专题一· 期中综合复习·高效培优讲义（第10～12章） ·2026-2027学年华师大版八年级数学上册

专题一·期中综合复习·高效培优讲义 （第10~12章）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根与立方根的概念，会求一个数的根并进行实数的简单混合运算 · 掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则，能熟练进行单项式与多项式的乘除运算 · 灵活运用平方差公式与完全平方公式，并会用提公因式法、公式法进行因式分解 · 掌握全等三角形的性质与SSS、SAS、ASA、AAS判定，能规范书写几何证明过程 · 理解等腰（边）三角形、角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，解决综合几何问题 📚 知识梳理 ☆ 1.数的开方与实数 若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，记作±；其中非负的叫做a的算术平方根 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作∛a；任意实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致 无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应 算术平方根具有非负性：≥0（a≥0），常与绝对值、平方的非负性联合命题 概念辨析例题：求下列各数的平方根与算术平方根：(1) 16；(2) ；(3) 0。 答案：(1) 平方根为±4，算术平方根为4；(2) 平方根为±，算术平方根为；(3) 平方根与算术平方根均为0。 解析：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中非负的那个才是算术平方根；0的平方根与算术平方根都是0；负数没有平方根。 ☆ 2.幂的运算与整式乘除 同底数幂相乘：am·an=am+n；幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=anbn 同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0）；零指数幂a0=1（a≠0） 单项式乘单项式：系数相乘、同字母幂相乘、只在一个单项式里含有的字母连同指数照抄 多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加 概念辨析例题：计算：(-2a2b)3 ÷ (4a2b2)。 答案：-2a4b。 解析：先由积的乘方得(-2)3(a2)3b3=-8a6b3，再除以4a2b2：系数-8÷4=-2，同底数幂相除指数相减，得-2a4b。 ☆ 3.乘法公式与因式分解 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，与整式乘法互为逆变形 因式分解步骤：先提公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底 公式法包括平方差公式与完全平方公式，注意公式结构中项的符号与系数 概念辨析例题：用简便方法计算：102×98；并把 x2-6x+9 分解因式。 答案：102×98=(100+2)(100-2)=10000-4=9996；x2-6x+9=(x-3)2。 解析：102×98凑成两数和乘两数差，逆用平方差公式；x2-6x+9符合a2-2ab+b2结构，逆用完全平方公式分解为两数差的平方。 ☆ 4.全等三角形 全等三角形的对应边相等、对应角相等；书写时对应顶点要写在对应位置 判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形还有HL；注意AAA与SSA不能判定全等 角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 等腰三角形等边对等角、三线合一；等边三角形三边相等、三个角都是60° 概念辨析例题：如图，已知AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC。 答案：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC（公共边），所以△ABC≌△ADC（SSS）。 解析：先找出三组对应相等的边，其中AC为两个三角形的公共边，满足三边对应相等，可用SSS判定全等。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根与算术平方根 若x2=a则x是a的平方根；非负平方根记作 正数有两个平方根互为相反数；≥0 立方根 若x3=a则记作∛a 任意实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致 幂的运算法则 am·an=am+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn 底数必须相同才能合并；注意法则的逆用 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2；(a±b)2=a2±2ab+b2 认清公式结构，完全平方勿漏中间项2ab 因式分解 把多项式化成几个整式积的形式 先提公因式再套公式，分解要彻底 全等三角形 对应边、对应角分别相等；判定SSS/SAS/ASA/AAS/HL 至少要有一组边对应相等；AAA、SSA不能判定 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根、算术平方根与立方根（第1-6题） · 牢记表示非负平方根，±才表示两个平方根 · 立方根符号与被开方数一致，负数也有立方根 · 遇到时优先联想其非负性，与|x|、平方联合解题 · 开方运算结果要化简到被开方数不含开得尽的因数 1．（24-25九年级下·重庆·开学考试）下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无限不循环小数即为无理数，进行作答即可． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，故该选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故该选项符合题意； C、是有限小数，不是无理数，故该选项不符合题意； D、，不是无理数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，立方根和平方根，利用算术平方根，立方根和平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项正确，符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选B． 3．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③的平方根是；④是36的一个平方根；⑤的相反数是，其中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、无理数、实数的性质、实数与数轴 【分析】此题考查了实数和数轴，无理数，相反数，还有算术平方根、平方根的含义和求法的应用，要熟练掌握．同时考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数． 根据实数的有关概念分别进行判断． 【详解】解：①所有实数都能用数轴上的点表示是正确的； ②带根号的数不一定是无理数，如，原来的说法错误； ③的平方根是，原来的说法错误； ④是36的一个平方根，原来的说法正确； ⑤的相反数是，原来的说法错误． 故其中正确的个数为2个． 故选：B． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期末）在实数3. 1415，，，中，是无理数的是 （    ） A．3. 1415 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数，求一个数的算术平方根，根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：3. 1415为有限小数，不是无理数，，不是无理数，是分数，不是无理数， 是无理数， 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键， （1）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （2）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （3）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 6．（20-21七年级下·四川泸州·阶段检测）若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【答案】的平方根是，立方根是． 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、利用算术平方根的非负性解题、求不等式组的解集 【分析】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根的非负性求出的值，进而得到的值，再根据算术平方根的定义及立方根的定义求出的值，代入计算，最后利用平方根与立方根的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得，解得， 则， ∵的算术平方根为的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，立方根是． 【考点2】实数的分类、数轴与大小比较（第7-10题） · 无理数常见三类：开方开不尽的数、含π的数、特定结构无限不循环小数 · 实数与数轴上的点一一对应，可借数轴比较大小 · 估算无理数大小用「夹逼法」找相邻完全平方数 · 实数运算法则与运算律和有理数完全相同 7．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，若将四个实数，0.5，，表示在数轴上，其中一个数被一只美丽的蝴蝶遮住了，则被这只蝴蝶遮住的点所表示的数有可能是（    ）    A． B．0.5 C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，利用算术平方根得是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵被遮住的数在1和2之间， ∴可能是． 故选：A． 8．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）下列说法：①无理数是无限小数；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③负数没有立方根；④如果两个角是同位角，那么它们相等．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、平行公理的应用、立方根概念理解、无理数 【分析】根据考查无理数、平行线、立方根、同位角的基础定义与性质，依次判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案 【详解】解： 无理数是无限不循环小数，因此无理数属于无限小数， ①正确； 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，该结论不成立， ②错误； 任意实数都有立方根，负数也存在立方根， ③错误； 只有两直线平行时，同位角才相等，并非所有同位角都相等， ④错误； 综上，正确的说法共个 9．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一元一次不等式的解集 【分析】先将用含的式子表达出来，再结合为负数的条件列出不等式分析求解． 【详解】解：由，得， 由二次根式有意义的条件，得，即． 为负数， ，代入的表达式得， 移项得， 需要找到的最大值． 设，， 在时随的增加而增加， 在时随的增加而减少， 又 在时也随的增加而减少， 在时随的增加而减少， 当时，取得最大值， ． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）与最接近的整数是________． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、不等式的性质 【分析】本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，根据无理数的估算方法可得，再由不等式的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与最接近的整数是， 故答案为：． 【考点3】幂的运算与整式乘除（第11-16题） · 四条幂法则要正反两用，注意指数的加减与括号 · 系数、同字母幂、单独字母分别处理 · 混合运算先乘方后乘除，注意符号 · 已知条件求值常逆用法则整体代入 11．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂相乘、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据合并同类项的法则，幂的运算法则，单项式乘多项式法则，逐一进行计算后，判断即可 【详解】解：A．与不是同类项，不能直接合并．所以，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算错误，不符合题意； D．，故该选项计算正确错误，符合题意． 故选：D． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是正整数，且，，则________． 【答案】900 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方和幂的乘方综合应用，将原式化为，代值计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 13．（22-23七年级下·山东青岛·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算 【详解】解： ，， 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】0 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式乘以单项式法则，积的乘方法则以及合并同类项法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【答案】0 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】此题考查了整式的合运算能力，关键是能准确进行积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和合并同类项的计算．先计算积的乘方、同底数幂相乘和幂的乘方，再合并同类项． 【详解】解： 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，（，是整数）． (1)________，________； (2)求的值． 【答案】(1)9，125 (2) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【详解】（1）解：， ； （2）解：由（1）知：， ． 【考点4】乘法公式（平方差与完全平方）（第17-25题） · 平方差认准「同号项平方减异号项平方」 · 完全平方展开有三项，切勿漏掉中间项2ab · 凑整计算时把数拆成整十数加、减一个小数 · 几何图形面积问题常借拼图验证公式 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．例如： …… 根据以上规律，则展开式共有_____项，所有项的系数和为（   ） A．7；128 B．8；128 C．9；256 D．8；256 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查数字类规律,多项式乘多项式，根据已有等式，得到的展开式中，共项，且所有系数的和为,进行求解即可． 【详解】解：由题可知：的展开式中，共一项，且所有系数的和为； 展开式中，共二项，且所有系数的和为； 展开式中，共三项，且所有系数的和为； 展开式中，共四项，且所有系数的和为； 展开式中，共五项，且所有系数的和为 ∴的展开式中，共项，且所有系数的和为； 则展开式共有项，所有项的系数和为 故选B． 18．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，一个长方形恰好被分割成两个小长方形和一个小正方形，恰好能将它们按如图2所示无重叠地放置在一个大正方形中．记长方形的面积为，正方形为，已知．若，则图2中两个阴影部分的面积和是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】设小长方形的宽为x，大长方形的宽为y，小正方形的边长a，根据题意，得，长方形的长为，长方形的面积为，正方形的边长为，故其面积，结合，得，解得，根据图2中两个阴影部分的面积和是，代入解答即可． 本题考查了几何拼图计算，熟练掌握拼图的意义是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的宽为x，大长方形的宽为y，小正方形的边长a， 根据题意，得，长方形的长为，长方形的面积为； 正方形的边长为， 故其面积， 由， 得， 解得， 根据图2中两个阴影部分的面积和是， 故阴影部分的面积和为， 故选C． 19．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则常数的值为______． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式的知识，解题的关键是掌握，即可． 【详解】∵关于的多项式是一个完全平方式，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若多项式是一个完全平方式，那么常数的值是______． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查求完全平方式中的参数，根据完全平方式的特点，进行计算即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴，或 ∴； 故答案为： 21．（25-26八年级上·天津北辰·阶段检测）计算：的结果是_______ 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，应用完全平方公式进行展开计算． 【详解】解：． 故答案为． 22．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段检测）若，则的值为__________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行求解即可得出结果． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 23．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）若x， y是自然数且满足． ，则______． 【答案】5或3/3或5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵x， y是自然数， ∴，或，． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 故答案为：5或3． 24．（25-26七年级下·浙江温州·期中）小方将12张宽为、长为（其中）的长方形纸片，先按照如图所示的方式拼成三个相邻的、边长均为的正方形．随后，连接五条线段，并绘制了部分阴影区域．若四边形的面积为15，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】60 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】根据四边形的面积为15，可推出，阴影部分的面积等于三个边长为的正方形的面积之和减去空白部分的面积，据此用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：∵四边形的面积为15， ∴， ∴， ∴； ∴ ． 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【阅读理解】一般地，如果正整数，，满足，那么，，称为一组“和谐数”．例如，，则称3，4，5是一组“和谐数”． 【问题解决】： (1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是一组“和谐数”的有__________（直接填序号）； (2)“和谐数”有很多的构造方法．求证：如果，为任意正整数，且，那么，，一定是一组“和谐数”； (3)若按（2）中的方法构造出的一组“和谐数”中最大数是（是任意正整数），则这组“和谐数”中的最小数为_________________（用含的代数式表示） 【答案】(1)③ (2) 证明：∵， ∴， ∴是“和谐数”； (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）利用完全平方公式计算得到，由此证明； （3）由得到，由此得到，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“和谐数”的有③； （2）略 （3）解：由题意得， ∵d是正整数， ∴， ∴， ∴，， ∵，且d是正整数， ∴即， ∴， ∴这组“和谐数”中的最小数为． 【考点5】因式分解及其应用（第26-29题） · 一提：先提取各项公因式；二套：再套用公式 · 分解必须进行到每个因式都不能再分解 · 已知式子的值求整体值，常对条件或结论因式分解 · 注意因式分解与整式乘法是互逆变形 26．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算：______． 【答案】2025 【知识点】提公因式法分解因式、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数乘法的结合律，熟知相关计算法则是解题的关键． 利用有理数乘法的分配律计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 27．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】根据杨辉三角的系数规律推导出时的各项系数，结合多项式展开式的特征，确定含项的系数，即可求解． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，每一行的首尾数字均为，中间的每个数字等于它上方两数之和． 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 则展开式为， 含项的系数是． 28．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，涉及公式法因式分解、提公因式法因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键 （1）先提公因式，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，，，           ①                           ② (1)用含的代数式表示：__________，__________； (2)求证：为定值． 【答案】(1)， (2)为定值 【知识点】整式乘法混合运算、列代数式 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出，同样可用含x的式子表示； （2）首先表示出，，，，然后代入化解求解即可． 【详解】（1）根据题意得， ，， 故答案为：，． （2）∵，，，， ∴ ． ∴为定值． 【点睛】此题考查了列代数式，整式乘法的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【考点6】全等三角形的性质与判定（第30-36题） · 证明前先在图上标出已知等角等边，找对应关系 · 公共边、公共角、对顶角是隐含条件 · 根据已知条件选择最简便的判定定理 · 书写证明过程要规范，对应顶点位置一致 30．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）若，，则（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．根据全等三角形的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 31．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形对应角相等即可得到．此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴, 故选：A 32．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，E，F，D在同一直线上，若，，，则图中的全等三角形共有______对． 【答案】3 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质．由可得，由平行线的性质可得，根据推出，，得到，从而推出，再根据推出． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，全等三角形共有3对， 故答案为：3． 33．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据_____． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据中点的性质得出相等的线段，根据对顶角得出相等的角，然后可证明三角形全等，得出依据． 【详解】解：∵对顶角相等，中点分成的线段相等， ∴两个三角形全等的依据, 故答案为：． 34．（24-25八年级上·福建厦门·期中）中，，点 在边上(点在点的左侧)，，，点在边上，，若，，，则______．(用含的式子表示) 【答案】 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】设交于点，过点作于点，并延长，延长，，使，过点作于点，连接，过点作于点，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，求出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，设交于点，过点作于点，并延长，延长，使，过点作于点，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 35．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，这是小明制作的一个简易水平仪．其中，，D为BC的中点，在点D处悬挂一个自然下垂的铅锤．当点A恰好在铅垂线上时，BC就处于水平位置．请说明理由． 【答案】 解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即与垂直，而点D处悬挂一个自然下垂的铅锤，且点A恰好在铅垂线上， 处于水平位置． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判断方法是解决本题的关键． 根据题意证明，进而即可得到解答． 【详解】略 36．（2026·湖北随州·二模）如图，与相交于点O，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质；先由平行线的性质可得，，再结合，即可判定，进而得出． 【详解】证明：， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【考点7】等腰（边）三角形的性质与判定（第37-45题） · 等边对等角、等角对等边可正用可逆用 · 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、高三线合一 · 遇折叠、旋转问题抓住「不变量」 · 分类讨论时注意三角形三边关系与内角范围 37．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转后得到．点落在边上，则旋转角的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】先利用互余计算出，再根据旋转的性质得，旋转角等于，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】，， ， 绕点按顺时针方向旋转后得到， ，旋转角等于， ， ， 即旋转角为． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 38．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、利用平移的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由平移和旋转的性质可得，，可证是等边三角形，即可求解，证明是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 39．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，可判断③；得，，通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 在和中， ， ∴，故结论③正确； ∴， 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是4个． 故选：D． 40．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】根据等边三角形的性质及旋转的性质可得，判定是等边三角形，即可求出的度数；在中利用三角形内角和定理表示出，结合即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴． 41．（23-24八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处，若是等腰三角形，则的度数为 _______． 【答案】 【知识点】等边对等角、折叠问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据在中，，可得，是锐角，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ，，是锐角， 由折叠可知， 是等腰三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是熟悉相关的性质和定理． 42．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 43．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、三线合一、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 44．（24-25八年级下·河北邢台·阶段检测）把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)求证：； (2)如图③，若点D在线段上，且，，求的长． 【答案】(1) 证明：，都是等腰直角三角形， ，，， 则 ， ； (2)7． 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据等腰三角形的定义，结合，即可得证； （2）同（1）得到，证明为直角三角形，勾股定理求出的长，线段的和差，求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：是等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得． ，， ∴， 在中，，， ， ． 45．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，已知等边中，，与相交于点P． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； (2) 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，从而利用“”即可得证； （2）由（1）可得，，即，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 【考点8】角平分线与线段垂直平分线（第46-55题） · 角平分线性质：向两边作垂线段得相等 · 垂直平分线性质：线上点到两端点距离相等 · 尺规作图要保留作图痕迹并说明依据 · 见到角平分线或垂直平分线常连辅助线构造全等 46．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，中，，是的角平分线，若，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解答本题的关键． 根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过作，如图： 又是的角平分线，， ， ， ， 故选：A． 47．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作，交于点，根据三角形的面积公式计算得出，由作图可得平分，再由角平分线的性质定理即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，交于点， ， ∵，， ∴， ∴， 由作图可得：平分， ∵， ∴， 故选：C． 48．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 49．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，是的角平分线，是的中线，若的面积是28，，，则的面积是______． 【答案】8 【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， 即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为． 50．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1) 点即为所求： (2)8 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 51．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 【答案】1 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，求得，从而得到P到的距离． 【详解】解：在的平分线上，于点，于点， ， ， ， 点到射线的距离是线段的长，是1． 52．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知．    (1)尺规作图，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如果，，的面积为18，求的面积． 【答案】(1) 如图即为所求作；    (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，即可求出的面积． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为18， ， ，， ， ， ．    53．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)①；② (2)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3) 【知识点】作线段(尺规作图)、与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则点E即为所求；②根据角平分线的尺规作图方法以及题意作图即可； （2）证明，即可证明； （3）由三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）①略； ②略； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 54．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图：在中，，分别以为边在外作等边和，连接．与交于点F，连接并延长交于点G ． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴同理，， ∴， ∴平分； (3)证明：过点A作于点H， 由（2）可知， 由（2）同理可得，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴点A在垂直平分线上， ∴． ∵，平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明即可； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理分别求出即可； （3）过点A作于点H，先证明点A在垂直平分线上，然后根据角平分线的性质定理可得，再由直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 55．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知线段，点B为直线外一动点． 连接，，在中，点D是三边中垂线的交点，点E是与的角平分线交点，设． (1)在图1中画出图形，求证：点E在平分线上； (2)如图2，当点B运动使得E、D同时在内部时，请写出和的数量关系； (3)如图3，当点B运动使得D在外部时，是否存在某个位置，使得A、E、D三点共线，且点D，E关于直线对称？若存在，请在求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：过分别作交于，交于，交于， 点E是与的角平分线交点， ，， ， 点E在平分线上； (2) (3)存在， 【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）过分别作交于，交于，交于，由角平分线的性质及判定定理，即可得证； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质得，，，结合三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，，结合三角形内角和定理得，即可求解； （3）连接，设，由角平分线的定义及线段垂直平分线的性质得，由三角形内角和定理得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 点D是三边中垂线的交点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E是与的角平分线交点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：存在； 如图，连接， 设， 点E是与的角平分线交点， ， A、E、D三点共线，且点D，E关于直线对称， ， ， ， 点D是三边中垂线的交点， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ； 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，对称的性质等，能熟练利用线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理进行求解是解题的关键． 【考点9】命题证明、轴对称与综合（第56-60题） · 判断命题真假要举反例或给证明 · 写逆命题时把条件与结论互换 · 轴对称问题对应线段、对应角相等 · 最短路径问题借对称把折线拉直 56．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，点D在上，且，则的度数为______ ． 【答案】60 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等边对等角；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，分别求出，即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：60． 57．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意可知，命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，该命题是真命题， 故答案为：真． 58．（23-24八年级上·云南昭通·阶段检测）下列命题中： ①形状相同的两个三角形是全等三角形； ②在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； ③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等； ④同一平面上，两个全等三角形一定可以沿某条直线翻折． 其中真命题的是______． 【答案】③ 【知识点】判断命题真假、全等三角形的性质 【分析】利用全等三角形的定义及性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：①形状相同、大小相等的两个三角形是全等三角形，故原说法错误，不符合题意； ②在两个全等三角形 ，对应角相等，对应边相等，故原说法错误，不符合题意； ③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等，故原说法正确，符合题意； ④同一平面上，两个全等三角形不一定可以沿某条直线翻折，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，真命题的是③， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了判断命题的真假、全等三角形的定义及性质，熟练掌握全等三角形的相关知识点是解此题的关键． 59．（24-25八年级下·湖北咸宁·阶段检测）如图，等腰中，，、分别在边、上，且，若，则的面积是_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】作的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，由线段垂直平分线和等腰直角三角形的性质可得，设，，由勾股定理可得，再代入三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：作的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，，即， 在中，，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线解题的关键． 60．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是___________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、两点之间线段最短、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是利用两点之间线段最短解决问题．作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题. 【详解】解：作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴的最大值为19． 故答案是19． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记平方根、立方根与实数的基本概念，区分与± · 幂的四条运算法则要正反两用，注意指数符号与括号 · 乘法公式先观察结构特征，因式分解遵循「一提二套三检查」 · 全等三角形证明先找对应边、对应角，再选判定定理，书写规范 · 角平分线、垂直平分线、等腰三角形的性质与判定要成对记忆、灵活选用 【作业1】．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）在实数，，，，0中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】实数的分类 【详解】解：开立方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是无理数，因此仍是无限不循环小数，是无理数； 开平方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； ∴无理数共有个． 【作业2】．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列实数中，其中是无理数的是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义；无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是无理数， ，，5是有理数， 故选：B． 【作业3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，同底数幂的乘法的逆运算，正确计算是解题的关键． 将原式变形为，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【作业4】．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，是边上的中线，，延长至点E，使得，连接，则长的取值范围是（　　）    A．2 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用． 根据证明，得，由三角形三边关系可得结论． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【作业5】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质和角平分线的性质．利用等腰三角形“三线合一”得出是角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，直接求解即可． 【详解】解：∵是等腰底边上的高， ∴平分（等腰三角形三线合一）． ∵点在上，且是的角平分线， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 又∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：D． 【作业6】．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，， ∵， ∴， ∴； ∴三角形的底角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，交的延长线于点D， ∵ ∴， ∵， ∴； ∴三角形的底角为， 综上可知，三角形的底角为或； 故选：D． 【作业7】．（22-23八年级上·吉林长春·阶段检测）若是一个完全平方式，那么m的值为_____． 【答案】9 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：9． 【作业8】．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）若整数满足，则的值为______． 【答案】3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算．熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．找到被开方数左右两边相邻的可以开方的数，然后进行判断即可； 【详解】解：∵， ∴ ∵且a为整数， ∴， 故答案为：3． 【作业9】．（22-23八年级下·四川雅安·阶段检测）若、互为相反数，则的值是__________． 【答案】0 【知识点】相反数的定义、提公因式法分解因式 【分析】题考查了相反数及因式分解，熟练掌握相反数的定义及因式分解是解题的关键．根据题意得，原式变形后再代入即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ， ， ， 故答案为：0 【作业10】．（26-27八年级上·全国·单元测试）若，，则________． 【答案】2027 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式分解所求多项式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【作业11】．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是_____． 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵垂直平分线段，是直线上的任意一点， ∴， ∵， ∴周长， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4， ∴周长的最小值为， 故答案为：6． 【作业12】．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，点在的延长线上，，若是等腰三角形，则的度数是________． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，先求出，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，求出的度数即可． 【详解】解：， ， 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，； 综上所述，的度数为或或． 故答案为： 或或． 【作业13】．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）在现代生活中，人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码______． 【答案】131619 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，首先对多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到因式分解形式．然后代入，计算各因式的值，最后将这些值从小到大排列形成密码． 【详解】解：， 当，时，， ∵， ∴用上述方法产生的密码为， 故答案为：． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是______，图中长为______． 【答案】 且 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，连接，，延长到，使，连接，证明和全等得，，证明和都是等腰直角三角形得，则，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，据此即可得出图中长，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，，延长到，使，连接，如图所示： ∵点是中点，， ∴是边的垂直平分线， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：且，． 【作业15】．（25-26七年级下·北京西城·期中）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）利用平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【作业16】．（24-25八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则、合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解： ． 【作业17】．（24-25八年级下·四川甘孜·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式可进行分解因式； （2）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式； （3）根据乘法公式可进行分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【作业18】．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【答案】(1)16 (2)12 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为． 【作业19】．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．已知中的点、点、点都在网格格点上． (1)在图中的格点上确定一点，连接，，使； (2)在图中做出的中线（保留作图痕迹）． (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和网格的特点作图即可； （2）取格点M、N，连接交于点E，连接，可证明得到，则即为所求； （3）求出的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∵是的中线， ∴． 【作业20】．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，、、分别是边，，上的点，且，，若． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ (2) 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义以及三角形内角和定理． （1）根据等边对等角得出，再利用即可证明． （2）由全等三角形的性质得出，由三角形外角的定义进一步可可得出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·高效培优讲义 （第10~12章）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根与立方根的概念，会求一个数的根并进行实数的简单混合运算 · 掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则，能熟练进行单项式与多项式的乘除运算 · 灵活运用平方差公式与完全平方公式，并会用提公因式法、公式法进行因式分解 · 掌握全等三角形的性质与SSS、SAS、ASA、AAS判定，能规范书写几何证明过程 · 理解等腰（边）三角形、角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，解决综合几何问题 📚 知识梳理 ☆ 1.数的开方与实数 若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，记作±；其中非负的叫做a的算术平方根 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作∛a；任意实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致 无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应 算术平方根具有非负性：≥0（a≥0），常与绝对值、平方的非负性联合命题 概念辨析例题：求下列各数的平方根与算术平方根：(1) 16；(2) ；(3) 0。 答案：(1) 平方根为±4，算术平方根为4；(2) 平方根为±，算术平方根为；(3) 平方根与算术平方根均为0。 解析：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中非负的那个才是算术平方根；0的平方根与算术平方根都是0；负数没有平方根。 ☆ 2.幂的运算与整式乘除 同底数幂相乘：am·an=am+n；幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=anbn 同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0）；零指数幂a0=1（a≠0） 单项式乘单项式：系数相乘、同字母幂相乘、只在一个单项式里含有的字母连同指数照抄 多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加 概念辨析例题：计算：(-2a2b)3 ÷ (4a2b2)。 答案：-2a4b。 解析：先由积的乘方得(-2)3(a2)3b3=-8a6b3，再除以4a2b2：系数-8÷4=-2，同底数幂相除指数相减，得-2a4b。 ☆ 3.乘法公式与因式分解 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，与整式乘法互为逆变形 因式分解步骤：先提公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底 公式法包括平方差公式与完全平方公式，注意公式结构中项的符号与系数 概念辨析例题：用简便方法计算：102×98；并把 x2-6x+9 分解因式。 答案：102×98=(100+2)(100-2)=10000-4=9996；x2-6x+9=(x-3)2。 解析：102×98凑成两数和乘两数差，逆用平方差公式；x2-6x+9符合a2-2ab+b2结构，逆用完全平方公式分解为两数差的平方。 ☆ 4.全等三角形 全等三角形的对应边相等、对应角相等；书写时对应顶点要写在对应位置 判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形还有HL；注意AAA与SSA不能判定全等 角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 等腰三角形等边对等角、三线合一；等边三角形三边相等、三个角都是60° 概念辨析例题：如图，已知AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC。 答案：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC（公共边），所以△ABC≌△ADC（SSS）。 解析：先找出三组对应相等的边，其中AC为两个三角形的公共边，满足三边对应相等，可用SSS判定全等。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根与算术平方根 若x2=a则x是a的平方根；非负平方根记作 正数有两个平方根互为相反数；≥0 立方根 若x3=a则记作∛a 任意实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致 幂的运算法则 am·an=am+n；(am)n=amn；(ab)n=anbn 底数必须相同才能合并；注意法则的逆用 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2；(a±b)2=a2±2ab+b2 认清公式结构，完全平方勿漏中间项2ab 因式分解 把多项式化成几个整式积的形式 先提公因式再套公式，分解要彻底 全等三角形 对应边、对应角分别相等；判定SSS/SAS/ASA/AAS/HL 至少要有一组边对应相等；AAA、SSA不能判定 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根、算术平方根与立方根（第1-6题） · 牢记表示非负平方根，±才表示两个平方根 · 立方根符号与被开方数一致，负数也有立方根 · 遇到时优先联想其非负性，与|x|、平方联合解题 · 开方运算结果要化简到被开方数不含开得尽的因数 1．（24-25九年级下·重庆·开学考试）下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法：①所有实数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③的平方根是；④是36的一个平方根；⑤的相反数是，其中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23七年级下·江苏南通·期末）在实数3. 1415，，，中，是无理数的是 （    ） A．3. 1415 B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 6．（20-21七年级下·四川泸州·阶段检测）若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【考点2】实数的分类、数轴与大小比较（第7-10题） · 无理数常见三类：开方开不尽的数、含π的数、特定结构无限不循环小数 · 实数与数轴上的点一一对应，可借数轴比较大小 · 估算无理数大小用「夹逼法」找相邻完全平方数 · 实数运算法则与运算律和有理数完全相同 7．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，若将四个实数，0.5，，表示在数轴上，其中一个数被一只美丽的蝴蝶遮住了，则被这只蝴蝶遮住的点所表示的数有可能是（    ）    A． B．0.5 C． D． 8．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）下列说法：①无理数是无限小数；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③负数没有立方根；④如果两个角是同位角，那么它们相等．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）与最接近的整数是________． 【考点3】幂的运算与整式乘除（第11-16题） · 四条幂法则要正反两用，注意指数的加减与括号 · 系数、同字母幂、单独字母分别处理 · 混合运算先乘方后乘除，注意符号 · 已知条件求值常逆用法则整体代入 11．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是正整数，且，，则________． 13．（22-23七年级下·山东青岛·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系是___________． 14．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算：． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，（，是整数）． (1)________，________； (2)求的值． 【考点4】乘法公式（平方差与完全平方）（第17-25题） · 平方差认准「同号项平方减异号项平方」 · 完全平方展开有三项，切勿漏掉中间项2ab · 凑整计算时把数拆成整十数加、减一个小数 · 几何图形面积问题常借拼图验证公式 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．例如： …… 根据以上规律，则展开式共有_____项，所有项的系数和为（   ） A．7；128 B．8；128 C．9；256 D．8；256 18．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，一个长方形恰好被分割成两个小长方形和一个小正方形，恰好能将它们按如图2所示无重叠地放置在一个大正方形中．记长方形的面积为，正方形为，已知．若，则图2中两个阴影部分的面积和是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 19．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则常数的值为______． 20．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若多项式是一个完全平方式，那么常数的值是______． 21．（25-26八年级上·天津北辰·阶段检测）计算：的结果是_______ 22．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段检测）若，则的值为__________． 23．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）若x， y是自然数且满足． ，则______． 24．（25-26七年级下·浙江温州·期中）小方将12张宽为、长为（其中）的长方形纸片，先按照如图所示的方式拼成三个相邻的、边长均为的正方形．随后，连接五条线段，并绘制了部分阴影区域．若四边形的面积为15，则图中阴影部分的面积是___________． 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【阅读理解】一般地，如果正整数，，满足，那么，，称为一组“和谐数”．例如，，则称3，4，5是一组“和谐数”． 【问题解决】： (1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是一组“和谐数”的有__________（直接填序号）； (2)“和谐数”有很多的构造方法．求证：如果，为任意正整数，且，那么，，一定是一组“和谐数”； (3)若按（2）中的方法构造出的一组“和谐数”中最大数是（是任意正整数），则这组“和谐数”中的最小数为_________________（用含的代数式表示） 【考点5】因式分解及其应用（第26-29题） · 一提：先提取各项公因式；二套：再套用公式 · 分解必须进行到每个因式都不能再分解 · 已知式子的值求整体值，常对条件或结论因式分解 · 注意因式分解与整式乘法是互逆变形 26．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算：______． 27．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 28．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）因式分解： (1) (2) 29．（北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，，，           ①                           ② (1)用含的代数式表示：__________，__________； (2)求证：为定值． 【考点6】全等三角形的性质与判定（第30-36题） · 证明前先在图上标出已知等角等边，找对应关系 · 公共边、公共角、对顶角是隐含条件 · 根据已知条件选择最简便的判定定理 · 书写证明过程要规范，对应顶点位置一致 30．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）若，，则（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 31．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，E，F，D在同一直线上，若，，，则图中的全等三角形共有______对． 33．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据_____． 34．（24-25八年级上·福建厦门·期中）中，，点 在边上(点在点的左侧)，，，点在边上，，若，，，则______．(用含的式子表示) 35．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，这是小明制作的一个简易水平仪．其中，，D为BC的中点，在点D处悬挂一个自然下垂的铅锤．当点A恰好在铅垂线上时，BC就处于水平位置．请说明理由． 36．（2026·湖北随州·二模）如图，与相交于点O，，，求证：． 【考点7】等腰（边）三角形的性质与判定（第37-45题） · 等边对等角、等角对等边可正用可逆用 · 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、高三线合一 · 遇折叠、旋转问题抓住「不变量」 · 分类讨论时注意三角形三边关系与内角范围 37．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转后得到．点落在边上，则旋转角的大小为（　　）    A． B． C． D． 38．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 41．（23-24八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处，若是等腰三角形，则的度数为 _______． 42．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为______． 43．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 44．（24-25八年级下·河北邢台·阶段检测）把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)求证：； (2)如图③，若点D在线段上，且，，求的长． 45．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段检测）如图，已知等边中，，与相交于点P． (1)求证：； (2)求． 【考点8】角平分线与线段垂直平分线（第46-55题） · 角平分线性质：向两边作垂线段得相等 · 垂直平分线性质：线上点到两端点距离相等 · 尺规作图要保留作图痕迹并说明依据 · 见到角平分线或垂直平分线常连辅助线构造全等 46．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，中，，是的角平分线，若，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 48．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 49．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，是的角平分线，是的中线，若的面积是28，，，则的面积是______． 50．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 51．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 52．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知．    (1)尺规作图，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如果，，的面积为18，求的面积． 53．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． 54．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图：在中，，分别以为边在外作等边和，连接．与交于点F，连接并延长交于点G ． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：． 55．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知线段，点B为直线外一动点． 连接，，在中，点D是三边中垂线的交点，点E是与的角平分线交点，设． (1)在图1中画出图形，求证：点E在平分线上； (2)如图2，当点B运动使得E、D同时在内部时，请写出和的数量关系； (3)如图3，当点B运动使得D在外部时，是否存在某个位置，使得A、E、D三点共线，且点D，E关于直线对称？若存在，请在求出的度数；若不存在，请说明理由． 【考点9】命题证明、轴对称与综合（第56-60题） · 判断命题真假要举反例或给证明 · 写逆命题时把条件与结论互换 · 轴对称问题对应线段、对应角相等 · 最短路径问题借对称把折线拉直 56．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，点D在上，且，则的度数为______ ． 57．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 58．（23-24八年级上·云南昭通·阶段检测）下列命题中： ①形状相同的两个三角形是全等三角形； ②在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； ③全等三角形对应边上的高、中线及对应的角平分线分别相等； ④同一平面上，两个全等三角形一定可以沿某条直线翻折． 其中真命题的是______． 59．（24-25八年级下·湖北咸宁·阶段检测）如图，等腰中，，、分别在边、上，且，若，则的面积是_____． 60．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是___________． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记平方根、立方根与实数的基本概念，区分与± · 幂的四条运算法则要正反两用，注意指数符号与括号 · 乘法公式先观察结构特征，因式分解遵循「一提二套三检查」 · 全等三角形证明先找对应边、对应角，再选判定定理，书写规范 · 角平分线、垂直平分线、等腰三角形的性质与判定要成对记忆、灵活选用 【作业1】．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）在实数，，，，0中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【作业2】．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列实数中，其中是无理数的是（    ） A． B． C． D．5 【作业3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的值是（   ） A． B． C．2 D． 【作业4】．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，是边上的中线，，延长至点E，使得，连接，则长的取值范围是（　　）    A．2 B． C． D．3 【作业5】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【作业6】．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【作业7】．（22-23八年级上·吉林长春·阶段检测）若是一个完全平方式，那么m的值为_____． 【作业8】．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）若整数满足，则的值为______． 【作业9】．（22-23八年级下·四川雅安·阶段检测）若、互为相反数，则的值是__________． 【作业10】．（26-27八年级上·全国·单元测试）若，，则________． 【作业11】．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是_____． 【作业12】．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，点在的延长线上，，若是等腰三角形，则的度数是________． 【作业13】．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）在现代生活中，人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码______． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是______，图中长为______． 【作业15】．（25-26七年级下·北京西城·期中）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【作业16】．（24-25八年级上·北京·期中）计算：． 【作业17】．（24-25八年级下·四川甘孜·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【作业18】．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【作业19】．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．已知中的点、点、点都在网格格点上． (1)在图中的格点上确定一点，连接，，使； (2)在图中做出的中线（保留作图痕迹）． (3)直接写出的面积． 【作业20】．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，、、分别是边，，上的点，且，，若． (1)求证：． (2)求的度数． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $