第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·强化卷）高一数学沪教版必修第一册

第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．设，用有理数指数幂的形式表示：________． 2．设，若，则_____ 3．已知，则可用表示为___________． 4．若，则________．（用的代数式表示） 5．已知，化简：______. 6．已知且，则____________. 7．若，则的最小值为___________． 8．已知，且，则的值为______． 9．已知，，化简：__________. 10．记，则_______. 11．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要的天数为________.（结果四舍五入取整，参考数据：） 12．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 14．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 15．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．对任意实数表示不超过的最大整数，例如．已知：，则为（　　） A．0 B．1 C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）求下列方程的解集 (1) (2) 18．（14分）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 19．（14分）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 20．（18分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 21．（18分）法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．设，用有理数指数幂的形式表示：________． 【答案】 【详解】. 故答案为： 2．设，若，则_____ 【答案】 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 3．已知，则可用表示为___________． 【答案】 【详解】由， 因为，所以， 故答案为： 4．若，则________．（用的代数式表示） 【答案】 【详解】由换底公式可得， 所以， 故答案为： 5．已知，化简：______. 【答案】 【详解】原式. 故答案为：. 6．已知且，则____________. 【答案】6 【详解】因为， 所以 则 故答案为：6 7．若，则的最小值为___________． 【答案】12 【详解】因为，所以， 所以. 因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为12. 故答案为：12. 8．已知，且，则的值为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 9．已知，，化简：__________. 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 10．记，则_______. 【答案】1 【详解】由，得 . 故答案为：1 11．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要的天数为________.（结果四舍五入取整，参考数据：） 【答案】22 【详解】由题意得：，解得， 所以，令， 则，即， 所以， 故答案为：22 12．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________． 【答案】 【详解】由，得到，所以， 又若对应的声强为，对应的声强为， 所以，，则， 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 14．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：无法直接分解为，故B错误； 选项C，D：，故C错误，D正确； 故选：D 15．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 16．对任意实数表示不超过的最大整数，例如．已知：，则为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数，所以其中有个不是整数. 故. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）求下列方程的解集 (1) (2) 【详解】（1）因为， 所以有，即，解得或（舍去）. 故方程的解集为.……（7分） （2）当时，可化为，即，解得. 当时，可化为，整理得， 解得或. 因为，所以不满足，故舍去. 所以. 综上，方程的解集为.……（14分） 18．（14分）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【详解】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以．……（6分） （2）因为，所以，所以，又， 所以， .……（14分） 19．（14分）（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【详解】（1）； .……（6分） （2）因为正实数满足，所以， 所以， .……（14分） 20．（18分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则.……（10分） （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故.……（18分） 21．（18分）法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 【详解】（1）设另一个根n，由韦达定理得，解得， 所以另一个实数根是1，实数m的值是2.……（8分） （2）由α，β是方程的两个根， 得和是方程的两个根， 从而，……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数（高效培优单元自测·强化卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 6 7. 12 8 . 9. 10 . 1 11.22 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D D B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）因为， 所以有，即，解得或（舍去）. 故方程的解集为.……（7分） （2）当时，可化为，即，解得. 当时，可化为，整理得， 解得或. 因为，所以不满足，故舍去. 所以. 综上，方程的解集为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以．……（6分） （2）因为，所以，所以，又， 所以， .……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）； .……（6分） （2）因为正实数满足，所以， 所以， .……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则.……（10分） （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）设另一个根n，由韦达定理得，解得， 所以另一个实数根是1，实数m的值是2.……（8分） （2）由α，β是方程的两个根， 得和是方程的两个根， 从而，……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $