第11章·整式的乘除·期中复习讲义 ·2026-2027学年华师大版八年级数学上册

第11章·整式的乘除·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练进行幂的混合运算并能逆用幂的法则整体求值 · 灵活运用平方差、完全平方公式进行化简、求值与推理证明 · 会用因式分解解决化简求值、整除判断与代数式变形问题 · 能从几何图形中抽象出乘法公式并解决面积类综合题 · 掌握新定义、规律探索类压轴题的一般解题套路 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算与整式乘除 am·an=am+n、am÷an=am-n、(am)n=amn、(ab)n=anbn 法则既可正用化简，也可逆用把不同幂化为同底数整体代入 单项式乘除、多项式乘多项式按法则展开后合并同类项 混合运算注意运算顺序与符号，含负号先定号 概念辨析例题：已知 10m=20，10n=4，求 102m-n 的值。 答案：102m-n=(10m)2÷10n=202÷4=100。 解析：逆用幂的乘方与同底数幂除法，整体代入已知幂的值，避免先求 m、n。 ☆ 2.乘法公式的灵活运用 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 常用变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab，(a+b)2-(a-b)2=4ab 求值题知二推二：已知 a+b、a-b、ab、a2+b2 中任意两个可求其余 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，用于求不含某项的系数 概念辨析例题：已知 x+y=5，xy=3，求 x2+y2 与 (x-y)2 的值。 答案：x2+y2=(x+y)2-2xy=25-6=19；(x-y)2=(x+y)2-4xy=25-12=13。 解析：利用完全平方公式的变形整体代入，不必单独求 x、y。 ☆ 3.因式分解及其应用 因式分解与整式乘法互为逆变形，结果必须是几个整式的积 步骤：先提公因式，再套用公式，分解到不能再分为止 a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 应用：化简求值、判断整除、解特殊方程与代数式证明 概念辨析例题：利用因式分解计算：20262-2026×52+262。 答案：原式=20262-2×2026×26+262=(2026-26)2=20002=4000000。 解析：观察结构符合完全平方公式 a2-2ab+b2，逆用公式可避免大数硬算。 ☆ 4.几何背景与新定义规律探究 平方差、完全平方公式可由面积图形验证，常与几何面积结合命题 新定义题先读懂规则符号，再按规则代入并推广到一般情形 规律题从特殊前几项入手，列表找递推关系，归纳一般式后验证 综合压轴题分小问推进，前后小问相互提示 概念辨析例题：从 1 开始连续奇数求和：1=12，1+3=22，1+3+5=32，猜想 1+3+5+…+(2n-1)=？ 答案：猜想 1+3+5+…+(2n-1)=n2。 解析：前三项分别为 12、22、32，第 n 个图对应 n2，可用正方形面积分割验证。 📋 知识总结表 名称 公式/法则 注意事项 同底数幂乘除 am·an=am+n，am÷an=am-n 底数不变，指数加减 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 认准一同一反 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项别漏 2 变形公式 a2+b2=(a+b)2-2ab 知二推二 因式分解顺序 先提公因式后套公式 分解要彻底 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算与整式乘除化简（第1-7题） · 逆用法则时把不同底数幂化为同底数 · 混合运算先定符号再算系数与指数 · 整体代入已知幂的值，避免单独求底数 · 单项式相除不要漏抄只在被除式中的字母 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式四则混合运算、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算等知识点，明确掌握长方形的周长公式是解题的关键． 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则，再列出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和的公式求解即可． 【详解】解： 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则， ∴块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为：， 将代入上式中，得出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为． 故选D． 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式加减的应用、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式加减与除法的应用，正确列出代数式是解题关键．设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为，根据题意可得12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为，再根据开摩托车的遇到乘轻骑的是17时可得，根据摩托车在18时追上了骑自行车的可得，则可得，然后根据自行车与轻骑相遇时间为，代入化简计算即可得． 【详解】解：设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为， ∵坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时， ∴12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为， ∵开摩托车的遇到乘轻骑的是17时， ∴， ∴， ∵摩托车在18时追上了骑自行车的， ∴， ∴， ∴自行车与轻骑相遇时间为 ， 小时小时分， 12时经过3小时分的时间为， 即骑自行车的遇见乘轻骑的， 故选：A． 3．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 4．（2026九年级下·重庆·专题练习）一个四位正整数的各个数位上的数字均不为，且，，则称这个四位数为“两全其美数”．例如：四位数，因为，，且均不为，所以是“两全其美数”．则最小的“两全其美数”是______；若将的千位数字与百位数字互换，十位数字与个位数字互换，得到的新数记为，记，，若被除余，且，则所有满足条件的之和是______． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、列代数式 【分析】根据题意容易得到，当时，取得最小值；将和用代数式表示，从而得到，，根据被除余可判断被除余．利用构造方程整理得，因此、都是的因数，结合、的取值范围和被除余，计算得，或 ，。写出对应的，并求和即可． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ∵，， ∴当时，取得最小值，即最小的“两全其美数”是； ， ， ， ， ∴， ， ， 同理， ∴， ∵被除余， ∴被除余， ∴被除余， ∵，，，， 又∵，， ∴，， ∴，其中被除余的数为，，，，， ∵， ， ， ∴， 化简，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴、都是的因数， 又∵，， ∴，， ∴或或或 ∴或或或， 又∵或或或或， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∴所有满足条件的之和为． 5．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算 将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算． 【详解】 ， 又 ， ， ， 解得， ． 故答案为． 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题意，得，公式变形后代入计算解答即可． 本题考查了幂的运算，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由，得 ， 故， 又， 所以，， 故， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知，求的值________． 【答案】2026 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 【考点2】乘法公式的应用与化简求值（第8-18题） · 求值题优先用 a2+b2、(a-b)2 等变形整体代入 · 大数计算观察是否符合完全平方结构，逆用公式 · 含参数问题令对应项系数为 0 列方程 · 平方差公式认准「同平方减反平方」 8．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算、求不等式组的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 9．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】不等式的性质、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查不等式的性质，完全平方公式和非负数的性质，熟练掌握相关知识的关键． 由，可得，．利用不等式的性质和完全平方公式，在左边配方成，此时右边为，运用非负数的性质判断的范围，同理②③也可以判断出范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故①正确； 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故②正确； 同理可得，③也正确，共3个． 故选：D． 10．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与反比例函数的交点问题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题． 【详解】解：联立，得到， ， 设方程的两个根为，， ，， ， ， ， 直线与轴交于点， ， ． 故选：B． 11．（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的运用，掌握无理数与有理数的和差均为无理数是解题的关键． 由是有理数，展开得为有理数，设其为，则 为有理数．选项 D的表达式可化为 ，进一步利用已知条件化为 ，由于有理而无理，故无理，因此D正确．其他选项均可能为无理数或不满足条件，据此即可解答． 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用平方根解方程、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方． 结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：对于①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； 对于②：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴不存在整数，使得，故③正确． 故选：D． 13．（2025·重庆九龙坡·二模）一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99，那么就称这个数为“长久数”．“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3267，因为，所以3267是“长久数”且．最小的“长久数”是______．如果M是一个“长久数”，规定等于M的前两位数字之和，且是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是______． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、整式加减的应用、新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是新定义的含义，整式的加减运算，二元一次方程的正整数解的应用，由是“长久数”，最小的“长久数”可得，，再进一步可得，由题意可得 ；且是完全平方数，，结合M最大，可得，进一步求解可得答案. 【详解】解：∵是“长久数”， ∴，， ∵“长久数”要最小， ∴，， ∴， ∴，， ∴最小的“长久数”是； ∵等于M的前两位数字之和， ∴， ∵“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数， ∴， ∴ ， ∴ ； ∵，，，， ∴， 此时最大的完全平方数为， ∴ ， ∵最大，且， ∴， ∴当时，，舍去， 当时，，舍去， ∴不符合题意舍去， 当时，而， ∴，即， ∴当时，，舍去， 当时，， ∴， ∴，， ∴的最大值为：. 故答案为：， 14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】求出，，…中，或的个数是个，，，…中，的个数是个，的个数是个，的个数是个，据此进行解答即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵个数，，…从，，中取值． ∴，，…中，或的个数是，，，…中，的个数是， ∵，或的个数是，，，…中，的个数是， ∴比多个， 即的个数是（个），的个数是（个）， ∴ 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 【答案】理解判断：①②④；能力提升：①18；② 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查的是整式的乘法，同时考查了完全平方公式． （理解判断）对称式的新定义，进行计算确定是否相等即可； （能力提升）①得到和的式子，把，代入求值即可； ②把值代入，然后运用完全平方式，判断求出最值即可． 【详解】（理解判断）①，是对称式； ②，是对称式； ③，不是对称式； ④，是对称式； 故答案是：①②④； （能力提升）①， ，． ①∵，， ； ② ， ∴， ∴ ∴当时，对称式的最小值是． 故答案是：①②④，18，． 16．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知关于x的代数式，代数式（a、b为常数）． (1)A是一个关于x的完全平方式，则a的值为______； (2)若，求的值； (3)若，对于任意实数x，都有，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、实数的混合运算、不等式的性质、求完全平方式中的字母系数 【分析】（1）根据完全平方式的特点可得，据此可得答案； （2）根据可推出，解方程求出a、b的值即可得到答案； （3）可求出，由对于任意实数x，都有，得到，据此求出b的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴两平方项为，一次项为， ∴根据完全平方式的结构特征，有， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵代数式，代数式，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵代数式，代数式， ∴ ， ∵对于任意实数x，都有， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 17．（24-25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)４； (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用算术平方根的非负性解题、利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键． （1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）当时，由，可得时， 的最小值是； （3）设的面积为a，根据，得．可得四边形的面积，可得当时，四边形的面积的最小值为：． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为4； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的最大值为； 故答案为：4；； （2）解：当时， ∵， ∴当，即时， 的最小值是：． （3）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴． ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 【答案】(1)，，2，， (2)1，小，2 (3)有最小值，是2 (4)有最小值，是3，此时 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解决此题的关键是正确的计算； （1）把x的值代入得到答案即可； （2）根据表格数据观察可知当时，式子取得最大值； （3）根据完全平方公式配方即可； （4）把当作一个整体，再运用完全平方公式配方即可； 【详解】（1）解：填表如下： x … 1 2 3 … … 2 … （2）解：当时，有最小值，是2； 故答案为：1    小    2 （3）解∶． ， ∴当时，有最小值，是2． （4）解： ． ， 有最小值，是3，此时，即， 有最小值，是3，此时． 【考点3】因式分解及其应用（第19-25题） · 先提公因式再套公式，分解到不能再分 · 利用分解结果判断整除或化简分式 · 首项为负先提取负号 · 可用整式乘法还原检验分解结果 19．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）已知整式：，其中均为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中没有单项式； ②当时，存在一个整式可以因式分解为两个多项式的积； ③满足条件的整式共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】单项式的判断、因式分解的应用 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．根据均为正整数得，即可判断①；当时，存在整式如可因式分解，说法②正确﹔按，2，3分类计算：满足条件的整式总数为20，即可判断③． 【详解】解：∵均为正整数， ∴， 当整式为单项式时，， 故矛盾， ∴满足条件的所有整式中没有单项式， 故①正确； 当时，整式为， ∵， ∴， 当，，时， ，可因式分解， 故②正确﹔ 按，2，3分类计算： 当时，，，数量为4； 当时，，，数量为； 当时，，，数量为6； 总计个，说法③错误． 综上，正确个数为2个． 故选：C． 20．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查的因式分解，利用因式分解将已知条件化简，再通过展开目标表达式并合并同类项，发现其与已知条件中的代数式相等，从而得出结果． 【详解】已知 化简 由已知条件可知该式值为3 故选：C． 21．（2023七年级下·浙江·竞赛）若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 22．（四川省成都市七中育才学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷）在综合与实践活动课上，李老师让同学们画出矩形，使其各边均为整数．设矩形的面积为m，周长为n． ①若，则n的所有可能值为______； ②当时．若要使得每位同学画出的矩形一定互相全等，则m的值为______． 【答案】 或 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查方程的整数解，因式分解的应用． （1）设一边长为，则另一边长为，根据面积得到，然后得到，的整数解即可求出n的值； （2）设一边长为，则另一边长为，则有，，代入整理得，根据题意可得x，y的值计算解题． 【详解】解：①设一边长为，则另一边长为， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或或或， 则n为或， 故答案为：或； ②设一边长为，则另一边长为， 则，， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ∵每位同学画出的矩形一定互相全等， ∴是质数， 即为， ∴这个矩形的两边长为和， ∴m的值为， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“八喜数”，把数分解成的过程，称为“八喜分解”． 例如；22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”． 把一个“八喜数”进行“八喜分解"，即，与之和记为，与之差记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值与最小值的差是_________________． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、列代数式、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了因式分解的新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“八喜数”含义，能把A和B用含a和b的式子表示出来．设A的十位数为a，个位数为b，则B为根据能被8整除求出a的可能的值，再由a的值求出b的值，即可得出答案． 【详解】解：设A的十位数为a，个位数为b， 则，， ∴，， ∵能被8整除， ∴，为整数， ∴ ∴是4的倍数， ∴满足条件的a有2，6， 若，则 为整数， ∴ ∴是3的因数， ∴，，1，3， ∴满足条件的b有1，3，5，7， ∴或或或， ∴或， 若，则 为整数， ∴ ∴是8的因数， ∴，，，，1，2，4，8，又自然数M的个位数字不为0， ∴满足条件的b有2，3，5，6， ∴或或或， ∴或， 综上，M的值为或或或． 所以M的最大值与最小值的差． 故答案为：． 24．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①13；②95 【知识点】立方和与立方差公式分解因式、加减消元法 【分析】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； ②由，，，得到，求出，得到，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵，，， ∴，，即， ∴， 解得，， ∴原式． 25．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 证明：如图2中，连接 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，， ， ； (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、完全平方公式分解因式 【分析】因式分解结合非负性，得到，结合，进行求解即可； 如图2中，连接只要证明，即可解决问题； 结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解得， 故答案为：； （2）略 （3）解：结论： 理由：如图3中，作交OB于点， ， ， ， ， 同理， ， 由（2）知：， 即 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，因式分解，平行线的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题. 【考点4】乘法公式的几何背景与面积问题（第26-32题） · 用两种方式表示同一图形的面积列等式 · 熟悉平方差、完全平方的几何构图 · 动点或拼接问题先画图标注边长 · 面积等式常可作为证明公式的依据 26．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 27．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，长为，宽为的大长方形被分成7块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有________．（填①、②、③、④） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 【答案】①③④ 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、多项式乘多项式等知识点，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合n为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的长为、宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为，阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若n为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为，阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④． 故答案为：①③④． 28．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2) ①证明：由题意得，， 所以， 整理得：， 即， 所以， 所以 因为， 所以， 故，即， 所以a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． ②a，b，c的值分别为10，3，2． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的加减运算、不等式的性质、三角形三边关系的应用 【分析】（1）利用3个小正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积，列式即可； （2）①由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断； ②由，，可得，结合可得，推出或或，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）①略 ②解：由①得， 又， 所以， 又因为， 所以， 又为整数 即或或， 当时，， 则， 故， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，， 此时， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，，符合； 综上，a，b，c的值分别为10，3，2． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到 是解题的关键． 29．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【教材原题】 （1）通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图可以得到的公式为 ；如图可以得到的公式为 ； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图的图形，根据图中条件， 和4ab之间的等量关系为 ； 【结论应用】 （3）若 则 当时，求 的值； 【答案】（1），（2）（3）①30；②1900 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）图①根据“大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积”解答即可；图②根据“左下角正方形的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-两个长方形的面积” 解答即可； （2）根据“大正方形的面积=小正方形的面积长方形的面积”即可解答； （3）①由题意可得，然后代入相关结论求解即可； ②设，分别求出，，，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）图中大正方形的边长为，两个小正方形的边长分别为a，b，两个长方形的长和宽分别都是a，b， 图中大正方形的面积为两个小正方形的面积分别为，每个长方形的面积为， 又图中“大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积”， ； 图中左下角正方形的边长为，大正方形的边长为a，右上角小正方形的边长为 b，两个长方形的长和宽分别都是a，b， 图②中左下角正方形的面积为大正方形的面积分别为，小正方形的面积分别为，每个长方形的面积为， 又图②中“左下角正方形的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-两个长方形的面积”， 故答案为：； （2）图中大正方形的边长为，小正方形的边长为，两个长方形的长和宽分别都是a，b， 图中大正方形的面积为小正方形的面积为每个长方形的面积为， 又图中“大正方形的面积=小正方形的面积长方形的面积”， 和之间的等量关系为：； 故答案为：； （3）①由（1）可知： ， ， 故答案为：30； 设， ，， ， ， ， 由（2）可知： ． 30．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】先根据多项式乘多项式求出，根据甲、乙两个长方形周长相等，求出乙长方形的另外一条边长，根据多项式乘多项式再求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得 ， 图乙中长方形的长为： ， ， ． 31．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）综合与实践 通过对教材的学习，我们发现，公式可以用平面图形面积来表示． (1)观察发现 为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形组合的网格图． ①请观察图1，并根据面积关系计算：_______； ②请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：______； (2)探究迁移 仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示； (3)拓展应用 图4中的长方形面积能表示，当，均是大于2的正整数时，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) 如图， (3)或 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①将各部分面积相加，再合并同类项即可； ②根据图形，将各部分面积相加，再合并同类项，得到待求式子； （2）依照（1）结合式子画出图形即可； （3）先根据图形，列出面积的关系式，再结合已知式子，得到关于、的方程组，然后根据，均是大于2的正整数，求出的值． 【详解】（1）解：①大长方形的长为，宽为， 面积可表示为 ， 故答案为：； ②大长方形的长为，宽为， 面积可表示为 ， 故答案为：； （2）略 （3）由图形可得：，且， 又， 所以， ∵，均是大于2的正整数， ∴或， ∴当时，， 当时，． 32．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）如图， （2）①；②3； （3）； （4） 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 【考点5】新定义、规律探索与综合压轴（第33-45题） · 新定义先按规则代入特例，再推广一般情形 · 规律题多写前 3 项，列表找递推 · 综合题分小问，前后小问互相借力 · 压轴书写要完整，关键步骤不跳步 33．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行n次操作后所得多项式为．三个结论错误的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、计算多项式乘多项式 【分析】根据题意，计算出进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定③． 【详解】解：第1次操作后，得， 第2次操作后，得， ∴第2次操作后所得多项式项数是4， 故①错误； 第1次操作后，得， 第2次操作后，得， 第3次操作后，得， ∴将多项式以上述方式进行3次操作后， 多项式的所有系数和为，故②正确； 第1次操作后，得， 第2次操作后，得， 第3次操作后，得 第4次操作后，得… 第n次操作后，得，故③错误； 综上，错误的有①③共2个， 34．（2026·重庆·模拟预测）已知关于的整式，其中为正整数，为自然数， 为正整数，且满足．下列说法：（   ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式加减的应用、单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多项式 【分析】根据题目给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、代入法计算即可得到结果． 【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，为正整数，满足．验证①： 当时，， ， 是正整数， ， 又，或， 当，仅， 此时，， 当， 正整数解共3种：， 此时，每个． 所有的值总和为，①正确； 验证②： 若所有均为正整数，共有个系数，每个系数至少为1， ． ， ，解得． 是正整数， ，共3种可能，②正确． 验证③ ∵， ∴的所有奇次项系数之和为， 令，∴， 即（1）， 令，∴， 即（2）， 得， ∴的所有奇次项系数之和为，∴③正确； 综上，正确的说法共3个． 35．（25-26七年级下·河南郑州·期中）计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式求解，通过给原式补乘值为1的，不改变原式结果，再重复运用平方差公式计算得到最终结果． 【详解】解：∵，乘1不改变原式的值， ∴原式， ， ， ， ， ． 36．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 37．（2025·山东临沂·一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是__________．（填序号） 【答案】②③ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差， 故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故答案为：②③． 38．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、数字类规律探索 【分析】先利用平方差公式化简原式，得到乘积能被整除的条件：要么百位数字与个位数字的差是的倍数，要么百位数字加倍十位数字加个位数字是的倍数，再从小到大枚举得到结果． 【详解】解：设一个三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ∵这个三位数为“完全数”， ∴能被整除，且三个数字各不相同， ∵，且5是质数， ∴乘积能被整除等价于：是的倍数，或是的倍数． 若“完全数” 最小，则先取，再取最小的，此时不能为和， 从小到大验证： 若，则，不能被整除； 若，则，不能被整除； 若，，能被整除，且三个数字各不相同，因此最小的“完全数”是． 找第个“完全数”： 从小到大枚举百位为的“完全数”，去掉数字重复的情况，累计共得到个“完全数”， 分别为：， 接下来从小到大枚举百位为的“完全数”，前三个依次为（第个），（第个），（第个）， 因此第个“完全数”是． 39．（24-25九年级上·重庆万州·期中）对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是______；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是______． 【答案】 3674 4950 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用、数字问题(一元一次方程的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 根据“前和幂数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“前和幂数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到A的最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：∵是“前和幂数”， ∴， ∴， 这个数是3674； 设这个四位数，则， ， 四位数A是“前和幂数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的A的最大值是，最小值为1263， 它们的差为． 故答案为：3674；4950． 40．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 【答案】2704 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式， 证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等． ∴不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2026个智慧数在（组），并且是第组的最后一个数，即． 41．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【答案】(1)是，不是 (2)能，理由如下： 设两个正奇数分别是和， ， “和谐数”能被整除； (3)； 是“和谐数”， （为正整数）， 由知，， ， ， ， ， ， ， 是“和谐数”． 【知识点】因式分解的应用、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，进而表示出，再将和分别代入求解，据此判断即可； （2）根据“和谐数”的定义及完全平方公式进行说明即可； （3）先利用平方差公式化简的表达式，再利用“和谐数”的定义求解即可；利用中的结论将、转化为关于的表达式，再利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数， ， 令，解得，是正整数， 即， 是和谐数； 令， 解得，不是正整数， 不是和谐数； （2）略； （3）解：根据题意得：， 是“和谐数”， ； 略． 42．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 【答案】(1)（1）①，②，③，④，⑤， (2) (3)342 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键． （1）根据结果的规律得出答案； （2）将写成，通过（1）规律即可求解； （3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）由上式的规律可得，， ①故答案为：； 由题干中提供的等式的规律可得， ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； ④ 故答案为：； ⑤， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴取，，， ． 43．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【知识点】相反数的定义、整式加减的应用、整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且 不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 44．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）按照定义及积的乘方计算即可； （）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求的式子求解即可； （）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，个一组，从而可得答案． 【详解】（1）解：（1）①原式， ②原式． （2）解：∵，是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：由条件可知：， 即， ∴， 解得：， ∴， ∵， 有个加数，， ∴，则， ∴． 45．（2026·福建三明·三模）阅读材料，完成提出的任务． 九年级数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，其中，均为自然数．”的问题． 素材：该兴趣小组的指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数： 奇数 的倍数 表示结果 ____①____ … ____②____ … 一般结论 ____③____ ____④____ 素材：该数学兴趣小组还猜测：像，，，，…，这些形如（为正整数）的正整数不能表示为． 任务： (1)按上表的规律，①的内容是 ，②的内容是 ； (2)根据素材，若正整数为奇数时，请写出它的一般结论，③的内容是 ；若正整数为的倍数时，请写出它的一般结论，④的内容是 （用含的等式表示）； (3)根据素材，请判断该兴趣小组的猜测是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)①；② (2)③；④ (3)该兴趣小组的猜测正确，证明如下： 对任意自然数，，因式分解得：， 是偶数， 和都是奇数或都是偶数， 形如的正整数可写成：， 它只能分解为一个偶数一个奇数，即两个因数一奇一偶， 与“和同奇偶”相矛盾， 不能表示为，猜测正确． 【知识点】因式分解的应用、数字类规律探索、猜想与证明、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）观察奇数、4的倍数对应的例子中x、y与对应N的数值关系，按已有式子的规律补写即可； （2）对奇数的一般形式，利用平方差公式将其拆解为两个自然数的平方差形式，先写出4的倍数的一般含n的表达式，再类比已有例子的规律，利用平方差公式转化为两个自然数的平方差形式； （3）先将因式分解为，分析和的奇偶性，再判断是否满足的数的特征即可． 【详解】（1）解：根据题意得：①；②； （2）解：若正整数为奇数时， 由此得出规律：； 若正整数为的倍数时， 由此得出规律：； （3）略． 💯 课后巩固 复习建议 · 幂的混合运算先定号再算指数，逆用比硬算快 · 乘法公式背熟变形，化简求值坚持整体代入 · 因式分解按「先提后套、分解到底」执行 · 几何面积题用两种表示列等式，善用图形 · 新定义与规律题从特例入手，归纳后务必验证 【作业1】．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 【作业2】．（25-26八年级上·四川内江·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A．1 B．-1 C．4 D．49 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题完全平方公式的基本应用，能够读懂题意是解题关键； 先计算 ，利用完全平方公式和 化简，得到复数后，根据共轭复数的定义确定实部 和虚部 ，最后计算 ． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ 是 的共轭复数， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【作业3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 【作业4】．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、因式分解的应用 【分析】当时，整式，再结合，且，确定、、的取值组合，即可判断①；根据，且（且为整数），确定，，…，，的取值组合，即可判断②；由，得出，且，再结合，得出或，分别求解即可判断③． 【详解】解：当时，整式， ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，， ∴或或，共种，即满足条件的整式有3个，故①错误； ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数， ∴当时，，整式，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，，整式，有个， 当时，，整式，有1个， ∴所有满足条件的整式有个，故②正确； ∵， ∴，且， ∵， ∴或， 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，，此时整式， 当时，，此时为正整数，其和至少为，故无合适的解，故不符合题意； 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，或，此时整式或， 当时，，， 解得：，，此时整式， ∴所有满足条件的整式的和为 ，故③错误； 综上所述，正确的有②，共个． 【作业5】．（2026九年级下·重庆·专题练习）已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】先写出多项式，再归纳系数规律，即可判断①；先确定多项式，然后分三种情况，分别利用二次函数求最值即可判断②；列举出满足条件的所有多项式即可判断③． 【详解】解：①：∵，为偶数 ∴ 令，得 令，得 ∴，故①正确； ②当，时，由得，即， 又∵，为正整数，为整数，可得所有满足条件的组合： ①，此时，最小值为； ②，此时，最小值为； ③，此时，最小值为； ∵ ， ∴满足条件的的最小值为，故②正确； ③当时，由得，即， 又，为正整数，按分类枚举： ①：此时，满足条件的组合为，共2种； ② ：此时，满足条件的组合为，共3种； ③：此时，满足条件的组合为，共2种； ∴总共有种，故③错误． 综上，正确的说法有2个． 【作业6】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 【答案】4053 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 【作业7】．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 【答案】 9 4317 【知识点】整式加减的应用、平方差公式分解因式、数字问题(二元一次方程组的应用)、不等式的性质 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解、解二元一次方程组、不等式的性质，理解“七上八下数”的定义是解题的关键．根据“七上八下数”的定义以及为完全平方数，分析得出数字的四位数形式为，则有是8的倍数，结合为完全平方数得出，此时，；根据题意可得是7的倍数，得出或，由是3的倍数，得到或，再利用平方差公式和二元一次方程组的知识，分类讨论求出的值，即可得出数字的值． 【详解】解： ， ①若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，不是平方数，舍去； ②若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，是平方数，此时，； 由题意得，是7的倍数， ，， ， 或， 或， 是3的倍数，即是3的倍数， 或， 或或或， 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，符合题意，此时； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，，． 故答案为：9；4317． 【作业8】．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则_____，_____． 【答案】 2 3 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、单项式乘多项式的应用、加减消元法 【分析】先根据乘法公式和单项式乘以多项式的运算法则把“数值转换机”里面的多项式去括号，然后合并同类项化简，再根据依次输入数a，b，输出的新数是0，依次输入数b，a，输出的新数是，建立关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵依次输入数a，b，输出的新数是0，依次输入数b，a，输出的新数是， ∴， ∴． 【作业9】．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：，，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼接到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为_________． 【答案】3200 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】根据题意，易得第1个阴影部分的面积为，第2个阴影部分的面积为，第3个阴影部分的面积为，第4个阴影部分的面积为，每个阴影部分的面积比上一个增加了16；最后一个阴影部分的面积为，这是第20个阴影的面积；所有阴影部分的面积之和即可求得． 【详解】解：根据题意，第1个阴影部分的面积为， 第2个阴影部分的面积为， 第3个阴影部分的面积为， 第4个阴影部分的面积为，， 最后一个阴影部分的面积为，因此这是第20个阴影部分， 所有阴影部分的面积为：． 故答案为：3200． 【作业10】．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、幂的乘方的逆用 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 【作业11】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若满足，，，，则的值为______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、加减消元法、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是整体代换的思想． 由得到，，代入中得，同理由得到，，代入中得，再联立方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．① ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．② 得． 【作业12】．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）已知， ，求和的值； （2）已知，求（的值． 【答案】（1），；（2）． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，包含完全平方和以及完全平方差．解题关键在于熟练掌握完全平方公式，并能根据已知条件灵活对公式进行变形应用．（1）对于求的值，根据完全平方公式，将已知的与的值代入该公式，通过变形可求出．对于求的值，先根据完全平方公式将其展开为，再把与已求出的的值代入计算．（2）运用整体代入设，将与转化为用表示的形式，即， ．然后将其代入已知等式，得到关于的方程，求解该方程得出的值，也就是的值． 【详解】解：（1）， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）设，则 ，， 则原方程化为， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【作业13】．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）阅读下列材料： 若一个正整数能表示成（，是正整数，且）的形式，则称这个数为“求知求真数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“求知求真数”，3与2是5的一个平方差分解，再例如：（，是正整数），所以是“求知求真数”，与是的一个平方差分解． (1)判断：9____________“求知求真数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是的一个平方差分解，请用含，的代数式表示； (3)已知（，是正整数，是常数，且），要使是“求知求真数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)（符合条件即可） 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算、完全平方公式分解因式 【分析】（1）将9分解为两个正整数的平方差即可判断． （2）根据平方差分解的定义，利用平方差公式展开化简即可得到P． （3）通过配方将N整理为平方差加常数的形式，令常数项为0，即可得到符合条件的k值． 【详解】（1）解：，且，为正整数，， 是“求知求真数”． （2）∵， ∴， ∵与是的一个平方差分解， ∴． （3） ． 要使是“求知求真数”，只需令常数项， 解得， 此时， ，是正整数，且， ，和都是正整数，符合“求知求真数”的定义， 因此符合条件． 【作业14】．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 【作业15】．（25-26七年级下·广西桂林·期末）综合与实践：探究日历中的数学规律：我们利用的方框在日历上框出一些数，选取位于方框中四个角处的4个数，设这4个数分别为，，，（），（图①②③分别为，，方框示意图），下面我们探索日历中运算结果的规律． 【特例探究】如图④是2026年1月份的日历，我们用方框在该日历上框出一些数，计算和猜想的结果： 若框住的数为1，2，8，9，则____A____； 若框住的数为2，3，9，10，则____A____； 若框住的数为4，5，11，12，则____A_____；… 由此，可猜想：____A_____． (1)直接写出的值； 【推理演绎】 (2)通过特例分析，我们猜想所有日历中，在方框内的结果都不变，请你将证明过程补充完整； 证明：设，则，，．… 【类比应用】 (3)用的方框框住任意日历上的9个数，证明的值为固定值； (4)用的方框框住任意日历上的16个数，直接写出的值与（1）中值的比值．（直接写出结论，不用证明） 【答案】(1)； (2)， ， ， ； (3)在的方框中，设，则，，， ， ， ， ； (4)9． 【知识点】整式加减的应用、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）通过计算得出A的值； （2）通过完全平方公式进行加减计算，去括号，合并同类项，得出结果； （3）通过完全平方公式进行加减计算，去括号，合并同类项，得出结果； （4）先计算的方框中的值，再与（1）中值相除，求比值． 【详解】（1）解：若框住的数为1，2，8，9，则， ； 若框住的数为2，3，9，10，则， ； 若框住的数为4，5，11，12，则， ； 由此，可猜想：； （2）略 （3）略 （4）在的方框中，设，则，，， ， ， ， ； ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章·整式的乘除·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练进行幂的混合运算并能逆用幂的法则整体求值 · 灵活运用平方差、完全平方公式进行化简、求值与推理证明 · 会用因式分解解决化简求值、整除判断与代数式变形问题 · 能从几何图形中抽象出乘法公式并解决面积类综合题 · 掌握新定义、规律探索类压轴题的一般解题套路 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算与整式乘除 am·an=am+n、am÷an=am-n、(am)n=amn、(ab)n=anbn 法则既可正用化简，也可逆用把不同幂化为同底数整体代入 单项式乘除、多项式乘多项式按法则展开后合并同类项 混合运算注意运算顺序与符号，含负号先定号 概念辨析例题：已知 10m=20，10n=4，求 102m-n 的值。 答案：102m-n=(10m)2÷10n=202÷4=100。 解析：逆用幂的乘方与同底数幂除法，整体代入已知幂的值，避免先求 m、n。 ☆ 2.乘法公式的灵活运用 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 常用变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab，(a+b)2-(a-b)2=4ab 求值题知二推二：已知 a+b、a-b、ab、a2+b2 中任意两个可求其余 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，用于求不含某项的系数 概念辨析例题：已知 x+y=5，xy=3，求 x2+y2 与 (x-y)2 的值。 答案：x2+y2=(x+y)2-2xy=25-6=19；(x-y)2=(x+y)2-4xy=25-12=13。 解析：利用完全平方公式的变形整体代入，不必单独求 x、y。 ☆ 3.因式分解及其应用 因式分解与整式乘法互为逆变形，结果必须是几个整式的积 步骤：先提公因式，再套用公式，分解到不能再分为止 a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 应用：化简求值、判断整除、解特殊方程与代数式证明 概念辨析例题：利用因式分解计算：20262-2026×52+262。 答案：原式=20262-2×2026×26+262=(2026-26)2=20002=4000000。 解析：观察结构符合完全平方公式 a2-2ab+b2，逆用公式可避免大数硬算。 ☆ 4.几何背景与新定义规律探究 平方差、完全平方公式可由面积图形验证，常与几何面积结合命题 新定义题先读懂规则符号，再按规则代入并推广到一般情形 规律题从特殊前几项入手，列表找递推关系，归纳一般式后验证 综合压轴题分小问推进，前后小问相互提示 概念辨析例题：从 1 开始连续奇数求和：1=12，1+3=22，1+3+5=32，猜想 1+3+5+…+(2n-1)=？ 答案：猜想 1+3+5+…+(2n-1)=n2。 解析：前三项分别为 12、22、32，第 n 个图对应 n2，可用正方形面积分割验证。 📋 知识总结表 名称 公式/法则 注意事项 同底数幂乘除 am·an=am+n，am÷an=am-n 底数不变，指数加减 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 认准一同一反 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项别漏 2 变形公式 a2+b2=(a+b)2-2ab 知二推二 因式分解顺序 先提公因式后套公式 分解要彻底 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算与整式乘除化简（第1-7题） · 逆用法则时把不同底数幂化为同底数 · 混合运算先定符号再算系数与指数 · 整体代入已知幂的值，避免单独求底数 · 单项式相除不要漏抄只在被除式中的字母 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026九年级下·重庆·专题练习）一个四位正整数的各个数位上的数字均不为，且，，则称这个四位数为“两全其美数”．例如：四位数，因为，，且均不为，所以是“两全其美数”．则最小的“两全其美数”是______；若将的千位数字与百位数字互换，十位数字与个位数字互换，得到的新数记为，记，，若被除余，且，则所有满足条件的之和是______． 5．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______． 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 7．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知，求的值________． 【考点2】乘法公式的应用与化简求值（第8-18题） · 求值题优先用 a2+b2、(a-b)2 等变形整体代入 · 大数计算观察是否符合完全平方结构，逆用公式 · 含参数问题令对应项系数为 0 列方程 · 平方差公式认准「同平方减反平方」 8．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 11．（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 12．（24-25八年级上·重庆·期中）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2025·重庆九龙坡·二模）一个四位自然数M的各个数位上的数字互不相等且都不为0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于99，那么就称这个数为“长久数”．“长久数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3267，因为，所以3267是“长久数”且．最小的“长久数”是______．如果M是一个“长久数”，规定等于M的前两位数字之和，且是一个完全平方数，则满足条件的M的最大值是______． 14．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 16．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知关于x的代数式，代数式（a、b为常数）． (1)A是一个关于x的完全平方式，则a的值为______； (2)若，求的值； (3)若，对于任意实数x，都有，求的取值范围． 17．（24-25七年级上·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 【考点3】因式分解及其应用（第19-25题） · 先提公因式再套公式，分解到不能再分 · 利用分解结果判断整除或化简分式 · 首项为负先提取负号 · 可用整式乘法还原检验分解结果 19．（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）已知整式：，其中均为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中没有单项式； ②当时，存在一个整式可以因式分解为两个多项式的积； ③满足条件的整式共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2023七年级下·浙江·竞赛）若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 22．（四川省成都市七中育才学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷）在综合与实践活动课上，李老师让同学们画出矩形，使其各边均为整数．设矩形的面积为m，周长为n． ①若，则n的所有可能值为______； ②当时．若要使得每位同学画出的矩形一定互相全等，则m的值为______． 23．（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数为“八喜数”，把数分解成的过程，称为“八喜分解”． 例如；22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”． 把一个“八喜数”进行“八喜分解"，即，与之和记为，与之差记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值与最小值的差是_________________． 24．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 25．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 【考点4】乘法公式的几何背景与面积问题（第26-32题） · 用两种方式表示同一图形的面积列等式 · 熟悉平方差、完全平方的几何构图 · 动点或拼接问题先画图标注边长 · 面积等式常可作为证明公式的依据 26．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 27．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，长为，宽为的大长方形被分成7块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有________．（填①、②、③、④） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 28．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 29．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【教材原题】 （1）通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图可以得到的公式为 ；如图可以得到的公式为 ； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图的图形，根据图中条件， 和4ab之间的等量关系为 ； 【结论应用】 （3）若 则 当时，求 的值； 30．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 31．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）综合与实践 通过对教材的学习，我们发现，公式可以用平面图形面积来表示． (1)观察发现 为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形组合的网格图． ①请观察图1，并根据面积关系计算：_______； ②请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：______； (2)探究迁移 仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示； (3)拓展应用 图4中的长方形面积能表示，当，均是大于2的正整数时，直接写出的值． 32．（25-26八年级上·山东日照·期末）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【考点5】新定义、规律探索与综合压轴（第33-45题） · 新定义先按规则代入特例，再推广一般情形 · 规律题多写前 3 项，列表找递推 · 综合题分小问，前后小问互相借力 · 压轴书写要完整，关键步骤不跳步 33．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行n次操作后所得多项式为．三个结论错误的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 34．（2026·重庆·模拟预测）已知关于的整式，其中为正整数，为自然数， 为正整数，且满足．下列说法：（   ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 35．（25-26七年级下·河南郑州·期中）计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 37．（2025·山东临沂·一模）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是__________．（填序号） 38．（25-26七年级下·四川成都·期末）一个三位数，三个数位上的数字各不相同，用百位数字与十位数字和的平方减去十位数字与个位数字和的平方，若结果的绝对值能够被5整除，则称这个三位数为“完全数”．例如930是一个“完全数”．根据定义回答：最小的“完全数”是_______，将这些“完全数”从小到大进行排列，则第23个“完全数”为_______． 39．（24-25九年级上·重庆万州·期中）对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是______；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是______． 40．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 41．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 42．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 43．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 44．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 45．（2026·福建三明·三模）阅读材料，完成提出的任务． 九年级数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，其中，均为自然数．”的问题． 素材：该兴趣小组的指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数： 奇数 的倍数 表示结果 ____①____ … ____②____ … 一般结论 ____③____ ____④____ 素材：该数学兴趣小组还猜测：像，，，，…，这些形如（为正整数）的正整数不能表示为． 任务： (1)按上表的规律，①的内容是 ，②的内容是 ； (2)根据素材，若正整数为奇数时，请写出它的一般结论，③的内容是 ；若正整数为的倍数时，请写出它的一般结论，④的内容是 （用含的等式表示）； (3)根据素材，请判断该兴趣小组的猜测是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 💯 课后巩固 复习建议 · 幂的混合运算先定号再算指数，逆用比硬算快 · 乘法公式背熟变形，化简求值坚持整体代入 · 因式分解按「先提后套、分解到底」执行 · 几何面积题用两种表示列等式，善用图形 · 新定义与规律题从特例入手，归纳后务必验证 【作业1】．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·四川内江·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A．1 B．-1 C．4 D．49 【作业3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【作业4】．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业5】．（2026九年级下·重庆·专题练习）已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业6】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 【作业7】．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 【作业8】．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则_____，_____． 【作业9】．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：，，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼接到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为_________． 【作业10】．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 【作业11】．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若满足，，，，则的值为______． 【作业12】．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）已知， ，求和的值； （2）已知，求（的值． 【作业13】．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）阅读下列材料： 若一个正整数能表示成（，是正整数，且）的形式，则称这个数为“求知求真数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“求知求真数”，3与2是5的一个平方差分解，再例如：（，是正整数），所以是“求知求真数”，与是的一个平方差分解． (1)判断：9____________“求知求真数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是的一个平方差分解，请用含，的代数式表示； (3)已知（，是正整数，是常数，且），要使是“求知求真数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由． 【作业14】．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【作业15】．（25-26七年级下·广西桂林·期末）综合与实践：探究日历中的数学规律：我们利用的方框在日历上框出一些数，选取位于方框中四个角处的4个数，设这4个数分别为，，，（），（图①②③分别为，，方框示意图），下面我们探索日历中运算结果的规律． 【特例探究】如图④是2026年1月份的日历，我们用方框在该日历上框出一些数，计算和猜想的结果： 若框住的数为1，2，8，9，则____A____； 若框住的数为2，3，9，10，则____A____； 若框住的数为4，5，11，12，则____A_____；… 由此，可猜想：____A_____． (1)直接写出的值； 【推理演绎】 (2)通过特例分析，我们猜想所有日历中，在方框内的结果都不变，请你将证明过程补充完整； 证明：设，则，，．… 【类比应用】 (3)用的方框框住任意日历上的9个数，证明的值为固定值； (4)用的方框框住任意日历上的16个数，直接写出的值与（1）中值的比值．（直接写出结论，不用证明） 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $