第3章幂、指数与对数单元测试 （拔尖卷）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元测试（拔尖卷） 第3章 幂、指数与对数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 设集合，若，则 __________． 2.设，将改写成指数形式为__________ 3. 若实数，且，，则_________． 4. 要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 5. 已知，则___________． 6. 已知，，则 . 7. 计算的结果是 ． 8. 已知，则______; 9．实数满足，则的最小值为 . 10．方程的解为_____. 11．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 12．设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则_______ 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13.下列各式正确的是（） A． B． C． D． 14. 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为阿秒等于．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在阿秒内走的距离．（参考数据：） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 15.现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 16.若，且，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 18．计算： (1)； (2)． 19. （1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 20. 在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 21. （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元测试（拔尖卷） 第3章 幂、指数与对数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（本大题共12题、满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 设集合，若，则 __________． 【答案】{ 1，2，5} 【详解】试题分析：解：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}． 点评:本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题． 2.设，将改写成指数形式为__________ 【答案】 【分析】根据分数指数幂与根式的关系结合指数幂运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为： 3. 若实数，且，，则_________． 【答案】## 【分析】根据指数幂的运算法则即可得到答案. 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. 4. 要使表达式有意义，则的取值范围是___________. 【答案】｛x|且｝ 【分析】根据对数的性质即可列不等式求解. 【详解】由题意可得或，解得：且， 故答案为：｛x|且｝ 5. 已知，则___________． 【答案】 【分析】由对数的运算性质求解． 【详解】， 故答案为： 6. 已知，，则 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 7. 计算的结果是 ． 【答案】 【解题思路】根据指数幂及对数的运算性质计算即可. 【解答过程】 . 故答案为：. 8. 已知，则______; 【答案】3 【分析】由指对数关系可得，再应用对数的运算性质化简求目标式的值. 【详解】由题设，， 则. 故答案为：3 9．实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助指数与对数的关系，可令，， 则由可得，即可用表示出，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】令，，即，， 由，则，即， 则， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，从而得到，再用表示出. 10．方程的解为_____. 【答案】1 【详解】，得，整理得. 即. 因为，所以，所以，所以. 所以方程的解为. 故答案为：. 11．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 12．设为正实数，且，记的最大值和最小值分别为，则_______ 【答案】2 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧得，解得，即可求得，然后利用对数运算求解即可. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当时，即或时，等号成立， 即，解得， 所以的最大值；最小值； 所以. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分） 13.下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 14. 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为阿秒等于．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度小于光在阿秒内走的距离．（参考数据：） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】C 【分析】先求得光在阿秒内走的距离，由此列不等式，结合对数运算求得正确答案. 【详解】光在阿秒内走的距离为， 设需要截次，则，两边取以为底的对数得：，，所以， 所以至少要截次. 故选：C 15.现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 【答案】D 【分析】由对数的运算性质与换底公式依次判断即可. 【解析】①右边， 当时，左边无意义，右边，故不成立； ②当时，，故不成立； ③，故不成立； ④由对数的运算性质，，式子成立； ⑤由换底公式，，故式子成立. 其中正确的是④⑤. 故选：D. 16.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，78分，17-19题每题14分，20/21每题18分） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）18. 【解析】（1）原式. （2）由，得， 所以． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【解析】（1）原式 ； （2）原式． 19. （1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 【答案】（1）；（2）7 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质和换底公式即可求解. 【详解】（1）， ， ， 所以； （2）， ， ， 所以. 20. 在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【解析】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 21. （1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $