12.2 专题特训五 构造全等三角形的常用方法-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

第12章全等三角形 专题特训五， 构造全等三角形的常用方法 类型一 角平分线十垂直构造全等三角形 基本模型 模型特征 AD平分∠BAC,AD⊥CD,此时延长CD交AB于点 E,可得△ADC≌△ADE. B 1.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD,垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C (第1题) 类型二倍长中线构造全等三角形 基本模型 模型特征 1.“倍长中线法”是指将三角形的中线延长一倍，以便 构造全等三角形 2.当题目中出现中点或中线时，可考虑利用该方法 解题. 2.★如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC,∠ACB=∠ABC.求证：CD=2CE. E B (第2题) 3.如图，在△ABC和△A'BC中，AM、AM'分别是边BC、B'C上的中线，AB=AB',AC=A'C', AM=AM'.求证：△ABC≌△A'B'C'. B'M' (第3题) 53 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 类型三截长补短构造全等三角形 基本模型 模型特征 1.“截长”是指在长线段中截取一段等于短线段；“补 短”是指将短线段延长，使延长后的线段等于长线段 2.两种辅助线的作法都是为了得到三角形全等，然后 利用全等得到线段的关系或角的关系。 4.一题多解如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P为AD上任意一点.求证：AB一 AC>PB-PC. B D (第4题) 5.如图，ABCD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上.求证：BC=AB+CD 6 (第5题) 6.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD平分∠ABC,交∠ACB的平分线CE于点O.试判断BE、 CD、BC之间的数量关系，并说明理由. (第6题) 54 “答案与解析”见P23知，∠A=∠CDA=∠B十∠BCD.∴.∠A>∠B,此时 △ABC和△DEF不全等.∴.当∠B、∠E都是锐角时， ∠B满足∠B≥∠A,就可以使△ABC≌△DEF. C( B G D E H D B(E ① ② (第9题) 专题特训四全等三角形的常考模型 1.D:AD=CF,∴.AD+CD=CF+CD,即AC= DF.又：'AB=DE,添加AC=DF,不能判定△ABC≌ △DEF,故A选项不符合题意；添加∠B=∠E,不能判定 △ABC≌△DEF,故B选项不符合题意；添加∠ACB= ∠DFE,不能判定△ABC≌△DEF,故C选项不符合题 意；添加∠A=∠FDE,根据“SAS”能判定△ABC≌ △DEF,故D选项符合题意. 2.①②③④⑤⑥在△ABP和△ACP中，：AB=AC, PB=PC,AP=AP,∴.△ABP≌△ACP(SSS). ∴.∠BAP=∠CAP.又：AB=AC,AE=AE, ∴.△ABE≌△ACE(SAS.易证△PBE≌△PCE, △PBD≌△PCD,△ABD≌△ACD,△EBD≌△ECD,可 得BE=CE,∠ADB=∠ADC=90°，∠BEA=∠CEA, ∠PBC=∠PCB,∴.AD⊥BC,EA平分∠BEC SaAm=Sa十Sam=号BC·AD十受BC· ED=号BC·(AD+ED)=号BC·AE.综上所述，正确 的结论是①②③④⑤⑥. 3.(1)BD=CE,BD⊥CE.如图①，延长BD,交CE于点 AE-AD. F.在△EAC和△DAB中 ∠EAC=∠DAB,∴.△EAC≌ AC=AB, △DAB(SAS).∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE. :∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，∴.∠ABD+ ∠AEC=90°..∠BFE=180°-90°=90°，即EC⊥ BD.∴.BD=CE,BD⊥CE.(2)BD=CE,BD⊥CE.理 由：如图②，延长BD,交CE于点F.∠BAC= ∠BAD+∠CAD=90°，∠DAE=∠CAD+∠EAC=90°， ∴.∠BAD=∠EAC.在△EAC和△DAB中， (AE=AD, ∠EAC=∠DAB,.△EAC≌△DAB(SAS.∴.BD= LAC=AB, CE,∠ABD=∠ACE.:'∠ABC+∠ACB=180°-90°= 90°，∴.∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+ ∠ACE=90°.∴.∠BFC=90°，即EC⊥BD.∴.BD=CE, BD⊥CE. (第3题) 4.(1)当∠a十∠BCA=180°时，EF=BE-AF.理由： :∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠a, ∠BCA=180°-∠a,.∴.∠CBE+∠BCE=∠BCA. :∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴.∠CBE=∠ACF.在 I∠BEC=∠CFA, △BCE和△CAF中，{∠CBE=∠ACF,∴.△BCE≌ CB=AC, △CAF(AAS).∴.BE=CF,CE=AF.∴.EF=CF- CE=BE-AF.(2)EF=BE+AF.理由：：∠BEC= ∠CFA=∠BCA,∠BEC+∠BCE+∠EBC=18O°， ∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∴.∠EBC=∠ACF.在 I∠BEC=∠CFA, △BEC和△CFA中，{∠CBE=∠ACF,∴.△BEC≌ CB=AC, △CFA(AAS).∴.BE=CF,CE=AF..EF=CE+ CF=AF+BE. 5.如图，延长AB至点E,使得BE=DN,连结CE :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴.∠CBE=∠D.在△CBE和△CDN中， CB=CD, ∠CBE=∠D,∴.△CBE≌△CDN(SAS)..CE=CN, BE=DN, ∠BCE=∠DCN.∠BCD=150°，∠MCN=75°， ,∴.∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB十∠DCN= ∠BCD-∠MCN=150°-75°=75°.∴.∠MCE= MC=MC, ∠MCN.在△ECM和△NCM中， ∠MCE=∠MCN, CE=CN, ∴.△ECM≌△NCM(SAS).∴.ME=MN.又.ME= BM+BE=BM+DN..'MN-BM=DN. M B D B-----C (第5题) 专题特训五构造全等三角形的常用方法 1.如图，延长AD,交BC于点H.:BD⊥AD,.易得 ∠BDA=∠BDH=90°.BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠HBD.在△BDA和△BDH中， I∠ABD=∠HBD, BD-BD, ∴.△BDA≌△BDH(ASA).∴.∠2= ∠BDA=∠BDH, ∠BHA.:∠BHA=∠1+∠C,∴.∠2=∠1+∠C. A (第1题) 2 思路导引 △BFE≌△ACE ∠EBF=∠A ∠ABC=∠ACB 倍长中线 三角形外角的性质 CF=2CE ∠CBD=∠CBF CD-2CE CF-CD △DBC≌△FBC 如图，延长CE至点F,使EF=CE,连结FB,则CF= 2CE.CE是△ABC的中线，∴.AE=BE.在△ACE和 EC=EF, △BFE中，{∠AEC=∠BEF,∴.△ACE≌△BFE AE=BE, (SAS).∴.∠EBF=∠A,AC=BF.:'∠CBF=∠EBF+ ∠ABC,∠ABC=∠ACB,.∠CBF=∠A+∠ACB. ∠CBD=∠A+∠ACB,∴.∠CBD=∠CBF.CB是 △ADC的中线，∴.AB=BD.又AB=AC,∴.BF= DB=FB, BD.在△DBC和△FBC中， ∠DBC=∠FBC, BC=BC, ∴.△DBC≌△FBC(SAS)..∴.DC=CF.∴.CD=2CE. E,B D (第2题) 方法归纳 运用“倍长中线法”解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中线段或角的位置相对 比较分散，而三角形又给出了中线，我们可以倍长这条 中线，使得分散的条件在图形中能够相对集中，再运用 其中的线段、角之间隐含的数量关系解决问题 3.如图，分别延长AM和A'M'到点E和E,使ME= AM、ME=A'M',连结BE、B'E.AM、A'M分别是边 BC、B'C'上的中线，∴.BM=CM,B'M=C'M.在△AMC (AM=EM, 和△EMB中， ∠AMC=∠EMB,,∴.△AMC≌△EMB CM=BM. (SAS).∴.BE=AC,∠MAC=∠E.同理得，△A'M'C'≌ △E'MB',.B'E'=-A'C',∠MA'C'=∠E.:AC= A'C',∴.BE=B'E.AE=2AM,A'E=2A'M,且 AM=A'M',∴.AE=A'E.在△ABE和△A'B'E中， AE=AE', BE=B'E',∴.△ABE≌△A'B'E'(SSS)..∠BAE= AB=A'B′， ∠B'A'E,∠E=∠E'.∴.∠MAC=∠MA'C ∴.∠BAM+∠MAC=∠B'A'M+∠MA'C',即 ∠BAC=∠B'A'C.在△ABC和△A'B'C'中， (AB=A'B', ∠BAC=∠B'A'C',∴.△ABC≌△A'B'C'(SAS). AC=A'C', E (第3题) 4.解法一：如图①，延长AC至点M,使AM=AB,连结 AB=AM, PM.在△ABP和△AMP中，∠1=∠2，.△ABP≌ AP=AP, △AMP(SAS).∴.PB=PM.在△PCM中，根据三角形的 三边关系，得CM>PM-PC,∴.AM-AC>PB-PC. ∴.AB一AC>PB一PC.解法二：如图②，在AB上取一 点E,使AE=AC,连结PE.在△AEP和△ACP中， AE=AC, ∠1=∠2，.△AEP≌△ACP(SAS).∴.PE=PC. AP=AP, AE=AC,∴.BE=AB-AE=AB-AC.在△PBE中， 根据三角形的三边关系，得BE>PB一PE,∴.AB一AC> PB-PC. E M D ① ⑨ (第4题) 5.如图，延长CD至点F,使CF=BC,连结EF.CE平 分∠BCD,.∠BCE=∠FCE.在△BCE和△FCE中， (BC=FC, ∠BCE=∠FCE,∴.△BCE≌△FCE(SAS)..BE= CE-CE, FE,∠BEC=∠FEC.:ABCD,.∠ABC+∠BCD= 180°，∠A=∠EDF.:'BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, :∠EBC=∠ABC,∠BCB=∠BCD.·∠EBC+ ∠ECB=3(∠ABC+∠BCD)=90.·∠BEC= ∠FEC=90°.∴.点B、E、F共线.在△ABE和△DFE中， ∠A=∠EDF, ∠AEB=∠DEF,∴.△ABE≌△DFE(AAS).∴.AB= BE=FE, DF..BC=CF=DF+CD=AB+CD D E B C (第5题) 6.BC=BE十CD,理由：如图，在BC上截取BF=BE,连 结OF.BD平分∠ABC,.∠EBO=∠FBO.在△EBO BE=BF, 和△FBO中，∠EBO=∠FBO,.△EBO≌△FBO BO=BO, (SAS).∴.∠EOB=∠FOB.:∠A=60°，BD、CE分别平 分∠ABC和∠ACB,∴.∠BOC=180°-∠OBC ∠0CB=180-号∠ABC-号∠ACB=180-2180- ∠A)=120°.∴.∠D0C=∠EOB=180°-∠B0C= 60°..∠FOB=60°.∴.∠FOC=∠DOC=60°.：CE平 分∠DCB,∴.∠DCO=∠FCO.在△DCO和△FCO中， I∠DCO=∠FCO, OC=0C, .∴.△DCO≌△FCO(ASA)..CD= ∠DOC=∠FOC, CF.'.BC=BE+CF=BE+CD A (第6题) 12.3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.CAB∥CD,∴.∠DFE=∠BAE=48°.CF= 2 EF,∴.∠C=∠E.∠C+∠E=∠DFE,.∠E= ∠DFE=2 2.BAD是△ABC的中线，AB=AC,∠CAD=20°， ·∠CAB=2∠CAD=40.∠B=∠ACB=2(180- ∠CAB)=70°.：'CE是△ABC的角平分线，∴.∠ACE= 2∠ACB=35. 1 3.40°或60°如图①.∠A=80°，AD=AC, ∴.∠ADC=∠ACD=50°.∴.∠ABC=∠ADC ∠BD=50°-10°=40°.如图②.：∠A=80°，AD=AC, ∴.∠ADC=∠ACD=50°..∠ABC=∠ADC+ ∠BCD=50°+10°=60°.综上所述，∠ABC=40或60° D D ① ② (第3题) 易错警示 考虑问题不全导致漏解 本题没有给出图形，要对点B的位置进行讨论，容 易只考虑一种情况造成漏解 思路导引 △ABC是等 AB-CB 边三角形 ∠ABC-60 △ABE≌△CBF △BEF是等 BE=BF 边三角形 ∠EBF-60° ∠BAE=∠BCF=30° ∠ACF-90° AE-CF (1):△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABE+ ∠EBC=60°.△BEF是等边三角形，∴.EB=BF, ∠CBF十∠EBC=60°.，∴.∠ABE=∠CBF.在△ABE和 (AB=CB, △CBF中，∠ABE=∠CBF,∴.△ABE≌△CBF(SAS). BE=BF, ∴.AE=CF.(2)在等边三角形ABC中，AD是 ∠BAC的平分线，.∠BAE=30°，∠ACB=60°. :△ABE≌△CBF,∴.∠BCF=∠BAE=30° ∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90° 5.A由题意，设等腰三角形的两个角的度数分别是x和 2x一20°.①当顶角的度数是x,底角的度数是2x一20时， x+2(2x-20)=180°，解得x=44°.∴.顶角的度数是