第12章·全等三角形·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

第12章·全等三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL证明三角形全等，突破压轴证明 · 熟练处理等腰、等边三角形与全等结合的边角转化问题 · 灵活运用角平分线、线段垂直平分线的性质与判定 · 掌握旋转、折叠、最短路径等变换下的全等构造 · 会用倍长中线、作垂线等辅助线解决动点与综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的判定与性质综合 五种判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形再加HL 全等后对应边、对应角相等，是转移边角的核心手段 公共边、公共角、对顶角、中点中线是隐含条件 压轴题常需二次全等：先证一对全等得到条件，再证第二对 概念辨析例题：已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求证：BD=CE 答案：由∠BAC=∠DAE得∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，SAS证△BAD≌△CAE，故BD=CE 解析：把等角同时减去公共部分得到夹角相等，凑齐SAS条件 ☆ 2.等腰三角形与等边三角形 等边对等角、等角对等边；顶角平分线、底边中线、高三线合一 等边三角形三边相等、三角都是60°，是旋转全等的常见载体 已知边或角求等腰时，注意对腰/底、顶角/底角分类讨论 常作底边上的高或中线，构造直角三角形与全等 概念辨析例题：等边△ABC中，D是BC中点，求∠BAD的度数 答案：由三线合一，AD平分∠BAC，∠BAC=60°，故∠BAD=30° 解析：等边三角形顶角60°，底边上的中线即角平分线 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到两边距离相等，判定反之亦成立 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，判定反之亦成立 遇角平分线常向两边作垂线，构造全等直角三角形 两者常与等腰三角形结合，实现线段和角的等量转化 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，求证：OC=OD 答案：OP=OP公共，PC=PD（角平分线性质），Rt△OPC与Rt△OPD由HL全等，故OC=OD 解析：角平分线上点到两边距离相等得PC=PD，再用HL证直角三角形全等 ☆ 4.旋转、折叠与压轴辅助线 旋转前后对应部分全等，抓住旋转角与对应边不变 折叠前后重合部分全等，折痕是对应点连线的垂直平分线 最短路径：两点之间线段最短，常作对称点化折为直 倍长中线：延长中线一倍构造全等，转移边和角到同一三角形 概念辨析例题：AD是△ABC中线，AB=5，AC=3，求AD的取值范围 答案：延长AD至E使DE=AD，证△BDE≌△CDA得BE=AC=3，在△ABE中2<AE<8，故1<AD<4 解析：倍长中线把AC转移为BE，再用三边关系求AE，AD为AE一半 📋 知识总结表 核心概念 方法/模型 压轴注意事项 二次全等 先证一对全等得条件再证第二对 找中间过渡的边或角 等腰等边 等边对等角、三线合一 分类讨论腰与底 角平分线 向两边作垂线构造全等 性质判定互逆 垂直平分线 线上点到两端点等距 常连两端点 旋转折叠 变换前后对应部分全等 抓旋转角与折痕 倍长中线 延长中线一倍造全等 转移边到同一三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的判定与性质综合（第1-5题） · 先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件 · 压轴常需二次全等，注意过渡边和过渡角 · SAS中角必须是两边夹角，避免SSA · 证明目标边(角)所在的两个三角形全等 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，点在边上，，点，在上，．若的面积为20，则阴影部分的面积为（  ） A．15 B．10 C．12.5 D．5 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，先证明和全等，得到两个三角形面积相等，故阴影部分的面积为的面积，根据已知条件得到与的关系，进而得到面积与面积的关系，从而完成求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，中，，M、N分别为上动点，且，连接，当最小时，________． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】过点B在下方作，且，连接证明，则，得到当三点共线时，的值最小，证明，则，得到，即可得到答案． 【详解】解：过点B在下方作，且，连接 ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小， 此时，在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是__________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（26-27八年级上·广西防城港·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交AF于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的有_________．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】①根据垂直关系得到直角，结合已知角度通过角度代换得到以及，结合已知条件，运用定理即可证明三角形全等． ②由①的结论可得到，通过角度计算得到，结合公共边，可证明，得出． ③由可得，进而得到，结合可得到，最后由代入值求解即可． ④根据上述证明的两组全等三角形得到对应边，，再根据三角形三边关系得出，等量替换即可判断结论④． 【详解】解：①∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴结论①正确，符合题意． ②∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴结论②正确，符合题意． ③∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴． ∴结论③正确，符合题意． ④∵，， ∴，． ∵在中， ∴． ∴结论④不正确，不符合题意． 综上所述，正确的有①②③． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）[问题情境] 在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成图形之间的关系，如图①，， [猜想探究] （1）“勤奋小组”的同学把这两张纸片按如图②的方式摆放，点A与点D重合，连接和．他们发现和之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是 ； [类比验证) （2）“创新小组”的同学在“勤奋小组”的启发下，把这两张纸片按如图③的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接和，他们发现了、之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由； （3）请你利用和纸片进行拼摆，将拼摆出的图形画在图④中(要求不得与图②，图③相同)，并根据图形写出一条正确的数学结论． 【答案】（1） （2），， 理由如下：如图3， ， ，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，； （3）如图， 把这两张纸片按如图方式摆放，与重合， 【知识点】三线合一、用SSS间接证明三角形全等（SSS）、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证得，即可证得； （2）证得，即可证得，，由即可证得； （3）把这两张纸片按如图方式摆放，与重合，写出和的位置关系；证得，得出，即可由等腰三角形的性质得出结论． ，即可证得． 【详解】解：[猜想探究] （1）如图2，，理由如下： ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）把这两张纸片按如图方式摆放，与重合，， 证明：， ，， ，． ， ∵ ∴ ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【考点2】等腰三角形与等边三角形（第6-24题） · 等边对等角与等角对等边互用 · 作底边上的高，用三线合一 · 已知角求内率先分类讨论顶角底角 · 等边三角形常作旋转全等的载体 6．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，等腰中，，在右侧有一点D，过点D作分别交于点P、E，若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，判断是解题的关键．先证明是等边三角形，得出，根据即可求解． 【详解】解：等腰中，， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 故选：C． 7．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知，点 在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】利用等边三角形及三角形的外角性质可得的边长为（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理可得，，， ∴的边长为，的边长为， ， ∴的边长为（为正整数）， ∴的边长为． 8．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、内错角相等两直线平行 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可. 【详解】解：∵以为边向外作等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转可知：， ∴C错误； ，， ∴即：三点共线， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴A错误； ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴B正确； ∵不一定相等， ∴不一定垂直于， ∴D错误. 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知中，，，的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F（点E不与A、B重合），，过点F作于点H，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当时，．上述结论中始终正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质．寻找条件证明，根据全等三角形的性质对①②③的结论逐一判断；延长交的延长线于点，利用等腰三角形的性质和判定以及三角形内角和定理证明，，，，据此求解即可． 【详解】解：如图，   ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则 ， ∴，故③正确； ④延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，∴④正确； ∴正确结论为①②③④． 故选：A． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，的平分线与边所夹的锐角为，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识．设的平分线交于点，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分别求解即可． 【详解】解：设的平分线交于点，当时， 如图①， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    当时，如图②， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 故选：C． 11．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两边及一角分别相等的两个三角形全等 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．若，则 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、判断命题真假、平方根概念理解 【分析】本题考查命题与定理，平行线的基本事实，全等三角形的判定，等边三角形的判定，平方根定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．结合平行线的基本事实、三角形全等的判定定理、等边三角形的判定、平方根的定义，逐一判断各选项命题的真假，进而确定真命题 ． 【详解】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则无法作出平行线，∴选项A是假命题； ∵只有两边及夹角分别相等的两个三角形才全等，SSA不能判定三角形全等，∴选项B是假命题； ∵分两种情况：①若等腰三角形顶角为，则底角为，三个角均为；②若等腰三角形底角为，则顶角为，三个角均为，∴该三角形是等边三角形，选项C是真命题； ∵若，则，并非只有，∴选项D是假命题； 综上，真命题是选项C． 故选：C． 12．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______． 【答案】1.8 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】先由平移的性质得到，，，再由旋转的性质得到，则是等边三角形，，再根据即可求解． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 13．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先证明，从而得到，再根据垂线段最短得到，点E为中点，求出的长，再根据等边三角形求出的长，从而求得m． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 和为等边三角形，， ， ， ， ， 当时，最短， 此时点E是中点， ， ， ． 14．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知为等腰直角三角形，，，点D为斜边的中点，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接，且，连接，且．则下列结论中正确的序号为______． ①；②；③；④阴影部分面积 【答案】①②③④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，连接，由等腰三角形的性质可得，证明，即可判断①②；设，证明是等腰直角三角形，得到，则，可证明，则，据此可判断③；如图所示，过点D作于H，证明，得到，根据，得到，则可根据判断④． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，，，点D为斜边的中点， ∴， ∴ ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，过点D作于H，则， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ，故④正确； 故答案为：①②③④． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的面积为5，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角，连接．则的面积等于_____． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作正确的辅助线是解题的关键． 过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明，则可得，利用三角形面积公式可得和的面积相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ，为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，有两个边长为5的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积为______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】设交于点T，交于点S，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，则可得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设交于点T，交于点S，连接， 由题意得，点E为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交于点F，G，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是___________． 【答案】①②③ 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，，，则可证明，再由三角形外角的性质可得，据此可判断①②；连接，则是等边三角形，证明即可判断③；连接，则是等边三角形，证明，即可判断④． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，，故②正确； ∴，故①正确； 如图所示，连接，则是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，连接，则是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴（大角对大边）， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 18．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为等边三角形，点在上，点在上，连接,相交于点，且，，则线段的长为________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、线段的和差关系等知识点．解题关键在于准确找到全等三角形的对应边和对应角，这是后续推理的基础．以及角的等量代换，线段关系的熟练运用．证明和，和全等，通过角等量代换，三线合一，算出的长即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，，过点作于点， ∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴设，则 ∵，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形，且， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）综合与探究 如图，是等边三角形，点、分别是、上的动点，连接、交于点． (1)【特例感知】当、分别为线段、的中点时，如图①，请直接写出_______； (2)【一般探究】当、在线段、上运动时，且满足，如图②，请求出的度数； (3)【拓展提升】当、运动到线段、的延长线时，且满足，如图③，与所在的直线相交于点，过点作于，连接、，请探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3) ，证明如下 ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 如图所示，在上截取，连接，则是等边三角形，取的中点，连接并延长交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴①， ∴，即， ∵ ∴，即， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴，， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）同理证明，得出，进而根据三角形的外角的性质得出，在上截取，连接，则是等边三角形，取的中点，连接并延长交于点，连接，先证明得出①，接着证明，进而证明，得出，证明得出，结合①，即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，、分别为线段、的中点， ∴是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ （3）略． 20．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）已知为等边三角形，为线段中点． (1)如图1，连接，为角平分线，交线段于点，求的度数． (2)如图2，点为线段上一点，以为边作等边三角形，连接交的延长线于点，证明：． (3)如图3，连接，点为线段上一点，满足，连接，，平分且交线段于点，点与点分别为线段，上的动点，且满足，当取最小值时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)证明：、为等边三角形， ，， ，， ， ，即， 在与中， ， ， ，， ， ，为中点， ，， 在与中， ， ， ， ， ； (3) 【知识点】三线合一、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一得，，进而由平分，得，从而根据求的度数即可； （2）先根据等边三角形的性质利用证明，得，再利用证明，得，进而得证； （3）根据等边三角形的性质和等腰三角形三线合一，得垂直平分，进而得，作且使得，连接，连接交于点，利用证明，得，进而可得当三点共线时，取最小值，证明是等边三角形，得，进而得计算即可得的度数． 【详解】（1）解： 为等边三角形， ，， 为线段中点， ，， 平分， ， ； （2）略 （3）解： 为等边三角形，为线段中点， 垂直平分，， ， ， 如图，作且使得，连接，连接交于点， 在和中， ， ， ， 由图得， ， 当三点共线，即点与点重合时，取最小值， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当点与点重合，取最小值时， ． 21．（2025·贵州·模拟预测）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点，． (1)【问题解决】当平分时，则 ； (2)【问题探究】当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，时，求的长长． 【答案】(1) (2)．理由如下： 如图 ①，过点作，交于点， 是直角三角形，，， ， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ； (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的性质可求解； （2）由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：情况①：当点在射线上时，如图②． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 情况 ②：当点在射线上时，如图 ③． 过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 22．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）（1）问题背景：如图1，已知和为等边三角形，求证：． （2）尝试应用：如图2，已知为等边三角形，点是外一点，且，求线段、、的数量关系． （3）拓展创新：如图3，点是等边外一点，若，，，直接写出线段的长______． 【答案】 （1）证明： 和为等边三角形， ，，， ， ， ； （2）线段、、的数量关系为：； （3） 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，易得为等边三角形，同法（1）可得，进而得到，从而得到； （3）以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，进而求出、的长，勾股定理求出的长，同（1）法可得：，得到，即可得解． 【详解】（1）略 （2）如图，在上截取，连接，    ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 线段、、的数量关系为：； （3）如图，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，    则：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 、均为等边三角形，同法（1）可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 23．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，点． (1)如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； (3)如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明：过作交轴于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3)不变，是定值 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）构造“一线三垂直”全等即可得解； （2）证明线段的和差关系优先考虑截长补短，根据题干条件过作交轴于点，易证，得到，再通过得到即可得证； （3）根据前述两问的思路本题依然构造全等三角形，点作，交轴于点，先证得到，再证得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题干坐标很容易发现为等腰直角三角形时，如果点在第三象限，则此 时，， ， ， 如图，过作轴，过作于点，交轴于点，过作于点，则 ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：的值不会发生变化．理由如下：过点作，交轴于点，则， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点， ， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终值是． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，等边中，，P为边上一点，Q为直线上一点，连接，使得． (1)①如图1，探索与的数量关系并证明； ②如图1，求证：． (2)如图2，若将“等边”改为“等腰直角”，其他条件不变，求证：． (3)如图3，若继续将“等腰直角”改为“等腰”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由． 【答案】(1)①，证明： 如图1所示，过点作， 则， ， ， 又， ， 即 ②证明：如图1所示，过点作， 则，，， ，， ， 在和中， ， ， ． (2) 证明：延长至点使， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ∴ ． (3) 正确，过程如下： 在上取一点使， 和均为等腰三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）过点作，得到，进而得出；过点作，证明即可得到． （2）延长至点使，证明即可得到． （3）在上取一点使，证明即可得到． 本题考查了等边三角形，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质与判定，主要考查学生的推理能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）略 【考点3】角平分线与线段垂直平分线（第25-33题） · 角平分线向两边作双垂线 · 垂直平分线连两端点得等腰 · 性质与判定双向使用 · 结合尺规作图保留痕迹 25．（2026·北京西城·一模）如图，在中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点（点与点不重合），连接交于点，则的大小为（   ） A． B．65° C． D． 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据题干中的要求作出图形，由作图可得，，根据三角形内角和定理可知，又因为可以求出，根据三角形内角和定理可得，证明，根据全等三角形的性质可知． 【详解】解：如下图所示， ，， ， 由作图可知平分， ， ，， ，， 在中，， ， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质．作于，于，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；，的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误． 【详解】解：如图作于，于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴定值，故D正确， ∵为定值，故A正确， ∵，的位置变化， ∴的长度是变化的，故C错误． ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故B正确， 故选：C． 27．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，为锐角三角形，分别以和为边作等边三角形和等边三角形，连接和并延长交于点，有以下结论：①；②；③平分．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，四边形的内角和，先证明，得到，，结论①正确；得到，结合四边形内角和求出，结论②正确；过作于，于，证明，，根据角平分线的判定得到平分，结论③正确，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形和等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 故结论②正确； 过作于，于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， 故结论③正确， ∴正确结论的个数是， 故选：D． 28．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【详解】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 29．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有：_____． ①平分； ②：③：④； ⑤． 【答案】①②⑤ 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，①过点O作于H，根据平分得，再根据得，进而根据角平分线的性质可对命题①进行判断；②设，则，，证明平分得，再根据三角形内角和定理，由此可对命题②进行判断；③先证明，则，进而得，然后根据可对命题③进行判断；④先证明和全等得，再证明和全等得，由此可对命题④进行判断；⑤先求出，则，，，由此可求出的度数，进而可对命题⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点O作于H，如图1所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分， 故命题①是真命题； ②∵平分平分， ∴设， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴点O在的平分线上， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 故命题②是真命题； ③∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故命题③是假命题； ④过点E作于点K，连接，如图2所示： ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故命题④是假命题； ⑤在中，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故命题⑤是真命题， 综上所述：是真命题的序号是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 30．（25-26八年级下·四川雅安·期中）如图，已知中，，分别作边的垂直平分线交于点P，分别交于点E和点F．则以下各说法中：①，②，③点P到点B和点C的距离相等，④．错误的说法是______________．(填序号)     【答案】④ 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，，再结合，可判断①，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，可判断③；再由不一定是等腰三角形，则与的大小无法确定，可判断④． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，，故①正确； ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点P， ∴， ∴，即点P到点B和点C的距离相等，故③正确； ∵不一定是等腰三角形， ∴与的大小无法确定，故④说法错误． 31．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是______． 【答案】①②③⑤ 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，，故①②符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 32．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． (1)的度数为_____； (2)写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； (3) 解：()中的结论仍然成立，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）由直角三角形的性质可得，再根据角平分线的定义得到，，进而根据三角形的外角性质即可求解； （）在上截取，连接，可证，得到，，再证明，得到，即可求证； （）在上截取，连接，同理（）解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 33．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，，是的平分线． (1)如图2，把三角板的角的顶点落在的任意一点P上，并使三角板的斜边与垂直，垂足为E，一条直角边与相交于点F．求证：； (2)如图3，把三角板绕点P旋转，三角板的斜边与相交于点E，一条直角边与相交于点F．与相等吗？请证明你的结论． 【答案】(1) 证明：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 又平分， ∴； (2) ，证明如下： 如图所示，过点P作，，分别交，于点M，N， 则（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵，，， ∴， 又∵， 则， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识点．解题的关键是： （1）先证明，然后根据角平分线的性质即可证明； （2）过点P作，，分别交，于点M，N，推出，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【考点4】全等三角形中的旋转与折叠（第34-36题） · 旋转前后对应边对应角相等 · 折痕是对应点连线的垂直平分线 · 找旋转中心与旋转角 · 折叠问题抓重合部分全等 34．（2025·辽宁营口·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转至．连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．为线段上一点，作点关于直线的对称点，点绕顺时针旋转至点，连接，．当时，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据证明得，进而求出的度数； （2）作交于点，由折叠的性质得，求出得，设，则，，由勾股定理求出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，延长交于点，证明得，，可证四边形是平行四边形，从而，然后分两种情况求出的长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ， ， ∵将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ， ， ； （2）如图，作交于点， ∵将沿折叠至， ，， ， ， ，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，延长交于点， ∵点绕顺时针旋转至点， ，， ， ， ， ， ，， ∵作点关于直线的对称点， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 在中垂线上且为定长， 如图4， ， ， 在和中， ， ， ， ， 同理可得：， ， 的长度为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，分类讨论是解（3）的关键． 35．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段，连接交射线于点，连接、． 填空： （1）①线段、的数量关系为 　　． ②线段、的位置关系为 　　． 推广： （2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、．请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 应用： （3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）①； ②； （2）结论：（1）中的结论仍然成立． 理由：如图②中， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线是， ∴； （3）2或6 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据平分，和旋转的性质，可以证明，可证垂直平分线是，即可解决问题； （2）结论不变．如图②中，只要证明，即可解决问题； （3）分点D在线段上，点D在线段的延长线上时，两种情形讨论，分别求解即可． 【详解】解：（1）如图①中， ∵平分， ∴， ∵由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线是， ∴． 故答案为：，； （2）略 （3）①如图， 当点D在线段上时， ∵在等边三角形中，．作平分交于点， ∴，， ， 由旋转可知，， 是等边三角形， ， ， ∴； ∴垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， （负值舍去）， ； ②如图， 当点D在线段的延长线上时， 同理可得：是等边三角形，垂直平分线是，即， ， ， ， ， ， 在中，，即， （负值舍去）， ； 综上，的长度为2或6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形及证明等边三角形解决问题． 36．（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，在中，且，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点D为边的中点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接，连接交于点F．若时，求的长． (2)当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，再将线段绕着点C顺时针方向旋转得到线段，连接．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，．作点A关于直线的对称点，点M是边的中点，连接，若，当的长度最大时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2) ， 理由：过点D作于点J，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴D，E，B，C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点E作于点H，根据勾股定理求出，结合所对直角边等于斜边一半及勾股定理求解即可得到答案； （2）由线段旋转得，， 由余角性质得，可得 ，从而得到，，由线段旋转得到，，证明点E、D、F共线，过点E作，交于点G，可得，从而得到，，证明 ，得，根据，，可得 ，即可得到答案； （3）当M，C，三点共线时，取得最大值，过点E作，交延长线于点H，连接，，设交直线于点I，由轴对称知，， 得，根据，得，得，得，得， ，得，设，可得，解得，即可得到答案 【详解】（1）解：如图1中，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图3中，由题意， ∴点的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在的延长线上时，的值最大，如图4中， 在上取一点K，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形和旋转．熟练掌握等腰三角形性质，等腰直角三角形判定和性质，旋转性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，含30度的直角三角形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 【考点5】最短路径与勾股定理综合（第37-39题） · 作对称点把折线路径拉直 · 两点之间线段最短 · 直角三角形用勾股求线段 · 含30°直角三角形三边比为1::2 37．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q，再证明，利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q， ∴， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 38．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 39．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，D是等边外一点，，，则的最大值是____，此时的面积为_____． 【答案】 5 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】以为边作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，利用三角形的三边关系即可解决问题；当取最大值时，则点A、D、E三点共线，过点A作，交延长线于F，过点B作于G，利用等边三角形性质和勾股定理求出、长，然后利用三我面积公式求解即可． 【详解】解：以为边作等边，连接． ，，， ， 在和中， ， ， 在中， ，， ， ， 当点A、D、E三点共线时，最大， 的最大值为5， 的最大值为5． 当取最大值时，则点A、D、E三点共线，如图， 过点A作，交延长线于F，过点B作于G， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 ∴ ∵等边， ∴， ∴ ∴ 故答案为：5；． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短，勾股定理．求得当取最大值时，则点A、D、E三点共线是解题的关键． 【考点6】全等三角形压轴综合（第40-45题） · 遇中线倍长一倍构造全等 · 过端点作垂线构造直角全等 · 动点问题用时间表示线段列方程 · 综合题先证全等再用等腰、勾股 40．（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】列代数式、全等三角形综合问题、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 41．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是的内心，连、、，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用 【分析】由是半圆的直径，可得，由是的内心，可求，则，，可判断①的正误；如图，延长到，使，连接，证明，则可证，进而可判断②的正误；由勾股定理得，，进而可判断③的正误；如图，延长交于，证明，则，设，则，，由勾股定理得，，证明，求得，由勾股定理得，，计算求解可判断④的正误． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴，， ∵是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，，③正确，故符合要求； 如图，延长交于， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴，即，解得，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，④正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，内心，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，内心，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当的值为4时，； ②当点在边上时，    此时不可能为等边三角形； 当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时，   ， 为等腰三角形， 当时，，    ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时，   上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ②    由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． 43．（24-25八年级上·江苏常州·期中）【阅读教材】苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 (1)如图1，在中，若且，则_____； (2)如图2，在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长 【答案】(1) (2) ①证明：在上截取，连接， 平分， ，又， ， ，， ， ， ， ， ； ②15 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的外角，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数； （2）①在上截取，连接，由（1）同理可证，得到，，进而得到得，，根据，即可证明； ②作于点，结合等腰三角形性质设，结合勾股定理建立方程 求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略 ②作于点， ， ， 设， ，，， ，， ， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线定义、三角形的内角和定理和三角形的外角、等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于通过作辅助线证明三角形全等． 44．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 45．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，是等边三角形，点在边上，于点，以为边在右侧作等边，交于点． (1)求证：； (2)求证：点F是的中点． 【答案】(1) 证明： 和是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ； (2) 证明：如图，作交的延长线于， 由（1）可知，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质以及角的和差运算，即可利用证得； （2）作交的延长线于，由以及等边三角形的性质，结合，可推出，，，然后由和等角对等边得到，进而得到，从而利用证得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 判定过关：五种方法选准，二次全等思路要清晰 · 等腰过关：等边对等角与三线合一，分类讨论要全 · 平分线过关：角平分线与垂直平分线性质判定互逆 · 变换过关：旋转折叠抓不变量，最短路径会作对称 · 压轴过关：倍长中线、作垂线等辅助线多画多练 【作业1】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、垂线段最短、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又 是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 【作业2】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、最短路径问题 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，等腰直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为． 故选：A． 【作业3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系；角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的两边之和大于第三边；过I点分别作，，，可得，再由三角形面积公式和，可得，即可求解 【详解】解：过I点分别作，，，如图所示， ∵I是角平分线交点， ∴ 可设，， ∴，，， ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴四个选项中只有D符合题意 故选：D 【作业4】．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交于点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 【作业5】．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，按下列步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点两弧相交于两点，和交于点；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，且和交于点，连接并延长至点，使，连接．给出下列结论，①；②且；③垂直平分；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的性质． ①根据条件无法得出该项结论； ②根据角平分线和线段垂直平分线的性质得出条件，证明三角形全等，然后根据内错角相等，证明两直线平行即可； ③由②中的全等三角形即可得出结论； ④利用角平分线的性质，利用面积比即可求解． 【详解】解：根据作图可知，平分，垂直平分线线段， ①根据条件，无法得出， 故①错误，不符合题意； ②∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵垂直平分线线段， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，且； 故②正确，符合题意； ③由②得，， ∴，， ∴垂直平分， 故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为②③④， 故选：D． 【作业6】．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、确定第三边的取值范围 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【作业7】．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有_____________ 【答案】①③④ 【知识点】角平分线的性质定理、根据等角对等边证明边相等、角平分线的判定定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】对于①，由平行线和角平分线得 ，同理可得：，由，则，故①正确；对于②，条件不足，证明不出，故②错误；对于③，过点作，垂足分别为，由平分，则，故，故③正确；对于④，过点作于点，可证明平分，则，设，则，设，则，则，故，，在中，，故④正确． 【详解】解：如图， 对于①，∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， 故①正确； 对于②，条件不足，证明不出， 故②错误； 对于③，过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴， 故③正确； 对于④，过点作于点， 同上可得， ∵， ∴， ∵，， ∴平分，则， 设， 设， ∴， ∴， ∴，， 在中，∴， 故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【作业8】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图， 在中，，，平分， P，Q分别为边上一点， 且， 若当的最小值为6时， 则的长为___________________． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为6，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为6， ∴的长为6， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：6． 【作业9】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为______． 【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，判断出点Q关于直线的对称点必在上是解本题的关键． 过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，时，连接，，进而判断出，得出，即可判断出垂直于时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ， 是的平分线， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接，， ， ∴， ， ，假设点Q是定点，点B，P，共线时，取最小， 点Q是动点， 当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为： 【作业10】．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，角平分线相交于G，，若，，则m，n的关系式为：______．    【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，则，进而可求出，再过点，，垂足分别为点，同理可得，由得到，则，那么，即可求解． 【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图；    平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，， ，则， ∴， 过点，，垂足分别为点， 同理可得， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【作业11】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为_____． 【答案】/1100平方厘米 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 过点作于点，先证明，再证明，然后利用全等三角形的性质求出相应的边长，最后根据求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【作业12】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）问题提出：在中，，，求边上的中线的取值范围． 思维点拨：延长中线至等长，构造全等三角形，把、、集中在中，利用三边关系，可得的取值范围． 问题解决1：在图1中找出与的数量关系并证明； 问题解决2：的取值范围是_____，和的位置关系是_____． （2）问题拓展：如图2，是的中线，，，，探究线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）问题解决1： 解：， 证明：延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，； 问题解决2：，平行； （2）解：．理由如下： 证明：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中： ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查倍长中线，三角形三边的数量关系，全等三角形的判定和性质，合理作图，证明三角形全等是解题的关键． （1）问题解决1：根据题意证明即可求解； 问题解决2：根据全等三角形的性质，三角形三边数量关系即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，可证，，由此即可求解． 【详解】解：（1）问题解决1：略 问题解决2：∴，， ∴，即， 故答案为：，平行， （2）略 【作业13】．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图①，且，，，点E为上一点，将沿直线翻折，使点B落在边上，记作点F． (1)当，时， ． (2)当时，如果再将图①中的沿直线向右翻折，使点A落在射线上，记作点G，当线段时，请根据题意画出图形，并求出m的值． (3)在（2）的条件下，连接，再将沿直线翻折，得到，直线交射线于点H，若的面积为a，请直接写出的长(用含有a的代数式表示)． 【答案】(1)2 (2) 如图，当点G在点D的左边时， ； 如图，当点G在点D的右边时， (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题是四边形综合题，折叠的性质，平行线的性质． （1）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （2）分两种情况：当点G在点D的左边时；当点G在点D的右边时；分别画出图形，根据，可列关于m的方程求解； （3）根据（2）中结论，由折叠的性质可得， ，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）解：分以下两种情况： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得； 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵沿直线翻折得到， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 分以下两种情况： 如图，当时，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，即， ∴； 如图，当时，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，或． 【作业14】．（24-25八年级上·河南漯河·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∵， ∴； （3） 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接， ∵， ， 又∵， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 【作业15】．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）等腰中，． (1)如图1，D，E是上两动点，且，若． ①求证：． ②当时，求的长； (2)如图2，点D是等腰斜边上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰，当时，求的长． 【答案】(1)①证明：如图1中，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、化为最简二次根式、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①证明，利用全等三角形的判定定理即可求证；②证，进而在中利用勾股定理即可求解； （2）如图2中所示，连接：，可得，，再进一步利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）①略 ②如图1中，， 设，则． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ， 在中，∵， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图2中所示，连接： ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，化为最简二次根式，等腰三角形的性质等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章·全等三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL证明三角形全等，突破压轴证明 · 熟练处理等腰、等边三角形与全等结合的边角转化问题 · 灵活运用角平分线、线段垂直平分线的性质与判定 · 掌握旋转、折叠、最短路径等变换下的全等构造 · 会用倍长中线、作垂线等辅助线解决动点与综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的判定与性质综合 五种判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形再加HL 全等后对应边、对应角相等，是转移边角的核心手段 公共边、公共角、对顶角、中点中线是隐含条件 压轴题常需二次全等：先证一对全等得到条件，再证第二对 概念辨析例题：已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求证：BD=CE 答案：由∠BAC=∠DAE得∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，SAS证△BAD≌△CAE，故BD=CE 解析：把等角同时减去公共部分得到夹角相等，凑齐SAS条件 ☆ 2.等腰三角形与等边三角形 等边对等角、等角对等边；顶角平分线、底边中线、高三线合一 等边三角形三边相等、三角都是60°，是旋转全等的常见载体 已知边或角求等腰时，注意对腰/底、顶角/底角分类讨论 常作底边上的高或中线，构造直角三角形与全等 概念辨析例题：等边△ABC中，D是BC中点，求∠BAD的度数 答案：由三线合一，AD平分∠BAC，∠BAC=60°，故∠BAD=30° 解析：等边三角形顶角60°，底边上的中线即角平分线 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到两边距离相等，判定反之亦成立 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，判定反之亦成立 遇角平分线常向两边作垂线，构造全等直角三角形 两者常与等腰三角形结合，实现线段和角的等量转化 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，求证：OC=OD 答案：OP=OP公共，PC=PD（角平分线性质），Rt△OPC与Rt△OPD由HL全等，故OC=OD 解析：角平分线上点到两边距离相等得PC=PD，再用HL证直角三角形全等 ☆ 4.旋转、折叠与压轴辅助线 旋转前后对应部分全等，抓住旋转角与对应边不变 折叠前后重合部分全等，折痕是对应点连线的垂直平分线 最短路径：两点之间线段最短，常作对称点化折为直 倍长中线：延长中线一倍构造全等，转移边和角到同一三角形 概念辨析例题：AD是△ABC中线，AB=5，AC=3，求AD的取值范围 答案：延长AD至E使DE=AD，证△BDE≌△CDA得BE=AC=3，在△ABE中2<AE<8，故1<AD<4 解析：倍长中线把AC转移为BE，再用三边关系求AE，AD为AE一半 📋 知识总结表 核心概念 方法/模型 压轴注意事项 二次全等 先证一对全等得条件再证第二对 找中间过渡的边或角 等腰等边 等边对等角、三线合一 分类讨论腰与底 角平分线 向两边作垂线构造全等 性质判定互逆 垂直平分线 线上点到两端点等距 常连两端点 旋转折叠 变换前后对应部分全等 抓旋转角与折痕 倍长中线 延长中线一倍造全等 转移边到同一三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的判定与性质综合（第1-5题） · 先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件 · 压轴常需二次全等，注意过渡边和过渡角 · SAS中角必须是两边夹角，避免SSA · 证明目标边(角)所在的两个三角形全等 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，点在边上，，点，在上，．若的面积为20，则阴影部分的面积为（  ） A．15 B．10 C．12.5 D．5 2．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，中，，M、N分别为上动点，且，连接，当最小时，________． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是__________． 4．（26-27八年级上·广西防城港·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交AF于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的有_________．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）[问题情境] 在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成图形之间的关系，如图①，， [猜想探究] （1）“勤奋小组”的同学把这两张纸片按如图②的方式摆放，点A与点D重合，连接和．他们发现和之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是 ； [类比验证) （2）“创新小组”的同学在“勤奋小组”的启发下，把这两张纸片按如图③的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接和，他们发现了、之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由； （3）请你利用和纸片进行拼摆，将拼摆出的图形画在图④中(要求不得与图②，图③相同)，并根据图形写出一条正确的数学结论． 【考点2】等腰三角形与等边三角形（第6-24题） · 等边对等角与等角对等边互用 · 作底边上的高，用三线合一 · 已知角求内率先分类讨论顶角底角 · 等边三角形常作旋转全等的载体 6．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，等腰中，，在右侧有一点D，过点D作分别交于点P、E，若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知，点 在射线上，点在射线上，、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知中，，，的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F（点E不与A、B重合），，过点F作于点H，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当时，．上述结论中始终正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，的平分线与边所夹的锐角为，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D． 11．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两边及一角分别相等的两个三角形全等 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．若，则 12．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______． 13．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 14．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）如图，已知为等腰直角三角形，，，点D为斜边的中点，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接，且，连接，且．则下列结论中正确的序号为______． ①；②；③；④阴影部分面积 15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的面积为5，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角，连接．则的面积等于_____． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，有两个边长为5的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积为______． 17．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交于点F，G，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是___________． 18．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为等边三角形，点在上，点在上，连接,相交于点，且，，则线段的长为________． 19．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）综合与探究 如图，是等边三角形，点、分别是、上的动点，连接、交于点． (1)【特例感知】当、分别为线段、的中点时，如图①，请直接写出_______； (2)【一般探究】当、在线段、上运动时，且满足，如图②，请求出的度数； (3)【拓展提升】当、运动到线段、的延长线时，且满足，如图③，与所在的直线相交于点，过点作于，连接、，请探究与的数量关系，并证明你的结论． 20．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）已知为等边三角形，为线段中点． (1)如图1，连接，为角平分线，交线段于点，求的度数． (2)如图2，点为线段上一点，以为边作等边三角形，连接交的延长线于点，证明：． (3)如图3，连接，点为线段上一点，满足，连接，，平分且交线段于点，点与点分别为线段，上的动点，且满足，当取最小值时，直接写出的度数． 21．（2025·贵州·模拟预测）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在等腰直角中，，，点是直线上一点，点是直线上一点，． (1)【问题解决】当平分时，则 ； (2)【问题探究】当点E是线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当，时，求的长长． 22．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）（1）问题背景：如图1，已知和为等边三角形，求证：． （2）尝试应用：如图2，已知为等边三角形，点是外一点，且，求线段、、的数量关系． （3）拓展创新：如图3，点是等边外一点，若，，，直接写出线段的长______． 23．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，点． (1)如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； (2)如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； (3)如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，等边中，，P为边上一点，Q为直线上一点，连接，使得． (1)①如图1，探索与的数量关系并证明； ②如图1，求证：． (2)如图2，若将“等边”改为“等腰直角”，其他条件不变，求证：． (3)如图3，若继续将“等腰直角”改为“等腰”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由． 【考点3】角平分线与线段垂直平分线（第25-33题） · 角平分线向两边作双垂线 · 垂直平分线连两端点得等腰 · 性质与判定双向使用 · 结合尺规作图保留痕迹 25．（2026·北京西城·一模）如图，在中，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点（点与点不重合），连接交于点，则的大小为（   ） A． B．65° C． D． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 27．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，为锐角三角形，分别以和为边作等边三角形和等边三角形，连接和并延长交于点，有以下结论：①；②；③平分．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 29．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有：_____． ①平分； ②：③：④； ⑤． 30．（25-26八年级下·四川雅安·期中）如图，已知中，，分别作边的垂直平分线交于点P，分别交于点E和点F．则以下各说法中：①，②，③点P到点B和点C的距离相等，④．错误的说法是______________．(填序号)     31．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是______． 32．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． (1)的度数为_____； (2)写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 33．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，，是的平分线． (1)如图2，把三角板的角的顶点落在的任意一点P上，并使三角板的斜边与垂直，垂足为E，一条直角边与相交于点F．求证：； (2)如图3，把三角板绕点P旋转，三角板的斜边与相交于点E，一条直角边与相交于点F．与相等吗？请证明你的结论． 【考点4】全等三角形中的旋转与折叠（第34-36题） · 旋转前后对应边对应角相等 · 折痕是对应点连线的垂直平分线 · 找旋转中心与旋转角 · 折叠问题抓重合部分全等 34．（2025·辽宁营口·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，D为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转至．连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，将沿折叠至．射线与射线交于点．若，求的面积； 【拓展应用】 （3）如图3，，连接．为线段上一点，作点关于直线的对称点，点绕顺时针旋转至点，连接，．当时，求的长度． 35．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段，连接交射线于点，连接、． 填空： （1）①线段、的数量关系为 　　． ②线段、的位置关系为 　　． 推广： （2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、．请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 应用： （3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，当时，请直接写出的长． 36．（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，在中，且，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点D为边的中点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接，连接交于点F．若时，求的长． (2)当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，再将线段绕着点C顺时针方向旋转得到线段，连接．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，．作点A关于直线的对称点，点M是边的中点，连接，若，当的长度最大时，直接写出的长度． 【考点5】最短路径与勾股定理综合（第37-39题） · 作对称点把折线路径拉直 · 两点之间线段最短 · 直角三角形用勾股求线段 · 含30°直角三角形三边比为1::2 37．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 38．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 39．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，D是等边外一点，，，则的最大值是____，此时的面积为_____． 【考点6】全等三角形压轴综合（第40-45题） · 遇中线倍长一倍构造全等 · 过端点作垂线构造直角全等 · 动点问题用时间表示线段列方程 · 综合题先证全等再用等腰、勾股 40．（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 41．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是的内心，连、、，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    43．（24-25八年级上·江苏常州·期中）【阅读教材】苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 (1)如图1，在中，若且，则_____； (2)如图2，在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长 44．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 45．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，是等边三角形，点在边上，于点，以为边在右侧作等边，交于点． (1)求证：； (2)求证：点F是的中点． 💯 课后巩固 复习建议 · 判定过关：五种方法选准，二次全等思路要清晰 · 等腰过关：等边对等角与三线合一，分类讨论要全 · 平分线过关：角平分线与垂直平分线性质判定互逆 · 变换过关：旋转折叠抓不变量，最短路径会作对称 · 压轴过关：倍长中线、作垂线等辅助线多画多练 【作业1】．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【作业2】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【作业4】．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交于点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，按下列步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点两弧相交于两点，和交于点；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，且和交于点，连接并延长至点，使，连接．给出下列结论，①；②且；③垂直平分；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【作业6】．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【作业7】．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有_____________ 【作业8】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图， 在中，，，平分， P，Q分别为边上一点， 且， 若当的最小值为6时， 则的长为___________________． 【作业9】．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，，平分交于点D，过点D作交于点E，P是上的动点，Q是上的动点，则的最小值为______． 【作业10】．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，角平分线相交于G，，若，，则m，n的关系式为：______．    【作业11】．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为_____． 【作业12】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）问题提出：在中，，，求边上的中线的取值范围． 思维点拨：延长中线至等长，构造全等三角形，把、、集中在中，利用三边关系，可得的取值范围． 问题解决1：在图1中找出与的数量关系并证明； 问题解决2：的取值范围是_____，和的位置关系是_____． （2）问题拓展：如图2，是的中线，，，，探究线段与的数量关系并加以证明． 【作业13】．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图①，且，，，点E为上一点，将沿直线翻折，使点B落在边上，记作点F． (1)当，时， ． (2)当时，如果再将图①中的沿直线向右翻折，使点A落在射线上，记作点G，当线段时，请根据题意画出图形，并求出m的值． (3)在（2）的条件下，连接，再将沿直线翻折，得到，直线交射线于点H，若的面积为a，请直接写出的长(用含有a的代数式表示)． 【作业14】．（24-25八年级上·河南漯河·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【作业15】．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）等腰中，． (1)如图1，D，E是上两动点，且，若． ①求证：． ②当时，求的长； (2)如图2，点D是等腰斜边上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰，当时，求的长． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $