第12章 全等三角形 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第12章拔尖自主测评 ○满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.有下列命题：①算术平方根等于本身的数是0；②多边形的外角和是360°；③两点之间垂线段最 短；④有理数与无理数的积是无理数.其中，真命题的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE,BC=EF,且点A在EF上，点D在BC上.下列条件 中，添加后仍然不能判定△ABC≌△DEF的是 () A.∠B=∠E B.AC=DF C.∠C=∠F D.AB∥DE,EF∥BC B D (第2题) (第3题) 3.如图，在等边三角形ABC中，D是线段BC上一点，以点D为圆心、AD的长为半径画弧，交AC 的延长线于点E.若AB=10,AD=9,则△CDE的周长是 () A.19 B.20 C.21 D.22 4.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的中线，DF⊥AB于点F.若S△AEC=6,DF=2, AC=7.5,则AB的长为 () A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 (第4题) (第5题) (第6题) 5.分类讨论思想如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，D是AB边上一点，AD=2DB,将△ABC 绕点D顺时针旋转α(0°<a<180°)得到△A'B'C.当点A'落在△ABC的边上时，a的度数为 () A.80或100° B.80°或120° C.130°或100° D.100°或120° 6.如图，在△ABO和△CDO中，OA=OB=a,OC=OD=b(0<a<b),∠AOB与∠COD互补，连 结AC、BD、BC、AD,E是BD的中点，下列结论正确的是 () A.AD=BC B.AC=20E C.∠BOD=2∠AOC n0<20E<生 2 二、填空题（每小题5分，共25分） 7.定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是 68 第12章全等三角形 8.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE 若AC=7,BC=4,则BD的长为 (第8题) (第9题) (第10颗) (第11题) 9.如图，BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AECF交BD的延长线于点E.若△ADE 的面积为3，则△ABC的面积为 10.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC=AB,∠ACD=∠ABD,AE⊥BD于点 E.若BD=6,CD=4,则DE的长为 11.分类讨论思想如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm,BC=2cm,CD为AB边上的高，点E 从点B出发，在直线BC上以1c/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当 点E运动 s时，CF=AB. 三、解答题（共45分） 12.(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过点D作DE∥AC,交AB于 点E,AB=5. (1)求证：△ADE是等腰三角形 (2)求线段DE的长， B D (第12题)》 13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D,E 是AB的中点，连结ED并延长，交BC的延长线于点F,连结AF.求证： (1)EF⊥AB (2)AF=AB+BC. (第13题) 69 拔尖特训：数学（华师版）八年级上 14.(14分)情境生活实际如图，某村庄有一块五边形的田地，AB=AE=CD=60m,∠ABC= ∠AED=90°，连结对角线AC、AD,∠BAE=2∠CAD. (1)∠BAC、∠DAE与∠CAD之间的数量关系是 (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地围上一圈木栅栏，已知每米木栅栏的 建造成本是60元，则建造木栅栏共需花费多少元？ (3)在△ADE和△ABC区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为18g,需提前准备 多少千克的小麦种子？ B C (第14题) 15.(15分)如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的平分线，F为AE上一点，连 结BF,∠BFE=45°. (1)求证：BF平分∠ABE, (2)连结CF交AD于点G,若S△ABr=S△CBr,求证：∠AFC=90°， (3)在(2)的条件下，当BE=3,AG=4.5时，求线段AB的长. (第15题) 70 >“答案与解析”见P34或120或90时，以A、O、B三点中的任意两点和P为顶点 的三角形是等腰三角形 B 0 B (① ② 0 B P M ③ (第9题) 方法归纳 常见的等腰三角形的分类讨论问题 (1)当没有指明腰和底边时，必须进行分类讨论 (2)当顶角和底角不确定时，必须进行分类讨论 (3)当高线的位置不确定时，必须进行分类讨论 (4)由腰的垂直平分线引起的分类讨论 (5)由腰上的中线引起的分类讨论. 同时还要注意检验求出的角度（边）必须满足三角 形的内角和定理（三角形的三边关系） 综合与实践3全等四边形 1.10H6:四边形ABCD和四边形EHGF全等， ∴.AB=HE=l0cm,∠B=∠H=60°，CD=FG=6cm. AB=A'B', 2.(1)理由：在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B', BC=B'C', ∴.△ABC≌△A'BC'(SAS).∴.∠BAC=∠B'A'C', ∠BCA=∠B'C'A',AC=A'C'.在△ACD和△A'C'D'中， (AD=A'D', CD=C'D',∴.△ACD≌△A'C'D'(SSS).∴.∠D= AC-AC' ∠D',∠ACD=∠A'C'D',∠DAC=∠D'A'C'. ∴.∠BAC+∠DAC=∠B'A'C'+∠D'A'C',∠BCA+ ∠ACD=∠B'C'A'+∠A'CD'.∴.∠BAD=∠B'A'D', ∠BCD=∠B'CD'.∴.四边形ABCD和四边形A'B'CD' 的四条边分别对应相等，四个角也分别对应相等.∴.四边 形ABCD≌四边形A'B'CD'.(2)不能.在△ABC和 AB=A'B', △A'B'C'中，{∠B=∠B',.△ABC≌△A'B'C'(SAS) BC=B'C', ∴.∠BCA=∠B'CA',AC=A'C.∠BCD=∠B'C'D', ∴.∠BCD-∠BCA=∠B'C'D'-∠B'C'A',即∠DCA= ∠D'C'A'.由∠DCA=∠D'C'A',AC=A'C',AD=A'D', 不可以判定△ACD≌△A'CD',∴.满足这五个条件不能 得到四边形ABCD≌四边形A'B'C'D', 3 第12章拔尖自主测评 1.A算术平方根等于本身的数是0和1，命题①是假命 题.任意多边形的外角和都为360°，命题②是真命题.两点 之间线段最短，命题③是假命题.有理数0与任意无理数的 积都是0,0是有理数，命题④是假命题.综上所述，真命题 只有1个. 2.C若添加∠B=∠E,在△ABC和△DEF中，AB= DE,∠B=∠E,BC=EF,可通过“SAS”判定△ABC≌ △DEF,选项A不符合题意；若添加AC=DF,在△ABC 和△DEF中，AB=DE,BC=EF,AC=DF,可通过“SSS 判定△ABC≌△DEF,选项B不符合题意；若添加∠C= ∠F,在△ABC和△DEF中，由AB=DE,BC=EF, ∠C=∠F,根据“SSA”不能判定两个三角形全等，选项C 符合题意；对于选项D,:'AB∥DE,EF∥BC,∴.∠B= ∠EDC,∠EDC=∠E..∠B=∠E.又：'AB=DE, BC=EF,∴.△ABC≌△DEF(SAS).∴.选项D不符合 题意. 3.A如图，延长BC到点F,使得CF=BD,连结EF :△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠BAC=∠ACB= 60°，AB=BC..∠BCE=180°-∠ACB=120°. ∴.∠CDE+∠CED=180°-∠DCE=60°.：AD=DE, ∴.∠DAE=∠DEA.又∠DAE+∠BAD=60°= ∠DEA十∠CDE,∴.∠CDE=∠BAD.又·BD十DC= CF+DC,.BC=DF..AB=DF=10.△ABD≌ △DFE(SAS).∴.∠F=∠B=60°，EF=BD=CF ∴△CEF是等边三角形.∴.CE=CF.∴.△DCE的周 =CD+CE+DE=CD+CF+DE=DF+DE=10+ 9=19. B D E (第3题) 4.C如图，过点D作DH⊥AC于点H.AD是 △ABC的角平分线，DF⊥AB,DH⊥AC,DF=2, .DF=DH=2.AE是△ABC的中线，∴BE= CE.∴.S△Ac=2S△Ar=2X6=12.∴.S△A5n+S△ACn= SA=12.:SaR=号AB·DF+号AC·DH, 号AB×2+号×7.5X2=12,解得AB=45. (第4题) 4 5.D如图①，当点A'落在AC边上时，DA'=DA, .∠DA'A=∠A=40°..∠ADA'=180°-∠A ∠DA'A=100°，即a=100°.如图②，当点A'落在BC边上 时，延长DB到点E,使BE=BD,连结A'E.∠CBA= 90°，.∠A'DE=∠E,DE=2BD,A'D=A'E.AD= 2DB,AD=A'D,∴.A'D=DE=A'E.∴.△A'DE是等边 三角形·∠DAE=60·∠DA'B=号∠DA'E= 30°.∴.∠ADA'=∠DA'B+∠DBC=120°，即a=120°.综 上所述，a=100或120° ① ② (第5题) 6.BOA=OB,OC=OD,∴.AD=BC需满足的条件 是△AOD≌△BOC.,'∠AOB与∠COD互补，则∠AOB 与∠COD不一定相等，∴.∠AOD与∠BOC不一定相 等..△AOD与△BOC不一定全等.∴.AD与BC不一定 相等，故选项A错误.如图，过点D作DFOB,交OE的 延长线于点F,则∠F=∠BOE.E是BD的中点， 「∠F=∠BOE, ∴.DE=BE.在△DFE和△BOE中，∠DEF=∠BEO, DE=BE, ∴.△DFE≌△BOE(AAS).∴.DF=OB=OA,FE= OE.∴.F0=2OE..∠AOB+∠COD=180°， ∴.∠AOC+∠BOD=180°.DF∥OB,∴.∠FDO+ ∠BOD=180°..∠FDO=∠AOC.在△FDO和△AOC DF=OA, 中，∠FDO=∠AOC,∴.△FDO≌△AOC(SAS). DO=OC, ∴.FO=AC.∴.AC=2OE,故选项B正确.∠AOC十 ∠BOD=180°，∴.∠BOD=2∠AOC需满足的条件是 ∠AOC=60°，显然与已知条件不符.∴.∠BOD不一定等 于2∠AOC,故选项C错误..·OD一DF<FO<DF十 OD,且DF=OA=a,OD=b,∴.b-a<2OE<a十b,故选 项D错误 (第6题) 3 7.如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数 根据逆定理的定义，将原命题“如果P,那么Q”中的条件 P和结论Q互换，得到逆命题“如果Q,那么P”.这里P 是“两个数互为倒数”，Q是“它们的乘积等于1”，.逆定理 为“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数” &多CD平分∠ACB,BE1CD,∠D= ∠ECD,∠BDC=∠EDC=90°.又CD=CD, ∴.△BCD≌△ECD(ASA)..BC=CE.又：∠A= ZABE,:AF-BE.BD-7 BE-7AE-7(AC- )(AC-BC).AC-7.C.BDx (-0=2 9.12BD是△ABC的中线，∴.CD=AD.AE∥ CF,∴.∠DFC=∠E.在△CDF和△ADE中， ∠DFC=∠E, ∠CDF=∠ADE,.△CDF≌△ADE(AAS). CD-AD, S△Cr=S△AE=3.·CF是△BCD的中线，.BF= DF.∴.S△cBr=S△cDr=3.∴.S△ABD=SAcm=S△cpr+ S△0F=6..S△Ax=2S△A5n=12. 10.1如图，过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于点F, ∴.∠AFC=90°.'AE⊥BD,.∠AFC=∠AED= ∠AFC=∠AEB, ∠AEB=90°.在△AFC和△AEB中，∠ACF=∠ABE, AC=AB, ∴.△AFC≌△AEB(AAS).∴.AF=AE,CF=BE.在 AD=AD, Rt△AFD和Rt△AED中， .Rt△AFD≌ AF=AE, Rt△AED(HL).∴.DF=DE.CF=CD+DF,BE= BD-DE,CF=BE,.CD十DF=BD-DE.∴.2DE= BD-CD..BD=6,CD=4,∴.2DE=2.∴.DE=1. D (第10题) 11.7或3：CD⊥AB,EF⊥BC,∴.∠ADC=∠CEF= 90°..∠ACD+∠A=180°-∠ADC=90°.又 :∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠DCB=90°.∴.∠A= ∠DCB=∠ECF.如图①，当点E在直线CD的上方时，在 ∠ACB=∠CEF, △ACB和△CEF中，∠A=∠ECF,∴.△ACB≌ AB=CF, △CEF(AAS).∴.CE=AC=5cm.∴.BE=BC+CE= 2十5=7(cm).∴.点E的运动时间为7÷1=7(s).如图②， 当点E在直线CD的下方时，同理可证△ACB≌△CEF, ∴.CE=AC=5cm.∴.BE=CE-BC=5-2=3(cm). ∴.点E的运动时间为3÷1=3(s.综上所述，当点E运动 7s或3s时，CF=AB (第11题) 12.(1):AD平分∠BAC,∴.∠DAE=∠DAC.:DE∥ AC,.∠ADE=∠DAC..∠DAE=∠ADE.∴.AE= DE,即△ADE是等腰三角形.(2)：BD⊥AD, ∴.∠ADB=90°.∴.∠EAD+∠EBD=90°，∠ADE+ ∠EDB=∠ADB=90°.：∠DAE=∠ADE,∴.∠DBE= ∠BDE.∴BE=DE.AE=DE,.AE=BE.AB 5DE=BE=AE-号AB- 13.(1):'AB=AC,∠BAC=36°，.∠ABC=∠ACB= 72°.又BD是∠ABC的平分线，∴.∠ABD=36 ∴.∠BAD=∠ABD.∴.AD=BD.又E是AB的中点， ∴.DE⊥AB,即EF⊥AB.(2)·EF⊥AB,AE=BE, ∴.EF垂直平分AB.∴.AF=BF.∴.∠BAF=∠ABF 72°.∠CAF=∠AFC=36..AC=CF..AB= CF..'BF=BC+CF,..AF=AB+BC. 14.(1)∠BAC+∠DAE=∠CAD.:'∠BAE= ∠BAC+∠CAD+∠DAE,∠BAE=2∠CAD, .'.∠BAC+∠CAD+∠DAE=2∠CAD...∠BAC+ ∠DAE=∠CAD.(2)如图，延长CB至点G,使GB= ED,连结AG.∴.BC+DE=BC+BG=GC.,'∠ABC= 90°，∴.∠ABG=90°..∠ABG=∠E.在△AGB和 (AB=AE, △ADE中，∠ABG=∠E,∴.△AGB≌△ADE GB=DE, (SAS)..∠GAB=∠DAE,AG=AD.∠BAC+ ∠DAE=∠CAD,∴.∠BAC+∠GAB=∠CAD,即 ∠GAC=∠CAD.在△AGC和△ADC中， AC=AC, ∠CAG=∠CAD,∴.△AGC≌△ADC(SAS)..GC= AG=AD, 3 CD..'.BC十ED=CD=60(m).五边形ABCDE的周长= 3×60+60=240(m),240×60=14400(元).∴.建造木栅 栏共需花费14400元.(3)S△ADE十S△Ac=S△c= 1 1 GC×AB=2X60X60=1800(m),18X1800÷ 1000=32.4(kg),∴.需提前准备32.4kg的小麦种子. A G (第14题) 15.(1)AE是∠BAD的平分线，.∠BAD= 2∠BAF.:∠BFE=45°，∴.∠FBA+∠BAF=45 .2∠FBA+2∠BAF=90°.AD为BC边上的高， .∠ADB=90°.∴.∠ABD+∠BAD=180°-∠ADB= 90°.∴.∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°..2∠FBA= ∠EBF+∠FBA.∴∠EBF=∠FBA.∴.BF平分 ∠ABE.(2)如图，过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥ AB于点N.BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB, FM=-FN.:Sa-5a,即吃AB.FN-号· FM,.AB=BC.在△ABF和△CBF中， BA=BC, ∠ABF=∠CBF,.△ABF≌△CBF(SAS. BE=BE, ∠AFB=∠CFB.:∠BFE=45,∴.∠AFB= 135°.∴.∠CFB=135°.∴.∠CFE=∠CFB-∠BFE= 135°-45°=90°.∴.∠AFC=90°.(3)△ABF≌ △CBF,∴.AF=FC.∠AGC=∠AFC+∠FAG= ∠ADC+∠FCE,∠AFC=∠ADC=90°，∴.∠FAG= ∠AFG=∠CFE, ∠FCE.在△AFG和△CFE中，AF=CF, ∠FAG=∠FCE, ∴.△AFG≌△CFE(ASA).∴.AG=EC=45.:BE=3, .BC=BE+EC=7.5...AB=BC=7.5. B EM D (第15题)