 原式． 6分 （2）由题意，， 8分 所以． ， 11分 当且仅当（即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4． 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算： (1)； (2)已知，求的值． 【详解】（1） ． 6分 （2）由已知得， ，整理得． ．． 10分 ，， 从而，则． 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由； (3)请从（2）中抽象出一个不等式，写出这个不等式，并利用这个不等式比较下列三个值的大小：. 【详解】（1）设窗户面积为，则地板面积为，则由题意可知：， 解之得，即窗户面积至少20平方米； 4分 (2)变好了， 设窗户面积和地板面积分别为平方米，同时增加平方米， 则原窗户面积与地板面积的比与新的面积比分别为， 6分 作差得，即，采光效果变好了； 10分 （3）由上可知： 易知， 13分 则； 同理，即， 16分 所以，则. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算. (1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且,,那么; (2)请你运用上述对数运算性质计算的值; (3)因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断的位数.(注) 【详解】设 所以，所以 所以,得证. 4分 (2) . 10分 (3)设 所以 所以 14分 所以 所以 因为, 所以有6677位数,即的位数为6677 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．__________． 2．若，则________　. 3．一般地，个相同因数相乘：记为， 如，此时，指数叫做以为底的 的对数， 记为， (即). 请计算________. 4．方程的实数解为____________． 5．已知（，且），则______． 6．若，则_______. 7．若，则的最小值为__________. 8．已知，则__________． 9．放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则，，之间的关系为________． 10．设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 11．对于正整数和非零实数，若，则的值为______. 12．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ）（参考数据，） A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒 15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 16．已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设. (1)求的值； (2)在与这两个等式中，只有一个是正确的，请指出这个正确的等式是哪一个并加以证明. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）计算： (1)； (2)已知，求的值． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由； (3)请从（2）中抽象出一个不等式，写出这个不等式，并利用这个不等式比较下列三个值的大小：. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算. (1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且,,那么; (2)请你运用上述对数运算性质计算的值; (3)因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断的位数.(注) 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、1 3、 4、 5、/ 6、1 7、 8、10 9、 10、68 11、 12、12 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 A C B C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为，所以 . 6分 （2）正确的等式是. 证明如下： . 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1） 原式． 6分 （2）由题意，， 8分 所以． ， 11分 当且仅当（即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4． 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1） ． 6分 （2）由已知得， ，整理得． ．． 10分 ，， 从而，则． 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）设窗户面积为，则地板面积为，则由题意可知：， 解之得，即窗户面积至少20平方米； 4分 (2)变好了， 设窗户面积和地板面积分别为平方米，同时增加平方米， 则原窗户面积与地板面积的比与新的面积比分别为， 6分 作差得，即，采光效果变好了； 10分 （3）由上可知： 易知， 13分 则； 同理，即， 16分 所以，则. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】设 所以，所以 所以,得证. 4分 (2) . 10分 (3)设 所以 所以 14分 所以 所以 因为, 所以有6677位数,即的位数为6677 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．__________． 2．若，则________　. 3．一般地，个相同因数相乘：记为， 如，此时，指数叫做以为底的 的对数， 记为， (即). 请计算________. 4．方程的实数解为____________． 5．已知（，且），则______． 6．若，则_______. 7．若，则的最小值为__________. 8．已知，则__________． 9．放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则，，之间的关系为________． 10．设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 11．对于正整数和非零实数，若，则的值为______. 12．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ）（参考数据，） A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒 15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则.其中表示环境温度，为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要，那么从降温到大约需要（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 16．已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设. (1)求的值； (2)在与这两个等式中，只有一个是正确的，请指出这个正确的等式是哪一个并加以证明. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）计算： (1)； (2)已知，求的值． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由； (3)请从（2）中抽象出一个不等式，写出这个不等式，并利用这个不等式比较下列三个值的大小：. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算. (1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且,,那么; (2)请你运用上述对数运算性质计算的值; (3)因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断的位数.(注) 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $