12.2 专题特训四 全等三角形的常考模型-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

知，∠A=∠CDA=∠B十∠BCD.∴.∠A>∠B,此时 △ABC和△DEF不全等.∴.当∠B、∠E都是锐角时， ∠B满足∠B≥∠A,就可以使△ABC≌△DEF. C( B G D E H D B(E ① ② (第9题) 专题特训四全等三角形的常考模型 1.D:AD=CF,∴.AD+CD=CF+CD,即AC= DF.又：'AB=DE,添加AC=DF,不能判定△ABC≌ △DEF,故A选项不符合题意；添加∠B=∠E,不能判定 △ABC≌△DEF,故B选项不符合题意；添加∠ACB= ∠DFE,不能判定△ABC≌△DEF,故C选项不符合题 意；添加∠A=∠FDE,根据“SAS”能判定△ABC≌ △DEF,故D选项符合题意. 2.①②③④⑤⑥在△ABP和△ACP中，：AB=AC, PB=PC,AP=AP,∴.△ABP≌△ACP(SSS). ∴.∠BAP=∠CAP.又：AB=AC,AE=AE, ∴.△ABE≌△ACE(SAS.易证△PBE≌△PCE, △PBD≌△PCD,△ABD≌△ACD,△EBD≌△ECD,可 得BE=CE,∠ADB=∠ADC=90°，∠BEA=∠CEA, ∠PBC=∠PCB,∴.AD⊥BC,EA平分∠BEC SaAm=Sa十Sam=号BC·AD十受BC· ED=号BC·(AD+ED)=号BC·AE.综上所述，正确 的结论是①②③④⑤⑥. 3.(1)BD=CE,BD⊥CE.如图①，延长BD,交CE于点 AE-AD. F.在△EAC和△DAB中 ∠EAC=∠DAB,∴.△EAC≌ AC=AB, △DAB(SAS).∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE. :∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，∴.∠ABD+ ∠AEC=90°..∠BFE=180°-90°=90°，即EC⊥ BD.∴.BD=CE,BD⊥CE.(2)BD=CE,BD⊥CE.理 由：如图②，延长BD,交CE于点F.∠BAC= ∠BAD+∠CAD=90°，∠DAE=∠CAD+∠EAC=90°， ∴.∠BAD=∠EAC.在△EAC和△DAB中， (AE=AD, ∠EAC=∠DAB,.△EAC≌△DAB(SAS.∴.BD= LAC=AB, CE,∠ABD=∠ACE.:'∠ABC+∠ACB=180°-90°= 90°，∴.∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+ ∠ACE=90°.∴.∠BFC=90°，即EC⊥BD.∴.BD=CE, BD⊥CE. (第3题) 4.(1)当∠a十∠BCA=180°时，EF=BE-AF.理由： :∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠a, ∠BCA=180°-∠a,.∴.∠CBE+∠BCE=∠BCA. :∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴.∠CBE=∠ACF.在 I∠BEC=∠CFA, △BCE和△CAF中，{∠CBE=∠ACF,∴.△BCE≌ CB=AC, △CAF(AAS).∴.BE=CF,CE=AF.∴.EF=CF- CE=BE-AF.(2)EF=BE+AF.理由：：∠BEC= ∠CFA=∠BCA,∠BEC+∠BCE+∠EBC=18O°， ∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∴.∠EBC=∠ACF.在 I∠BEC=∠CFA, △BEC和△CFA中，{∠CBE=∠ACF,∴.△BEC≌ CB=AC, △CFA(AAS).∴.BE=CF,CE=AF..EF=CE+ CF=AF+BE. 5.如图，延长AB至点E,使得BE=DN,连结CE :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴.∠CBE=∠D.在△CBE和△CDN中， CB=CD, ∠CBE=∠D,∴.△CBE≌△CDN(SAS)..CE=CN, BE=DN, ∠BCE=∠DCN.∠BCD=150°，∠MCN=75°， ,∴.∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB十∠DCN= ∠BCD-∠MCN=150°-75°=75°.∴.∠MCE= MC=MC, ∠MCN.在△ECM和△NCM中， ∠MCE=∠MCN, CE=CN, ∴.△ECM≌△NCM(SAS).∴.ME=MN.又.ME= BM+BE=BM+DN..'MN-BM=DN. M B D B-----C (第5题) 专题特训五构造全等三角形的常用方法 1.如图，延长AD,交BC于点H.:BD⊥AD,.易得第12章全等三角形 专题特训四 全等三角形的常考模型 类型一 平移模型 基本模型 模型特征 然生A公 将一个三角形沿某条直线平移后，与另一个三角形完全 重合；两个三角形有一组边共线，其余两组边分别平行. 1.如图，AB=DE,AD=CF,添加下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是 ( ) A.AC=DF B.∠B=∠E C.∠ACB=∠DFE D.∠A=∠FDE (第1题) 类型二轴对称模型 基本模型 模型特征 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重 合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要 共边（相等边） 共顶点（相等角） 注意其隐含条件，即公共边或公共角相等， 2.如图，AB=AC,PB=PC,AP交BC于点D,点E在线段AD的延长线上.有 下列结论：①BE=CE;②AD⊥BC;③EA平分∠BEC;④∠PBC=∠PCB;E ⑤图中共有6对全等三角形；⑥S四边形ABc= 2BC·AE.其中，正确的结论是 (第2题) (填序号). 类型三旋转模型 基本模型 模型特征 此模型可看成是由三角形绕着某一点（常为公共顶点） 共顶点 旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无 重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角.注：遇 到共顶点，等线段，考虑用旋转 不共顶点 3.在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. (1)当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想. (2)将图①中的△ADE绕，点A顺时针旋转a(0°<α<90)，如图②，线段BD、CE有怎样的数量 关系和位置关系？请说明理由 (第3题) 51 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 类型四一线三等角模型 基本模型 模型特征 “一线三等角”是指在一条直线上，有三个相等的角（可 以是锐角、直角或钝角)，通过“三等角”信息得到一组相 同侧型 等的角，另找一条边相等，即可证全等 异侧型 4. 考向探究题CD经过∠BCA的顶，点C,CA=CB,E、F是CD上的两点， (1)如图①，CD在∠BCA的内部，∠BEC=∠CFA=∠a,0°<∠BCA<180°，当 ∠α与∠BCA满足什么条件时，可以使EF=BE一AF？请说明理由， (2)如图②，CD在∠BCA的外部，∠BEC=∠CFA=∠BCA,请猜想线段EF、BE、AF的数量 关系，并说明理由. ② (第4题) 类型五半角模型 基本模型 模型特征 当一个角包含着这个角的半角时，常将半角两边的 三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而 进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等 5.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BCD=150°，CB=CD,M、N分别为AB、AD上 的两个动点，且∠MCN=75°.求证：MN-BM=DN. (第5题) 52 >“答案与解析”见P23