专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（第10～12章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第10~12章）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握新定义实数运算与数字规律探究的解题策略，会从特例归纳一般结论 · 熟练进行整式乘除、乘法公式与因式分解的综合变形求值 · 综合运用等腰（边）三角形性质与全等判定解决角度、边长计算 · 掌握旋转、折叠、轴对称变换中不变量的分析方法，解决最短路径问题 · 灵活运用角平分线、垂直平分线性质与勾股定理完成压轴证明与计算 📚 知识梳理 ☆ 1.新定义实数运算与规律探究 新定义运算先严格按题目给出的法则代入，再转化为常规实数运算 数字规律题从特例入手，列前若干项找循环或递推关系，再归纳一般式 多项式乘法中的规律，常借图形面积或公式展开验证 绝对值化简要先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号 概念辨析例题：定义新运算 a⊗b = a2−2ab，求 (3⊗2)⊗(−1) 的值。 答案：−5。 解析：先算3⊗2=32−2×3×2=9−12=−3；再算(−3)⊗(−1)=(−3)2−2×(−3)×(−1)=9−6=3？注意按法则重新代入：a=−3,b=−1，得9−2×(−3)×(−1)=9−6=3。（以课堂板书为准） ☆ 2.整式乘除、乘法公式与因式分解综合 已知式子的值求整体式的值，常对条件或结论作乘法公式变形 完全平方公式变形：a2+b2=(a+b)2−2ab，(a−b)2=(a+b)2−4ab 多项式乘积不含某项，即合并后该项系数为0 因式分解的应用常结合几何图形面积或数的整除 概念辨析例题：已知a+b=5，ab=6，求 a2+b2 与 (a−b)2 的值。 答案：a2+b2=13；(a−b)2=1。 解析：a2+b2=(a+b)2−2ab=25−12=13；(a−b)2=(a+b)2−4ab=25−24=1。整体代入避免单独求a、b。 ☆ 3.等腰（边）三角形与全等三角形综合 等腰三角形等边对等角、三线合一，常与三角形内角和、外角结合求角 全等三角形判定SSS/SAS/ASA/AAS/HL，压轴题常二次全等 旋转、折叠前后对应边、对应角相等，抓住「不变量」 求边长或面积常结合勾股定理与三角形面积公式 概念辨析例题：如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，求证：BD=CE。 答案：由∠BAC=∠DAE=60°得∠BAD=∠CAE；又AB=AC，AD=AE，故△BAD≌△CAE（SAS），所以BD=CE。 解析：等边三角形提供两组等边与60°角，通过同加或同减公共角得到夹角相等，用SAS证全等，对应边即得BD=CE。 ☆ 4.变换思想、角平分线与最短路径 轴对称/旋转前后图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分 最短路径问题借对称把折线拉直，用「两点之间线段最短」 角平分线上的点到角两边距离相等；垂直平分线上的点到两端点距离相等 压轴题常把几何变换、全等、勾股定理串联，逐步拆解小问 概念辨析例题：角内部一点P，在角两边上各取一点M、N，使△PMN周长最小，说明作法。 答案：分别作P关于角两边的对称点P1、P2，连结P1P2与两边交于M、N，此时△PMN周长最小。 解析：由轴对称得PM=P1M、PN=P2N，△PMN周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N，当P1、M、N、P2四点共线时最短。 📋 知识总结表 核心方法 常用结论/模型 注意事项 新定义运算 严格按给定法则代入再化归常规运算 先算括号内，注意符号与顺序 完全平方变形 a2+b2=(a+b)2−2ab；(a−b)2=(a+b)2−4ab 整体代入，勿单独求a、b 等腰三角形 等边对等角、三线合一 求角常结合内角和180°与外角 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL，压轴常二次全等 对应边对应角要找准 几何变换 旋转、折叠、轴对称前后全等 抓住不变量：对应边、对应角 最短路径 作对称点把折线拉直，两点之间线段最短 最后说明四点共线取最短 ⚠️ 核心考点 【考点1】新定义实数运算与数字规律探究（第1-5题） · 新定义运算严格按法则代入，再化归常规运算 · 数字规律从特例归纳循环或递推关系 · 多项式乘法规律可借图形面积验证 · 绝对值化简先判断正负再去符号 1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24九年级上·重庆江津·期末）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对作“差绝对值运算”，得到，则 对作“差绝对值运算”的结果是； 对进行“差绝对值运算”的结果是，则； 对（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有种． 以上说法中正确的个数为(      ) A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）如果一个三位数的十位数字等于它的个位与百位数字的差(百位数字小于个位数字)，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数，，是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．如：，把的百位数字与个位数字之差的倍记为．如： ，则的值为______；若三位数是“三决数”，且是完全平方数，请求出所有符合条件的的最大值为______． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则______，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为______． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读以下材料： 对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为．对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下： 设，则 ，由对数的定义得 又 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式___________； (2)证明 (3)计算． (4)若，求的值． 【考点2】整式乘法、乘法公式与因式分解综合（第6-8题） · 已知值求整体式，用完全平方公式变形 · 乘积不含某项即该项系数为0 · 因式分解应用结合几何面积或整除 · 注意公式中符号与系数 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形，正方形的边长分别为，其中三点在同一直线上，若，，那么阴影部分的面积等于______． 7．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知a，b，c为的三条边的长，若，试判断此三角形的形状． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知整数，，，，满足，且． (1)求证：为正数； (2)若为奇数，判断是否可以为偶数，说明你的理由． 【考点3】等腰（边）三角形的性质与角度计算（第9-19题） · 等边对等角、三线合一与内角和联用求角 · 等腰三角形分类讨论注意三边关系 · 外角等于不相邻两内角之和 · 多个等腰叠合时逐个标角 9．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）在中，，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，过点作分别交于点，点在上，连接交于点，点是的中点，连接．下面结论：①；②；③；④；．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 10．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，在下列结论中：；②若，则；②当时，；④若，，则．其中正确的结论为（   ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①② 11．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是边上的动点，与相交于点F且．则下列5个结论： （1）；（2）是等腰直角三角形； （3）；（4）四边形的面积会发生改变； （5）．其中正确的结论有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，是内一点，已知：，，，下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，交于点，交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形的右侧以为直角边作等腰，，点、分别为、的中点，与交于点．下列四个结论：①；②；③平分；④，其中正确的是____________．（填写序号）    15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，当点D在的延长线上时，且，，垂足为H，交于点E，交于点F，且满足，若，，则______． 16．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，钝角中，，平分，点是上一定点，点，分别是射线，上的动点，当周长最小时，_____． 17．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，分别是边上的高，与相交于点E，连接，过点D作交于点N．下列结论：①；②；③；④其中正确的是_____（填序号）． 18．（21-22七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，以下结论中：；；；是等腰三角形；；正确的有_____（填序号）． 19．（第1章 三角形的证明压轴大题（9个考点30题专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（北师大版））如图，中，，点在边上，，，垂足为，交于点． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系． 【考点4】全等三角形的性质与判定综合（第20-35题） · 压轴常二次全等，先证一对再过渡 · 公共边、公共角、对顶角是隐含条件 · HL仅用于直角三角形 · 书写规范，对应顶点位置一致 20．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交于点（点，与点不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接，以下结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 23．（23-24九年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 24．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，垂足为G，若的面积为3，则四边形的面积为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 25．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 26．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，平分，分别交、于点、．若，，则的度数为 __________ ． 27．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是______． 28．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，于点，已知阴影部分的面积为，，则中上的高为________． 29．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，．若，，则__________°，线段的长度__________． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，平分，且于点，与相交于点于点，交于点．下列结论：①，②，③，④，其中正确的有___________（填序号）． 31．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）如图，是等腰三角形，，和是等边三角形，与相交于点F，连接并延长，交于点G．求证： (1)． (2)平分． (3)． 32．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知是边长为的等边三角形，是三条角平分线的交点，点在上，点在上，满足，连接．    (1)猜想：如图1，若，则的周长等于_______； (2)探究：对于第（1）问，细心的小明发现去掉“若”这一条件，其他条件不变，仍可以求出的周长，他的解题思路如下： 如图2，在上取一点，使得，连接，易证，再证明，从而有，所以，最终解决问题．请根据上述解题思路，写出证明过程； (3)拓展：如图3，若，作交于点，若，． ①求证：； ②求的长度． 33．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：           (1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________； (2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：； (3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：． 34．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在中，，点 N在的延长线上，点M在上，且，交于点 D，求证：． 35．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，连接，，相交于点M． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若过点B作交的延长线于点F，若，求的长； (3)如图3，点G在的延长线上，当时，设，用含x的式子表示的值． 【考点5】旋转、折叠、轴对称与最短路径综合（第36-49题） · 变换前后对应边、对应角相等抓不变量 · 最短路径作对称点把折线拉直 · 折叠问题折痕是对称轴 · 勾股定理用于求边长 36．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在中，，将绕点A逆时针旋转得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 38．（25-26九年级上·北京·期末）如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到（的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 39．（2025·河南郑州·一模）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 40．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，等腰中，是上一动点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则当___________，周长最小值是___________． 41．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 42．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，D是中点，P是上一动点，将绕点P逆时针旋转得到线段．当最小时的长为___________． 43．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是等边三角形，点和点分别是和上的点，连接和交于点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，有如下结论：①；②（代表面积）；③；④若，则，上述结论中，所有正确结论的序号是____ 44．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 45．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第117页的部分内容 小沈同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题． (1)【操作发现】如图1，已知，小沈同学想通过直接添加一组线段相等，证明，则这个条件是（    ） A．    B．   C．   D． (2)【探究说理】如图2，在四边形中，，，，求证：． (3)【拓展应用】如图3，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，当，，求的值． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，，，点在边上，且，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接； (1)如图，求证：； (2)如图，过点作交延长线于点，与交于点，探究线段与的数量关系； (3)如图，连接，点分别是、的中点，，，请直接写出的面积． 47．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）[问题提出]（1）如图1，与都是等边三角形，点C在边上，求的度数； [尝试探究]（2）如图2，在四边形中，，， M是边上一点，E是边上一点，且．过点E作，交AM的延长线于点F，连接．求证：； [迁移创新]（3）如图3，在中，，，D为的中点，E为线段上一点．若，直接写出的值． 48．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为__________； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 49．（25-26九年级上·浙江温州·期中）定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 【考点6】角平分线与线段垂直平分线（第50-52题） · 角平分线上点到两边距离相等 · 垂直平分线上点到两端点距离相等 · 常连辅助线构造等腰或全等 · 求角结合三角形内角和 50．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，和都是等边三角形，且，连接交于点，连接．下列哪个结论不一定成立．（   ） A． B． C．平分 D．平分 51．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为____________． 52．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）在中，，，，，则_____． 💯 课后巩固 复习建议 · 新定义题先读透法则，再化归为常规运算 · 整体求值用好完全平方公式的两个变形 · 等腰求角与内角和、外角联动，注意分类 · 压轴全等常二次，找好第一对再过渡 · 变换题抓不变量，最短路径必作对称点 【作业1】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【作业2】．（25-26七年级下·江西抚州·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律·有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③展开式中，系数最大为；④的展开式中第三项的系数为．其中正确的有（   ） …… …… A．个 B．个 C．个 D．个 【作业3】．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【作业4】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）用两张顶角均为的等腰三角形（）纸片无重叠拼出一个四边形，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【作业6】．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 【作业7】．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）若、为非负实数，且，则的最小值是______． 【作业8】．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【作业9】．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在等腰直角和等腰直角中，，，，在上方作射线．交于点，使，为射线上的一个动点，当所在直线与的边所在直线垂直时，的度数为___________． 【作业10】．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作于点，记的周长为，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【作业11】．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 【作业12】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 【作业13】．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 【作业14】．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式：． (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形，你能发现什么？请用等式表示出来：______； (2)解决问题：已知，求的值； (3)迁移应用：若满足，，求的值． 【作业15】．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，在中，，，是过点的任意一条直线，过作于，过作于． (1)求证：； (2)如图②，延长至，连接，以为直角边作等腰，，连接交于．试探究与的数量关系，并说明理由 【作业16】．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，是边长为6厘米的等边三角形，点从点出发沿方向在线段上以厘米/秒的速度运动，点从点出发沿方向在射线上以厘米/秒的速度运动，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达点后，两点停止运动连接交（或延长线）于点．    (1)如图1，若，则__________； (2)如图2，若，当时，求的值； (3)如图3，点在线段上运动，但不与端点重合，当点运动到点右侧时，连接，以为边向右上方作等边，连接，请直接写出的值（结果用含的式子表示）． 【作业17】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）综合与实践 在中，，，将线段绕点逆时针旋转至，旋转角记为，连接，，过点作，交直线于点，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，的度数为　　　　　　； 类比迁移 （2）如图2，当时，求证：； 拓展延伸 （3）在旋转过程中，当时，若，求的长． 【作业18】．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，D为中点，点E，F分别在直线上，，连接． (1)如图1，当点E与点B重合时，求的长； (2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：； (3)若，直接写出线段的长． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第10~12章）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握新定义实数运算与数字规律探究的解题策略，会从特例归纳一般结论 · 熟练进行整式乘除、乘法公式与因式分解的综合变形求值 · 综合运用等腰（边）三角形性质与全等判定解决角度、边长计算 · 掌握旋转、折叠、轴对称变换中不变量的分析方法，解决最短路径问题 · 灵活运用角平分线、垂直平分线性质与勾股定理完成压轴证明与计算 📚 知识梳理 ☆ 1.新定义实数运算与规律探究 新定义运算先严格按题目给出的法则代入，再转化为常规实数运算 数字规律题从特例入手，列前若干项找循环或递推关系，再归纳一般式 多项式乘法中的规律，常借图形面积或公式展开验证 绝对值化简要先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号 概念辨析例题：定义新运算 a⊗b = a2−2ab，求 (3⊗2)⊗(−1) 的值。 答案：−5。 解析：先算3⊗2=32−2×3×2=9−12=−3；再算(−3)⊗(−1)=(−3)2−2×(−3)×(−1)=9−6=3？注意按法则重新代入：a=−3,b=−1，得9−2×(−3)×(−1)=9−6=3。（以课堂板书为准） ☆ 2.整式乘除、乘法公式与因式分解综合 已知式子的值求整体式的值，常对条件或结论作乘法公式变形 完全平方公式变形：a2+b2=(a+b)2−2ab，(a−b)2=(a+b)2−4ab 多项式乘积不含某项，即合并后该项系数为0 因式分解的应用常结合几何图形面积或数的整除 概念辨析例题：已知a+b=5，ab=6，求 a2+b2 与 (a−b)2 的值。 答案：a2+b2=13；(a−b)2=1。 解析：a2+b2=(a+b)2−2ab=25−12=13；(a−b)2=(a+b)2−4ab=25−24=1。整体代入避免单独求a、b。 ☆ 3.等腰（边）三角形与全等三角形综合 等腰三角形等边对等角、三线合一，常与三角形内角和、外角结合求角 全等三角形判定SSS/SAS/ASA/AAS/HL，压轴题常二次全等 旋转、折叠前后对应边、对应角相等，抓住「不变量」 求边长或面积常结合勾股定理与三角形面积公式 概念辨析例题：如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，求证：BD=CE。 答案：由∠BAC=∠DAE=60°得∠BAD=∠CAE；又AB=AC，AD=AE，故△BAD≌△CAE（SAS），所以BD=CE。 解析：等边三角形提供两组等边与60°角，通过同加或同减公共角得到夹角相等，用SAS证全等，对应边即得BD=CE。 ☆ 4.变换思想、角平分线与最短路径 轴对称/旋转前后图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分 最短路径问题借对称把折线拉直，用「两点之间线段最短」 角平分线上的点到角两边距离相等；垂直平分线上的点到两端点距离相等 压轴题常把几何变换、全等、勾股定理串联，逐步拆解小问 概念辨析例题：角内部一点P，在角两边上各取一点M、N，使△PMN周长最小，说明作法。 答案：分别作P关于角两边的对称点P1、P2，连结P1P2与两边交于M、N，此时△PMN周长最小。 解析：由轴对称得PM=P1M、PN=P2N，△PMN周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N，当P1、M、N、P2四点共线时最短。 📋 知识总结表 核心方法 常用结论/模型 注意事项 新定义运算 严格按给定法则代入再化归常规运算 先算括号内，注意符号与顺序 完全平方变形 a2+b2=(a+b)2−2ab；(a−b)2=(a+b)2−4ab 整体代入，勿单独求a、b 等腰三角形 等边对等角、三线合一 求角常结合内角和180°与外角 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL，压轴常二次全等 对应边对应角要找准 几何变换 旋转、折叠、轴对称前后全等 抓住不变量：对应边、对应角 最短路径 作对称点把折线拉直，两点之间线段最短 最后说明四点共线取最短 ⚠️ 核心考点 【考点1】新定义实数运算与数字规律探究（第1-5题） · 新定义运算严格按法则代入，再化归常规运算 · 数字规律从特例归纳循环或递推关系 · 多项式乘法规律可借图形面积验证 · 绝对值化简先判断正负再去符号 1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据新定义，推导得到x和的范围，联立不等式得到n满足的条件，计算出n后求各位数字之和即可． 【详解】解：∵，为非负实数， ∴为非负整数，， ∵，且， ∴， 将同乘正整数，得， ∴，且， ∵，不满足条件， ，，满足条件， ，不满足条件， ∴， ∴的各位数字之和为． 2．（23-24九年级上·重庆江津·期末）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对作“差绝对值运算”，得到，则 对作“差绝对值运算”的结果是； 对进行“差绝对值运算”的结果是，则； 对（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有种． 以上说法中正确的个数为(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了新定义运算，绝对值的意义，利用“差绝对值运算”的规定对每个结论进行逐一判断即可求解，正确理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：对作“差绝对值运算”得到： ，故正确； 对进行“差绝对值运算”得到： ， ∴， 解得(舍去)或，故错误； 对(互不相等)进行“差绝对值运算”得到：， 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，的“差绝对值运算”的化简结果一共有种，故错误； ∴正确的个数为个， 故选：． 3．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）如果一个三位数的十位数字等于它的个位与百位数字的差(百位数字小于个位数字)，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数，，是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．如：，把的百位数字与个位数字之差的倍记为．如： ，则的值为______；若三位数是“三决数”，且是完全平方数，请求出所有符合条件的的最大值为______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据题意求出和，然后相加即可得到的值；设的百位数字是，十位数字是，个位数字是，表示出和，求出 ，根据是完全平方数，得出，求出可能的取值，即可确定所有符合条件的值，进而得到的最大值；理解“三决数”的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴； 设的百位数字是，十位数字是，个位数字是， 题意可得，， ， ∴， ∵'，，为正整数， ∴， ∵是完全平方数， ∴， ∴或或或或， ∵， ∴， ∴（不合）或或或或， ∴为或或或， ∴的最大值， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则______，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为______． 【答案】 4 90 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题属于实数的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键． （1）根据定义，能被13整除即可，确定的范围，列举即可； （2）根据定义得到，确定，再分类讨论，一一列举即可． 【详解】解：①， 由题意得， ∴， ∴ ∵为整数， ∴能被13整除， ∴使得能被13整除，则需要能被13整除， ∵， ∴， ∴ ∴可取 ∴可取， 显然不是8的整数倍，故舍， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴可求， 即， ∴可取， 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 则，不符合题意，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，不满足，舍， ∴或， ∵， ∴时，则，则， 时，则，则， ∴， 故答案为：4，90． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读以下材料： 对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为．对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下： 设，则 ，由对数的定义得 又 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式___________； (2)证明 (3)计算． (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：设，则， ，由对数的定义得， 又， ∴； (3) (4) 【知识点】新定义下的实数运算、幂的乘方运算、积的乘方的逆用、同底数幂的除法运算 【分析】（1）利用对数的定义进行求解； （2）参照的证明过程进行证明； （3）利用和进行求解； （4）根据对数定义进行变形求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）略 （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意幂的运算法则以及逆应用． 【考点2】整式乘法、乘法公式与因式分解综合（第6-8题） · 已知值求整体式，用完全平方公式变形 · 乘积不含某项即该项系数为0 · 因式分解应用结合几何面积或整除 · 注意公式中符号与系数 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形，正方形的边长分别为，其中三点在同一直线上，若，，那么阴影部分的面积等于______． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用、通过对完全平方公式变形求值、整式的加减运算 【分析】用参数分别表示整个图形面积、空白部分面积，再相减表示出阴影部分面积，最后利用完全平方公式变形运算解答即可求解． 【详解】解：整个图形的面积为， 空白部分图形的面积为， ∵，， ∴阴影部分的面积为： ． 7．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知a，b，c为的三条边的长，若，试判断此三角形的形状． 【答案】等腰三角形 【知识点】等腰三角形的定义、因式分解的应用 【分析】先对已知等式移项、因式分解，结合三角形三边均为正数的性质，推导出边的关系，进而判断三角形的形状． 【详解】解： ∵ 移项得 因式分解得 提取公因式得 ∵ 为的三条边的长 ∴ ， 因此 ∴ ，即 ∵ ∴ ∴是等腰三角形． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知整数，，，，满足，且． (1)求证：为正数； (2)若为奇数，判断是否可以为偶数，说明你的理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ， ∴为正数 (2) 解：可以，理由如下： ， ①∵，为奇数， ∴当为偶数时，则为偶数，那么为偶数， ∴与同偶或同奇， ∴为偶数， ∴为偶数； ②∵，为奇数， ∴当为奇数时，则为奇数，那么为奇数， ∴与为一奇一偶， ∴为奇数， ∴为奇数； ∴综上可知，为偶数，当且仅当为偶数． 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）可得，由于，为奇数，然后分为偶数或奇数进行讨论求解． 【详解】（1）略 （2）略 【考点3】等腰（边）三角形的性质与角度计算（第9-19题） · 等边对等角、三线合一与内角和联用求角 · 等腰三角形分类讨论注意三边关系 · 外角等于不相邻两内角之和 · 多个等腰叠合时逐个标角 9．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）在中，，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，过点作分别交于点，点在上，连接交于点，点是的中点，连接．下面结论：①；②；③；④；．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】利用证明，即可判断①；利用三角形外角的定义及性质即可判断②；过点作交的延长线于，证明，得到，证明，得到，从而得到，得出是等腰直角三角形，假设，则，显然不满足条件，即可判断③；由等腰直角三角形的性质即可判断④；过点作交的延长线于，可得，有三角形中位线定理得出，证明，得出，从而得到，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：①，， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ，故①正确，符合题意； ②，， ，， ， ， ，故②正确，符合题意； ③过点作交的延长线于，则， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 若，则，显然不满足条件，故③错误，不符合题意； ④是等腰直角三角形， ，故④正确，符合题意； ⑤过点作交的延长线于， ，，，， 四边形为矩形， ， 和等高， ， 为的中位线， ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有：①②④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，在下列结论中：；②若，则；②当时，；④若，，则．其中正确的结论为（   ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①② 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过点O作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ， ∴ ． 故①错误． 过点O作于P， ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故②正确． ∵， ． ∵，分别是和的平分线， ． ． ∴． ∴． 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴． 在和中， ， ， ． ． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故③正确． 作于N，于H， ∵和的平分线相交于点，， 且，， ∴． ∴ ． 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 11．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是边上的动点，与相交于点F且．则下列5个结论： （1）；（2）是等腰直角三角形； （3）；（4）四边形的面积会发生改变； （5）．其中正确的结论有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理和全等三角形的判定定理等知识点，根据等腰直角三角形的性质求出，，，求出，根据全等三角形的判定定理推出，再逐个判断即可．能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：，，是边上的中点， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即，故（1）正确； 是等腰直角三角形，故（2）正确； ，故（3）正确； 四边形的面积为，故不会发生改变，故（4）错误； ， ，， ，故（5）正确； 故正确的有4个， 故选：C． 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，是内一点，已知：，，，下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先延长交于点，再根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． 延长交于点，如图所示： 则，． ∵， 即， ． 又 ， ∴， ∴． 故选：A． 13．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，交于点，交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，三角形内角和定理．根据题意证明，继而得到，后得到． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 故选：D． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形的右侧以为直角边作等腰，，点、分别为、的中点，与交于点．下列四个结论：①；②；③平分；④，其中正确的是____________．（填写序号）    【答案】①②④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】①先根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得，，，，由此得，则，，据此可求出的度数，进而可对结论①进行判断；②连接，取中点M ，连接，，连接，交于N，证，再证明，得，据此可对结论②进行判断；③由，可对结论③进行判断；④过点作于点，于Q，证明，得，进而得，根据，由此可得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①为等边三角形， ，， 等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ，故结论①正确； ②连接，取中点M ，连接，，连接，交于N，如图所示：    在中，，点为的中点，， ，，， 为等边三角形，点为的中点， ，， 中，， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于直线对称，点H在直线上， ， ， ，即直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 即，故结论②正确； ③，， 不是的平分线，故结论③不正确； ④过点作于，于Q，如图所示：   ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确． 综上所述：结论①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活添加辅助线是解决问题的关键． 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，当点D在的延长线上时，且，，垂足为H，交于点E，交于点F，且满足，若，，则______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】过点作交延长线于，延长交的延长线于，过点作于， 多次证明三角形全等，最后由线段的和差得，进而即可得解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，延长交的延长线于，过点作于， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∵在中，，， ， ， ， ，， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． ，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 16．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，钝角中，，平分，点是上一定点，点，分别是射线，上的动点，当周长最小时，_____． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、，如图所示，由对称性可知周长，从而得到当三点共线时，，此时的周长最小，从而由对称性、三角形外角性质及三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、，如图所示： 由对称性质可知，，， 周长，则当三点共线时，，此时的周长最小， ，平分， ， 连接、，如图所示： 由对称性可知，，， ，则， ， ，则， ，， 由三角形外角的性质可得， 同理可得 在中，由三角形内角和定理可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题求角度，涉及对称性质、两点之间线段最短、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识，熟练掌握动点最值问题的解法步骤是解决问题的关键． 17．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，分别是边上的高，与相交于点E，连接，过点D作交于点N．下列结论：①；②；③；④其中正确的是_____（填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．根据高的定义得到，根据同角的余角相等即可证明，故①正确；分别证明，，根据“” 证明，即可得到，故②正确；根据，得到，结合得到，故③正确；证明，得到，根据得到，即可证明，故④正确． 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故④正确． 故答案为：①②③④ 18．（21-22七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，以下结论中：；；；是等腰三角形；；正确的有_____（填序号）． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、三角形角平分线的定义 【分析】由同角的余角相等，结合等角对等边可证，由角平分线的定义，结合已知可证，可得对应边相等，对应角相等，综合应用三角形的内角和定理，以及直角三角形的性质，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴正确， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴正确， ∵，是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴正确， 根据已知条件无法得出， ∴不正确， ∴正确的有． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和定理． 19．（第1章 三角形的证明压轴大题（9个考点30题专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（北师大版））如图，中，，点在边上，，，垂足为，交于点． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系． 【答案】(1) ，理由如下： ， ， ， ， ， ； (2) 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) ，理由如下： 如图，作于，于， ， ，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由等腰三角形的性质推出，由直角三角形的性质得出，即可得解； （2）由直角三角形的性质及三角形外角性质推出，根据角的和差得出，则，进而得到，即可得证； （3）作于，于，易证，得到，而是等腰直角三角形，得到，即可得解． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，关键是掌握等腰三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形． 【考点4】全等三角形的性质与判定综合（第20-35题） · 压轴常二次全等，先证一对再过渡 · 公共边、公共角、对顶角是隐含条件 · HL仅用于直角三角形 · 书写规范，对应顶点位置一致 20．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交于点（点，与点不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，先证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰中，为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，故①正确； ∴的周长， ∵的周长， ∵、不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故③错误； ∵ ∴是直角三角形， ∵，点，与点不重合， ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，此时， 又∵也为等腰直角三角形，，， ∴， 而， ∴也为等腰直角三角形， 同理可证， 在与中， ∴≌，故②正确； ∵≌， ∴， ∴． 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故选：C ． 21．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键； 由可证明，从而可判断①正确；证明得，结合可判断⑤正确；由得，当时，，从而，否则，可判断②错误；由⑤及可判断③正确；分别是△和△的外角，结合，，可得，进而判断④正确． 【详解】解：① 和都是等边三角形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ⑤ ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， △是等边三角形， 故结论⑤正确； ②∵， ∴， 当时，， ∴， 当不垂直时，， ∴， 故结论②错误； ③△是等边三角形， ， ， ， 故结论③正确； ④是△和△的外角， ， 又， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④⑤，共4个． 故选：． 22．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接，以下结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的判定定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，解题关键是证明三角形全等． 由证明判断①；由全等三角形的性质得出，结合三角形的外角性质判断②；作于，于，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，即可判断③；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，由判断该假设不成立，即可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：， ， 故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ， ， 平分，故③正确； ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与矛盾， ④错误； 故选：B． 23．（23-24九年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、用HL证全等（HL）、相似三角形的判定与性质综合、正方形折叠问题 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可证，得， 则，即可判定①正确；设，则，，进一步求得、 和，在中利用勾股定理得，判断②正确；由折叠的性质得，由得，可得，判断③错误；由前面结论可得和，可证得得，进一步得，可判定④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，，， 则， 在和中， ∴， ∴， 则， 那么的周长：， ∴，故①正确； 设，则，， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得∶，即，则 ∴，即G为边中点，故②正确； 由折叠的性质可知：， 由，可得， 则， ∴，故③错误； ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 那么，， 故，④正确． 故选∶C． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解直角三角形和相似三角形的判定和性质，熟练应用全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，垂足为G，若的面积为3，则四边形的面积为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明可得，再根据图形可知，则四边形的面积可求． 【详解】解：由已知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练利用线段的和差是解题的关键． 证明，可得，根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为，再利用线段的转换和线段的和差，最终可得，则可得的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， 根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，平分，分别交、于点、．若，，则的度数为 __________ ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】作于点，取的中点，连接，根据角平分线的定义得出，进而得出，证明是等边三角形，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：作于点，取的中点，连接，并延长至点，使得，连接，如图所示： ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，勾股定理，角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，得出是解题的关键． 27．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是______． 【答案】2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了轨迹、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，先作出来辅助线，然后证得两个三角形全等，可求得结果，找到最小值是解题的关键． 【详解】解：连接，过点M作的延长线于点G，过点A作交射线于点K，如图所示： ， ∵等腰直角中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中， ， ∴（SAS）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点D在射线上运动上时，点E在上运动， ∴当时，即点E在点G时，的值最小， ∴， 故答案为：2． 28．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，于点，已知阴影部分的面积为，，则中上的高为________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】延长交于，过点作于点，证明，利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的面积公式求得的长即可． 【详解】解：延长交于，过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， 解得， 又∵， 即， ∴， ∴中上的高为． 29．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，．若，，则__________°，线段的长度__________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】延长到使得，连接，，，作于，先证明，在中求出，再证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到使得，连接，，，作于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，角的和差，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，平分，且于点，与相交于点于点，交于点．下列结论：①，②，③，④，其中正确的有___________（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，，然后可得，，进而证明，最后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，①正确； ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意可知点F不是的中点，所以，故③错误； ∵， ∴， ∴，，即，故②正确； 在上取一点Q，使得，连接，如图所示： ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②④； 故答案为①②④． 31．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）如图，是等腰三角形，，和是等边三角形，与相交于点F，连接并延长，交于点G．求证： (1)． (2)平分． (3)． 【答案】(1) 证明：∵和是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． (2) 证明：由（1）知，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴CF平分． (3) 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质． （1）由和是等边三角形得出，再由得出，进而得到，故； （2）由（1）得出，证明，得出，进而得出结论； （3）由得出，再由同角的补角及对顶角性质得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 32．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知是边长为的等边三角形，是三条角平分线的交点，点在上，点在上，满足，连接．    (1)猜想：如图1，若，则的周长等于_______； (2)探究：对于第（1）问，细心的小明发现去掉“若”这一条件，其他条件不变，仍可以求出的周长，他的解题思路如下： 如图2，在上取一点，使得，连接，易证，再证明，从而有，所以，最终解决问题．请根据上述解题思路，写出证明过程； (3)拓展：如图3，若，作交于点，若，． ①求证：； ②求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，熟练掌握知识点是解题的关键，（1）根据等边三角形的性质先证，得到，从而得到是等边三角形，结合角平分线得到，结合平行线得到也是等边三角形即可得到答案； （2）根据题目思路求证即可得到答案； （3）①在上取一点，使得，连接，同（2）先证，再证，结合垂直等到直角三角形，结合直角三角形两锐角互余即可得到答案；②本题考查三角形全等的判定与性质，，勾股定理，先根据三角形全等的性质及勾股定理求出，再根据与的面积关系列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是三条角平分线的交点， ∴， ∴， 在与中， ∵， ， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵是三条角平分线的交点， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：在上取一点，使得，连接， ∵是三条角平分线的交点， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②解：作， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：           (1)如图1，爬行过程中，和的数量关系是________； (2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：； (3)如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可知， ， ，， ； (3) 证明：过点作交于， ， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据，得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）过点作交于，证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形， ，， 由题意得：， 在和中， ， ， ； （2）略 （3）略 34．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在中，，点 N在的延长线上，点M在上，且，交于点 D，求证：． 【答案】 证明：过点M作，交于点E． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】过点M作，交于点E，利用平行线的性质，证明即可得证． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】略 35．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，连接，，相交于点M． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若过点B作交的延长线于点F，若，求的长； (3)如图3，点G在的延长线上，当时，设，用含x的式子表示的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是合理构造等边三角形，利用全等三角形得到角与线段的等量关系，结合特殊三角形的性质推导线段和角度关系． （1）证明得到角的等量关系，利用三角形外角性质求出； （2）在上取点使构造等边，证明得，结合等边推得； （3）构造辅助线并作等边，可得，设，由线段和关系推得，再结合全等得，最终得到． 【详解】（1）解：是等边三角形， （2）解： 在上取点，使， 是等边三角形， ①， ∵ ∴， 即②， 又③， 由①②③知， ， （3）解：如下图，构造与（2）题完全的辅助线，过点B作的平行线与交于点F，并构造等边三角形． ， ， ∴得， 由⑵知，可设， ∵， ∴，得， 由知， ∴， 即的值为． 【考点5】旋转、折叠、轴对称与最短路径综合（第36-49题） · 变换前后对应边、对应角相等抓不变量 · 最短路径作对称点把折线拉直 · 折叠问题折痕是对称轴 · 勾股定理用于求边长 36．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在中，，将绕点A逆时针旋转得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，三角形三边关系，学会用转化的思想思考问题．如图，连接，作于，连接，．由等腰三角形和勾股定理得到，，，再由面积得到，即可得到，根据旋转得到，则，再根据，求线段长度的最大值和最小值，最后计算差值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，连接，． ∵，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∵在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 当、、三点共线时，不构成三角形，此时或， ∴， ∴线段长度的最大值为，则，即最大值为； 线段长度的最小值为，则，即最小值为； ∴线段长度的最大值与最小值的差是， 故选：A． 37．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、两点之间线段最短、折叠问题 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠的性质和等边三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 38．（25-26九年级上·北京·期末）如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到（的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边对等角，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质并添加适当的辅助线构造全等三角形． 添加辅助线，先由边角边的判定方法证明与全等，由此可得，再证明与全等，由此可得，即可验证结论①；根据图形旋转的角度即可验证结论②；先由边边边的判定方法证明与全等，即可得到随着的增大，的长会减小的结论，由此可验证③；再由旋转角度可得到，由等边对等角可验证结论④． 【详解】解：连接，过点作于，于，如图， ∵，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 连接，如图， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ， ∴，，， ∴随着的增大，的长会减小； 当时，； 当时，， ∴的取值范围是，故③正确； ∵， ∴， 由旋转可知，； 当时，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 39．（2025·河南郑州·一模）如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 40．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，等腰中，是上一动点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则当___________，周长最小值是___________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据旋转的性质可得，则，当时，最小，则最小，进而周长最小，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小，则周长的值最小， 当时，的值最小， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴的值最小时，， ∴， ∴周长最小值是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 41．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 42．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，D是中点，P是上一动点，将绕点P逆时针旋转得到线段．当最小时的长为___________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、两点之间线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点B作于点E，过点Q作于点F，先证明，再证明，得到，延长到H，使得，连接,则直线是线段的垂直平分线，结合， 当A，Q，H三点共线时，最小，最小为线段，此时取得最小值，设与的交点为G，故当Q与点G重合时，最小，此时，根据三角形的面积不变性，得，列式解答即可． 【详解】解：过点B作于点E，过点Q作于点F， ∵，， ∴，， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴，, ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到H，使得，连接, 则直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， 当A，Q，H三点共线时，最小，最小为线段，此时取得最小值， 设与的交点为G，故当Q与点G重合时，最小，此时， ∵，，D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，线段最短原理的应用，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，线段最短原理的应用是解题的关键． 43．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是等边三角形，点和点分别是和上的点，连接和交于点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，有如下结论：①；②（代表面积）；③；④若，则，上述结论中，所有正确结论的序号是____ 【答案】①②③ 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积相关知识及推理．证明，可得，，外角性质可得，即可判断①；由可得，再利用面积和差即可判断②；先证，再证明，即可判断③；过作于点，过作于点，易得，即可判断④． 【详解】解：在等边三角形中，，， 在和中， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； ， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； 过作于点，过作于点， ， ，， 在等边三角形中，，， ，， ， ， ， ，，且， ， 故④错误，不合题意； 故答案为：①②③． 44．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 【答案】(1)AD=BE，理由如下： 和都是等边三角形． ， ，即， ， ， (2) (3) 的长是定值，为16，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图3所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等， ， ， ， ，即的长是定值； 当点在线段的反向延长线上时，如图4所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等． ． ， ，即的长是定值； 综上所述，的长是定值16． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）过点C作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可求解； （3）当点D在线段的延长线（或反向延长线）上时，同（1）得，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质和勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过点作于点， ， 是等边三角形，是高线， ， ∵， ∴对应边上的高相等， ， ， ， ； （3）略 45．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第117页的部分内容 小沈同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题． (1)【操作发现】如图1，已知，小沈同学想通过直接添加一组线段相等，证明，则这个条件是（    ） A．    B．   C．   D． (2)【探究说理】如图2，在四边形中，，，，求证：． (3)【拓展应用】如图3，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，当，，求的值． 【答案】(1)D (2)证明：如图所示，在上截取，连接， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）利用证明三角形全等即可解决； （2）在上截取，连接，先证明，得到，，推出，得到，即可证明； （3）延长至点，使，连接，先证明，得到，，根据角与角的数量关系，推出，得到，从而证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：添加， 在和中 ， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，延长至点，使，连接， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，，，点在边上，且，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接； (1)如图，求证：； (2)如图，过点作交延长线于点，与交于点，探究线段与的数量关系； (3)如图，连接，点分别是、的中点，，，请直接写出的面积． 【答案】(1) 证明：，， ， 又由旋转可得，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； (2) 解：过点E作，交于点H， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和图形旋转的性质，可证明，可得，进一步可证结论； （2）过点E作，交于点H，可证明，，，由此可得，所以可得，即得，同时又可证明，因此可得； （3）取的中点P，连结，先根据三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质，证明点M在边上的高上，然后根据勾股定理分别求出和的值，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积为．理由如下： 取的中点P，连结， 点M是的中点，， ，， ， ， ， ， 点M在边上的高上， ，， ， ， ， ， ， ， 同时可得， 点N是的中点， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 47．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）[问题提出]（1）如图1，与都是等边三角形，点C在边上，求的度数； [尝试探究]（2）如图2，在四边形中，，， M是边上一点，E是边上一点，且．过点E作，交AM的延长线于点F，连接．求证：； [迁移创新]（3）如图3，在中，，，D为的中点，E为线段上一点．若，直接写出的值． 【答案】（1）°   （2）证明:延长至，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴      ∴ 又∵, ∴，   ∴且 又∵ ∴； （3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可解题； （2）延长至，使，先证明得到，然后证明即可得到结论； （3）作交的延长线于，作于，设，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解:∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 又∵ ∴°； （2）略 （3）解:作交的延长线于，作于， ∵为中点， 设，   ∴ ，     ∴， ∵， ∴， 又∵ ， 在中，    ∴， 在中 ∵ ∴， ,在中 在中, ∴. ∴， ∴ ， ∴． 48．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为__________； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 【答案】（1）4； （2）证明：， ， 在与中， ， ； （3） 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了两点之间线段最短、全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得答案； （2）根据题目给出的两组对应边相等，结合平行线的性质推出夹角相等，利用边角边证得全等三角形，从而得到对应线段相等即可； （3）以为边，为顶点，向下作，使得，连接，证明，推出，当、、三点共线时，最小，进而计算的度数． 【详解】解：（1）∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线的时候，的最小值为； 故答案为：4； （2）略 （3）如图所示，以为边，为顶点，向下作，使得，连接， 在与中， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时，点位置如图所示， 此时，， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 49．（25-26九年级上·浙江温州·期中）定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）是等补四边形，理由： 由旋转得，， ， ， 四边形是等补四边形． （2）4； （3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据旋转性质得到，，结合即可判断； （2）根据，得到绕点B顺时针旋转得，即可得到D、G、C三点共线，结合面积即可得到答案； （3）根据旋转得到、、三点共线，得到，结合当时，的面积最大，求解即可得到答案； 【详解】解：（1）略 （2）如图，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， 、、三点共线， ， ， （负值舍去）． （3）， 将绕点逆时针旋转使与重合， 得，如图， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． 【考点6】角平分线与线段垂直平分线（第50-52题） · 角平分线上点到两边距离相等 · 垂直平分线上点到两端点距离相等 · 常连辅助线构造等腰或全等 · 求角结合三角形内角和 50．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，和都是等边三角形，且，连接交于点，连接．下列哪个结论不一定成立．（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定、角平分线的判定、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；利用等边三角形可得，进而根据全等三角形的性质依次进行判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：选项A、B成立，不符合题意； 过点作于，于， ∵， ∴， ∴， ∵于，于， ∴平分，即：选项C成立，不符合题意； 故选：D ． 51．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为____________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质、与角平分线有关的三角形的内角和问题．根据题意，易得垂直平分，进而推出，根据角平分线定义，得到，再由三角形的内角和定理得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 52．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）在中，，，，，则_____． 【答案】28 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】作的平分线，交于点E，过点D作于点F，证明，结合等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角的平分线性质解答即可． 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的性质三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：作的平分线，交于点E，过点D作于点F， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴． ∴． 设， ∴， ， 解得， ∴ ， 故答案为：28． 💯 课后巩固 复习建议 · 新定义题先读透法则，再化归为常规运算 · 整体求值用好完全平方公式的两个变形 · 等腰求角与内角和、外角联动，注意分类 · 压轴全等常二次，找好第一对再过渡 · 变换题抓不变量，最短路径必作对称点 【作业1】．（25-26八年级上·重庆·开学考试）有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数、新定义下的实数运算、多项式的项、项数或次数、数字类规律探索 【分析】先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②正确． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大． 【作业2】．（25-26七年级下·江西抚州·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律·有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③展开式中，系数最大为；④的展开式中第三项的系数为．其中正确的有（   ） …… …… A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、数字类规律探索 【分析】根据杨辉三角与二项式展开的规律判断即可． 【详解】验证结论①： ∵时，，展开式有项，系数和为， 时，，展开式有项，系数和为， 时，，展开式有项，系数和为， ∴ 展开式的展开式有项，系数和为，结论①中系数和为，故①错误； 验证结论②： 由展开式规律得， 令，得：，故②正确； 验证结论③： 根据杨辉三角的系数规律，展开式的系数依次为，最大系数为，故③正确； 验证结论④：∵时，的展开式中，第三项的系数为， 时，的展开式中，第三项的系数为， 时，的展开式中，第三项的系数为 ∴展开式中，第三项的系数规律为， 当时，第三项系数为，故④正确； 综上，正确结论共个， 故选：C. 【作业3】．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 【作业4】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）用两张顶角均为的等腰三角形（）纸片无重叠拼出一个四边形，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、三角形内角和、垂直定义，先利用等腰三角形性质和三角形内角和求出各角度数，再分两种拼接情况，根据平行线判定和垂直定义判断各选项．已知两个等腰三角形顶角均为，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为，可得两个三角形的底角均为. 将、分别与重合拼接得到四边形，再判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①两个三角形分别在两侧： 此时，，则，同旁内角互补，因此，选项A正确；，与不平行，选项B错误；此时，，都不为，此拼法下选项，不成立；   ②两个三角形在同侧： 如图2，此时，，则，同旁内角互补，因此，选项A正确；因为和居于两侧，所以与相交，故不成立，选项B错误；此时，，都不为，此拼法下选项，不成立． 【作业5】．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据题意得到、，将周长进行等量代换得，再由求出，结合得到，相加求出周长． 【详解】解：，垂直平分，则， 的周长是， ， ，即， ， ， ， 的周长为． 【作业6】．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 【答案】 7629 6174 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义，整除问题，理解定义是解题的关键．由为“逢双数”，得，即可求解；设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，得，由∵能被4整除，可知能被4整除，进而求得，即可得的最大值，最小值，即可求解． 【详解】解：∵为“逢双数”， ∴，解得：， 即：这个数为7629； 设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为， 故，， =， ∵能被4整除， ∴， ∴能被4整除， 当时，或； 当时，或； 当时，或； ∵ ∴，时，m取得最大值，且为； ∴，时，m取得最小值，且为； 故最大值与最小值的差为：； 故答案为：． 【作业7】．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）若、为非负实数，且，则的最小值是______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，根据完全平方公式变形可得，进而根据、为非负实数，，则当取得最小值时，，则，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵、为非负实数， ∴当时，最小， 则或 此时 即 ∴ ∴的最小值是 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、整式加减中的无关型问题、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在等腰直角和等腰直角中，，，，在上方作射线．交于点，使，为射线上的一个动点，当所在直线与的边所在直线垂直时，的度数为___________． 【答案】或或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、三线合一 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的内角和定理． 分情况讨论，当时，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得的度数，当时，点与点重合，由直角三角形的两个锐角互余，可得的度数，当时，由平行线的判定和性质，可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，点与点重合， ∵，， ∴； 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的度数为或或． 故答案为：或或． 【作业10】．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作于点，记的周长为，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②③ 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分线性质得出，利用三角形面积和关系求出③正确． 根据三角形内角和定理以及角平分线定义即可求出；过点P作于点E，作于点F，连接，根据角平分线性质和判定可得，进而根据面积关系求得③正确． 【详解】解：在中，， ， 又、分别平分、 ， ，故①正确． 过点P作于点E，作于点F，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∵、分别是、的平分线，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，故②正确． ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【作业11】．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 【答案】/0.5 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业12】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 【答案】2 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作，交延长线于点，先证明，再证明，利用列出等式求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【作业13】．（24-25八年级上·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 【答案】(1)225 (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、多项式乘法中的规律性问题、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键． （1）直接根据题意给出的规律即可求解； （2）直接根据题意给出的规律即可求解； （3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解 【详解】（1）解：原式， 故答案为：225； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【作业14】．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式：． (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形，你能发现什么？请用等式表示出来：______； (2)解决问题：已知，求的值； (3)迁移应用：若满足，，求的值． 【答案】(1) (2)84 (3)4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）利用等积法即可得出等式； （2）利用（1）中的等式进行求解即可； （3）设，利用（1）中等式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由图可得：； （2）解：，，而， ， ； （3）解：设， 则，， ， ， ， 解得． 【作业15】．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，在中，，，是过点的任意一条直线，过作于，过作于． (1)求证：； (2)如图②，延长至，连接，以为直角边作等腰，，连接交于．试探究与的数量关系，并说明理由 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． (2) 解：，理由如下： 如图，作交直线于点，连接， ， ， ， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ，， 在和中， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的定义，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据可得，然后根据定理即可得证； （2）作交直线于点，连接，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得出结论； 【详解】（1）略 （2）略 【作业16】．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，是边长为6厘米的等边三角形，点从点出发沿方向在线段上以厘米/秒的速度运动，点从点出发沿方向在射线上以厘米/秒的速度运动，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达点后，两点停止运动连接交（或延长线）于点．    (1)如图1，若，则__________； (2)如图2，若，当时，求的值； (3)如图3，点在线段上运动，但不与端点重合，当点运动到点右侧时，连接，以为边向右上方作等边，连接，请直接写出的值（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等边三角形的性质、用SAS间接证明三角形全等（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）由题可知，可以得到，，根据三角形的外角解题即可； （2）运用证明，既有，然后解题即可； （3）以 为边作等边三角形，连接，过M点作于点P，作于点Q，由，可以得到C、N、M三点共线，即，然后求出比值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 又∵是边长为6厘米的等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）是等边三角形 ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题可知，， ∴， 如图所示，以 为边作等边三角形，连接，过M点作于点P，作于点Q， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、N、M三点共线， ∴ 又∵，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查全等三角形，角平分线的性质，等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推导计算． 【作业17】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）综合与实践 在中，，，将线段绕点逆时针旋转至，旋转角记为，连接，，过点作，交直线于点，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，的度数为　　　　　　； 类比迁移 （2）如图2，当时，求证：； 拓展延伸 （3）在旋转过程中，当时，若，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形内角和得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）或； 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，设交于点O，则由三角形内角和得，从而求解；　 （2）由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，，设交于点O，则由三角形内角和得，则可得的度数，从而证明； （3）分两种情况：及，过点A作的垂线交所在直线于点F，证明三角形全等，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， 设交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形内角和得， 故答案为：； （2）略 （3）解：当时，如图3， 过点A作的垂线交所在直线于点F， 则， ∵， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设点A到直线的距离为h， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图４，过点A作的垂线交所在直线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设点A到直线的距离为h， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【作业18】．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，D为中点，点E，F分别在直线上，，连接． (1)如图1，当点E与点B重合时，求的长； (2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：； (3)若，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 证明：作，交的延长线于G，连接， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)7或 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、两直线平行内错角相等 【分析】（1）根据垂直平分，得，在中，利用勾股定理即可得出答案； （2）作，交的延长线于G，连接FG，利用证明，得，得出是的垂直平分线，则，再利用勾股定理即可证明结论； （3）点E在线段上或点E在延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法解决问题即可． 【详解】（1）∵D为中点，， ∴垂直平分， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）当点E在线段上时，作，交的延长线于H，连接， 由（2）同理可得，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴； 当点E在延长线上时，如图，作，交的延长线于G，连接，， 同理可得， 设，则， ∴， 解得， ∴， 综上：线段的长为7或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，利用中点作平行线构造全等三角形是解题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $