精品解析：湖北省武汉市第六中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 明天不会下雨 B. 三点确定一个圆 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 圆中最长的弦是直径 3. 关于二次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 4. 如果的半径为，圆心O到直线l的距离为d，且，那么和直线l的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 5. 如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 6. 某校艺体节期间九年级举行足球赛，九年级每两个班之间都要比赛一场，艺体节为期35天，每天举行3场比赛，设该校九年级有x个班，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆左转的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，以AD为直径的半圆O经过的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，点B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知点，是二次函数 图象上的任意两点．若对于，，都有 ，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 边心距为4的正六边形的半径为_____，中心角等于_____ 度，面积为_____． 12. 若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人． 13. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.233 0.300 0.260 0.255 0.250 根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是________（保留2位小数）． 14. 已知一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图圆心角为，则这个圆锥的底面半径为________． 15. 如图，内接于，，D为上一动点，直线于E，当点D从B点沿运动到C点时，点E所经过的路径长为________． 16. 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；②；③；④若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的序号________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： 18. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，求的度数． 19. 在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于，则n的值是 ； （2）当n=2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程) 20. 在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，过B点画的一条对称轴，并画出圆心O； （2）在图（2）中，先在上画点D，使，再在劣弧上画点E，使． 22. 如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的函数关系式是． （1）小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为米时，铅球行进的高度最大为米，求铅球推出的水平距离． （2）小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出的铅球行进的最大高度． （3）小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足米，请直接写出的取值范围． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，分别以，为边向外作等边和等边，连接，． 求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，若，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，D是等边外一点，，E是的中点，连接并延长交于点F． 若，直接写出的长________． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在坐标平面内是否存在点K，将绕点K逆时针旋转后，有两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，求出所有符合条件的点K的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，此抛物线的对称轴直线，平行于x轴的直线交y轴于，P为函数图像上一点，P到直线的距离为d，试说明在上存在一定点Q，无论P在何处，始终有，并求出定点Q坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，选项正确； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意，选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，选项错误； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：A． 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 明天不会下雨 B. 三点确定一个圆 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 圆中最长的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指一定发生的事件．选项A和C是随机事件，不一定发生；选项B不一定成立，因为三点共线时不能确定圆；选项D是圆的固有属性，必然成立． 【详解】解：在圆中，直径是通过圆心的弦，且所有弦中直径最长，这是圆的基本性质， 选项D是必然事件． 对于其他选项： A：明天可能下雨，也可能不下雨，不是必然事件； B：三点共线时无法确定圆，不是必然事件； C：车辆遇到红灯是随机事件，不是必然事件． 故选：D． 3. 关于二次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．将解析式化为顶点式，得出开口向下，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， 则，开口向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 4. 如果的半径为，圆心O到直线l的距离为d，且，那么和直线l的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，正确记忆直线和圆的位置关系的判断方法是解题关键．根据直线和圆的位置关系的内容判断即可． 【详解】解：的半径为，圆心到直线的距离为，且， ， 直线与的位置关系是相离， 故选：A． 5. 如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，图形旋转的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和求出等腰三角形的底角是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，，由此可求解底角，再根据旋转的性质，即旋转前后角度不变求解即可． 【详解】解：将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针， 在等腰，，， ∴， ∵将绕点旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针，旋转角可能为． 故选：A ． 6. 某校艺体节期间九年级举行足球赛，九年级每两个班之间都要比赛一场，艺体节为期35天，每天举行3场比赛，设该校九年级有x个班，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据单循环比赛场数列方程即可． 【详解】解：∵每两个班之间比赛一场，为单循环赛， ∴总比赛场数为， ∵艺体节35天，每天3场比赛，总比赛场数为， ∴， 两边乘以2得：， 故选：C． 7. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆左转的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，至少有一辆左转的结果有5种，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示： ∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果， 由“树形图”知，至少有一辆左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等， 所以至少有一辆左转的概率是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握树状图法计算概率是解决本题的关键. 8. 如图所示，以AD为直径的半圆O经过的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，点B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD、BE、BO、EO，由三等分点定义求出∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，根据的长为，求出R=2，分别求出AB、BC，勾股定理求出AC，得到△ABC的面积，由△BOE和△ABE同底等高，得到图中阴影部分的面积为，代入数值计算可得． 【详解】解：连接BD、BE、BO、EO， ∵点B、E是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°， ∴∠EAB=∠BAD=∠EBA=30°， ∴， ∵的长为， ∴， 解得R=2， ∴， ∴， ∴=3， ∴， ∵△BOE和△ABE同底等高， ∴△BOE和△ABE面积相等， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：C ． 【点睛】 此题考查了圆的三等分点的定义，弧长公式，扇形面积公式，直角三角形30度角的性质，勾股定理，根据余弦定理求边长，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键． 9. 已知点，是二次函数 图象上的任意两点．若对于，，都有 ，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数的对称性等知识，求出抛物线的开口方向和对称轴，由题意可得出，连线的垂直平分线与x轴的交点的横坐标大于3，且的最大值小于2，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：二次函数 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，， ∴当时，， ∵点，是二次函数 图象上的任意两点，对于，，都有 ， ∴M到对称轴的距离小于N到对称轴的距离， ∴， 解得， 故选：B． 10. 如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，连接，交于点，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明是等腰三角形，过点作，证明，得到，利用切线长定理，求出的长，过点作，连接，设，利用勾股定理，求出的高，进而求出的面积，再利用的面积等于的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可． 【详解】解：延长交于点，连接，交于点， 则：， ∵I是内心， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， 则：， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵I是内心， ∴， ∴， 如图2：过点作，连接，设，则：， 则：， 即：， 解得：， ∴； ∴ 设的半径为 则： ∴， 即：， 解得：； 故选A． 【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心．熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线，是解题的关键．同时考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及切线长定理．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求较高． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 边心距为4的正六边形的半径为_____，中心角等于_____ 度，面积为_____． 【答案】 ①. 8 ②. 60 ③. 【解析】 【详解】试题分析：根据题意画出图形，先求出∠AOB==60°，再根据OA=OB，得出△OAB是等边三角形．然后根据直角三角形的性质由OD⊥AB，OD=4求出OA===8，再根据=6×AB×OD=6××8×4=16. 考点：正多边形和圆 12. 若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人． 【答案】22 【解析】 【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可. 【详解】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝121， 解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去）， ∴2（1+x）＝22． 故答案为22． 【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 13. 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.233 0.300 0.260 0.255 0.250 根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是________（保留2位小数）． 【答案】0.25 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，从表中数据可知，摸到黑球的频率在0.250附近稳定，故估计概率为0.25． 【详解】解：由表可知，摸球次数逐渐增加，摸到黑球的频率从0.230、0.233、0.300、0.260、0.255逐渐稳定到0.250，因此估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25， 故答案为：0.25 14. 已知一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图圆心角为，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积与侧面展开图之间的关系，涉及扇形面积公式和弧长公式。首先利用已知的侧面积和圆心角计算出圆锥的母线长度，再通过展开图的弧长等于底面圆的周长，建立方程求解底面半径。 【详解】解：设圆锥的母线长为 扇形面积公式为： 代入得： 解得： 设圆锥底面半径为， 展开图扇形的弧长 因此，圆锥底面半径为。 15. 如图，内接于，，D为上一动点，直线于E，当点D从B点沿运动到C点时，点E所经过的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，弧长公式等，正确作辅助线，找出点E的运动轨迹是解题关键． 连接，取的中点，连接，过点作于点，由直径所对的圆周角是直角，得出点在以为直径的圆上运动，当点运动到点时，根据三线合一的性质和角的正弦值，求出，从而求出半径，再计算出点E经过的路径对应的圆心角度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于点， 直线于E， ， 点在以为直径的圆上运动， 当点运动到点时， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， 点E经过的路径对应的圆心角度数为， 点E所经过的路径长为， 故答案为：． 16. 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；②；③；④若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的序号________． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、根的判别式、由函数图像判断式子的正负，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的开口方向向下， ， 对称轴，则，即， ， 当时，，由图象可知函数与轴交点在轴正半轴， ， ， ，故①正确； 二次函数图象与轴交于，对称轴为，根据二次函数的对称性可知，二次函数与轴的另一个交点的坐标为， 当时，代入二次函数，得， 故②正确； ③二次函数过点， ， 又，代入， 得， 即, 则， ∴，故③错误； ④二次函数开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值， 对于任意不等于1的实数，， ∴恒成立，故④正确； 将方程， 整理为， ， ， ， 即无论取何值，方程均有两个不相等的实数根，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：，． 18. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，根据外角性质可证，由旋转的性质可知，则，根据三角形内角和为得即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明出是解题的关键． 19. 在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于，则n的值是 ； （2）当n=2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程) 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）由摸到绿球的频率值稳定于得到，进而求出n的值即可； （2）先画树状图，通过图得到共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果有10种，进而根据概率公式求解． 【详解】解：（1）∵摸到绿球的频率值稳定于， ∴， ∴n=3． 故答案为3． （2）画树状图如下： 由上图知，一次摸出两个球，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果有10种， ∴摸出的两个球颜色不同的概率==． 【点睛】本题考查了概率公式的应用及用列表法或树状图法求概率，熟练掌握用列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 20. 在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接，，如图， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上． 是垂直平分线， ，． 为的直径， ， 又， 四边形是矩形， ． 又点在上， 是的切线； （2）的长为7 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，，利用等弧所对的弦相等推出，再结合证明是垂直平分线，得出，，进而证明四边形是矩形，推出，即可证明是的切线； （2）先证是的中位线，推出，设的半径为，用勾股定理解得，解得，两式联立解出，进而求出和的长，在中，运用勾股定理求出，根据四边形是矩形，可得，最后在中，运用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是的中位线， ． 设的半径为， 在中，， 在中，； ， 解得，（舍去）， ， ， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的判定与性质，切线的判定，三角形中位线的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用上述知识． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，过B点画的一条对称轴，并画出圆心O； （2）在图（2）中，先在上画点D，使，再在劣弧上画点E，使． 【答案】（1） 过B点画的一条对称轴，圆心O如图所示： （2） 使的点D，在劣弧上使的点E，如图所示． 【解析】 【分析】本题考查圆有关的无刻度直尺作图，旋转的性质； （1），取中点，则垂直平分弦，则过圆心，即直线是的一条对称轴，点绕点逆时针旋转得到点，延长交于，则圆周角，为直径，与交点即为圆心O； （2）根据对称性可以确定，把向左平移一格得到，延长交于，则，由垂直平分弦，得到垂直平分弦，则，；点绕点顺时针旋转得到点，连接交于，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的函数关系式是． （1）小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为米时，铅球行进的高度最大为米，求铅球推出的水平距离． （2）小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出的铅球行进的最大高度． （3）小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足米，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）铅球推出的水平距离为10米 （2）推出铅球行进的最大高度为2.45米 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为，设，即可得，则，故，令解得的值即可； （2）由推出的水平距离刚好与第一次相同，且，可得是的解，进而可以得解； （3）根据小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，知，而推出的水平距离超过第一次，但不足米，求得当时，，当时，，列出不等式，即可解得答案． 【小问1详解】 解：铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为 抛物线顶点为， ， 铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是， ， ， ， 令，则， 舍去或， 铅球推出的水平距离为米； 【小问2详解】 推出的水平距离刚好与第一次相同，且， 是的解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， 推出铅球行进的最大高度为米； 【小问3详解】 小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同， ， 推出的水平距离超过第一次，但不足米， 的一个根在到之间， 当时，，即，解得：， 时，，即，解得：， ， 的范围是． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，分别以，为边向外作等边和等边，连接，． 求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，若，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，D是等边外一点，，E是的中点，连接并延长交于点F． 若，直接写出的长________． 【答案】 （1）证明：∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）在下方以为边作等边，连接，，过作交延长线于，先证明，得到，再由，得到，，最后由计算即可； （3）在下方以为边作等边，连接，取中点，连接，，，过作于，过作于，先证明，得到，，再证明，得到，接着证明垂直平分，得到 ∴，即可在中求出 ，在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，在下方以为边作等边，连接，，过作交延长线于， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，在下方以为边作等边，连接，取中点，连接，，， ∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵E是的中点，取中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， 过作于，过作于， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，解题的关键是构造（1）一样的全等模型． 24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在坐标平面内是否存在点K，将绕点K逆时针旋转后，有两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，求出所有符合条件的点K的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，此抛物线的对称轴直线，平行于x轴的直线交y轴于，P为函数图像上一点，P到直线的距离为d，试说明在上存在一定点Q，无论P在何处，始终有，并求出定点Q坐标． 【答案】（1） （2）存在符合条件的点K，点K的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线与轴和轴的交点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求得抛物线的解析式； （2）分两种情况讨论：①当点、落在抛物线上时；②当点、落在抛物线上时，即可求得点K的坐标． （3）设点P的坐标为，则，即，设点Q的坐标为，则，利用两点之间的距离公式列得方程即可求解． 【小问1详解】 解：将代入直线中， 得 解得， ∴点B的坐标为， 将代入直线中， 得， ∴点C的坐标为， 由题意得，将点和代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入抛物线中， 得 解得， ∴点A坐标为， ∵点C的坐标为， ∴，， ①当点、落在抛物线上时， 由，， 由题意得，设，则， ， 解得， ， 作轴于，于，连接、，如图， 由旋转可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴ ， 解得， ∴， ， ②当点、落在抛物线上时，则、两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， 由， ∴， 作于，于，连接、，如图， 由旋转可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴ ， 解得， ∴， ， 综上所述，存在符合条件的点K，点K的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，即， 设点的坐标为，则， 则， ， 则， 或， （舍去）或， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、函数过定点问题、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质和旋转变换，解题的关键是学会分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $