第3章 幂、指数与对数（单元分层自测·基础通关卷）高一数学沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．化简下列各式． （1）＝______； （2）＝______. 【答案】 【分析】 【详解】（1）. （2）由题意，首先，即，从而， ，， 所以原式. 故答案为：； 2．计算______. 【答案】 【详解】 . 3．___________． 【答案】/ 【详解】原式. 4．已知正实数满足，则的值为________． 【答案】 【详解】由题意得，若，则等式不成立，所以， ，即，故方程变为， 所以，即． 5．若，，则____________．（用，表示） 【答案】 【详解】. 6．若，则______，______. 【答案】 2 3 【详解】因为，所以， 所以. 7．已知，，且，则___ 【答案】或4 【详解】令，因为，，所以， 原方程可变形为，整理得，即， 解得或. 当时，，则； 当时，，则， 故或4. 8．吸光度用于描述材料对光的吸收程度．记吸光度为，透射光的光强为，入射光的光强为，则．现有光强为的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到透射光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值为________． 【答案】 【详解】设材料乙的透射光的光强为I，则，， 于是. 9．沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为______分钟． 【答案】64 【详解】当分钟时，剩余细沙量，代入函数表达式得： 两边同时除以得： 再对等式两边取自然对数得：，所以 又当上方细沙量为开始时的 时，即 ，代入函数表达式得：， 两边同时除以后，再对等式两边取自然对数得： 化简得：（分钟）.. 10．若实数满足，则的最大值是________． 【答案】2 【详解】由题可知，，所以同号， 所以当时，取得最大值，所以以下仅考虑， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以， 整理得，，解得， 所以的最大值是2. 故答案为：2. 11．已知，且，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 由得：， 即，所以或， 当时，与矛盾，所以舍去， 当，满足题意，所以． 12．若， ，，则______． 【答案】 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，算术平方根的运算结果为非负数，因此，而非. 选项B，根据幂的运算法则，. 选项C，根据完全平方差公式，，题干中等式右侧为完全平方和公式的展开式. 选项D，提取公因式，. 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 因为，所以，得 15．二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即625个点）大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）（   ） A．172万年 B．260万年 C．万年 D．万年 【答案】C 【详解】依题意，该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年， ， 因此，所以该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年. 16．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】验证充分性： 因，， 由得，因为，则，故，充分性成立； 验证必要性： 若，则，当且不为0时，，而， 则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，化简 ； （2）化简 ． 【详解】（1）. 6分 （2）， ， . 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 【详解】（1）由题设，， 3分 ； 6分 （2） 由题设， 8分 且，故， 11分 所以，可得或（舍），故. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为℃，空气的温度为℃（），则分钟后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气接触状况而定的正数．已知空气温度为10℃，把一杯奶茶放在空气中冷却，奶茶从90℃冷却到30℃需要20分钟． (1)求的值； (2)如果奶茶冷却至40℃时口感最佳，那么一杯70℃的奶茶放置在10℃的空气中，需要等待多少分钟口感最佳？ 【详解】（1）由已知，得，所以． 3分 即有，解得； 6分 （2）设需要等待分钟，奶茶口感最佳． 此时奶茶温度，代入公式，得，解得． 9分 由（1）可得，即，所以． 所以，解得． 所以需要等待10分钟，奶茶口感最佳． 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 计算下列各式的值 (1)化简： (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 【详解】（1） 4分 （2）由， 平方可得：， 即， 7分 再平方可得：， 即， 所以 10分 （3）由，可得， 12分 由，可得， 14分 所以. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. (1)当时，求的值； (2)当时，求证：是不存在的； (3)求证：只有一对正整数对使得等式成立. 【详解】（1）当时，，即， 所以. 4分 (2)设，因为，所以，且， 5分 当时，，不成立； 7分 当时，，由可得， 因为，，，所以不成立， 9分 综上所述：当时，是不存在的； 10分 (3)由可得， 13分 当，均为正整数时，等号左侧为的指数幂，故右侧也是的指数幂， 所以，即时符合题意，此时， 所以只有一对正整数对使得等式成立. 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．化简下列各式． （1）＝______； （2）＝______. 2．计算______. 3．___________． 4．已知正实数满足，则的值为________． 5．若，，则____________．（用，表示） 6．若，则______，______. 7．已知，，且，则___ 8．吸光度用于描述材料对光的吸收程度．记吸光度为，透射光的光强为，入射光的光强为，则．现有光强为的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到透射光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值为________． 9．沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为______分钟． 10．若实数满足，则的最大值是________． 11．已知，且，则________． 12．若， ，，则______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即625个点）大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）（   ） A．172万年 B．260万年 C．万年 D．万年 16．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，化简 ； （2）化简 ． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为℃，空气的温度为℃（），则分钟后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气接触状况而定的正数．已知空气温度为10℃，把一杯奶茶放在空气中冷却，奶茶从90℃冷却到30℃需要20分钟． (1)求的值； (2)如果奶茶冷却至40℃时口感最佳，那么一杯70℃的奶茶放置在10℃的空气中，需要等待多少分钟口感最佳？ 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 计算下列各式的值 (1)化简： (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. (1)当时，求的值； (2)当时，求证：是不存在的； (3)求证：只有一对正整数对使得等式成立. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．化简下列各式． （1）＝______； （2）＝______. 2．计算______. 3．___________． 4．已知正实数满足，则的值为________． 5．若，，则____________．（用，表示） 6．若，则______，______. 7．已知，，且，则___ 8．吸光度用于描述材料对光的吸收程度．记吸光度为，透射光的光强为，入射光的光强为，则．现有光强为的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到透射光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值为________． 9．沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为______分钟． 10．若实数满足，则的最大值是________． 11．已知，且，则________． 12．若， ，，则______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则（    ） A． B． C． D． 15．二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即625个点）大小的二维码，若“黑点”表示1，“白点”表示0，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，）（   ） A．172万年 B．260万年 C．万年 D．万年 16．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，化简 ； （2）化简 ． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为℃，空气的温度为℃（），则分钟后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气接触状况而定的正数．已知空气温度为10℃，把一杯奶茶放在空气中冷却，奶茶从90℃冷却到30℃需要20分钟． (1)求的值； (2)如果奶茶冷却至40℃时口感最佳，那么一杯70℃的奶茶放置在10℃的空气中，需要等待多少分钟口感最佳？ 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 计算下列各式的值 (1)化简： (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. (1)当时，求的值； (2)当时，求证：是不存在的； (3)求证：只有一对正整数对使得等式成立. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第3章 幂、指数与对数·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、 3、/ 4、 5、 6、 2 3 7、或4 8、 9、64 10、2 11、6 12、8 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 D D C A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）. 6分 （2）， ， . 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）由题设，， 3分 ； 6分 （2） 由题设， 8分 且，故， 11分 所以，可得或（舍），故. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）由已知，得，所以． 3分 即有，解得； 6分 （2）设需要等待分钟，奶茶口感最佳． 此时奶茶温度，代入公式，得，解得． 9分 由（1）可得，即，所以． 所以，解得． 所以需要等待10分钟，奶茶口感最佳． 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1） 4分 （2）由， 平方可得：， 即， 7分 再平方可得：， 即， 所以 10分 （3）由，可得， 12分 由，可得， 14分 所以. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）当时，，即， 所以. 4分 (2)设，因为，所以，且， 5分 当时，，不成立； 7分 当时，，由可得， 因为，，，所以不成立， 9分 综上所述：当时，是不存在的； 10分 (3)由可得， 13分 当，均为正整数时，等号左侧为的指数幂，故右侧也是的指数幂， 所以，即时符合题意，此时， 所以只有一对正整数对使得等式成立. 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $