精品解析：福建省三明市宁化第三中学2025-2026学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题

2025－2026学年上学期第一阶段质量检测试卷 九年级数学 （试卷总分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 将一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为，则常数项为（ ） A. B. C. D. 2. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 5. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 10 6. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程2x2－x－2＝0，变形正确的是(　　) A. B. ＝0 C. D. 8. 如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ） A. 2或 B. 3或 C. 2 D. 10. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是__________． 13. 已知，是方程的两个实数根，则__________． 14. 如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ______． 15. 如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是________． 16. 已知为方程的解，也为方程（，为常数）的解，则的值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在菱形中，过点作于，于，求证：． 19. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 20. 如图，为正方形的边延长线上一点，交于点，交于点，为的中点．求证：． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况； （2）若该方程仅有一个根大于1，求的取值范围． 23. 如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 24. 如图，铁路（看作线段）上A、B两点相距40千米，C、D为两个村庄（看作两点），，且千米，千米． （1）求两个村庄之间的距离； （2）现要在线段上建造一个供应站P，使得，请求出的长； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 25. 正方形的边长为6，E，F分别为边上的点，连接，将沿折叠，C对应的点为． （1）当点F与点B重合时， ①如图1，，M为的中点，连接，， 求证：四边形为菱形； ②如图2，延长交于点N，连接，，与分别交于点P，Q，猜想线段，，满足的数量关系，并加以证明： （2）当点F与点B不重合时，如图3，E为的中点，连接，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期第一阶段质量检测试卷 九年级数学 （试卷总分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 将一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为，则常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程转化为一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴常数项为， 故选：． 2. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，k≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 解得：k＞， ∴k＞且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键． 5. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，三角形中位线定理，解题关键是掌握三角中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据矩形和勾股定理求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理，得到，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， ， 是矩形的对角线的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：C． 6. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 7. 用配方法解方程2x2－x－2＝0，变形正确的是(　　) A. B. ＝0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】用配方法解方程2−x−2＝0过程如下： 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即：. 故选D． 8. 如图，七巧板是由宋代的宴几图演变而来的，小明用边长为的正方形纸板制作了一幅七巧板（图①），然后拼成“飞机”（图②），则“飞机尾翼”（阴影部分）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，根据图形可得“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：依题意，“飞机尾翼”（阴影部分）为等腰直角三角形，腰长为正方形边长的， ∵边长为的正方形纸板， ∴“飞机尾翼”（阴影部分）的面积为， 故选：A． 9. 若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ） A. 2或 B. 3或 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到也是关于的方程（其中）的解，从而有或，解得或（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程（其中）的解是，，且满足， 也是关于的方程（其中）的解， 或，解得或（负值舍去）， ， 故选：C． 10. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，表示出，，，，进一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，进一步可求出边形EFGH的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形， 作交于点P，交于点K， 设， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ABKH为矩形，即， ∵，， ∴， 即， 解得：， ∴四边形EFGH的周长为：， 故选：A. 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用求出a的值． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是__________． 【答案】矩形、正方形 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 矩形是轴对称图形又是中心对称图形； 正方形是轴对称图形又是中心对称图形； 故答案为矩形、正方形． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 13. 已知，是方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一元二次方程的两个根，满足，． 掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．直接根据根与系数的关系求出即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 14. 如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到AC=4，再根据菱形的性质得到AB=2，再根据勾股定理即可求解. 【详解】∵菱形的边长为2，∴AB=AO=2， ∵O点是矩形ABCD的对角线的中点， ∴AC=2AO=4， ∴BC= 故填：2 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的四边相等. 15. 如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 16. 已知为方程的解，也为方程（，为常数）的解，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将变形为，代入得，根据m有两个值，则，即可求解． 【详解】解：∵m为方程 的解， ∴， ∴， ∵m是方程 ， ∴ 把代入，得， ∴ ∴， ∴， ∵方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数解， ∵m为方程 的解，m也为方程 的解， ∴是两个不相等的值， ∴对于来说，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）将方程整理后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 这里，，， ， ， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴， 18. 如图，在菱形中，过点作于，于，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直定义，全等三角形的判定与性质，由四边形是菱形，得，，又，，所以，证明，根据全等三角形的性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】另一个根为， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义，解一元二次方程是解题的关键．先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于k的方程，求得k的值，然后代入原方程，最后再解方程即可． 【详解】解：把代入 得， 解得， 原方程为， 解得， 方程的另一个根为． 20. 如图，为正方形的边延长线上一点，交于点，交于点，为的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的性质与判定方法，关键在于熟练掌握及运用其性质及判定．根据正方形的性质，可判定，从而得到对应角相等，再根据中线的性质及角之间的关系便可推出． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 又， ， ， 为的中点， ， ， ，， ，即， ． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 22. 已知关于的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况； （2）若该方程仅有一个根大于1，求的取值范围． 【答案】（1）总有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程． （1）根据根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即可证出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，，结合该方程有一个根大于1可得出，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：，，， 无论取何值，该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， 解得，， 若该方程仅有一个根大于1，， ， 解得． 23. 如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】（1）或小时； （2）上午时． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； 【小问2详解】 解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 24. 如图，铁路（看作线段）上A、B两点相距40千米，C、D为两个村庄（看作两点），，且千米，千米． （1）求两个村庄之间的距离； （2）现要在线段上建造一个供应站P，使得，请求出的长； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】（1）； （2）24千米； （3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； ∴千米； 【小问3详解】 解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为：20． 25. 正方形的边长为6，E，F分别为边上的点，连接，将沿折叠，C对应的点为． （1）当点F与点B重合时， ①如图1，，M为的中点，连接，， 求证：四边形为菱形； ②如图2，延长交于点N，连接，，与分别交于点P，Q，猜想线段，，满足的数量关系，并加以证明： （2）当点F与点B不重合时，如图3，E为的中点，连接，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） ①证明：由折叠性质知， ∵四边形是正方形， ∴． 当点F与点B重合，时，， ∵为中点， ∴中，， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； ②， 证明：如图，∵四边形是正方形， ∴． 结合折叠可得，， ， ， ， ， ， 过点作且，连接， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 在中，， ， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）①由折叠性质知，根据四边形是正方形，得出．当点F与点B重合，时，，根据直角三角形的性质和折叠性质得出，即可得为等边三角形，根据等边三角形性质得出，即可证明四边形为菱形； ②根据四边形是正方形，得出．结合折叠可得，，证明，得出，，过点作且，连接，证明，得出，再证明，得出，在中，得出，根据勾股定理即可求解； （2）如图，连接，根据题意得出，即可求出，在中，根据勾股定理算出，过作，得出，根据，得出当时，最大，最大为3，即可得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为中点． ∴， ， 在中，， 过作， ， ， ∴当时，最大，最大为3， ∴， ∵， ∴． 【点睛】该题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $