第10章·数的开方·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

第10章·数的开方·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示并求一个数的根 · 掌握无理数与实数的概念，能对实数分类并在数轴上表示实数 · 会进行实数的大小比较与无理数估算，能确定无理数的整数部分 · 掌握实数的混合运算，会利用平方根、立方根解简单方程 · 能运用算术平方根的非负性及新定义运算解决综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 平方根：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，且≥0 开平方：求一个数的平方根的运算，被开方数a必须是非负数 重要公式：(=a(a≥0)，=|a| 概念辨析例题：求的算术平方根与平方根 答案：=9，9的算术平方根为3，平方根为±3 解析：先化简=9，再求9的算术平方根=3，平方根为±=±3 ☆ 2.立方根 立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根，记作∛a；任何数都有且只有一个立方根 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 开立方：求一个数的立方根的运算，被开方数可以是任意实数 重要公式：(∛a)3=a，∛(-a)=-∛a 概念辨析例题：求∛(-27)与∛64的值 答案：∛(-27)=-3，∛64=4 解析：因为(-3)3=-27，43=64；负数的立方根仍是负数 ☆ 3.实数的概念与分类 无理数：无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数（如）、含π的数、特定结构的无限小数 实数：有理数与无理数的统称，实数与数轴上的点一一对应 分类：按定义分为有理数（有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数） 相反数、绝对值、倒数的意义在实数范围内同样适用 概念辨析例题：在0，，，∛8，π中，哪些是无理数？ 答案：无理数为，π 解析：=2、∛8=2均为有理数，0是有理数，只有和π是无限不循环小数 ☆ 4.实数的运算与估算 实数运算：有理数的运算法则与运算律在实数范围内仍然适用 混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 估算：利用平方（立方）逼近法确定无理数介于哪两个相邻整数之间 实数大小比较：数轴上右边的数大于左边的数；正数大于0，负数小于0 概念辨析例题：估算在哪两个相邻整数之间，并求其整数部分 答案：3<<4，整数部分为3 解析：因为32=9<10<16=42，故在3与4之间，整数部分为3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 算术平方根 ≥0)，≥0 被开方数非负，结果也非负 平方根 ±≥0) 正数有两个，负数没有 立方根 ∛a，任意实数 负数也有一个立方根 无理数 无限不循环小数 带根号的不一定是无理数 实数与数轴 一一对应 右边的数总比左边的大 实数运算 先开方乘方，再乘除后加减 运算律在实数中仍适用 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与算术平方根的概念与求法（第1-8题） · 先化简根号内的数再判断，=|a|要带绝对值 · 正数的平方根有两个，算术平方根只取正的那个 · 已知平方根求原数：把平方根平方即得原数 1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）的算术平方根（　　） A．是3 B．是 C．是 D．不存在 2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）（1）的立方根是________． （2）的平方根是________． （3）________． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）若与是正数x的平方根，则 _____． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）若与分别是某个正数的两个平方根，则这个正数是______． 5．（山东省青岛实验学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）6的平方根是_____，的立方根是_____，的算术平方根是_____． 6．（24-25八年级上·北京平谷·期末）已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为_______． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 8．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则________． 【考点2】立方根的概念与求法（第9-13题） · 任何实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致 · ∛(-a)=-∛a，负数立方根可提出负号 · 熟记10以内整数的立方便于快速求根 9．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．8的立方根是 B．没有立方根 C．的立方根等于的立方 D．立方根等于本身的数只有0 10．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列各数中，绝对值最大的数是（　　） A． B． C．2 D． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）______ ；的立方根是______ ． 12．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得_____________，_____________．    13．（2022·新疆阿克苏·一模）已知一个正数的两个平方根分别为a和． (1)求a的值，并求这个正数； (2)求的立方根． 【考点3】无理数与实数的分类（第14-19题） · 带根号开得尽的是有理数，开不尽的才是无理数 · π及含π的数是无理数，有限小数都是有理数 · 分类时先化简再判断，避免被形式迷惑 14．（23-24七年级下·北京·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．同位角相等 B．互补的角是邻补角 C．带根号的数一定是无理数 D．对顶角相等 15．（24-25七年级下·北京·期中）在实数3.1415，，，中，无理数是（   ） A．3.1415 B． C． D． 16．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）下列各数： ， 1.030030003， 0，，π，，．其中属于无理数的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 17．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列各数：，0，，0.23，，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（23-24七年级上·江苏常州·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里（填序号）． ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨（相邻两个3之间依次多一个8） (1)整数集合：{________________________}； (2)正分数集合：{________________________}； (3)负有理数集合：{________________________}； (4)无理数集合：{________________________}； (5)负数集合：{________________________}． 19．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 【考点4】实数与数轴、实数的大小比较（第20-25题） · 实数与数轴上的点一一对应，右边的数较大 · 数轴上两点距离=两数差的绝对值 · 比较两个实数可平方或作差后判断 20．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 21．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·四川乐山·阶段检测）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，若C在数轴上，且，则点C表示的数是_______．    23．（26-27七年级上·全国·阶段检测）如图，面积为2的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1，将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S． （1）若正方形向右移动1个单位长度，则的值为________； （2）当时，数轴上点表示的数是________． 24．（24-25八年级上·四川成都·期末）比较大小：________．（填“>”“=”或“<”） 25．（21-22七年级下·广东东莞·期中）化简： (1) 　 ， 　 ， 　 ． (2) 　 ， 　　 ， 　 ． (3)根据以上信息，观察a、b所在位置，完成化简． ． 【考点5】无理数的估算与整数部分（第26-30题） · 用平方逼近：找相邻两个完全平方数夹逼 · 整数部分=较小的那个整数，小数部分=原数-整数部分 · 估算立方根同理用立方数夹逼 26．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）比较大小：______（填“”“”“”）． 28．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请比较7的平方根，立方根的大小，用“<”连接：______． 29．（25-26七年级上·山东威海·期末）已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 30．（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【考点6】利用平方根与立方根解方程（第31-36题） · x2=a(a≥0)开方得x=±，注意别漏负值 · x3=a开立方得x=∛a，只有一个解 · 先把方程化为x2=a或x3=a的标准形式 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）求下列各式中的． (1)； (2)． 32．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）解方程 (1)； (2)． (3)（用代入法解）； (4)（用加减法解）． 33．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）解方程： (1) (2) 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）求下列各式中的. (1)； (2)． 35．（25-26八年级上·广东广州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 36．（25-26七年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1) (2) 【考点7】实数的混合运算（第37-39题） · 顺序：先开方乘方，再乘除，后加减 · 先分别算出各根号的值，再按运算律合并 · 注意符号与运算律的合理使用 37．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）计算： 38．（24-25七年级下·广西防城港·阶段检测）计算：． 39．（23-24七年级下·山东德州·期中）计算 (1) (2)解方程： 【考点8】算术平方根的非负性（第40-43题） · ≥0，绝对值≥0，平方≥0，几个非负数和为0则各自为0 · 利用非负性列方程求出字母的值 · 求出字母值后代入代数式计算 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知与互为相反数，则的值是___________． 41．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）若，则的平方根为___________． 42．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）已知，且与互为相反数． (1)求a、b和c的值． (2)求的平方根． 43．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，其中，满足，，． (1)如图1，求点A与点C的坐标． (2)在（1）的条件下，点M是y轴上一点．且，求点M的坐标； (3)如图2，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点E，求的值． 【考点9】新定义实数运算与规律探索（第44-52题） · 新定义题先读懂规则，再按定义代入数值 · 规律题观察根号内外的变化，写出通项 · 计算后验证前几项是否符合规律 44．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）在数，，（相邻两个2之间依次多一个1），，，，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 46．（24-25七年级下·广东潮州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·重庆·开学考试）给出三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差相同的两个代数式只作一次差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于作“绝佳操作”，得到．下列说法： ①对作“绝佳操作”的结果是18； ②对作“绝佳操作”的结果一共有8种； ③对，，作“绝佳操作”的结果为2，则a的值为10或 其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 48．（25-26七年级下·云南昆明·期末）对有理数，定义一种运算：．例如：．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解为（     ） A．1 B． C．0 D．2 49．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 50．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为___________． 51．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）已知：，则_________，_________．（保留一位小数） 52．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为__________． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：平方根、算术平方根、立方根的定义与符号要分清，负数无平方根但有立方根 · 运算过关：实数混合运算按顺序进行，开方与乘方互为逆运算，善用运算律简化 · 估算过关：用平方、立方逼近法确定无理数范围，整数部分取较小整数 · 方程过关：利用x2=a、x3=a开方求解，平方开方时注意别漏负值 · 综合过关：算术平方根非负性与新定义运算要先读懂规则，再代入分类计算 【作业1】．（24-25七年级下·天津南开·期中）估计的值在（　　） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【作业2】．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）在实数四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为3时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y． ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【作业4】．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【作业5】．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段检测）对于任意整数，，定义且，均为正数，若，则下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业6】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知，则实数的值为_____． 【作业7】．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）0．027的立方根是_____． 【作业8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【作业9】．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．若，则C表示的实数为_________． 【作业10】．（25-26七年级下·陕西西安·期末）若a为正整数，且满足，则______． 【作业11】．（2023·四川成都·模拟预测）对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数，例如：，，，如果，则满足条件的所有整数x的和为 ________． 【作业12】．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①；②；③；④若，则或．其中结论正确的序号是________． 【作业13】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）把下列各数填入相应的集合内： ， 0，，，， 正数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 【作业14】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）（1）过A，B两点画一条数轴，使点A表示5，点B表示； （2）请把下列各实数分别表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）． ，，，2 ________________________________________ 【作业15】．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）求方程中x的值： 【作业16】．（23-24七年级下·山东滨州·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 【作业17】．（21-22八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算：； 【作业18】．（25-26八年级上·重庆·期中）对任意一个四位数，将这个四位数千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位数字与十位数字及百位数字与个位数字得到，所以，如果四位数满足千位数字，与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“均衡数”，例如：，因为，所以是一个均衡数，_____；若一个“均衡数”的十位数字比百位数字的倍少，且这个“均衡数”能同时被和整除，则当为最大值时，的值是_____． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章·数的开方·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示并求一个数的根 · 掌握无理数与实数的概念，能对实数分类并在数轴上表示实数 · 会进行实数的大小比较与无理数估算，能确定无理数的整数部分 · 掌握实数的混合运算，会利用平方根、立方根解简单方程 · 能运用算术平方根的非负性及新定义运算解决综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 平方根：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，且≥0 开平方：求一个数的平方根的运算，被开方数a必须是非负数 重要公式：(=a(a≥0)，=|a| 概念辨析例题：求的算术平方根与平方根 答案：=9，9的算术平方根为3，平方根为±3 解析：先化简=9，再求9的算术平方根=3，平方根为±=±3 ☆ 2.立方根 立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根，记作∛a；任何数都有且只有一个立方根 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 开立方：求一个数的立方根的运算，被开方数可以是任意实数 重要公式：(∛a)3=a，∛(-a)=-∛a 概念辨析例题：求∛(-27)与∛64的值 答案：∛(-27)=-3，∛64=4 解析：因为(-3)3=-27，43=64；负数的立方根仍是负数 ☆ 3.实数的概念与分类 无理数：无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数（如）、含π的数、特定结构的无限小数 实数：有理数与无理数的统称，实数与数轴上的点一一对应 分类：按定义分为有理数（有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数） 相反数、绝对值、倒数的意义在实数范围内同样适用 概念辨析例题：在0，，，∛8，π中，哪些是无理数？ 答案：无理数为，π 解析：=2、∛8=2均为有理数，0是有理数，只有和π是无限不循环小数 ☆ 4.实数的运算与估算 实数运算：有理数的运算法则与运算律在实数范围内仍然适用 混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 估算：利用平方（立方）逼近法确定无理数介于哪两个相邻整数之间 实数大小比较：数轴上右边的数大于左边的数；正数大于0，负数小于0 概念辨析例题：估算在哪两个相邻整数之间，并求其整数部分 答案：3<<4，整数部分为3 解析：因为32=9<10<16=42，故在3与4之间，整数部分为3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 算术平方根 ≥0)，≥0 被开方数非负，结果也非负 平方根 ±≥0) 正数有两个，负数没有 立方根 ∛a，任意实数 负数也有一个立方根 无理数 无限不循环小数 带根号的不一定是无理数 实数与数轴 一一对应 右边的数总比左边的大 实数运算 先开方乘方，再乘除后加减 运算律在实数中仍适用 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与算术平方根的概念与求法（第1-8题） · 先化简根号内的数再判断，=|a|要带绝对值 · 正数的平方根有两个，算术平方根只取正的那个 · 已知平方根求原数：把平方根平方即得原数 1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）的算术平方根（　　） A．是3 B．是 C．是 D．不存在 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 本题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握负数没有平方根，算术平方根的定义． 【详解】∵没有平方根，算术平方根是正数正的平方根， ∴没有算术平方根，即不存在． 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）（1）的立方根是________． （2）的平方根是________． （3）________． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】根据平方根，立方根的定义，算术平方根的性质，进行计算即可． 【详解】解：（1）的立方根是； 故答案为：； （2）的平方根为； 故答案为：； （3）； 故答案为：． 【点睛】本题考查开方运算．熟练掌握平方根，立方根的定义，是解题的关键． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）若与是正数x的平方根，则 _____． 【答案】2或 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的应用．分类讨论：当，解得；当，解得． 【详解】解：因为与是正数的平方根， 当时，解得； 当，解得． 故答案为：2或． 4．（24-25七年级下·山东德州·期中）若与分别是某个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】4 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出a的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与分别是某个正数的两个平方根， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（山东省青岛实验学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）6的平方根是_____，的立方根是_____，的算术平方根是_____． 【答案】 2 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根性质是关键． 根据平方根、算术平方根，立方根性质解答即可． 【详解】解：6的平方根是， 的立方根是， ∵， ∴算术平方根，即4的算术平方根为． 故答案为：；；2． 6．（24-25八年级上·北京平谷·期末）已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，则的算术平方根为_______． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根和立方根，算术平方根的求解，根据平方根求得a的值，结合立方根即可求得b的值，进一步求得代数式的算术平方根即可． 【详解】解：∵a的平方根分别是与， ∴，解得， ∴， 则， ∵b是27的立方根， ∴， ∴， 则的算术平方根为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得． 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：121． 8．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知的平方根是，的立方根是，则________． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 【详解】解： 的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 【考点2】立方根的概念与求法（第9-13题） · 任何实数都有唯一立方根，符号与被开方数一致 · ∛(-a)=-∛a，负数立方根可提出负号 · 熟记10以内整数的立方便于快速求根 9．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．8的立方根是 B．没有立方根 C．的立方根等于的立方 D．立方根等于本身的数只有0 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根、立方根，理解平方根和立方根的定义是解答的关键．根据立方根、平方根的定义对相关选项作出判断即可． 【详解】解：A．8的立方根是2，故不正确； B．的立方根为，故不正确； C．的立方根等于的立方，正确； D．立方根等于本身的数有0，1，，故不正确； 故选C． 10．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列各数中，绝对值最大的数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的性质，立方根的性质判断． 【详解】解：∵， ∴， 那么绝对值最大的数是； 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的性质；掌握性质是解题的关键． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）______ ；的立方根是______ ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的计算，根据立方根和平方根的定义，直接计算的值，以及先计算的值再求其立方根即可，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 【详解】解：由； ∵， ∴的立方根是，即的立方根是， 故答案为：，． 12．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得_____________，_____________．    【答案】 3 【知识点】求一个数的立方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】根据立方根即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 13．（2022·新疆阿克苏·一模）已知一个正数的两个平方根分别为a和． (1)求a的值，并求这个正数； (2)求的立方根． 【答案】(1)2；4 (2) 【知识点】求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（1）根据平方根的性质列出算式，求出a的值即可； （2）求出的值，根据立方根的概念求出答案． 【详解】（1）解：由平方根的性质得，， 解得， ∴这个正数为； （2）解：当时，， ∵的立方根是， ∴的立方根为． 【考点3】无理数与实数的分类（第14-19题） · 带根号开得尽的是有理数，开不尽的才是无理数 · π及含π的数是无理数，有限小数都是有理数 · 分类时先化简再判断，避免被形式迷惑 14．（23-24七年级下·北京·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．同位角相等 B．互补的角是邻补角 C．带根号的数一定是无理数 D．对顶角相等 【答案】D 【知识点】无理数、对顶角相等、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据同位角的意义、邻补角的概念、无理数的概念、对顶角相等判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故选项A是假命题，不符合题意； B、互补的角不是邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意； C、带根号的数不一定是无理数，例如，2是有理数，故本选项说法是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，是真命题，符合题意； 故选：D． 15．（24-25七年级下·北京·期中）在实数3.1415，，，中，无理数是（   ） A．3.1415 B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在实数3.1415，，，中，只有是无理数，3.1415，，都是有理数； 故选C． 16．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）下列各数： ， 1.030030003， 0，，π，，．其中属于无理数的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】根据无理数的定义即可进行解答． 本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握“无限不循环小数就是无理数”是解题的关键． 【详解】解：， 无限不循环小数是无理数，则无理数有，，π，共3个 故选：C． 17．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列各数：，0，，0.23，，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：0，是整数，0.23是有限小数，是分数，它们不是无理数， ，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）是无限不循环小数，它们是无理数，一共4个， 故选：C． 18．（23-24七年级上·江苏常州·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里（填序号）． ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨（相邻两个3之间依次多一个8） (1)整数集合：{________________________}； (2)正分数集合：{________________________}； (3)负有理数集合：{________________________}； (4)无理数集合：{________________________}； (5)负数集合：{________________________}． 【答案】(1)①③⑤ (2)②④⑦ (3)③⑥ (4)⑧⑨ (5)③⑥⑨ 【知识点】无理数、有理数的分类、有理数的乘方运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据正数是大于0的数，负数时小于0的数，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：∵①，④， 整数集合：{①③⑤ }； 故答案为：①③⑤； （2）解：正分数集合：{②④⑦}； 故答案为：②④⑦； （3）解：负有理数集合：{③⑥}； 故答案为：③⑥； （4）解：无理数集合：{⑧⑨}； 故答案为：⑧⑨； （5）解：负数集合：{③⑥⑨}． 故答案为：③⑥⑨． 【点睛】本题考查了正数、负数、有理数、无理数的概念，熟练掌握正数、负数、有理数、无理数的概念是解此题的关键． 19．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 【答案】(1)0，，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）； (5)0，， 【知识点】求一个数的立方根、实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可； （2）正分数是大于0的分数，可以是有限小数或无限循环小数，据此即可解答； （3）负有理数是小于0的有理数，包括负整数和负分数，据此即可解答； （4）根据无理数的定义（无限不循环小数）作答即可； （5）非负整数包括正整数和0，据此即可解答． 【详解】（1）解：整数集合：{0，，，；…}； （2）正分数集合：{，，；…}； （3）负有理数集合：{，，；…}； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）；…}； （5）非负整数集合：{0，，…}． 【考点4】实数与数轴、实数的大小比较（第20-25题） · 实数与数轴上的点一一对应，右边的数较大 · 数轴上两点距离=两数差的绝对值 · 比较两个实数可平方或作差后判断 20．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】C 【知识点】实数与数轴、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据垂线的性质，数轴与实数，平行线的判定，平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，不符合题意； B、数轴上的每一个点都有一个实数与它对应，原命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题为真命题，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 21．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上两点间的距离计算方法即可求出点所表示的数，利用勾股定理求出的值为解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∵点表示的数是， ∴点表示的数为， 故选：． 22．（23-24八年级上·四川乐山·阶段检测）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，若C在数轴上，且，则点C表示的数是_______．    【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意求出线段的长，再根据即可解答． 【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数分别是1，， ， 设点C表示的数为x， ∵， ，即， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，数轴上两点之间的距离（绝对值的几何意义），熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 23．（26-27七年级上·全国·阶段检测）如图，面积为2的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1，将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S． （1）若正方形向右移动1个单位长度，则的值为________； （2）当时，数轴上点表示的数是________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、实数运算的实际应用、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据正方形的面积得到正方形的边长，求出，进而求出结论； （2）当时得到，求出，根据点表示的数为，可得到点表示的数． 【详解】解：（1）面积为2的正方形的边， ， 如图，当正方形沿着数轴水平向右移动1个单位长度时， 重叠部分图形的面积记为； （2）当时， ， ， 点B表示的数为1， 点表示的数为． 24．（24-25八年级上·四川成都·期末）比较大小：________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【知识点】不等式的性质、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小和不等式的基本性质，先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的范围，进而即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 25．（21-22七年级下·广东东莞·期中）化简： (1) 　 ， 　 ， 　 ． (2) 　 ， 　　 ， 　 ． (3)根据以上信息，观察a、b所在位置，完成化简． ． 【答案】(1)2；2； (2)3；；a (3) 【知识点】实数与数轴、求一个数的立方根、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据算术平方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可； （3）根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：2，2，； （2），，． 故答案为：3，，a； （3）由图可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根的性质，立方根的性质，化简绝对值，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【考点5】无理数的估算与整数部分（第26-30题） · 用平方逼近：找相邻两个完全平方数夹逼 · 整数部分=较小的那个整数，小数部分=原数-整数部分 · 估算立方根同理用立方数夹逼 26．（24-25七年级下·重庆南川·期末）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得出答案，正确估算出的范围是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即． 故选：A． 27．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）比较大小：______（填“”“”“”）． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请比较7的平方根，立方根的大小，用“<”连接：______． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算、求一个数的平方根、实数的大小比较 【分析】本题主要考查平方根与立方根的定义以及实数的大小比较，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义和立方根的定义，求出7的平方根与7的立方根，进而比较大小即可． 【详解】解：7的平方根是：，7的立方根是：， ∵， ∴， ∴． 故答案是：． 29．（25-26七年级上·山东威海·期末）已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，确定出最接近它的正整数和，再代入计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，为相邻的两个正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1；；6 (2)5 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的算术平方根为． 【考点6】利用平方根与立方根解方程（第31-36题） · x2=a(a≥0)开方得x=±，注意别漏负值 · x3=a开立方得x=∛a，只有一个解 · 先把方程化为x2=a或x3=a的标准形式 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】（1）根据移项，可得平方的形式，根据开平方，可得答案； （2）根据移项，可得立方的形式，根据开立方的意义，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】（1）解：移项，得， 系数化为1，得， 开方，得， ； （2）解： 移项，得， 系数化为1，得， 开方，得， ． 【点睛】本题考查了平方根的意义，立方根的意义，解题的关键是先化成乘方的形式，再开方运算． 32．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）解方程 (1)； (2)． (3)（用代入法解）； (4)（用加减法解）． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【知识点】利用平方根解方程、代入消元法、求一个数的立方根、加减消元法 【分析】本题考查了平方根与立方根，二元一次方程组的解法； （1）方程变形为，利用平方根的定义求解即可； （2）方程变形为，利用立方根的定义求解即可； （3）把第一个方程变形为，代入第二个方程即可求出y的值，再求出x的值即可； （4）两式相加消去未知数y，求得x的值，再代入其中一个方程即可求出x的值，从而求得方程组的解． 【详解】（1）解：方程变形为：， 则，或， 解得：，或； （2）解：方程变形为， 由立方根的定义得：， 解得：； （3）解： 由①式得：③， 把③式代入②，得：， 解得：， 把代入③，得， 故方程组的解为：； （4）解： ①+②得：， 即， 把代入②，得， 故方程组的解为：． 33．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的概念求解方程，掌握相关定义即可． （1）方程变形得到即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴ （2）解：∵， ∴， 解得： 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）求下列各式中的. (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了运用开平方和开立方的知识解方程． 用两边直接开平方法解一元二次方程； 用两边直接开立方法解方程． 【详解】（1）解：， 两边直接开平方得：； （2）解：， 两边直接开立方得：， 移项、合并同类项得：． 35．（25-26八年级上·广东广州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）移项，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 当时， 当时， 或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26七年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查开平方和开立方，熟练掌握平方根和立方根的概念是解此题的关键． （1）直接开平方计算即可； （2）先化简绝对值，再开立方计算即可． 【详解】（1）解： 解得或 （2）解： 解得 【考点7】实数的混合运算（第37-39题） · 顺序：先开方乘方，再乘除，后加减 · 先分别算出各根号的值，再按运算律合并 · 注意符号与运算律的合理使用 37．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）计算： 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【分析】根据实数的性质，实数的运算按顺序进行计算即可． 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 38．（24-25七年级下·广西防城港·阶段检测）计算：． 【答案】5 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算即可． 【详解】解： ． 39．（23-24七年级下·山东德州·期中）计算 (1) (2)解方程： 【答案】(1) (2)； 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根的定义解方程； （1）根据算术平方根立方根，实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ ∴ 解得：； 【考点8】算术平方根的非负性（第40-43题） · ≥0，绝对值≥0，平方≥0，几个非负数和为0则各自为0 · 利用非负性列方程求出字母的值 · 求出字母值后代入代数式计算 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知与互为相反数，则的值是___________． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 41．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）若，则的平方根为___________． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、求一个数的平方根 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得x，y的值，再根据平方根的定义即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 42．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）已知，且与互为相反数． (1)求a、b和c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根，相反数，平方根，解题的关键是熟练掌握以上知识点； （1）根据非负数的性质求出，再根据两个数的立方根互为相反数，则被开方数也互为相反数求出； （2）根据的值求出代数式的值，最后根据平方根的定义求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∵与互为相反数， ， ∴， （2）解：∵，， ， ∴的平方根为． 43．（24-25七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，其中，满足，，． (1)如图1，求点A与点C的坐标． (2)在（1）的条件下，点M是y轴上一点．且，求点M的坐标； (3)如图2，点P是x轴上点A左边的一点，点Q是射线上一点，连接、，和的平分线相交于点E，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、两直线平行内错角相等、绝对值非负性、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的推论等知识，解题的关键是学会利用方程和参数解决问题． （1）直接根据二次根式的非负性和平方的非负性得到，，即可作答； （2）设，分三种情况根据三角形面积公式列方程计算即可； （3）如图过点作，设，，，则，，分别用，，的代数式表示，即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，； （2）设， ∵， ∴， ∵， 当点M在线段上时， ∵， ∴ ， ∴， 当点M在点O的下方时， 则 ，方程无解， ∴点M不可在点O的下方， 当点M在点C上方时， 则，方程无解， ∴点M不可能在点C的上方， 综上所述，； （3）解：如图，过点作，设，，，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 【考点9】新定义实数运算与规律探索（第44-52题） · 新定义题先读懂规则，再按定义代入数值 · 规律题观察根号内外的变化，写出通项 · 计算后验证前几项是否符合规律 44．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）在数，，（相邻两个2之间依次多一个1），，，，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念是解题的关键．根据无理数是无限不循环小数依次判断是否为无理数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 中，是无理数，有理数与无理数的差是无理数； （相邻两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是无理数； 是整数，是有理数； ，是有理数； 无理数有 、、，共3个， 故选：C． 45．（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】根据被开方数每移动2位，算术平方根向相同的方向移动1位，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴. 46．（24-25七年级下·广东潮州·期中）在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据所给数据，依次求出，，，，纸的长和宽的比值，然后发现规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：计算各类型长宽比： ：； ：； ：； ：； ：； 所有比值均接近； ∴型纸的长与宽的比为， 故选：． 47．（24-25八年级下·重庆·开学考试）给出三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差相同的两个代数式只作一次差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于作“绝佳操作”，得到．下列说法： ①对作“绝佳操作”的结果是18； ②对作“绝佳操作”的结果一共有8种； ③对，，作“绝佳操作”的结果为2，则a的值为10或 其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、绝对值的几何意义、新定义下的实数运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了定义新运算、绝对值的性质和计算，理解“绝佳操作”的定义是解题的关键． 根据“绝佳操作”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解． 【详解】解：①对作“绝佳操作”得：，故①正确； ②对作“绝佳操作”得：，共1种，故②错误； ③对，，作“绝佳操作”得：， 或， 解得：，故③错误； 故选：B 48．（25-26七年级下·云南昆明·期末）对有理数，定义一种运算：．例如：．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解为（     ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】根据新定义将不等式转化为常规一元一次不等式，求解后找出符合要求的正整数解. 【详解】解：根据定义 ， ∵， ， ∴ 原不等式化为 ， 移项得 ， 解得 ， 由于正整数是大于的整数，所以小于的正整数只有， 因此不等式的正整数解为1. 49．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 50．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为___________． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 51．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）已知：，则_________，_________．（保留一位小数） 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【详解】解：∵， ∴，． 52．（25-26八年级上·江苏南京·期中）我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为__________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据规定的运算规则，分别计算两个部分：比较大小后选择加法或减法，然后合并同类项简化表达式． 【详解】对于，由于 ，故 ； 对于 ，由于 ，故； ∴原式． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：平方根、算术平方根、立方根的定义与符号要分清，负数无平方根但有立方根 · 运算过关：实数混合运算按顺序进行，开方与乘方互为逆运算，善用运算律简化 · 估算过关：用平方、立方逼近法确定无理数范围，整数部分取较小整数 · 方程过关：利用x2=a、x3=a开方求解，平方开方时注意别漏负值 · 综合过关：算术平方根非负性与新定义运算要先读懂规则，再代入分类计算 【作业1】．（24-25七年级下·天津南开·期中）估计的值在（　　） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数估算，熟练掌握无理数估算方法是解题关键．首先确定，进而确定答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴的值在1到2之间． 故选：B． 【作业2】．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）在实数四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正数大于零，零大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】根据题意，得， 故选：D． 【作业3】．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为3时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y． ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解． 【详解】解：①x的值不唯一．或或81等，故①说法错误； ②输入值x为16时，，即，故②说法正确； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入，算术平方根式是，输出的y值为，故③说法错误； ④当时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确． 其中错误的是①③． 故选：D． 【作业4】．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 【作业5】．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段检测）对于任意整数，，定义且，均为正数，若，则下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算及数列运算，解决本题的关键是熟练掌握新定义：，根据新定义对各项进行一一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； 由题意得：， ， ， 故②正确； 由②得 ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 故④错误； 所以正确的有3个， 故选：C 【作业6】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知，则实数的值为_____． 【答案】81 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义，对等式两边同时平方，即可求出实数的值． 【详解】解：因为 ， 等式两边同时平方得， 整理得． 【作业7】．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）0．027的立方根是_____． 【答案】0.3/ 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 故答案为：． 【作业8】．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【知识点】带“非”字的有理数、实数的分类、有理数的分类、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 【作业9】．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．若，则C表示的实数为_________． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴．根据对称的意义得到，可得答案． 【详解】解：∵数轴上A，B两点对应的实数分别是2和， ∴， ∵， ∴， ∴点C对应的数是， 故答案为：． 【作业10】．（25-26七年级下·陕西西安·期末）若a为正整数，且满足，则______． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算出的范围，确定介于哪两个连续正整数之间，再结合已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，即， ，且为正整数， ． 【作业11】．（2023·四川成都·模拟预测）对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数，例如：，，，如果，则满足条件的所有整数x的和为 ________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解定义，转化为不等式或不等式组求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 关于x的所有整数为， ∴． 故答案为． 【作业12】．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①；②；③；④若，则或．其中结论正确的序号是________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据新定义运算，计算判断即可． 本题考查了新定义运算，正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故①，正确； ②；，错误； ③，错误； ④根据，解得或，正确． 故答案为：． 【作业13】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）把下列各数填入相应的集合内： ， 0，，，， 正数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 【答案】 正数集合：{，，}； 分数集合：{，，}； 无理数集合：{，}． 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数，掌握实数的分类是解题的关键．根据正数的定义，分数的定义，无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：略． 【作业14】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）（1）过A，B两点画一条数轴，使点A表示5，点B表示； （2）请把下列各实数分别表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）． ，，，2 ________________________________________ 【答案】 （1）画出数轴如图所示： （2）在数轴上表示如图所示： 用“<”号连接为： 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、求一个数的算术平方根、用数轴上的点表示有理数、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题考查了用数轴上的点表示数，根据数轴比较大小． （1）根据“点A表示5，点B表示”，先确定原点，再根据数轴三要素“原点、正方形、单位长度”画出数轴即可； （2）先将能化简的数化简，再在数轴上上表示出来，最后根据用数轴上的点表示的数左边<右边，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）， 【作业15】．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）求方程中x的值： 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查的是根据平方根的意义解方程，先移项，再系数化为1，最后根据平方根的意义解出即可． 【详解】解：， ， ． 【作业16】．（23-24七年级下·山东滨州·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)0 (2)3 (3)4.2 (4) 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）进行乘方，开方，去绝对值的运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方，开方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算； （3）进行开方运算后，再进行加减运算即可； （4）进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【作业17】．（21-22八年级上·广东揭阳·阶段检测）计算：； 【答案】2.6 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查实数的混合运算，分别对根号下进行变形或计算，再计算算术平方根和立方根，然后依次相加、减是解题的关键． 【详解】解： ， ． 【作业18】．（25-26八年级上·重庆·期中）对任意一个四位数，将这个四位数千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位数字与十位数字及百位数字与个位数字得到，所以，如果四位数满足千位数字，与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“均衡数”，例如：，因为，所以是一个均衡数，_____；若一个“均衡数”的十位数字比百位数字的倍少，且这个“均衡数”能同时被和整除，则当为最大值时，的值是_____． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义 “均衡数” 的运算与整除问题，运用代数表示与数的整除性质思想，关键是通过数位拆分表示四位数，结合 “均衡数” 的条件、整除规则列方程，易错点是数位对应错误、整除条件（和）的应用遗漏； 答题空1：先对调 的数位得到新数，再代入公式计算； 答题空2：设 “均衡数” 的数位数字，结合条件列方程，利用整除性质确定最大值，再求． 【详解】答题空1： 解：对调 的千位与十位、百位与个位，得到新数 则； 答题空2： 设： 由 “均衡数” 定义得 因为十位数字比百位数字的倍少，得； 所以 又因为能被整除， 所以， 则为整数， 又因为且为整数，     所以，，； 又因为能被整除， 所以， 则为整数， 又因为且为整数， 所以或或，或或； 因为， ， ， 所以当为最大值时为 ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $