精品解析：河南信阳市浉河中学2026-2027学年上学期10月阶段检测九年级数学

九年级数学 一．选择题（共10小题） 1. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. （﹣4，﹣5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （4，5） 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜0 B. k＞0 C. k＜1 D. k＞1 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（ ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A. B. C. D. 7. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在中，，．点D在上，延长到E，使得，过点B作，交射线于点F，设，，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 12. 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是________． 13. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 14. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离______． 15. 如图，菱形中，，，为射线上一点，将菱形沿翻折，、分别为、的对应点，当为直角三角形时，的长为________． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究．已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点F，并在上作一点E，使； （2）连接，求证：四边形是菱形． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和该二次函数的图象的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 19. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为________． （2）若关于的一元二次方程有衍生点： ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标； （3）请直接写出不等式的解集__________________； 21. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22. 已知抛物线经过点和点. （1）求该抛物线的解析式． （2）若将抛物线向下平移个单位长度得到新的抛物线，且当时，的最大值为，求的值． （3）若和为抛物线上的两个点，当时，直接写出的取值范围_______________________． 23. 如图（1）中，，，，于点．将沿翻折至． （1）连接．判断的形状为________，并说明理由． （2）如图（2）将沿平移至，当恰落在边上时，求的长度． （3）如图（3）将绕点逆时针旋转至，直线分别交直线、于点和，当以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一．选择题（共10小题） 1. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. （﹣4，﹣5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （4，5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出方程根的判别式，再根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，， ∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远， ∴， 故选：． 4. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＜0 B. k＞0 C. k＜1 D. k＞1 【答案】D 【解析】 【分析】对于反比例函数，当时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，据此进行求解即可． 【详解】根据题意可得：， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查配方法解一元二次方程，配方法就是通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．此题中，将常数项移到右边，并同时加上一次项系数一半的平方，即，即得到，最后配成完全平方形式即完成求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 6. 如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（ ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， ， 解得，（不符合题意，舍去）． 7. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当s取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可． 【详解】∵当s取最大值时，飞机停下来， ∴t= =20， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键． 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集． 【详解】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）， 由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标． 9. 如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入，确定，，利用正方形的对角线相等计算选择即可． 【详解】∵正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图像上，点B的纵坐标是横坐标的2倍， ∴ 设，代入， 得， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，正方形的性质，熟练掌握抛物线的性质，正方形的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，．点D在上，延长到E，使得，过点B作，交射线于点F，设，，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知证明和全等，和全等，再通过得出的各边关系表示出y与x的关系式即可得出结论． 【详解】解：过E作于G，如图所示： 在和中， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴y关于x的函数图象大致为开口向上的抛物线，当时，y有最小值4， 当和2时，y有最大值8， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，动点的函数关系与图象，勾股定理等知识，利用全等三角形的判定和性质解决动点的函数问题是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 12. 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线平移的“左加右减，上加下减”法则，逐步变换得到平移后的解析式． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减，自变量变化；上加下减，函数值整体变化”的规则． ∵将原抛物线向右平移2个单位，根据右减规则对减去平移单位， ∴第一次平移后得到解析式． ∵再将得到的抛物线向上平移个单位，根据上加规则在整体解析式后加平移单位5， ∴最终得到的抛物线解析式为． 展开整理可得一般式． 13. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴与的面积相等， 即． 又∵， ∴ 解得：， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 14. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离______． 【答案】米 【解析】 【分析】以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值，即可得出答案． 【详解】如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 根据题意知，抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍去）或， 所以茶几到灯柱的距离为米， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力，解题的关键是建立坐标系，将实际问题转化为数学问题． 15. 如图，菱形中，，，为射线上一点，将菱形沿翻折，、分别为、的对应点，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据菱形性质和已知条件可得：，，、是等边三角形． 再由翻折性质得：，，；若为直角三角形，须要分三种情况讨论：第一种情况，，在中利用勾股定理建立边的关系；过点作垂线，构造矩形实现线段转化，依靠勾股定理列方程求解；第二种情况，，结合翻折得到的，推导角度，构造直角三角形计算线段长；第三种情况，，通过作垂线，利用“垂线段最短”进行逻辑推理，证明此种情况不存在，予以舍去． 【详解】解：菱形，， ，， 连接，交于点，则，， ， ， ， 由翻折可得：，，， ∴，即等腰三角形， 第一种情况：若， 设，， 在中，  ① 过作于，如下图： 则． ． ， ， 过作于，则四边形是矩形， ，． 连接， 中，,, ∴ 展开： 得 由①： ，代入： 两边平方： ； 第二种情况：若， 过作于 则 ； 第三种情况：若，连接， 则， 作于点， 则 ，与“垂线段最短”矛盾， 所以这种情况不存在； 综上所述或． 【点睛】本题菱形+翻折，直角三角形分类讨论，构造矩形+勾股定理，关键利用翻折前后边长不变． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程． （2）提取公因式，利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：对于方程， ，， ； 【小问2详解】 解： 提公因式，得 或 解得：． 17. 在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究．已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点F，并在上作一点E，使； （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示： （2）证明：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作出角平分线，再截取即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，，则，进而可证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和该二次函数的图象的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） 函数图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，画函数图象，利用函数图象确定函数值的取值范围，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式，化成顶点式即可得出顶点坐标； （2）先列表，再描点即可； （3）结合函数图象，确定函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得 ∴， ∴该二次函数的图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 0 【小问3详解】解：当时，结合图象，函数值的取值范围为． 19. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为________． （2）若关于的一元二次方程有衍生点： ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值． 【答案】（1） （2）①，且；②或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，再由题中衍生点定义求解即可； （2）①由一元二次方程定义及衍生点定义列不等式求解即可；②由一元二次方程根与系数关系及衍生点定义，结合衍生点的纵坐标和横坐标相差，得到关于的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由可得， ，， 则由题中衍生点定义可得点的坐标为； 【小问2详解】 解：①由一元二次方程定义可知， 关于的一元二次方程有衍生点， 该方程有两个不相等的实数根，即， 解得， 综上所述，实数的取值范围是，且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， 则，，且衍生点的坐标为， 衍生点的纵坐标和横坐标相差， ，则， ， 即， ， ， 则或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标； （3）请直接写出不等式的解集__________________； 【答案】（1），； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线，把点代入，求出m，k的值，进而即可得到答案； （2）先求出的面积，再根据，列出方程，得到，进而即可求解； （3）观察函数图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时或，进而即可得到答案 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， ∴， ∴一次函数表达式为：， 把点代入得：，解得： ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得： ∴点的坐标为或 【小问3详解】 解：由函数图象可知：当一次函数图象在反比例函数图象上方时：或， ∴不等式的解集为：或 21. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【解析】 【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价； （3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可． 【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44）， 即y=﹣10x+740（44≤x≤52）； （2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400， 解得x1=50，x2=64（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）w=（x﹣40）（﹣10x+740） =﹣10x2+1140x﹣29600 =﹣10（x﹣57）2+2890， 当x＜57时，w随x的增大而增大， 而44≤x≤52， 所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 22. 已知抛物线经过点和点. （1）求该抛物线的解析式． （2）若将抛物线向下平移个单位长度得到新的抛物线，且当时，的最大值为，求的值． （3）若和为抛物线上的两个点，当时，直接写出的取值范围_______________________． 【答案】（1）抛物线的解析式为． （2）的值为． （3）． 【解析】 【分析】（1）把两点坐标代入抛物线解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出b、c，得到抛物线解析式． （2）根据平移规律写出解析式，抛物线开口向上，区间上最大值出现在端点，比较两个端点函数值，列方程求出m． （3）开口向上抛物线上，函数值越大，点离对称轴越远；转化为绝对值不等式，平方化简求解t的取值． 【小问1详解】 解：抛物线过，，代入得 解得 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线向下平移个单位， 抛物线开口向上，对称轴直线，对称轴在区间内部，最大值在区间端点． 当时，， 当时，， ， 在处取得最大值． 解得； 【小问3详解】 解：，开口向上，对称轴． ，，，说明到对称轴距离大于到对称轴距离． 两边平方： 整理：， 解得． 23. 如图（1）中，，，，于点．将沿翻折至． （1）连接．判断的形状为________，并说明理由． （2）如图（2）将沿平移至，当恰落在边上时，求的长度． （3）如图（3）将绕点逆时针旋转至，直线分别交直线、于点和，当以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度________． 【答案】（1）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得，， ∴， ∴为等边三角形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出相关角的度数，然后根据翻折的性质得出相等的边和角，即可判断三角形的形状； （2）根据含角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后确定相关角的度数，根据平移的性质以及等角对等边进行求解； （3）根据题意分两种情况进行讨论取舍，利用旋转的性质得出相等的边和角，然后利用勾股定理以及锐角三角函数进行求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据平移的性质， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时， 如图所示，在线段上找一点，连接，使， ∴， ∵， ∴， 根据旋转的性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 假设，则， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴； ②当时，根据旋转角的度数可知，该种情况不存在； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $