第11章 整式的乘除 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

第11章整式的乘除 第11章拔尖自主测评 ◎满分：100分©时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.若3=2,30=5，则3a+b+1的值为 A.30 B.10 C.6 D.38 2.若N表示一个单项式，且N·(-2xy2)=一3ax2y4,则N表示的单项式是 3 A.-3axy2 且y C.2ax'y D. 3.有下列四个算式：①(a4)4=a4+4=a8;②[(b2)2]2=b2×2x2=b;③-[-(x3)2]=-(-x6)= x6;④一(y2)3=y.其中，正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.已知单项式6am+1b”+1与一4a2m-1b”-1的积与7a3bs是同类项，则mn的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、 宽分别为3x+2y、2x十y的长方形（不重叠、无缝隙）.下列判断正确的是 A.甲种纸片剩4张 B.丙种纸片缺4张 丙 C.乙种纸片缺1张 D.甲种和乙种纸片都不够 (第5题) 6.小明利用两数和（差）的平方公式对“x2十.xy十81y2=(x膏9y)2”进行因式分解时，“(x膏 9y)2”中的运算符号被墨迹染黑了，则k的值是 A.9 B.±9 C.18 D.±18 7.某研究小组接收到一条密文：8x(m一n)一8y(m2一n2),已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 m-2 m+n x一y xty 8 x … 明文 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文8x(m2-n2)一8y(m2-n2)用因式分解解码后，明文可能是 A.美丽恩施 B.我爱恩施 C.我爱美丽 D.恩爱美丽 8.若a、b、c是三角形三边长，则代数式(a2一2ab十b2)一c2的值 A.小于等于零 B.小于零 C.等于零 D.大于零 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.计算：(x3)2÷x4= 10.计算：(-8)100×0.5300= 11.已知28a4bm÷28a"b2=ab2,则m一n的值为 12.若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7x2+4x一2016= 37 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 13.如图，边长为a的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为S1;边长为a的正方形 一边增加2b,与它相邻的另一边减小b得到长方形，此长方形的面积为S2.S1 S2(填 “”“<”或“=”). a-b (第13题) 14.舒向新定义题定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m、n的平方差，且m一n>1,那么 称这个正整数为“智慧优数”.例如：16=52一3,16就是一个“智慧优数”，可以利用m2一n2 (m十n)(m一n)进行研究.若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是 三、解答题（共58分） 15.(9分)计算： (1)(-2x2y)3+(-x3)2(-y)2y. (2)(2a-5b)·(3a2-2ab+b2). (3)(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1). 16.(9分)易错题把下列各式分解因式： (1)a.x4-8a.x2y2+16ay.(2)m°-81m2n4. (3)16.xa2b2-x(a2+4b2)2. 17.(8分)如图（单位：m),某校园内有一块长为(3a十2b)m、宽为(2a十b)m的长方形活动场地.计 划在场地中间开辟一个长为(a十2b)m、宽为(a十b)m的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外 的涂色部分将铺设塑胶跑道供学生活动， (1)求铺设塑胶跑道（涂色部分）的面积 (2)若α=5，b=4,铺设塑胶跑道的价格为每平方米100元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 3a+2b a+2b (第17题) 38 第11章整式的乘除 18.(8分)已知A=(-3)(2x十1)-2(x2+2-1,B=(2x8+5x2)÷x2-2y. (1)化简A和B. (2)若A+B=6,求(x+2)(x-2)-x(x-1)-(-y2+6y)÷2y的值. 19.(12分川阅读材料】若x满足(8一x)(x一3)=4，求(8-x)2+(x一3)2的值. 解：设8-x=a,x-3=b,则(8-x)(x-3)=ab=4,a+b=8-x十(x-3)=5. ∴.(8-x)2+(x-3)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. 这里用到了两数和（差）的平方公式的变形：a2+b2=(a十b)2-2ab,或2ab=(a十b)2-(a2+b2). 其实，两数和（差）的平方公式还有如下关系：(a一b)2=(a十b)2一4ab,(a十b)2=(a-b)2十4ab. 【类比探究】 (1)若(n-2022)2+(2026-n)2=4,求(n-2022)(2026-n)的值， 【拓展应用)】 (2)如图，正方形ABCD的边长为x,E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形 EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH.求涂色部分的面积 (第19题) 20.(12分)如果一个正整数m能写成m=a2一b2(a、b均为正整数，且a≠b),我们就称 这个数m为“平方差数”，例如：8=8×1=4×2，由8=a2一b2=(a十b)(a一b),可 得a+6=8击a+6=4, ，或 根据等式的性质把上、下两式相加，可得2a=9或2a=6. a-b=1a-b=2. 因为ab均为正整数，所以2a为偶数，则2a=9应舍去，从而解得亿=3， 所以8是“平方差 b=1. 数”.据此回答下面的问题： (1)判断：6 “平方差数”（填“是”或“不是”） (2)如果一个三位数的百位上的数字为1，个位上的数字比十位上的数字大3，且该三位数各个 数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数， “答案与解析”见P14 392a2+5ab+2b,整体上看是长为2a十b、宽为a+2b的长 方形，因此面积为(2a+b)(a+2b),∴.2a2+5ab+2b2= (2a十b)(a十2b).(2)①设AB=x.由题图④可知， S1=2ax-2a2,S2=3bx-2ab-b2,S1-S2=2ax-2a2- 3ba+2ab+b2=(2a-3b)x-2a2+2ab+b2.当AB的 长度变化时，S,一S,的值始终保持不变，即含x的项的系 数为0，∴.2a-3b=0.②设AB=ma+nb.AB·BC= (ma+nb)(2a+3b)=2ma2+(3m+2n)ab+3b2..用了 (3m+2m=7, B种卡片7张，A、C种卡片共8张，. 解得 2m+3n=8, m=1, ∴.AB=a十2b.作图如图所示（卡片放置顺序不 n=2. 唯一 F bB B CC C bB B CCC aA A BBB B aa Eb b bC (第3题) 第11章拔尖自主测评 1.A3=2,3=5,3=3,.3+0+1=3X30X3= 2×5×3=30. 2.B:N·(-2xy2)=-3a.x2y,∴.N=-3a.x2y÷ （-2y2)=3 ax2-'y-2=3 "2ary2. 3.C①(a1)1=a1x1=a6,而原式写为a+1=a8,错误， 不符合题意.②[(b2)2=(b)2=b8,且指数相乘过程正 确，正确，符合题意③(x3)2=x6,∴.原式=一（一x)= x,正确，符合题意.④一(y2)3=一y≠y,错误，不符合 题意.∴.正确的有②和③，共2个 4.C6am+1b"+1·（一4a2m-1b"-1)=一24a3mb2m..单项 式6am+1b"+1与一4a2m-1b”-1的积与7a3b是同类项， ∴.-24a3mb2与7a3b是同类项.∴.3m=3,2m=6,解得 m=1,n=3.∴.mn=1X3=3. 5.C(3x+2y)(2x+y)=6x2+7xy+2y2,故需用6张 甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别 为3x十2y、2x十y的长方形.甲、乙、丙三种长方形或正 方形纸片各6张，∴.乙种纸片缺1张. 6.D(x±9y)2=x2±18.xy+81y2,∴.k=±18. 7.B8x(m2-n2)-8y(m2-n2)=8(x-y)(m2-n2)= 8(x一y)(m十n)(m一n).根据密码手册：8对应“我”， x一y对应“施”，m十n对应“爱”，m一n对应“恩”，∴.组合 后明文可能是我爱恩施： 8.B.(a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2-c2=(a-b c)(a一b十c),又a、b、c是三角形三边长，.b十c>a a+c>b.:a-b-c=a-(b+c)<0;a-b+c=(a+ c)-b>0..(a-b-c)(a-b+c)<0..(a2-2ab+ b2)一c20,即原代数式的值小于零 9.x2(x3)2÷x1=x6÷x1=x2. 101（-8)X0.5m=(-8)×(号)"=(-8)m× (g)-(-8x8)=(-10=1 100 11.128ab"÷28a"62= 28a*6=ab",又 28a6" 28ab"÷28a"b2=ab2,∴.a1-"bm-2=ab2..4-n=1, m-2=2,解得n=3,m=4.∴.m一n=4-3=1. 12.-2019x2-2x-1=0,.x2=2x+1..x3= x·x2=x(2x+1)=2x2+x=2(2x+1)+x=4x+2+ x=5x+2..∴.2x3-7x2+4x-2016=2(5x+2)一7(2x+ 1)+4x-2016=10x+4一14x-7+4x-2016=(10x- 14x+4x)+(4-7-2016)=-2019. 13.>S,=(a+b)2=a2+2ab+b,S2=(a-b)(a+ 2b)=a2+ab-2b2,S1-S2=(a2+2ab+b2)-(a2+ab- 2b2)=a2+2ab+b2-a2-ab+2b2=ab+3b2.:ab+ 3b2>0,∴.S1-S2>0..S1>S2 14.21由于m一n>1,且m、n为正整数，设d=m一n> 1,则d≥2.当d=2时，m2-n2=(m十n)(m-n)=4(n+ 1)(n≥1)，得到：8,12,16,20,24,28,32…当d=3时， “智慧优数”为3(2+3)(n≥1)，得到：15,21,27,33,39， 45…当d=4时，“智慧优数”为8(n+2)(n≥1)，得到： 24,32,40,48,56,64…当d=5时，“智慧优数”为5(21+ 5)(n≥1)，得到：35,45,55,65,75,85…当d=6时，“智 慧优数”为12(n+3)(n≥1)，得到：48,60,72,84,96， 108…将这些“智慧优数”按从小到大的顺序排列：8,12， 15,16,20,21,24,27,28,32…故第6个“智慧优数” 是21. 15.(1)(-2x2y)3+(-x3)2(-y)2y=-8xy3+ xy3=-7xy3.(2)(2a-5b)·(3a2-2ab+b2)= 2a·(3a2-2ab+b2)-5b·(3a2-2ab+b2)=6a3- 4ab+2ab2-(15a2b-10ab2+5b3)=6a3-4a2b+2ab2 15a2b+10ab2-5b3=6a3-19a2b+12ab2-5b3. (3)(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1)=xy-2x+ 2y2-4y+2y2+2y-4xy-4x=4y2-3xy-2y-6x. 16.(1)原式=a(x-8.x2y2+16y)=a(x2-4y2)2= a[(x+2y)(x-2y)]=a(x+2y)2(x-2y)2.(2)原 式=m2(m-81n)=m2(m2-9n2)(m2+9m2)=m2(m+ 3m)(m-3n)(m2+9n2.(3)原式=x[16a2b2-(a2+ 4b)2]=x[4ab+(a2+4b2)][4ab-(a2+4b2]= -x(a2+4ab+4b2)·(a2-4ab+4b2)=-x(a+ 2b)2(a-2b)2. 易错警示 因式分解要注意选择方法 对于较复杂的因式分解题，首先要考虑的方法不是 公式法，而是提公因式法，如第(1)小题，如果先考虑公 式法，就不好分解因式：第(2)小题，若先运用公式法分 解因式，则容易出现分解不彻底的错误」 17.(1),长方形活动场地的长为(3a+2b)m,宽为(2a十 b)m,.∴.长方形活动场地的面积为(3a十2b)(2a十b)= (6a2+7ab+2b)m.长方形舞台的长为(a+2b)m,宽 为(a十b)m,∴.长方形舞台的面积为(a+2b)(a十b)= (a2+3ab+2b)m2.∴.塑胶跑道（涂色部分）的面积为 6a2+7ab+2b2-(a2+3ab+2b2)=(5a2+4ab)m. (2)·a=5,b=4,∴.塑胶跑道的面积=5×52十4×5×4 205(m).铺设塑胶跑道的价格为每平方米100元， “.铺设塑胶跑道共需205×100=20500（元）. 18.1)A=(x-3)(2x+1)-2(x2+号-1)=2x2 5x-3-2x2-x+2=-6x-1:B=(2x3+5.x2)÷x2 2y=2x+5-2y.(2)由(1)得A=-6.x-1,B=2x+ 5-2y.A+B=6,∴.(-6x-1)+(2x-2y+5)=6,化 简得，2十y=-1x+之=-2(+2(x-2) x(-1)-(-y2+6y)÷2y=x2-4-x2+x+-3 x+3-7=--7=-7分 1 19.（1)设n-2022=a,2026-n=b..a+b=n 2022+2026-n=4.(n-2022)2+(2026-1)2=4, .a2+b2=4.∴.2ab=(a+b)2-(a2+b2)=16-4= 12..∴.ab=6..∴.(n-2022)（2026-n)的值为6. (2)正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3, ∴.DE=MF=x-1,ME=DF=x-3.设x-1=a,x 3=b,∴.a一b=x一1-(x一3)=2.长方形EMFD的 第12章 12.1命题、定义、定理与证明 1.D在同一平面内，a、b、c是三条不同的直线，若a与b 相交，b与c相交，则a与c可能平行，可能相交，故①是假 命题.“若a⊥b,a⊥c,则bc”的前提条件是“在同一平面 内”，故②是假命题.若一个角的两边与另一个角的两边分 别平行，则这两个角相等或互补，故③是假命题.综上所 述，假命题有3个。 方法归纳 判断命题真假的方法 要判断一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例 面积是24，∴.EM·MF=24...(x一1)(x一3)=24 ∴.ab=24.∴.(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+4×24=4十 96=100..a十b>0,.a十b=10...涂色部分的面积= 正方形MFRN的面积一正方形GFDH的面积=MF2 DF2=(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)= 10×2=20. 20.(1)不是.由题意得，6=6×1=3×2，由6=a2- 6=(a+b)(a-b),可得a+b=6或a+6=3, 根据等 a-b=1 或a-b=2, 式的性质把上、下两式分别相加，可得2a=7或2a=5,解 得a=3.5或a=2.5,不是正整数，均不符合题意，故6不 是“平方差数”.(2)设该三位数十位上的数字为x,个位 上的数字为(x十3)，则其各个数位上的数字之和为1+十 x十(x十3)=2x十4=2(x十2).2x十4为“平方差数”， 由2(x+2)=a2-b2=(a+b)(a-b),可得 1a+b=2,或 a十b=x+2·根据等式的性质把上，下两 a-b=x+2a-b=2, 式相加，可得2a=x十4.a为正整数，.2a为偶数 :4为偶数，x是偶数.当x=0时，x十3=3.：当x= {a十b=2 0时，a-b=2 a=2与4b均为正整数矛盾此 解得 b=0, 种情况不合题意，舍去.当x=2时，x+3=5,∴.当x= 年得价 a十b=4, 2时， ，符合题意.∴该三位数是 {a-b=2, a十b=6'解得 125.当x=4时，x十3=7，小当x=4时，0-b=2, 0=4符合题意“该三位数是147.当x=6时x十3 b=2. a十b=8, 9,.当x=6时， 解得 a-b=2, a=5·符合题意.·该三 b=3, 位数是169.当x=8时，x+3=11>9,与原数是三位数矛 盾，∴.所有符合条件的三位数为125,147,169 全等三角形 2.A定义是清楚地规定某一名称或术语意义的句子，而 ①是直线的性质，不是定义 3.④①在直线AB上取一点E,不是命题，故不是定理， 不符合题意；②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 原命题是假命题，故不是定理，不符合题意；③“内错角相 等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理， 不符合题意；④同角的补角相等，是定理，符合题意， 4.(1)如果两直线平行，那么同旁内角互补.条件是两直 线平行，结论是同旁内角互补.该命题是真命题.(2)如 果两个数相减，那么被减数大于差.条件是两个数相减，结 论是被减数大于差.该命题是假命题.反例不唯一，如被减 15