北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027牛栏山一中高三年级10月小结 数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（ ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，，则（ ） A．5 B．7 C．8 D．9 4．设，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．已知的展开式中的常数项为20，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若存在，满足，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．中国5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：；它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：） A．20% B．23% C．28% D．50% 9．我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是，已知某音是由3个不同的纯音合成的，其函数为，则（ ） A． B．的最大值为6 C．的最小正周期为 D．在上单调递增 10．设函数 若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数的定义域为______________． 12．已知，，则______________． 13．已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______________． 14．已知函数，若关于的方程恰有三个互不相同的实数解，则实数的取值范围是______________． 15．对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”．给出以下命题： ①在区间上可被替代； ②可被替代的一个“替代区间”为； ③在区间可被替代，则； ④，，则存在实数，使得在区间上被替代； 其中真命题的有______________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（本题14分）已知函数在时取得极小值4． （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值． 17．（本题14分）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，记点的横坐标为，其中． （1）求锐角的值； （2）若，求的值； （3）求函数的最值． 18．（本题14分）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答． ①函数（，）的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称； ②函数； ③函数； 问题：已知______________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）若，，求的值． 19．（本题14分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：存在极大值点； （3）求的零点个数． 20．（本题14分）已知椭圆：（，）的离心率为，并且经过点． （1）求椭圆的方程： （2）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值． 21．（本题15分）设数表是一个由0和1构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为．记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）．为，，…，，，，…，的最大值． （1）对如下数表，求的值． 1 1 0 0 0 0 1 1 （2）设数表，求的最小值： （3）已知为正整数，存在，若，且的任意两行中最多有2列各数之和为2，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027牛栏山一中高三年级10月小结 数学答案 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D C B B D D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11． 12． 13．（答案不唯一） 14． 15．①②③（错选0分，选对一个1分，选对两个3分，选对三个5分） 16．（本题14分） 解：（1）由得，， 因为函数在时取得极小值4，所以，即，解得 6分 （2）由（1）题知，，令，得，， 令，得或，所以在，上单调递增， 令，得，所以在上单调递减，如图所示， 因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为8，最小值为4． 14分 17．（本题14分） 解：（1）由于锐角的终边与单位圆相交于点，因此， 又因为为锐角，所以． 4分 （2）由（1）知，，故由题意，， 因为， 由，， 所以． 9分 （3）由（2）知，，． 因为，所以， 所以即时，； 即时，． （易知在上单调递减，在上单调递增， ；；； 所以在处取得最小值；在处取得最大值．） 14分 18．（本题14分） 解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．所以， 2分 选择①，则，得，所以， 所以， 因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以， 所以，所以，，所以，， 因为，所以，，所以， 5分 选择②， ， 所以，所以，所以， 5分 选择③， ， 所以，所以，所以， 5分 （Ⅰ）由，， 得，， 所以的单调递增区间为，． 7分 （Ⅱ）若，，则，即， 因为，所以， 所以或，得或． 14分 19．（本题14分）（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； 4分 （2）， 令，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点； 9分 （3）由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则， 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为1． 14分 20．（本题14分） 解：（1）由已知解得所以椭圆：． 5分 （2）证明：由已知斜率存在 以下给出证明： 由题意，设直线的方程为，，，则， 由 得， 所以， ，，， 所以，即， 直线的方程为， 令得所以， 令由得所以， 所以． 14分 21．（本题15分） 解：（1）行和：，；列和：． 所以 4分 （2）由的定义，数表中数字总和． 假设，则数表的每一行和与每一列和都不超过1，特别地每一行和． 于是数表中1的总个数为． 由，要求数字总和，而，出现矛盾，故假设不成立，所以． 取数表 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 行和均为2，列和均为2，总和为，满足，此时 综上，的最小值为2． 9分 （3）因为每行之和为5，共6行，所以数表中1的总个数为． 由的定义，总个数满足，即．(*) 设第j列的列和为()，则 记第i行1所在的列的集合为，，由已知，对任意，． 对相交对总数做两种方式计数． 按行对计数：个行对，每个行对相交至多2列，故．（1） 按列计数：第j列上有个1，这些行的两两组合都在第j列相交，故第j列贡献 求和得（2） 由（1）（2）：，即．（3） 由柯西不等式， ， 代入与（3）：，解得．(**) 由(*)(**)得，并验证存在性 当时，柯西不等式取等，故所有列和相等，即每列和．此时条件（1）也取等：任意两行恰好有2列同时为1．需给出具体数表验证存在性，取 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 逐条验证： 每行之和，即第i行恰有5个1； 每列之和，总和，故： 任意两行同时为1的列数：15个行对中每对都恰好2列同时为1，均不超过2． 综上，的值为10． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $