第11章· 整式的乘除·期中复习讲义 ·2026-2027学年华师大版八年级数学上册

第11章·整式的乘除·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方运算法则并能逆用 · 会进行单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算 · 熟练运用平方差公式与完全平方公式进行化简、求值与推理 · 理解因式分解的意义，会用提公因式法与公式法分解因式 · 能综合运用整式乘除与乘法公式解决化简求值、图形面积与规律探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算 同底数幂相乘：am·an=am+n（a≠0，m、n 为整数） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=anbn 同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0）；a0=1（a≠0） 法则既可正用也可逆用，逆用常把不同底数化为同底数 概念辨析例题：已知 2m=4，2n=16，求 2m+n 与 22m-n 的值。 答案：2m+n=2m·2n=4×16=64；22m-n=(2m)2÷2n=16÷16=1。 解析：逆用法则：同底数幂相乘拆开为乘、幂的乘方与同底数幂相除还原，避免先求 m、n。 ☆ 2.整式的乘法 单项式乘单项式：系数相乘，同字母幂相乘，只在一个因式中出现的字母连同指数照抄 单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc，注意不漏项与符号 多项式乘多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，常用于确定乘积中不含某项的字母系数 概念辨析例题：计算 (2x-1)(x+3)，并求结果中 x 项的系数。 答案：(2x-1)(x+3)=2x2+6x-x-3=2x2+5x-3，x 项系数为 5。 解析：按多项式乘多项式法则展开，合并同类项后再指定项的系数。 ☆ 3.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 常见变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 公式既可正用计算，也可逆用因式分解，注意公式结构特征 概念辨析例题：已知 a+b=5，ab=6，求 a2+b2 的值。 答案：a2+b2=(a+b)2-2ab=25-12=13。 解析：利用完全平方公式的变形，整体代入 a+b 与 ab，不必单独求 a、b。 ☆ 4.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，与整式乘法互为逆变形 提公因式法：先找系数最大公约数与相同字母最低次幂，提取公因式 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 一般步骤：先提公因式，再用公式，分解到每个因式不能再分为止 概念辨析例题：分解因式：3x3-12x。 答案：3x3-12x=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2)。 解析：先提取公因式 3x，再对 x2-4 用平方差公式继续分解。 📋 知识总结表 名称 公式/法则 注意事项 同底数幂乘法 am·an=am+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 一同一反两项相乘 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项为 ±2ab 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 首项为负先提负号 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-9题） · 区分同底数幂乘除与幂的乘方：加减指数 vs 相乘指数 · 积的乘方要给每个因式分别乘方 · 逆用法则时把不同底数化为同底数再合并 · 注意负号与零指数幂 a0=1（a≠0） 1．（24-25九年级下·湖南娄底·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·北京昌平·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·山东临沂·期末）计算：的值是（    ） A． B． C．0 D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如果，，那么_____． 6．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算：___________． 7．（24-25八年级上·福建福州·期中）______． 8．（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 9．（25-26七年级下·广东佛山·期末）计算：． 【考点2】整式乘法（第10-27题） · 单项式相乘不漏抄只在一个因式中出现的字母 · 单项式乘多项式不要漏乘常数项与符号 · 多项式相乘展开后必须合并同类项 · 不含某项问题令该项系数为 0 列方程 10．（22-23七年级下·广西南宁·阶段检测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，是的中点，是上一点，分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．64 B．82 C．59 D．57 12．（25-26七年级上·上海·期中）如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 13．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 15．（25-26九年级上·重庆·期中）对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2026·湖北随州·一模）已知，则代数式的值是________． 17．（23-24八年级上·重庆·阶段检测）计算＝_____． 18．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则______． 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为________ 21．（24-25八年级上·北京·期中）若 的积中不含、x项，则_______ 22．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 23．（23-24八年级上·广东江门·期中）先化简，再求值：，其中． 24．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中． 25．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 26．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 【考点3】乘法公式：平方差与完全平方（第28-40题） · 平方差公式认准「同一平方减相反平方」结构 · 完全平方公式中间项是 ±2ab，不要漏掉系数 2 · 求值题善用 a2+b2、(a-b)2 等变形整体代入 · 几何图形题用面积关系验证公式 28．（2025·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）若 是一个完全平方式，则常数k的值为（      ） A． B．4 C． D．2 30．（25-26八年级上·山东·期末）如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 31．（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 32．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是_________． 33．（24-25七年级上·山西长治·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则的值为________． 34．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是______； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式______； （3）运用得到的公式，计算：______． 35．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内因式分解：_____． 36．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知非零实数满足，，则________． 37．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 38．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 39．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题： 在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若a，b满足，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 40．（23-24七年级下·四川成都·阶段检测）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【考点4】因式分解（第41-49题） · 先提公因式再用公式，顺序不能反 · 首项系数为负时先提取负号 · 分解要彻底，直到每个因式都不能再分 · 可用整式乘法还原检验结果 41．（2024·河北秦皇岛·二模）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 43．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 44．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段检测）因式分解：______． 45．（2024·江西吉安·二模）因式分解：______． 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若实数满足，，则的值是______． （2）若，则的值为______． 47．（22-23八年级上·山东日照·期末）分解因式 (1)； (2)． 48．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）分解因式：． 49．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）因式分解： (1) (2) 【考点5】整式乘除的综合应用与规律探索（第50-52题） · 化简求值题先化简再代入，避免直接代入大数 · 图形面积题用不同方式表示同一面积列等式 · 规律题从特殊项入手归纳一般式并验证 · 综合题分小问，前后小问相互提示 50．（2025·江西·模拟预测）小明用4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形（如图①所示），且他用这些还能拼成图②所示的长方形， 则长方形的面积为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 51．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将如图称为“杨辉三角”． … 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4    11   5   10   10   5   1 … 则展开式中所有项的系数和是（     ） A．256 B．128 C．64 D．32 52．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）小明在计算时，把括号内前的减号不小心看成了乘号，最后计算的错误结果是，那么正确的结果是______． 💯 课后巩固 复习建议 · 先记牢幂的四条法则，再做混合运算，避免指数运算混淆 · 乘法公式要背熟结构，做题时先判断用哪个公式 · 因式分解坚持「先提公因式、再用公式」的顺序并分解到底 · 化简求值优先整体代入，减少计算量 · 规律与几何应用题多画图、多列面积等式 【作业1】．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段检测）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24七年级下·山东泰安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知，，则______． 【作业7】．（22-23七年级下·陕西西安·阶段检测）填空：（ __________ ）n． 【作业8】．（24-25七年级下·江西九江·期中）计算：_______． 【作业9】．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）我们把形如的式子称为完全平方式，已知是一个完全平方式，若，则的值为_______． 【作业10】．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）若，则的值为________． 【作业11】．（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则的值为_______． 【作业12】．（20-21八年级下·北京·阶段检测）若，，则________． 【作业13】．（23-24八年级上·青海西宁·期末）分解因式：． 【作业14】．（23-24七年级下·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； 【作业15】．（23-24八年级上·四川巴中·期中）小莉家的住房结构如图所示，小莉的爸爸打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少m2的地砖？如果每1m2地砖的价格是a元钱，则购买地砖至少需要多少钱？    【作业16】．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）数学课上老师给出这样一道题，若满足，求的值．小明同学经过观察思考，做出如下解法，老师将其解法分享给大家： 解：设，则， 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)【初步应用】若，求的值； (2)【类比探究】若满足，则的值为__________． (3)【拓展提升】已知正方形ABCD的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是18，分别以为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 【作业17】．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）（1）计算： （2）因式分解： 【作业18】．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）已知，求的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章·整式的乘除·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方运算法则并能逆用 · 会进行单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算 · 熟练运用平方差公式与完全平方公式进行化简、求值与推理 · 理解因式分解的意义，会用提公因式法与公式法分解因式 · 能综合运用整式乘除与乘法公式解决化简求值、图形面积与规律探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.幂的运算 同底数幂相乘：am·an=am+n（a≠0，m、n 为整数） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=anbn 同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0）；a0=1（a≠0） 法则既可正用也可逆用，逆用常把不同底数化为同底数 概念辨析例题：已知 2m=4，2n=16，求 2m+n 与 22m-n 的值。 答案：2m+n=2m·2n=4×16=64；22m-n=(2m)2÷2n=16÷16=1。 解析：逆用法则：同底数幂相乘拆开为乘、幂的乘方与同底数幂相除还原，避免先求 m、n。 ☆ 2.整式的乘法 单项式乘单项式：系数相乘，同字母幂相乘，只在一个因式中出现的字母连同指数照抄 单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc，注意不漏项与符号 多项式乘多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，常用于确定乘积中不含某项的字母系数 概念辨析例题：计算 (2x-1)(x+3)，并求结果中 x 项的系数。 答案：(2x-1)(x+3)=2x2+6x-x-3=2x2+5x-3，x 项系数为 5。 解析：按多项式乘多项式法则展开，合并同类项后再指定项的系数。 ☆ 3.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 常见变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 公式既可正用计算，也可逆用因式分解，注意公式结构特征 概念辨析例题：已知 a+b=5，ab=6，求 a2+b2 的值。 答案：a2+b2=(a+b)2-2ab=25-12=13。 解析：利用完全平方公式的变形，整体代入 a+b 与 ab，不必单独求 a、b。 ☆ 4.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，与整式乘法互为逆变形 提公因式法：先找系数最大公约数与相同字母最低次幂，提取公因式 公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2 一般步骤：先提公因式，再用公式，分解到每个因式不能再分为止 概念辨析例题：分解因式：3x3-12x。 答案：3x3-12x=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2)。 解析：先提取公因式 3x，再对 x2-4 用平方差公式继续分解。 📋 知识总结表 名称 公式/法则 注意事项 同底数幂乘法 am·an=am+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 一同一反两项相乘 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项为 ±2ab 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 首项为负先提负号 ⚠️ 核心考点 【考点1】幂的运算（第1-9题） · 区分同底数幂乘除与幂的乘方：加减指数 vs 相乘指数 · 积的乘方要给每个因式分别乘方 · 逆用法则时把不同底数化为同底数再合并 · 注意负号与零指数幂 a0=1（a≠0） 1．（24-25九年级下·湖南娄底·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项 【分析】本题考查了整式的运算，包括合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的运算是解决本题的关键． 根据同底数幂的运算以及合并同类项的概念判断选项即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：D ． 2．（23-24七年级下·北京昌平·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘，根据合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方，同底数幂相乘，逐项判断即可求解． 【详解】解：A：，故选项A错误； B：，故选项B正确； C：，故选项C错误； D：，故选项D错误； 故选：B． 3．（21-22八年级上·山东临沂·期末）计算：的值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查幂的运算性质，可通过提取公因式化简式子，直接得出结果． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，正确的运算是解题的关键． 根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意； B、，该选项正确，不符合题意； C、，该选项错误，符合题意； D、，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如果，，那么_____． 【答案】3 【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算 【分析】本题考查代数式求值，幂的乘方，含乘方的有理数混合运算，掌握知识点是解题的关键． 直接代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 6．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算：___________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．先计算乘方，再利用同底数幂相乘法则计算乘积． 【详解】解：原式， ， 故答案为． 7．（24-25八年级上·福建福州·期中）______． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握积的乘方幂的乘方运算法则成为解题的关键． 先根据积的乘方幂的乘方运算法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用 【详解】（1）解：，， 且， ， 即； （2）解：，，， 且， ， 即． 9．（25-26七年级下·广东佛山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项 【详解】解：原式 ． 【考点2】整式乘法（第10-27题） · 单项式相乘不漏抄只在一个因式中出现的字母 · 单项式乘多项式不要漏乘常数项与符号 · 多项式相乘展开后必须合并同类项 · 不含某项问题令该项系数为 0 列方程 10．（22-23七年级下·广西南宁·阶段检测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、计算单项式乘单项式、幂的乘方运算 【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A.，故计算错误，不符合题意； B.，故计算错误，不符合题意； C.，故计算错误，不符合题意； D.，故计算正确，符合题意. 11．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，是的中点，是上一点，分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．64 B．82 C．59 D．57 【答案】D 【知识点】单项式乘多项式的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】根据题意知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，由给出的条件即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵，， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∵点是的中点，    ∴， ∴， ， ∴ ． 12．（25-26七年级上·上海·期中）如果P、Q都是关于x的整式，且是一个九次式，是一个五次式，那么（   ） A．的次数一定是9 B．的次数一定是5 C．的次数一定是4 D．的次数无法确定 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的乘法，整式的加减运算，根据是一个九次式，是一个五次式，得到一个是五次式，一个是四次式，进而得到的次数一定是5，即可． 【详解】解：∵是一个九次式，是一个五次式， ∴一个是五次式，一个是四次式， ∴的次数一定是5； 故选B． 13．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用 【分析】本题考查多项式的因式分解与整数性质的综合应用，解题关键是利用多项式乘法展开后对应系数相等，枚举所有满足条件的整数对计算k的可能值，进而判断选项. 【详解】解：∵ ∴对比系数可得， ∵a、b为整数且 ∴所有满足条件的整数对及对应k值为： ； ； ； ； ； ； （交换a、b位置，k值不变，略） ∴k的可能值为，6不在其中 ∴k的值不可能是6， 故选：A， 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：由题意得 ， ∵关于x的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， ∴乘积的一次项系数为． 15．（25-26九年级上·重庆·期中）对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式的“积差操作”，需要列出所有可能的操作组合，计算结果，并判断各说法的正确性． 【详解】解：； ； ； ； ； 结果中，有不同结果有5种：0、、、、． 说法：存在结果为0的操作，0总是3的倍数，正确．   说法：存在结果为0的操作，错误．   说法：有5种不同结果，正确． 正确个数为2． 故选：C． 16．（2026·湖北随州·一模）已知，则代数式的值是________． 【答案】6 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题意，然后将原式转化为，即可得出答案． 【详解】解：， ， ∴． 17．（23-24八年级上·重庆·阶段检测）计算＝_____． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算方法是解题的关键．数字乘数字，字母乘字母即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则______． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程，先利用整式乘法去掉括号，再合并同类项，最后求解一元一次方程即可． 【详解】解： 故答案为：． 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 【答案】6 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要（张）． 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为________ 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·北京·期中）若 的积中不含、x项，则_______ 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据乘积中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的积中不含项， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 22．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，运用相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 23．（23-24八年级上·广东江门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，30 【知识点】计算多项式乘多项式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】运用整式的混合运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， 其中， ∴原式． 25．（23-24七年级上·上海长宁·期中），求的值． 【答案】4 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式，先对等式左边进行变形得，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，解得： 26．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1) (2)或或． 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据定义先计算多项式的乘法运算，再分类讨论的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）解：∵①，， ②，， ③，， ∵多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式， 当是一组平衡多项式时， ∴，解得：， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得：， 综上：或或． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题： (1)如果，求和的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据求出，即可； （2）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据，求出、，然后把所求整式利用多项式乘多项式法则展开，再把和的值代入进行计算即可； 解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵， ∴，； （2）∵ ， 又∵， ∴，， ∴ ． 【考点3】乘法公式：平方差与完全平方（第28-40题） · 平方差公式认准「同一平方减相反平方」结构 · 完全平方公式中间项是 ±2ab，不要漏掉系数 2 · 求值题善用 a2+b2、(a-b)2 等变形整体代入 · 几何图形题用面积关系验证公式 28．（2025·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、积的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 29．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）若 是一个完全平方式，则常数k的值为（      ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构即可求得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 故选：A． 30．（25-26八年级上·山东·期末）如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 根据得到，根据得到，结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 31．（24-25七年级下·四川成都·期中）若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【答案】13或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， 又，， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即， 当时，解得， 当时，解得， 32．（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是_________． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法、积的乘方的逆用、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·山西长治·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则的值为________． 【答案】18 【知识点】数字类规律探索、通过对完全平方公式变形求值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键．每个圆圈上的四个数字的和都等于21，则三个大圆圈上的数字之和为63，可得，由于，进而得，再结合即可解决问题． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个大圆圈上的数字之和为：， 则各小圆圈的数字之和为：， ∵、、都加了两次， ， ， ， ， 而各圆圈的数字的平方和为， ∵三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得， ， ． 故答案为：18． 34．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是______； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式______； （3）运用得到的公式，计算：______． 【答案】 / 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内因式分解：_____． 【答案】 【知识点】实数的性质、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了实数范围内因式分解，首先配成完全平方公式，然后利用平方差公式进行因式分解即可，配成完全平方公式及熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知非零实数满足，，则________． 【答案】 【知识点】立方和与立方差公式分解因式、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是找到相应的公式进行转换．由已知条件和，得出，用立方和公式进行转换，再从中找到相应规律求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵由， ∴ ， ∴， ∵， ∵， 代入得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 当时 ∴ 故答案为： 37．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8； (2)． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）将两个已知等式相减求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①，②， ①②得：， 则． （2）①②得：， 即． 38．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 39．（24-25八年级上·福建泉州·期末）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题： 在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若a，b满足，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 【答案】(1) (2) (3)和的长分别为，． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式分解因式、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由完全平方公式得到，利用整体代入求值即可； （2）根据题意得到，，利用乘法公式即可得到答案； （3）根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵长为，长为，且．长方形的周长为，面积为， ∴， 即， ∴ （2）∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ （3）∵图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，长方形水池的长为，宽为， ∴ ， 则 ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得 即和的长分别为，． 40．（23-24七年级下·四川成都·阶段检测）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3) ；； ． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用、列代数式、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出； （）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解； （）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：大正方形的边长为， ∴； 方法：大正方形面积各个部分面积之和， ∴； 故答案为：；； （2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 令， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 【考点4】因式分解（第41-49题） · 先提公因式再用公式，顺序不能反 · 首项系数为负时先提取负号 · 分解要彻底，直到每个因式都不能再分 · 可用整式乘法还原检验结果 41．（2024·河北秦皇岛·二模）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，先由得到，再利用“降次法”将转化为，进一步得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， ， ， ， ， 故选：C。 42．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式即可． 【详解】解：系数的最大公约数， 相同字母的最低次幂：多项式中各项都含有的相同字母是，的最低次幂是，仅在第二项出现，不纳入公因式， 因此，应提取的公因式是． 43．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【详解】∵ ，， ∴ 故答案为：． 44．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段检测）因式分解：______． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】此题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可，熟练掌握多项式特点进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为． 45．（2024·江西吉安·二模）因式分解：______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若实数满足，，则的值是______． （2）若，则的值为______． 【答案】 3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，灵活利用整体思想是解决问题的关键． （1）先利用提公因式法把多项式进行因式分解，提取公因式，再将已知代数式的值整体代入计算，即可求解． （2）先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，最后整体代入，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为：． （2）， ． 故答案为：． 47．（22-23八年级上·山东日照·期末）分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，正确选择因式分解的方法是解题的关键． （1）综合利用提公因式法和公式法分解因式即可． （2）直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） 48．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，平方差公式分解因式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 49．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据公式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再用公式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点5】整式乘除的综合应用与规律探索（第50-52题） · 化简求值题先化简再代入，避免直接代入大数 · 图形面积题用不同方式表示同一面积列等式 · 规律题从特殊项入手归纳一般式并验证 · 综合题分小问，前后小问相互提示 50．（2025·江西·模拟预测）小明用4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形（如图①所示），且他用这些还能拼成图②所示的长方形， 则长方形的面积为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【知识点】单项式乘多项式的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，整式的运算的应用，设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直角边长为b，利用两个图中面积关系和线段之间的关系求得，即可解答，熟练运用整式表示相关面积和线段长度是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形 中间的小正方形边长为， 由直角三角形的面积为4，可得， 由图②长方形可得， ， 可得 解得（负值舍去）， 则， 所以长方形的面积为20． 故选：C． 51．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将如图称为“杨辉三角”． … 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4    11   5   10   10   5   1 … 则展开式中所有项的系数和是（     ） A．256 B．128 C．64 D．32 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】通过计算已知展开式的系数和，归纳得到展开式所有项系数和的规律，再代入计算即可． 【详解】解： 当时，展开式所有项的系数和为； 当时，展开式所有项的系数和为； 当时，展开式所有项的系数和为； 当时，展开式所有项的系数和为； …… ； 以此类推，可得展开式所有项的系数和为， 当时，展开式所有项的系数和为． 52．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）小明在计算时，把括号内前的减号不小心看成了乘号，最后计算的错误结果是，那么正确的结果是______． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，更根据题意求得，再将其代入原式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 则，正确的结果为：， 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 先记牢幂的四条法则，再做混合运算，避免指数运算混淆 · 乘法公式要背熟结构，做题时先判断用哪个公式 · 因式分解坚持「先提公因式、再用公式」的顺序并分解到底 · 化简求值优先整体代入，减少计算量 · 规律与几何应用题多画图、多列面积等式 【作业1】．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）下列运算中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、计算单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式乘单项式，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，选项是正确的，故不符合题意； B、，选项是正确的，故不符合题意； C、，选项是正确的，故不符合题意； D、，选项是不正确的，故符合题意； 故选：D 【作业2】．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段检测）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查多项式乘法的运算，掌握多项式乘法的运算法则是解题的关键．根据运算法则，逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：A．，正确，故该选项不符合题意； B．，正确，故该选项不符合题意； C．，错误，故该选项符合题意； D．，正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 【作业3】．（23-24七年级下·山东泰安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算．根据题意，逐项计算即可． 【详解】解：A. ，此项不符合题意； B.，此项不符合题意； C.，此项符合题意； D.，此项不符合题意． 故选：C． 【作业4】．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】选项A、属于整式乘法，右边是多项式的差，不是整式积的形式，故A不符合题意； 选项B、结果为，不是几个整式积的形式，故B不符合题意； 选项C、将多项式化为两个整式与的积，符合因式分解的定义，故C符合题意； 选项D中，左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故D不符合题意． 【作业5】．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、整式的混合运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】先利用整式的混合运算，结合实数满足，将化简为，再由配方法及平方非负性确定，最后由不等式的性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解： ， 实数满足， ， ， ， ， ， 综上所述，， 则 ， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式、平方差公式及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则及配方法恒等变形是解决问题的关键． 【作业6】．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知，，则______． 【答案】20 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解答本题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则，直接根据“”，计算即可求解． 【详解】解：根据同底数幂的乘法，， 得到：． 故答案：20． 【作业7】．（22-23七年级下·陕西西安·阶段检测）填空：（ __________ ）n． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握幂的乘方逆运算与积的乘方逆运算的运算法则是解题的关键．根据幂的乘方逆运算与积的乘方逆运算即可得出答案． 【详解】解：根据幂的乘方逆运算对等式右边变形： ， 根据积的乘方逆运算继续变形： ， 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级下·江西九江·期中）计算：_______． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【作业9】．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）我们把形如的式子称为完全平方式，已知是一个完全平方式，若，则的值为_______． 【答案】或或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式，即， ∴， 解得，， 第一种情况，当时，， ∴当时，，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，不符合题意； 第二种情况，当时，， 当时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，，不符合题意； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【作业10】．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】2024 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】先因式分解凑出所给关于的整式，再代入整式的值即可． 【详解】解： ∵ ∴ 故答案为：2024 【点睛】本题考查因式分解代入数值求解，掌握计算方法步骤是关键． 【作业11】．（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则的值为_______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】通过换元将所求式子转化为完全平方公式中的未知项，利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，， 则， 由题意得 ，， 根据完全平方公式，得 ， 将，代入公式，得 ， 整理得， ， 移项得， ， 解得， ， 即 ． 【作业12】．（20-21八年级下·北京·阶段检测）若，，则________． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的应用．利用平方差公式得到＝，则可计算出＝，从而得到的值． 【详解】解：∵， 而，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业13】．（23-24八年级上·青海西宁·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【作业14】．（23-24七年级下·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、整式乘法混合运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （3）根据完全平方公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【作业15】．（23-24八年级上·四川巴中·期中）小莉家的住房结构如图所示，小莉的爸爸打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少m2的地砖？如果每1m2地砖的价格是a元钱，则购买地砖至少需要多少钱？    【答案】需要的地砖；购买地砖至少需要元 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的实际应用，正确用含x、y的式子表示出客厅，卫生间，厨房的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得，客厅的面积为，卫生间的面积为，厨房的面积为， ∴至少需要的地砖， ∴购买地砖至少需要元． 【作业16】．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）数学课上老师给出这样一道题，若满足，求的值．小明同学经过观察思考，做出如下解法，老师将其解法分享给大家： 解：设，则， 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)【初步应用】若，求的值； (2)【类比探究】若满足，则的值为__________． (3)【拓展提升】已知正方形ABCD的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是18，分别以为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据材料提示，设，，则，，由此即可求解； （2）根据材料提示，设，，则，，再由求解即可； （3）由题意可得，，，则，，，再根据材料提示方法即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， 则，， ∵， ∴ ； （3）解：由题意可得，，， ∴，，， 设，，则，， ∴ ， 即正方形和正方形的面积和为． 【作业17】．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）（1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1），（2） 【知识点】计算多项式乘多项式、提公因式法分解因式 【分析】本题考查整式的乘法和因式分解，熟练掌握整式乘法的计算法则和因式分解的方法是解题的关键． （1）整式乘法计算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积合并同类项即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 【作业18】．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）已知，求的值． 【答案】4060 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $