精品解析：河南郑州市创新实验学校2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段性评价

2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段性评价 （本次考试采用闭卷方式，分数120分，考试时间100分钟） 一．选择题（15小题，共30分） 1. 下列性质中菱形具有而矩形不具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四条边都相等 D. 对边平行 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的对角线、相交于点O，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是3，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（5小题，共15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则_________． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 13. 若是方程的一个根，则的值______． 14. 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，分别以和为两直角边长作，然后在斜边上截取，则的长就是方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的面积为___________． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则_________． 三．解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； 17. 如图，已知． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点D，E，F分别在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据作图过程证明四边形为菱形． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求的取值范围． 19. 如图，在中，相交于O，点E，F分别在上，经过点O被平分，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若E为的中点，，求的长． 20. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． （1）当的面积为时，求t的值； （2）连接，当时，求t的值． 22. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 23. 【问题情境】如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）请你思考在绕点逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段长度是否存在最大值和最小值．如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段性评价 （本次考试采用闭卷方式，分数120分，考试时间100分钟） 一．选择题（15小题，共30分） 1. 下列性质中菱形具有而矩形不具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四条边都相等 D. 对边平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，根据两种图形的基本性质逐一判断选项即可求解. 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，对边平行， ∴选项A、D是矩形和菱形都具有的性质， ∵对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，不符合题目要求，排除B， ∵菱形的四条边都相等，矩形仅对边相等，邻边不一定相等， ∴四条边都相等是菱形具有而矩形不具有的性质，C符合题意． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配方，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：A． 3. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 4. 在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程，若方程的两根为和，则，，根据题中条件即可解得、． 【详解】，即， ，， ，， 即为，故位于第二象限， 故选． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 如图，正方形的对角线、相交于点O，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是3，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质和是直角三角形，可证得，将四边形的面积转化为的面积，得到的长，从而计算出对角线的长． 【详解】解：∵正方形的对角线、相交于点， ∴，，， ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 8. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 9. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，，  ∴， 又， ∴， ，  ，  ，  点是的中点，  ，  的周长为，  ，  ，  ， ∵在中，，  ． 10. 如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 二．填空题（5小题，共15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到次数为2且二次项系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】∵关于的方程是一元二次方程， ∴ ， 解得， 即或， 又，得， ∴． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入得，即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 则， 解得． 13. 若是方程的一个根，则的值______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ∴ 14. 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，分别以和为两直角边长作，然后在斜边上截取，则的长就是方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、解一元二次方程等知识点，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键． 根据题意构造以和8为直角边长的直角三角形，再根据可得，即；再运用勾股定理列一元二次方程求得a的值，然后再求的面积即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， 如图，以和8为直角边长作直角三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，解得：（已舍去负值）， ∴的值为， ∴的面积为． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则_________． 【答案】2或14 【解析】 【分析】如图，当在的左边，过作于，记与的交点为，证明，可得，，设，则，，证明，进一步可得答案，如图，当在的右边时，同法可求解． 【详解】解：如图，当在的左边，过作于，记与的交点为， ∵矩形，，，为的中点， ∴，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 如图，当在的右边时， 同理：，设，则，， 同理：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上：的长度为或． 三．解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，. 17. 如图，已知． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点D，E，F分别在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据作图过程证明四边形为菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点E，再作线段的垂直平分线，交于点D，F，则四边形即为所求； （2）根据尺规作图的步骤可知平分，是的垂直平分线，进而得出，，再说明四边形是平行四边形，然后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 证明：根据作图过程可知平分，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系得到两根之积，进而根据“两根一正一负”作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：两根之积， ∵方程的两根一正一负， ∴两根之积， 即， 解得：． 19. 如图，在中，相交于O，点E，F分别在上，经过点O被平分，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若E为的中点，，求的长． 【答案】（1）∵平行四边形的对角线交于， ∴． ∵经过点被平分， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到，结合被平分的条件，可推出四边形对角线互相平分，因此先判定其为平行四边形．再结合平分的角平分线条件，结合平行时的内错角相等关系，可推导得到邻边相等，因此可判定该平行四边形为菱形． （2）由菱形性质可得与垂直，结合是中点的条件，可推导出是的中位线，得到与的位置关系和数量关系，进而得到为直角．利用勾股定理计算的长度，即可得到的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴,  ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴ ，． ∴． ∴． ∴． 20. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； （2）根据矩形的性质，菱形的性质可得，，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积． 21. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． （1）当的面积为时，求t的值； （2）连接，当时，求t的值． 【答案】（1）1或4 （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 22. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600； （2）每个A商品的售价为37元 （3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【小问1详解】 解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； 【小问2详解】 解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； 【小问3详解】 略 23. 【问题情境】如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）请你思考在绕点逆时针方向旋转任意角度的过程中，线段长度是否存在最大值和最小值．如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质可得：，，旋转角， ． ，点在延长线上， ． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． （3）存在最大值和最小值．最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）先在中用勾股定理算出正方形边长，再在求出对角线，利用旋转性质，线段相减得到结果． （2）根据旋转性质得到、、旋转角，再由平角求出，先判定三个直角得到矩形，再用邻边相等证明它是正方形． （3）由旋转性质得到，判断点的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧；利用点到圆上一点距离的规律，当、、三点共线，取最值，最大值为，最小值为，代入，算出结果． 【小问1详解】 解：在中，，根据勾股定理得， 四边形是正方形， ，， 在中，根据勾股定理得， 由旋转可得． 落在对角线上， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转的性质，，所以在旋转过程中，点到定点的距离始终等于， 点的运动轨迹是以为圆心，半径的圆弧（）． 由（1）知，． 根据两点之间线段最短： 当、、三点共线，且在的延长线上时，最大， ， 当、、三点共线，且落在线段上时，最小， ， 答：最大值是，最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $