精品解析：河南商丘市实验中学　2026～2027学年 九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026~2027学年商丘市实验九（上）第一次月考数学试卷 （范围25.1～26.4） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 3. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 4. 若，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. −5 5. 要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( ) A. B. C. D. 6. 关于抛物线与轴的公共点的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 无法确定 7. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 10. 将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个解为，的一元二次方程______． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 13. 已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为____（填“>”“<”或“=”）． 14. 如图，在一块长为、宽为的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间的三个矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为，则通道的宽度为____． 15. 已知二次函数，若当时，的最大值是3，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知二次函数． （1）将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求m的值． 19. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： （1）二次函数的顶点坐标为 ，的值为 ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 20. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． （1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 发石车是一种古代攻城器械．如图，发石车位于点处，其前方有一堵防御墙，其防御墙的竖直截面为矩形，墙厚为，发石车与防御墙的距离为，防御墙的高为．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将投掷的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线．若投掷的石块在空中飞行的最大高度为，石块能否飞越防御墙？请说明理由． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年商丘市实验九（上）第一次月考数学试卷 （范围25.1～26.4） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断：只含一个未知数、未知数的最高次数是2、且是整式方程． 【详解】解：A：是一元一次方程，不符合题意； B：的分母含未知数，不是整式方程，不符合题意； C：含两个未知数，不符合题意； D：符合一元二次方程的定义，符合题意． 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 【答案】D 【解析】 【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x2﹣6x﹣4=0， x2﹣6x=4， x2﹣6x+9=4+9， （x﹣3）2=4+9， 故选：D. 3. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可． 【详解】解：A、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里，，， △， 方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义． 4. 若，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. −5 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系 ． 【详解】解：，， ． 5. 要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可求得共有6×6=36场比赛，设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，即可列出一个一元二次方程. 【详解】∵赛程计划安排天，每天安排场比赛， ∴共6×6=36场比赛， 设比赛组织者应邀请x队参赛， ∵2队之间只有1场比赛， ∴可列方程为：x(x-1)=36. 故选B. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 6. 关于抛物线与轴的公共点的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有一个公共点 B. 有两个公共点 C. 没有公共点 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线与轴公共点的个数由的符号决定． 【详解】解：令，得， ， 方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个公共点． 7. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【详解】解：将向左平移2个单位长度得， 再向下平移1个单位长度得． 8. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两条图象都经过点，且开口方向与直线的倾斜方向由同一个决定． 【详解】解：一次函数与二次函数中，相同， 两图象都经过轴上的点； 当时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为，在轴左侧，选项A符合题意； 当时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，选项B，C，D均不符合题意． 9. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 10. 将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况： 直线经过点即左边的对折点，可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； 若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值． 【详解】解： 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个解为，的一元二次方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于方程的根为1或2，则方程右边为0，左边分解因式后含和两个因式，从而可得到满足条件的一元二次方程． 【详解】解：∵一元二次方程的解为，， ∴一元二次方程可以为， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ，，， 点离对称轴更远， ． 14. 如图，在一块长为、宽为的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间的三个矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为，则通道的宽度为____． 【答案】2 【解析】 【分析】结合图形列代数式，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可． 【详解】解：设通道的宽为，则， 根据题意得， 整理得， 解得，(不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 15. 已知二次函数，若当时，的最大值是3，则的值为______． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，分，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为：， ∴， 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为：， ∴； 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ∴， ， 即 ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， 或 ， ，． 17. 已知二次函数． （1）将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1）， 二次项为，一次项为，常数项为 （2） 【解析】 【分析】（1）因为要将二次函数化为一般式，所以先根据多项式乘法法则展开，再合并同类项，整理为（）的形式，再对应区分二次项、一次项和常数项． （2）如果已经得到二次函数的一般式，那么可以选择配方法或者顶点坐标公式计算顶点坐标． 【小问1详解】 解：， 二次项为，一次项为，常数项为； 【小问2详解】 解：， 该二次函数图象的顶点坐标为 ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： 恒成立， 此方程总有实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况以及根与系数的关系．熟记相关结论即可． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则．据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据韦达定理得：，， ∴； 解得： 19. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： （1）二次函数的顶点坐标为 ，的值为 ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是 ； ②当时，的取值范围是 ． 【答案】（1），5； （2） 抛物线图象如图所示： （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征等， （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据三点表格中的点，描点，连线，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象直接写出自变量取值范围即可； ②根据函数图象直接写出函数值取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：顶点坐标，对称轴为，根据抛物线的对称性可知，； 故答案为：，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①根据函数图象，当时，的取值范围是； 故答案为：． ②根据函数图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． 20. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． （1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）长和宽分别为18米，10米 （2）不能达到200m2， 理由：根据题意列方程得， ， 整理得出：； ， 故此方程没有实数根， 答：满足条件的花园面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【小问1详解】 解：设，则； 根据题意列方程，得： ， 解得； 当时，（米）， 当时，（米），不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米； 【小问2详解】 略 21. 发石车是一种古代攻城器械．如图，发石车位于点处，其前方有一堵防御墙，其防御墙的竖直截面为矩形，墙厚为，发石车与防御墙的距离为，防御墙的高为．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将投掷的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线．若投掷的石块在空中飞行的最大高度为，石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】解：石块能飞越防御墙，理由如下： 石块飞行的最大高度为 ， ，即抛物线的解析式为 ． 石块从点 处抛出， ， 解得， ． 由题意知防御墙位于与 之间， 当 时，； 当时，． 石块在防御墙处的飞行高度都大于墙高， 石块能飞越防御墙． 【解析】 【分析】根据飞行的最大高度确定的值，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，再求出和时的函数值，与墙高比较即可得到结论． 【详解】略． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）任务一：；任务二：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数解析式是解答的关键． 任务一：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数表达式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为a，根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元， 根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为12250， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，的最大值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解； （3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． 【小问3详解】 解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接， ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，， ； 综上所述：存在，的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $