第12章·全等三角形·期中复习讲义 ·2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

第12章·全等三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等三角形的概念，掌握对应边、对应角相等的性质 · 熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法证明三角形全等 · 掌握等腰三角形与等边三角形的性质和判定，会用三线合一 · 掌握角平分线与线段垂直平分线的性质定理和判定定理 · 能构造倍长中线、垂线等辅助线解决全等三角形综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的性质与判定 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，对应边相等、对应角相等 判定方法：SSS（三边）、SAS（两边及其夹角）、ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及一角对边） 直角三角形特殊判定：HL（斜边和一条直角边对应相等） 注意：SSA、AAA不能判定三角形全等 概念辨析例题：已知AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D 答案：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC，由SSS得△ABC≌△ADC，故∠B=∠D 解析：公共边AC是第三组对应边，凑齐三边用SSS，全等后对应角相等 ☆ 2.等腰三角形与等边三角形 等腰三角形：等边对等角，等角对等边；顶角平分线、底边上的中线、高三线合一 等边三角形：三边相等、三个角都是60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 等腰三角形常作底边上的高（中线）构造全等或直角三角形 三角形三边关系：两边之和大于第三边，判断等腰时注意分类讨论 概念辨析例题：等腰三角形一个内角为80°，求另外两个内角的度数 答案：若80°为顶角，则底角各为50°；若80°为底角，则另一底角80°、顶角20° 解析：80°既可能是顶角也可能是底角，需分类讨论，再用内角和180°计算 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之亦成立 线段垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；反之亦成立 尺规作图：会作已知角的平分线、已知线段的垂直平分线 两者常与等腰三角形、全等证明结合，实现线段或角的转化 概念辨析例题：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF 答案：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质定理得DE=DF 解析：角平分线上的点D到两边AB、AC的距离分别是DE、DF，直接用性质 ☆ 4.全等三角形的辅助线与综合应用 倍长中线：遇到中线延长一倍构造全等三角形，转移边和角 垂线模型：过角顶点或线段端点作垂线，构造直角三角形全等 旋转与折叠：旋转、折叠前后对应部分全等，抓住不变量 综合题：先找全等三角形，再结合等腰、勾股定理求线段长度 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3，求AD的取值范围 答案：延长AD至E使DE=AD，证△BDE≌△CDA（SAS），得BE=AC=3；在△ABE中2<AE<8，故1<AD<4 解析：倍长中线把AC转移到BE，再用三角形三边关系求AE范围，AD为AE一半 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等判定SSS 三边对应相等 公共边要看出 全等判定SAS 两边及夹角对应相等 角必须是夹角 全等判定ASA/AAS 两角及一边对应相等 AAS是ASA推论 直角三角形HL 斜边、一直角边对应相等 只用于直角三角形 等腰三角形 等边对等角、三线合一 分类讨论顶角底角 角平分线/垂直平分线 线上点到两边(两端)距离相等 性质与判定互逆 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的性质与判定（第1-10题） · 先找对应边、对应角，再对照五种判定方法凑条件 · 公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 · SAS中角必须是两边的夹角，SSA不能判定 · 证明思路：要证边(角)相等，先证所在三角形全等 1．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，，，下列选项补充的条件中，能证明的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，，垂足分别是E、F，D是的中点，下列结论：①D是的中点；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．以上答案都不对 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图中，，为的中点，连接并延长交于点，作，垂足为，交于点，下列判断：；；；，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，，要使，请你增加一个条件是_______    6．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点为边的中点，连接，点、为直线上的点，连接，，且．若，，则的长度为__________．    7．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 8．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，是边的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为4，求的面积． 9．（2025·湖北武汉·二模）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，若______，则． 请从：①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 10．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【考点2】直角三角形全等的判定HL（第11-14题） · 直角三角形优先考虑HL，斜边和一直角边对应相等 · HL只适用于直角三角形，书写时标明Rt△ · 结合两锐角互余、勾股定理求线段 · 无直角时先由垂直构造直角三角形 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·黑龙江·期末）在等边中，点D在的延长线上，，，点E在直线上，连接．当时，的长为________． 13．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，在四边形中，，，称四边形是筝形，小明同学分析思考后，发现：如图2，在四边形中，，，这时四边形是筝形．请你帮助小明同学证明他发现的结论． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，，，，求的长． 【考点3】等腰三角形与等边三角形（第15-28题） · 等边对等角、等角对等边互用 · 遇等腰常作底边上的高，用三线合一 · 已知角求内角先分类讨论顶角或底角 · 等边三角形每个角都是60°，注意与旋转结合 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）若等腰三角形的顶角的度数为，则等腰三角形的底角的度数是（   ） A． B． C． D．或 16．（24-25八年级上·海南儋州·阶段检测）如图，在正五边形中，连结，则等于（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的周长相等 C．等边三角形不一定是等腰三角形 D．三角形的角平分线是射线 18．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在中，，，点，，分别在，，边上，且，．则的度数是（   ）    A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，以为边向外作两个等边和，连接，且和相交于O．则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）若一个等边三角形的周长是12，则这个等边三角形的边长是_____． 22．（24-25七年级下·上海·阶段检测）已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为_______． 23．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 24．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有________． ①；②；③；④ 25．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是________（填序号） 26．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，平分，，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 27．（23-24八年级上·山东德州·期中）综合与实践 数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图1，中，，．点D是边上一点，连接，以为直角边作，其中，． 【知识初探】 兴趣小组提出的问题是：“线段和有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案______． 【类比再探】 睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2若点D是延长线上一点，交于点F．其它条件不变，线段和有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由． 【特例探究】 启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3.若平分，其它条件不变，他们发现．请你写出证明过程． 28．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D在线段上，． (1)求证：． (2)当时，求的度数． 【考点4】角平分线的性质与判定（第29-34题） · 角平分线上的点到两边距离相等，直接得垂线段相等 · 判定：到两边距离相等的点在角平分线上 · 常作双垂线构造全等直角三角形 · 尺规作角平分线要保留作图痕迹 29．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，是的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线的两侧），作直线交于点F，若，则的面积为（　　） A．3 B．7 C．5 D．10 30．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，，过O作于点D，且，则的面积是________． 32．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是______．    33．（2024·陕西·模拟预测）如图，在 中， ，请用尺规作图法，在 边上求作一点D，使点 D 到边的距离等于长．（保留作图痕迹，不写作法） 34．（23-24八年级上·重庆开州·阶段检测）如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接．求证： (1)； (2)． 【考点5】线段垂直平分线（第35-44题） · 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 · 判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上 · 与等腰三角形结合，实现边的等量转化 · 作垂直平分线尺规作图，利用交点找外心 35．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列说法错误的是( ) A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 36．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在中，垂直平分于点E，交于点D，连接，的垂直平分线交于点F，连接，设，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 38．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点E，垂足为D，若的周长为，的周长为，则的长为_______． 39．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是______． 40．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 41．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 42．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，线段与关于直线l对称，连接．下列结论：①与的交点在直线l上；②；③与互相平分．其中所有正确结论的序号是_______． 43．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 44．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，点D在边上，且满足． (1)结合你所学的知识，利用尺规作图，作出点D（不写作法，在答题卷保留作图痕迹）； (2)若，求证：点D是边的中点． 【考点6】全等三角形综合与辅助线（第45-48题） · 遇中线倍长一倍，构造全等转移边 · 过端点作垂线，构造直角三角形全等 · 旋转、折叠前后对应部分全等，抓不变量 · 综合题先证全等再用等腰、勾股求长度 45．（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交边上的点G，与交于点H，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，中，，，是边中线，则的取值范围是______ 47．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）在学习等腰三角形“三线合一”的性质后，小尹问同桌：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？并与他的同桌进行交流．现在你作为他的同桌，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：过底边中点作两腰的垂线． 小尹过等腰三角形底边的中点D作了的垂线，垂足为点E（如图）．请你利用尺规作图，过点D作边的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） 第二步：利用三角形全等证明他的猜想． 证明：， ① ． ， ． 在和中， ． ③ ． 结论：等腰三角形底边中点到两腰的距离④ ． 48．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在中，，． (1)如图，过点作于点，求证：； (2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由； (3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 💯 课后巩固 复习建议 · 判定过关：五种判定方法要选准，公共边夹角别漏 · 性质过关：全等后对应边对应角相等，规范书写 · 等腰过关：等边对等角与三线合一，分类讨论要全 · 平分线过关：角平分线与垂直平分线性质判定互逆 · 综合过关：倍长中线、作垂线等辅助线多画多练 【作业1】．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 【作业2】．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）在中，，平分交于点D，于点E．若，，则的面积为（    ） A．14 B．7 C．3.5 D．2 【作业3】．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【作业4】．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．给出以下结论：①是的平分线；②；③点在线段的垂直平分线上．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业5】．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26七年级上·全国·课后作业）“能被3整除的整数，它的末位数字一定是3”是________命题（填“真”或“假”）． 【作业7】．（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的周长为_________． 【作业8】．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，分别垂直平分边，，交于点，，则的周长等于_______________． 【作业9】．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则___________． 【作业10】．（19-20八年级上·浙江温州·期中）等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个等腰三角形的周长为______． 【作业11】．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 【作业12】．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为_______． 【作业13】．（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【作业14】．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是边上的中点，将沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处．若，求的度数． 【作业15】．（23-24八年级上·广西防城港·期中）如图，在和中，，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【作业16】．（24-25八年级下·福建漳州·期末）综合与探究 (1)如图1，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接，． ①求的度数． ②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接．请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值． 【作业17】．（23-24八年级上·江西赣州·期末）教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【作业18】．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若，求证：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章·全等三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解全等三角形的概念，掌握对应边、对应角相等的性质 · 熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法证明三角形全等 · 掌握等腰三角形与等边三角形的性质和判定，会用三线合一 · 掌握角平分线与线段垂直平分线的性质定理和判定定理 · 能构造倍长中线、垂线等辅助线解决全等三角形综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.全等三角形的性质与判定 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，对应边相等、对应角相等 判定方法：SSS（三边）、SAS（两边及其夹角）、ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及一角对边） 直角三角形特殊判定：HL（斜边和一条直角边对应相等） 注意：SSA、AAA不能判定三角形全等 概念辨析例题：已知AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D 答案：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC，由SSS得△ABC≌△ADC，故∠B=∠D 解析：公共边AC是第三组对应边，凑齐三边用SSS，全等后对应角相等 ☆ 2.等腰三角形与等边三角形 等腰三角形：等边对等角，等角对等边；顶角平分线、底边上的中线、高三线合一 等边三角形：三边相等、三个角都是60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 等腰三角形常作底边上的高（中线）构造全等或直角三角形 三角形三边关系：两边之和大于第三边，判断等腰时注意分类讨论 概念辨析例题：等腰三角形一个内角为80°，求另外两个内角的度数 答案：若80°为顶角，则底角各为50°；若80°为底角，则另一底角80°、顶角20° 解析：80°既可能是顶角也可能是底角，需分类讨论，再用内角和180°计算 ☆ 3.角平分线与线段垂直平分线 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之亦成立 线段垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；反之亦成立 尺规作图：会作已知角的平分线、已知线段的垂直平分线 两者常与等腰三角形、全等证明结合，实现线段或角的转化 概念辨析例题：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF 答案：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质定理得DE=DF 解析：角平分线上的点D到两边AB、AC的距离分别是DE、DF，直接用性质 ☆ 4.全等三角形的辅助线与综合应用 倍长中线：遇到中线延长一倍构造全等三角形，转移边和角 垂线模型：过角顶点或线段端点作垂线，构造直角三角形全等 旋转与折叠：旋转、折叠前后对应部分全等，抓住不变量 综合题：先找全等三角形，再结合等腰、勾股定理求线段长度 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3，求AD的取值范围 答案：延长AD至E使DE=AD，证△BDE≌△CDA（SAS），得BE=AC=3；在△ABE中2<AE<8，故1<AD<4 解析：倍长中线把AC转移到BE，再用三角形三边关系求AE范围，AD为AE一半 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等判定SSS 三边对应相等 公共边要看出 全等判定SAS 两边及夹角对应相等 角必须是夹角 全等判定ASA/AAS 两角及一边对应相等 AAS是ASA推论 直角三角形HL 斜边、一直角边对应相等 只用于直角三角形 等腰三角形 等边对等角、三线合一 分类讨论顶角底角 角平分线/垂直平分线 线上点到两边(两端)距离相等 性质与判定互逆 ⚠️ 核心考点 【考点1】全等三角形的性质与判定（第1-10题） · 先找对应边、对应角，再对照五种判定方法凑条件 · 公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 · SAS中角必须是两边的夹角，SSA不能判定 · 证明思路：要证边(角)相等，先证所在三角形全等 1．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，，，下列选项补充的条件中，能证明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，根据得到，结合三角形全等判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当符合角角边定理， 当，，均不满足三角形全等的判定， 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，，垂足分别是E、F，D是的中点，下列结论：①D是的中点；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．以上答案都不对 【答案】A 【知识点】内错角相等两直线平行、垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，由垂线的性质得到，据此可判断③；证明得到，据此可判断①②；根据现有条件无法证明和是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故③正确； ∵D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∴D是的中点，故①正确； 根据现有条件无法证明和是等腰三角形，故④⑤错误； ∴正确的有3个， 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意易得，，根据余角的性质得到，进而证得，根据全等三角形的性质得到和，从而得到的长． 【详解】解：每块砖的厚度， ，， 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ，， ， 故选：B． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图中，，为的中点，连接并延长交于点，作，垂足为，交于点，下列判断：；；；，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质．依据题中条件，可以判定，根据全等三角形性质可判断和，根据三角形中线平分面积的性质，判断，由三角形面积公式，结合面积之间的关系，可判断． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴正确； ∵是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵根据已知条件无法得出为的中点， ∴由已知无法得出， ∴正确的结论为． 故选：C． 5．（22-23八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，，要使，请你增加一个条件是_______    【答案】（或，或答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题要判定，已知，是公共角，具备了一条边及一个角对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定， 【详解】解：①添加，根据，能判定； ②添加，根据，能判定； ③添加，根据，能判定； 故答案为：答案不唯一，，或，或． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点为边的中点，连接，点、为直线上的点，连接，，且．若，，则的长度为__________．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：为边的中点 ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，即可推出． 【详解】略 8．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，是边的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1) 证明：点D是的中点． ， 与相交于点D， ， 在和中， ， ； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，结合，可得； （2）由三角形的中线的性质可得，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）解；是边的中点，的面积为4， ， 又∵， ∴． 9．（2025·湖北武汉·二模）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，若______，则． 请从：①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 ②或③． 选择②，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ； 选择③，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ． 【知识点】两直线平行同位角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由，得，，若选择①，不能证明，不能得出；若选择②，可根据证明，则；若选择③，可根据证明，则． 【详解】解：选择①，不能证明，不能得出 10．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2) 解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． 【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）略 【考点2】直角三角形全等的判定HL（第11-14题） · 直角三角形优先考虑HL，斜边和一直角边对应相等 · HL只适用于直角三角形，书写时标明Rt△ · 结合两锐角互余、勾股定理求线段 · 无直角时先由垂直构造直角三角形 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 12．（24-25八年级上·黑龙江·期末）在等边中，点D在的延长线上，，，点E在直线上，连接．当时，的长为________． 【答案】2或8/8或2 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 先作的高，再根据等腰三角形的性质得，然后根据勾股定理得，即可求出，接下来证明，可得，最后分类讨论，当点E在线段的延长线上，当点E在线段的延长线上，再结合图形分别求出即可． 【详解】解：在等边中，， 的高，则，． 根据勾股定理得， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 当点E在线段的延长线上，如图， ∴； 当点E在线段的延长线上，如图， ∴． 综上所述，的长为2或8． 故答案为：2或8 13．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，在四边形中，，，称四边形是筝形，小明同学分析思考后，发现：如图2，在四边形中，，，这时四边形是筝形．请你帮助小明同学证明他发现的结论． 【答案】 证明：如图2，连接， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是筝形． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质得出，结合题意即可得解． 【详解】略 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，，，，求的长． 【答案】(1) 证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； (2)4． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由角平分线的性质定理可得，再根据“”证明，即可得到结论； （2）证明，得到，再根据线段的和差，得到，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【考点3】等腰三角形与等边三角形（第15-28题） · 等边对等角、等角对等边互用 · 遇等腰常作底边上的高，用三线合一 · 已知角求内角先分类讨论顶角或底角 · 等边三角形每个角都是60°，注意与旋转结合 15．（25-26八年级上·福建福州·期中）若等腰三角形的顶角的度数为，则等腰三角形的底角的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角的度数为， ∴， ∴等腰三角形的底角的度数是． 故选：C． 16．（24-25八年级上·海南儋州·阶段检测）如图，在正五边形中，连结，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的内角问题、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，多边形的内角和定理，解此题的关键是求出和的度数，注意：正多边形的所有边都相等，所有角都相等． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 17．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的周长相等 C．等边三角形不一定是等腰三角形 D．三角形的角平分线是射线 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的定义、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查全等三角形性质、等边三角形性质及角平分线定义，熟记全等三角形性质、等边三角形性质及角平分线定义是解决问题的关键． 由全等三角形的性质、等边三角形与等腰三角形的关系、以及角平分线的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由三个角对应相等只能证明相似，不一定全等，知原说法错误，不符合题意； B、∵ 全等三角形的对应边相等， ∴ 全等三角形的周长相等，知原说法正确，符合题意； C、由等边三角形是特殊的等腰三角形，知原说法错误，不符合题意； D、由三角形的角平分线是线段，不是射线，知原说法错误，不符合题意； 故选：B． 18．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在中，，，点，，分别在，，边上，且，．则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．由得到，结合，，利用边角边定理证明，得，推出，，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 19．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，以为边向外作两个等边和，连接，且和相交于O．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，得到，利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：设交于点， ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟记全等三角形的对应边相等，对应角相等是解本题的关键．取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据题意：， ∴， ∴， ∵， 若，则， ∵， ∴， ∴（与题干矛盾），故A选项错误； ∵， ∴，故B选项正确； ∵，故C选项错误； ∵， ∴， ∴，故D选项错误； 故选：B． 21．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）若一个等边三角形的周长是12，则这个等边三角形的边长是_____． 【答案】4 【知识点】等边三角形的性质 【分析】等边三角形的三条边相等，周长是三条边的总和，因此边长可通过周长除以3得到． 【详解】解：∵等边三角形的周长边长， ∴边长=周长． 22．（24-25七年级下·上海·阶段检测）已知是等腰三角形一腰上的高，且，求的顶角度数为_______． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点（为锐角三角形、为钝角三角形），点A是底角顶点，分情况求解即可． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴； ①如图1，点A是顶角顶点，为锐角三角形时，顶角为，是； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点，是钝角三角形时，顶角； 综上所述，等腰顶角度数为或或． 故答案为：或或． 23．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 【答案】 或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】需分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，分别计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，设等腰三角形，为边上的高， ， ， ， ， ， ； 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，设等腰三角形，为延长线上的高， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，该等腰三角形的底角为或． 24．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有________． ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）是关键． 证明即可判断①；证明即可判断②；由可得出，即可判断③；若，则平分，而由已知条件无法判断，即可判断④． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又由上可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∴为等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 若，则平分， 则，而这不一定满足， 故④不正确； 综上可知：①②③正确． 故答案为：①②③． 25．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是________（填序号） 【答案】④ 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握判断是解题的关键． 【详解】①三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，不符合题意； ②有两个角等于的三角形是等边三角形；正确，不符合题意； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；正确，不符合题意； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 不正确，符合题意； 故答案为：④． 26．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，平分，，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合平行线的性质得出，再由等角对等边得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴的度数为． 27．（23-24八年级上·山东德州·期中）综合与实践 数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究： 如图1，中，，．点D是边上一点，连接，以为直角边作，其中，． 【知识初探】 兴趣小组提出的问题是：“线段和有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案______． 【类比再探】 睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2若点D是延长线上一点，交于点F．其它条件不变，线段和有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由． 【特例探究】 启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3.若平分，其它条件不变，他们发现．请你写出证明过程． 【答案】知识初探：，； 类比再探： 解：，， 理由如下：∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 特例探究： 证明：∵平分， ∴， ∴是的外角， ∴， ∴， ∴，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 由上题可知， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角证明，三角形内角和定理，三角形的外角性质． 知识初探：根据，，得到，证得，进而证明，推出，，求出，即可得到； 类比再探：根据，，得到，证得，进而证明，推出，，求出，即可得到； 特例探究：根据角平分线及外角证明，得到，根据内角和求出，证得，，由上题可知，即可推出． 【详解】知识初探：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 类比再探： 略 特例探究 略 28．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D在线段上，． (1)求证：． (2)当时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴是等腰三角形， ∴， 在与中， ， ∴ ； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】（1）由得到，由即可证明； （2）先求出，得到，由，得到，则，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【考点4】角平分线的性质与判定（第29-34题） · 角平分线上的点到两边距离相等，直接得垂线段相等 · 判定：到两边距离相等的点在角平分线上 · 常作双垂线构造全等直角三角形 · 尺规作角平分线要保留作图痕迹 29．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，是的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线的两侧），作直线交于点F，若，则的面积为（　　） A．3 B．7 C．5 D．10 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质．根据尺规作图可得垂直平分，再由角平分线的性质可得点M到的距离等于点M到的距离等于， 【详解】解：由作法得垂直平分， ∵是的角平分线， ∴点M到的距离等于点M到的距离等于， ∴的面积． 故选：C． 30．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用相关知识是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得到，即可判断①；推出，根据证明即可判断③；证明，得，根据外角的性质可判断②；根据等量代换与直角三角形两锐角互余证明，即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴．故①正确． ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴，故结论③正确． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故④错误． 综上所述，正确结论是①③，共2个． 故选：B． 31．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，，过O作于点D，且，则的面积是________． 【答案】27 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】作于于，连接，根据角平分线的性质求出和 ，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于于，连接， ∵是的平分线， ， ∴， 同理， ． 的面积． 故答案为：27． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 32．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是______．    【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质，利用等腰三角形的性质使点、、在同一条直线上，从而得到最小值是解答本题的关键． 连结，利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得,，当点、、在同一条直线时最小值，最小值为，由，，求出，又是的角平分线有，求出，得． 【详解】 解：如图，连结，点在上运动， ，平分， 所在直线为对称轴， ,， 当点、、在一直线时最小值， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为 33．（2024·陕西·模拟预测）如图，在 中， ，请用尺规作图法，在 边上求作一点D，使点 D 到边的距离等于长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点D 即为所求： 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质．作的角平分线交于点D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可解答． 【详解】略 34．（23-24八年级上·重庆开州·阶段检测）如图，线段于点B，且，于点E，交于点F，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， 又， ， 在和中 ， （）， ； (2) 证明：如图，过点B分别作于M，于N， ， ∴， 即， 又， ， 平分， ， ， ， ． 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理； （1）先根据，推出，然后根据等角的余角相等推出，结合已知条件判定即可证明结论； （2）过点B分别作于M，于N，根据全等三角形的对应高相等推出，根据角平分线的判定定理推出是的平分线，根据即可证得结论． 掌握角平分线的判定定理，深入理解题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【考点5】线段垂直平分线（第35-44题） · 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 · 判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上 · 与等腰三角形结合，实现边的等量转化 · 作垂直平分线尺规作图，利用交点找外心 35．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列说法错误的是( ) A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】由角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，即可判断． 本题考查角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、B、D中的说法正确，故A、B、D不符合题意； C、到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故C符合题意． 故选：C． 36．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在中，垂直平分于点E，交于点D，连接，的垂直平分线交于点F，连接，设，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，然后求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 37．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 38．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点E，垂足为D，若的周长为，的周长为，则的长为_______． 【答案】/4厘米 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分，可得，，结合的周长为，的周长为，即可求解． 【详解】解： 垂直平分， ，， 的周长为， ， 的周长为， ， ， ， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要是考查了三角形内角和、垂直平分线以及等腰三角形的性质． 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质和等边对等角，可得：，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， . 41．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【答案】22 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ， 的周长为． 42．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，线段与关于直线l对称，连接．下列结论：①与的交点在直线l上；②；③与互相平分．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了轴对称．熟练掌握轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，等腰梯形性质，是解决问题的关键． 设与交点为O，延长，交于点C，连接，交直线l于点D，根据轴对称性质得，点C在直线l上，l垂直平分，可得，证明 ,得到，，得，得点O在直线l上，判断①②；根据四边形是等腰梯形，可得，根据，得，得，即得，，判断③． 【详解】设与交点为O，延长，交于点C，连接，交直线l于点D， ∵线段与关于直线l对称， ∴点C在直线l上，l垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴点O在直线l上， ∴①正确； ， ∴②正确； ∵， ∴四边形是等腰梯形，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴③不正确． ∴正确的有①②． 故答案为：①②． 43．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线、三角形内角和、等腰三角形的知识，理解垂直平分线的性质是解题的关键； （1）结合题意，根据垂直平分线的性质，得，，从而完成求解； （2）结合（1）的结论，根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴的周长． （2）由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴． 44．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，点D在边上，且满足． (1)结合你所学的知识，利用尺规作图，作出点D（不写作法，在答题卷保留作图痕迹）； (2)若，求证：点D是边的中点． 【答案】(1) 点D即为所求； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是边的中点． 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质： （1）如图所示，作线段的垂直平分线，交于D，点D即为所求； （2）根据题意可得，则，据此可证明，即点D是边的中点． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线，交于D， 由线段垂直平分线的性质可得，则， 由三角形外角的性质即可得到； （2）略 【考点6】全等三角形综合与辅助线（第45-48题） · 遇中线倍长一倍，构造全等转移边 · 过端点作垂线，构造直角三角形全等 · 旋转、折叠前后对应部分全等，抓不变量 · 综合题先证全等再用等腰、勾股求长度 45．（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交边上的点G，与交于点H，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】根据可证明，则可判断①；证明，再根据三角形外角的性质和角平分线的定义可证明，据此可判断②；证明，即可判断③；过点作于，于，于，证明，得到，再证明即可判断④；可证明，，据此可判断⑤． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ， 、的平分线交于边上的点， ，， ， ，故②正确； ∵、的平分线交于边上的点， ∴点到、、的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ，故③正确； 过点作于点，于点，于点， 平分，平分， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，故④正确， ，， ， ， ，故⑤正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，中，，，是边中线，则的取值范围是______ 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．延长到点E，使，连接，由可证，可得，由三角形三边关系可得． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 47．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）在学习等腰三角形“三线合一”的性质后，小尹问同桌：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？并与他的同桌进行交流．现在你作为他的同桌，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：过底边中点作两腰的垂线． 小尹过等腰三角形底边的中点D作了的垂线，垂足为点E（如图）．请你利用尺规作图，过点D作边的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） 第二步：利用三角形全等证明他的猜想． 证明：， ① ． ， ． 在和中， ． ③ ． 结论：等腰三角形底边中点到两腰的距离④ ． 【答案】第一步： 如图所示： 第二步： ①，②，③，④相等 【知识点】作垂线(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线．熟练掌握基本尺规作图，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 第一步：根据垂线的作图方法作图即可； 第二步：根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】第一步：解：作法： 在直线的另一侧取点N，以点D为圆心，以长为半径画弧，交于G，H两点， 分别以点G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M， 作射线交于点F． 第二步：略 48．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在中，，． (1)如图，过点作于点，求证：； (2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由； (3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 【答案】(1) 证明：，，， ， 是斜边上的中线， ； (2)， (3)或 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，通过构造全等三角形转化线段和角度是解题关键． （1）利用等腰直角三角形 “三线合一” 及斜边中线性质，证明中线与斜边的数量关系； （2）通过角的等量代换证明三角形全等，结合等腰直角三角形的角度、边长特征，推导角度和线段表达式； （3）分点在不同位置的情况，构造全等三角形，将所求高转化为已知线段的一半，计算得到高的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图，连接，作交于点，设与交于点， ，，，， ，， 在和中， ， ，， ， 作交于点，交延长线于点， 则，， ， 在和中， ， ， 点到边上的高为； ②如图，连接，作交延长线于点， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， 作交延长线于点，交于点， 则， ， 平分，，， ， 点到边上的高为； 点到边上的高为或． 💯 课后巩固 复习建议 · 判定过关：五种判定方法要选准，公共边夹角别漏 · 性质过关：全等后对应边对应角相等，规范书写 · 等腰过关：等边对等角与三线合一，分类讨论要全 · 平分线过关：角平分线与垂直平分线性质判定互逆 · 综合过关：倍长中线、作垂线等辅助线多画多练 【作业1】．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，通过讨论当腰长为时，当底边长为时，根据三角形的周长，求出对应的底边长或腰长，再根据构成三角形的条件进行判断即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，则此时底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为时，则此时腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该三角形底边的长是或， 故选D． 【作业2】．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）在中，，平分交于点D，于点E．若，，则的面积为（    ） A．14 B．7 C．3.5 D．2 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：平分，，， ， 的面积， 故选：B． 【作业3】．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．可以以和为公共边分别画出3个，不可以，故可求出结果． 【详解】解：以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等． 以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等． 所以可画出6个． 故选：D． 【作业4】．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．给出以下结论：①是的平分线；②；③点在线段的垂直平分线上．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的判定、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的判定等知识，由作图过程可知，是的平分线，即可判断结论①，由题意得结合角平分线的定义可得则，即可判断结论②，由题意得即可得点在线段的垂直平分线上，即可判断结论③，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图过程可知，是的平分线，故①正确； ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，故③正确； 综上所述，正确的有个． 故选：D． 【作业5】．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出即可． 【详解】解：∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∵，平分， ∴， ∴ 故选：C 【作业6】．（25-26七年级上·全国·课后作业）“能被3整除的整数，它的末位数字一定是3”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【知识点】判断命题真假、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查真假命题的判断，掌握知识点是解题的关键． 利用举反例的方法判断即可 【详解】解：能被3整除的整数，它的末位数字一定是3”是假命题，如12能被3整除，但12的末位数字是2． 故答案为：假． 【作业7】．（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的周长为_________． 【答案】26 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，进而得到的周长等于，据此解答即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为 ， 故答案为：26． 【作业8】．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，分别垂直平分边，，交于点，，则的周长等于_______________． 【答案】13 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， ∴的周长， 故答案为：13． 【作业9】．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到（即），连接．若，则___________． 【答案】3 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等及等边三角形的性质和判定． 根据旋转的性质得，然后证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， 即，， 是等边三角形， ， ． 故答案为：3． 【作业10】．（19-20八年级上·浙江温州·期中）等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】19或23/23或19 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．分边长为的边为腰和边长为的边为腰两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为， ∴这个等腰三角形的周长为19或23． 故答案为：19或23． 【作业11】．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线段最短、等边三角形的性质 【分析】连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为线段上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为，即线段的最小值为． 【作业12】．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为_______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据的角平分线交于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 故答案为： 【作业13】．（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等 (2) 证明：在和中， ∵，，        ∴                ∴，                  ∴平分． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． （1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可； （2）首先证明出，得到，即可得到平分． 【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2）略 【作业14】．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是边上的中点，将沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处．若，求的度数． 【答案】 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的不变性是解题的关键． 根据折叠以及D是边上的中点，得到，继而，再由三角形的内角和定理求解． 【详解】解：因为D是边上的中点， 所以． 由折叠，得， 所以， 所以， 所以． 【作业15】．（23-24八年级上·广西防城港·期中）如图，在和中，，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明： ， ， 即， 在和中 ， （）． (2) 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等三角形的性质 【分析】（1）证，利用全等三角形的判定即可得证； （2）求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ， ，     ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 【作业16】．（24-25八年级下·福建漳州·期末）综合与探究 (1)如图1，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接，． ①求的度数． ②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接．请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值． 【答案】(1) ①； ②；理由如下： ∵， ， ； 故答案为：； (2) ，理由如下： 在中，，， 由（1）同理可得，， ，， ， ， 在中，，又， ； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①证明，根据全等三角形的性质解答； ②由可得，即可得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点作交于点，连接，证明，求得，，利用勾股定理先后求得和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， 故答案为：； ②略 （2）略 （3）解：过点作交于点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质以及旋转变换的性质．作出合适的辅助线是解题的关键． 【作业17】．（23-24八年级上·江西赣州·期末）教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】(1) 已知：，，垂足分别是D、E，且． 求证：平分(或者是的平分线) 证明过程： ，． 在和中， ， ． ， 是的平分线． (2) 如图：过点E作于F， 平分，， ， 是的中点， ， ． 又， ， ， 是的平分线． 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，掌握这两个定理是解题的关键． （1）根据题干找出已知条件和结论，再结合图片用符号语言描述，并证明即可； （2）运用角平分线的性质和判定证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业18】．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）先求解，再求解，，再结合勾股定理可得答案； （2）过C点作，交的延长于点G，根据平行可推出，先证明，即有，再证明，问题得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，过C点作，交的延长于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵的中点为F， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理的应用，化为最简二次根式等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $