专题07 数的开方（15大易错题型，专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以15类常考题型为框架，系统覆盖数的开方全知识点，提炼估算、非负性应用等核心方法，实现从概念到综合应用的递进训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-3、6、9|定义直接应用、夹逼法估算|算术平方根→平方根→立方根概念递进| |性质应用|题型2、7-8|非负性求值、代数式平方根计算|性质推导→代数应用→方程求解| |规律探索|题型4、10|归纳法找数式规律|特殊到一般，培养推理意识| |实际应用|题型5、11|几何建模（面积/体积）|数学眼光观察现实，发展模型意识| |综合提升|题型12-15|实数分类比较、概念综合|整合开方与实数，形成知识网络|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07数的开方 内容概览 目常考题型精准突破 题型1求一个数的算术平方根 题型2利用算术平方根的非负性解题 题型3估计算术平方根的取值范围 题型4与算术平方根有关的规律探索题 题型5算术平方根的实际应用 题型6求一个数的平方根 题型7求代数式的平方根 题型8利用平方根解方程 题型9求一个数的立方根 题型10与立方根有关的规律探索题 题型11立方根的实际应用 题型12算术平方根和立方根综合应用 题型13无理数的估算 题型14实数的分类 题型15实数的大小比较 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1求一个数的算术平方根 1.±V36= 2.4的算术平方根是() A.16 B.2 C.+2 D.2 3.V16的平方根是() 1/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.±4 B.±2 C.-4 D.2 4.计算：-37= 5.V9的值是() A.±3 B.±V3 C.3 D.-3 ◆题型2利用算术平方根的非负性解题 6.若x,y为实数，且x+3+y-3=0,则x20 】的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 7.若lx-2+Vy+3=0,则x+y2026的值为() A.1 B.-1 c.0 D.无法确定 8.代数式2-5-x的最大值为一 9.已知R3a+1+Vb-1=0,则-a2-b2024= 10.若实数x,y满足x+2+y+92=0,则Xy=· ◆题型3估计算术平方根的取值范围 11.估计V6的值应在() A.0和1之间B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 12.估计29的值() A.在4到5之间B.在3到4之间 C.在5到6之间 D.在6到7之间 13.已知n<√8<n+1,则整数n的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 14.已知n是整数，且n<V68<n+1,则n的值是() A.8 B.9 C.10 D.11 15.若a为正整数，且满足a-1>17,则a的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 ◆题型4与算术平方根有关的规律探索题 16.学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式.阅读观察下列算式，探求规 *专子 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)按照此规律： ①计算：1 19 100 ②第n个式子是 (用含n的式子表示，且n为正整数) 0-×1号9176 3 89 (2)直接写出结果： 2025 17.已知25.6≈5.06,2.56=1.60，则V0.256= 18.已知V20.26≈4.501，则2026≈ 19.小明发现V9=3,V900=30,90000=300,·,根据小明的发现解决问题：已知√2025=45， 202.5≈14.23，则V20.25的值为 20.【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律. ①/4x9=6,V4×V9=6: ②16×25=20,9V16×V25=20: ③36×49=42,9V36×√49=42： 【规律发现】 (1)计算：V9×25= V100×121= (2)用字母表示你发现的规律 (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：V27=9x3=V9×3=33.请你试着化 简下面各式：V8= :V18= ◆题型5算术平方根的实际应用 21.一张长方形画纸的面积为40，且长与宽的比为5：4.从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长 可以是() A.5.5 B.6 C.7 D.8 22.团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善.如图，小志打算用一块长为8V2cm,宽为4V7cm的矩 形布料裁剪出一块面积为81cm的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（π 取3) 23.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3cm2,1cm2,图中两块阴影部分的面积和为 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cm. 1cm2 3cm2 24.如图①是一张面积为400平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300平方厘米 的长方形纸片. 图① 图② ① 1 、② 示例图形 图③ 图④ (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据， (2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合 要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由 (3)小丽做了如下探究活动： 【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰 直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为 我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正 方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接 后的图形 拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的 边长 25.如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样 的大正方形，则这个大正方形的边长是() A.2 B.V2+1 c.5 D.V10 ◆题型6求一个数的平方根 26.V9的平方根是() A.±V3 B.9 c.V3 D.+3 27.25的平方根是() A.±5 B.5 c.-5 D.±15 28.下列算式中正确的是() A.V9=±3 B.±Vg=3 c.V-37=-3 D.3-27=-3 29.下列式子正确的是() A.±V9=3 B.V9=±3 c.-27=-2 D.9V16=4 30.81的平方根是 ◆题型7求代数式的平方根 31.一个自然数的一个平方根是α，则与它相邻的下一个自然数的平方根是() A.±Va+1 B.a+1 C.a+1 D.±a2+1 32.已知a-17+√17-a=b+8」 (I)求a,b的值： (2)求a2-b2的平方根， 33.若x,y为实数，且2(x-3)与V3y-12互为相反数，则x2+y的平方根为 34.已知4是3a+1的算术平方根，3a-2b的立方根是3. (1)计算：a=,b=一： 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求3a+2b的平方根. 35.已知V1-3b与V2a+1互为相反数，求-3b+2a+6的平方根. ◆题型8利用平方根解方程 36.已知x2=52,则x的值是() A.5 B.±5 C.25 D.±25 37.计算： (1)-12025-R2-1g (2)x-2}2=9 38.计算 (①)计算：V16-27+/2-1小. (2)求下列式中x的值：x2-1=15. 39.解答下列各题 (1)计算V49--27+1-3 (2)解方程2x-1-8=0 40.求出下列x的值： (1)16x2-9=0: (2)x-13+27=0. ◆题型9求一个数的立方根 41.若a+12+b-2=0,则a-b的立方根为 2若 8,则x的值为 43.已知y=/x-9+V9-x+3,则xy的立方根是 44.下列式子正确的是() A.-5P=-5 B.V36=±6 C.--8=2 D.9-4=-2 45.化简：8-2= ◆题型10与立方根有关的规律探索题 46.已知2=1.2599,20=2.7144，则0.02= 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 47.著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立 方根，华罗庚脱口而出：9.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由103=1000,1003=1000000，请问59319是几位数？答： 位数： (2)由59319的个位上的数是9，即59319的个位上的数是 (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而3=27,43=64，那59319的十位上的数是·已 知5832,421875都是整数的立方，按照上述方法，/5832= 421875= 48.阅读素材，完成任务. 我国著名数学家华罗庚 有一次在飞机上看到他 的助手阅读的杂志上有 素材背景 一道智力题：一个数是 59319,求它的立方 根.华罗庚脱口而出： 39. .1000=10, 31000000=100, 1000<59319<1000000 素材 步骤一 ,.10<59319<100 ∴能确定59319的立方 根是个两位数。 .59319的个位数是9 93=729, 步骤二 ∴能确定59319的立方 根的个位上的数是9. 如果划去59319后面的 步骤三 三位数319得到数59， 而27<59<64， 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则3<59<4，可得 30<59319<40.由 此能确定59319的立方 根的十位上的数是3. 因此59319的立方根是 39」 (1)已知91125是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根. (2)已知592704000是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是」 位数： ②它的立方根的个位上的数是： ③它的立方根是 49.若2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140≈（) A.12.89 B.27.76 C.128.9 D.277.6 50.(1)已知V7≈2.646，则0.07≈： (2)已知0.3≈0.669，x≈6.69，则x≈ ◆题型11立方根的实际应用 51,已知一个正方体的棱长为2cm,若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为 cm 52.将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块 的长、宽、高的比为1：1：8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少Cm? 53.体积为80的正方体的棱长在() A.8到9之间B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 54.一种正方体形状的集装箱，体积是216m3,这种正方体集装箱的棱长是() A.3m B.6m C.9m D.27m 55.如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一 个量筒测得溢出的水体积为30cm,由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围() 铁块 A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型12算术平方根和立方根综合应用 56.若a是64的算术平方根，b是-64的立方根，则代数式a+b的值为 57.计算： (1)计算：-13+1-2+8-3}： 1 (②)已知x的算术平方根为4，y的立方根是-2，求一2灯的平方根. 58.实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示.化简c+a+b+V(c-a) b c 0 a 59.已知一个正数的平方根分别是a+2和2a-5,b-3的立方根为-4.求3a-b的算术平方根. 60.已知X-2的平方根是±2，x+3y-9的立方根是一3. (1)求x,y的值： (2)求x+y的平方根. ◆题型13无理数的估算 61.下列整数中与V13最接近的是() A.2 B.4 C.6 D.8 62.如图，数轴上点N表示的数可能是() w 上 -10123456 A.15 B.5 c.7 D.V10 63.【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究39的近似值，过程如下： ,面积为39的正方形的边长是39，且6<39<7， :.V39可以设为以下两种形式： ①/39=6+a0<a<1:②39=7-b0<b<1. 小谢展示了利用②探究近似值的过程. 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图. 9/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 7-b 39 0-8)6 S正方形=39+27-bb+b2=72 (7-b)b b2 整理得39+14b-b2=49, .0<b<1, b较小，可忽略不计. ·14b≈49-39，b≈49-39=5 14 :./39≈7 7≈6.29 【方法运用】 (1)请写出27在哪两个连续整数之间：_<V27<: (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究27的近似值. 64.关于8的叙述，下列不正确的是() A.V8是无理数 B.在数轴上可以找到表示V8的点 C.2<8<3 D.周长为8的正方形的边长是V8 65.写出满足5<x<V17的所有整数x: ◆题型14实数的分类 数据4,7，弓，-8,12020020002…（每相邻两个2之间增加-个0），这5个实数中无理数 个. 67.下列四个数中是无理数的是() A.12 心月 c.V13 D.-7 68.下列实数中，无理数是() A. B.0 C.3.14 D.93 69.下列各数中：122，头，子，-1.010101001（每两个1之的0线欲加D,英中 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理数有」 个 70.下列四个数中属于无理数的是() 22 A.0 B.7 C.5 D.-阳 ◆题型15实数的大小比较 71.比较大小：V67 8.(填“>”“<”或“=”) 72.下列四个数中，最大的是() A.-3 B.-2 c.0 D.元 73.下列实数中，最大的数是() A.-1 B.0.5 C.3 d.V2 74.下列各数中，比-1小的数是(). 3 A.-2 B.一2 c.0 75.下列各数中，最小的数是() A.-2 B.-1 C.0 D.一π 综合攻坚知能拔高 一、单选题 12425八年级上山东青岛阶段检测)下列各数中：兰，0.0,015，号-9， 1.010010001…,23.23332332中，无理数有几个？() A.4 B.3 C.2 D.1 2.(23-24七年级下·安徽芜湖·期中)如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是() 姓名：嘉琪得分： 填空：（每小题20 分，共100分) ①/2的倒数是-V2: ②-V3的绝对值是 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3: ③4的算术平方根为 2: ④平方根与立方根相 等的数是0： ⑤(-2)=-2. A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 3.(21-22七年级下·贵州遵义期中)已知a,b在数轴上的位置如图所示，化简√a7-a+b-a-b的 结果是() a 0b→ A.a B.a-2b C.-a+2b D.-3a 4.(22-23八年级下江苏苏州·开学考试)已知a+1的平方根是±2；b+11的立方根为3：c是V7的整数 部分.求a+b+c的值() A.-33 B.3 C.8 D.-6 5.(21-22七年级下四川绵阳·开学考试)下列命题中，正确的是() ①算术平方根等于本身的数只有0： ②倒数等于本身的数只有1： ③立方根等于本身的数有±1和0： ④绝对值等于本身的数只有0和1： A.只有③ B.①和② C.只有① D.③和④ 6.(23-24七年级下·四川广安.期末)如图是一个数值转换器的原理图，当输入x的值为81时，输出y的值 是() 输入x 取算数平方根 是不是 是 无理数 输出y 不是 A.2 B.3 c.2 D.3 7.(25-26七年级下辽宁盘锦期末)定义：对于任意的实数a,b,当a≥b时，有a⑧b=√a+6:当 a<b时，a⑧b=a+b2,则-18-8=() A.-7 B.1 c.7 D.-1 二、填空题 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26七年级下西藏林芝.期末)若3x+2y-20+2x+y-11=0,则x+y的值是 9.(25-26七年级下四川凉山期末)已知y=Vx-8+V8-X+2,则Xy的算术平方根为 10. (25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)如果a,b是2026的两个平方根，那么a+b-2ab= 11.(25-26七年级下·山东滨州·期末)我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上 有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地 计算出来的吗？有一种方法如下： ①.1000=10,1000000=100 又1000<59319<1000000. .∴.10<59319<100， .∴能确定59319的立方根是个两位数. ②.9=729， ∴，能确定59319的立方根的个位数是9 ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而27<59<64，即3<59<4，可得30<59319<40， 由此能确定59319的立方根的十位上的数是3， 因此59319的立方根是39.据此，若整数x是-389017的立方根，则x= 三、解答题 12.(25-26七年级下·云南昭通期末)计算：-3P-3V2-5--27-3V2+-12. 13.(21-22七年级下·河南濮阳·期末)已知实数m、n满足mn<0,且m=8,n=11,求m+n的立方根. 14.(25-26七年级下·北京西城期末)计算： (1)V/9+-V2+3V2-8: (2)求等式中x的值：x-12=25 15.(25-26七年级下·重庆忠县期末)已知实数a是- 8的立方根，非零实数b的算术平方根是b. (1)求2a-b+4的平方根： (2)若c是V-162的平方根与b的立方根之和，求42a+c的立方根. 13/13函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07数的开方 常考题型精准突破 ◆题型1求一个数的算术平方根 1.±6 2.B 3.B 4.3 5.C ◆题型2利用算术平方根的非负性解题 6.A 7.A 8.2 10.3V2 ◆题型3估计算术平方根的取值范围 11.C 12.C 13.A 14.A 15.D ◆题型4与算术平方根有关的规律探索题 9 2n+1 16.(010:②1 n+12n+1 QA 17.0.506 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.45.01 19.4.5 20.(1) 15:110 (2) 当a≥0，b≥0时，/b=a./6 (3) 2V2:3V2 ◆题型5算术平方根的实际应用 21.A 22.小志能裁剪出他需要的圆形布料 23.(V3-1) 24.(1)裁剪方案和数据如图所示： 20 15 (2)不能，理由如下： 设长方形的长为3k,宽为2k, 3k×2k=300, 6k2=300 k2=50, :k=52(负值舍去)， .长方形的长为152， .15V2>20,超过了原正方形纸片的边长， ∴，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)活动1：2： 活动2：裁剪痕迹和拼接图，如图所示： ①⑤ ① ④⑤② 4 3 3 (2 图③ 图④ 拼成的两个正方形边长相等，边长是V5 25.C ◆题型6求一个数的平方根 26.A 27.A 28.D 29.D 30.±9 ◆题型7求代数式的平方根 31.D 32.(1)a=17,b=-8: (2)±15. 33.±5 34.(1)5:-6 (2)±V3 35.±2 ◆题型8利用平方根解方程 36.B 37.(1)-V2 (2)x=5或x=-1 38.(①)V2 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x=±4 39.(1)9+V3 (2)x=3或x=-1 40.x=± 3 (2)x=-2 ◆题型9求一个数的立方根 41.-3 43. 3 44.C 45.0 ◆题型10与立方根有关的规律探索题 46.0.27144 47.(1)两 (2)9 (3)3;18:75 48.(1)45 (2)三，0,840 49.A 50. 0.2646 300 ◆题型11立方根的实际应用 51. 6 3 3 52. 长方体铁块的长、宽、高分别为号m, cm和12cm. 53.B 54.B 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 55.B ◆题型12算术平方根和立方根综合应用 56. 4 57.(1)V2-3 (2)±8 58.-b 59.8 60.(1)x=6;y=-8: (2)±10 ◆题型13无理数的估算 61.B 62.D 63.(1)5:6 (2)方法一：如图， 5+a 5 25 0SE方形=25+5a+5a+a2=27 a 5a a 整理得25+10a+a2=27, .0<a<1, ∴，a较小，可忽略不计， 10a≈27-25，a≈27-25=1 10 5 275片-52 方法二：如图， 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 6-b 27 (6516 S正方形=27+26-bb+b2=62 b (6-b)b b 整理得27+12b-b2=36, .0<b<1, b较小，可忽略不计. 12b≈36-27，b≈36-27=3 12 41 =5.25 :2764 64.D 65.3和4 ◆题型14实数的分类 66.2 67.C 68.D 69.3 70.C ◆题型15实数的大小比较 71.> 72.D 73.D 74.A 75.D 综合攻坚知能拔高 1.B 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.D 8.3 9.2 10.4052 11.-73 12.2 13.-3或3 14.(1)1+4V2 (2)x=6或x=-4. 15.(1) ±V2 (2) 4 7/7 专题07 数的开方 常考题型·精准突破 题型1 求一个数的算术平方根 题型2 利用算术平方根的非负性解题 题型3 估计算术平方根的取值范围 题型4 与算术平方根有关的规律探索题 题型5 算术平方根的实际应用 题型6 求一个数的平方根 题型7 求代数式的平方根 题型8 利用平方根解方程 题型9 求一个数的立方根 题型10 与立方根有关的规律探索题 题型11 立方根的实际应用 题型12 算术平方根和立方根综合应用 题型13 无理数的估算 题型14 实数的分类 题型15 实数的大小比较 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1求一个数的算术平方根 1．________． 【答案】 【详解】， ， ． 2．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 的算术平方根是， 3．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的平方根是． 4．计算：______． 【答案】3 【详解】解：． 5．的值是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：． ◆题型2 利用算术平方根的非负性解题 6．若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】∵，，且， ∴，， 解得：，， 故 ． 7．若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 8．代数式的最大值为 __． 【答案】2 【详解】解： ， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 9．已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 10．若实数x，y满足，则_____． 【答案】 【分析】先根据求出x，y的值，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ，， ∴，， ∴，， ∴． ◆题型3 估计算术平方根的取值范围 11．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴． 12．估计的值（     ） A．在4到5之间 B．在3到4之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间 【答案】C 【分析】使用夹逼法估计无理数的大小，只需找到与29相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：，，且， ，即， 因此的值在5到6之间． 13．已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出与8相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 14．已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较与相邻整数平方的大小，确定的取值范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， 不等式两边同时开算术平方根，得， ∵，且为整数， ∴． 15．若为正整数，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先估算无理数的取值范围，再解不等式得到的范围，结合为正整数求出的最小值． 【详解】，， ，即 又为正整数 的最小值为． ◆题型4 与算术平方根有关的规律探索题 16．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 17．已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 18．已知，则________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此求解． 【详解】解： ， 已知， ． 19．小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 20．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． ◆题型5 算术平方根的实际应用 21．一张长方形画纸的面积为，且长与宽的比为．从中裁出一个正方形画纸，正方形画纸的边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形边长最大不超过长方形的宽，需先根据长方形的面积与长宽比求出宽，再对比选项． 【详解】解：设长方形的长为，宽为（）. ∵ ∴ ∴ 长方形的宽为 ∵ 裁出的正方形边长最大不超过长方形的宽 又∵，，， ∴ 边长为的正方形符合要求． 22．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 23．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 24．如图①是一张面积为400平方厘米的正方形纸片，小丽想沿着边的方向裁出一块面积为300平方厘米的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案，并在图①的正方形中画出剪裁方案并标出相应数据． (2)若使长方形（长方形的边和原正方形的边平行或重合）的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． (3)小丽做了如下探究活动： 【活动1】在学习实数与数轴时，我们学习了将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形（如图②所示），通过等面积的变形我们知道，这个正方形的面积为2． 我们可以得出图②中拼成后的正方形的边长为________． 【活动2】下图中阴影所示的两个图形（每个小方格的边长为1），如果它们都可以重新剪开，重新拼成正方形，请参照示例图形，在两个图形中（图③、图④）分别画出裁剪的痕迹，并在空白的网格中画出拼接后的图形． 拼成的两个正方形边长相等吗？如果相等，边长是多少；如果不相等，请分别写出每个拼成后的正方形的边长． 【答案】(1)裁剪方案和数据如图所示： (2)不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴长方形的长为， ∵，超过了原正方形纸片的边长， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． (3)活动1：； 活动2：裁剪痕迹和拼接图，如图所示： 拼成的两个正方形边长相等，边长是 【分析】（1）将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4个面积相等的长方形，每个小长方形的宽度为5厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300平方厘米的长方形纸片； （2）通过计算长方形纸片的长，得出长超过了原正方形纸片的边长，从而得出小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （3）设拼成后的正方形的边长为，利用拼成正方形的面积来建立方程求出结果． 【详解】（1）解：如图所示： ∵正方形纸片的面积为400平方厘米， ∴正方形纸片的边长为20厘米， 将正方形纸片对折两次后展开，正方形纸片被平均分成了4个面积相等的长方形，每个小长方形的宽度为5厘米，只需裁掉最右边的小长方形，即可得到一个面积是300平方厘米的长方形纸片，如图所示： （2）略 （3）解：活动1：设拼成后的正方形的边长为， ∴， ∴（负值舍去）； 活动2：裁剪图略； 由等面积的变形可得：这两个正方形的面积都为5， 设正方形的边长为， ∴， ∴（负值舍去）． 25．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题． 【详解】解：分割图形如下： ∵正方形的面积为， 故这个正方形的边长是：． ◆题型6 求一个数的平方根 26．的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题需先计算出的值，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3的平方根为． 27．25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 28．下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一计算判断各选项即可． 【详解】解：A，表示9的算术平方根，结果为非负数，即， ∴ A错误，不符合题意； B，表示9的平方根，则， ∴ B错误，不符合题意； C，∵先计算被开方数得， ∴， ∴ C错误，不符合题意； D，∵， ∴， ∴ D正确，符合题意． 29．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意． 30．81的平方根是________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． ◆题型7 求代数式的平方根 31．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 32．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 33．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 34．已知4是的算术平方根，的立方根是3． (1)计算：a =______，b =______； (2)求的平方根． 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）根据算术平方根与立方根的性质即可求解； （2）先求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知算术平方根、立方根与平方根的性质． 【详解】（1）∵4是的算术平方根，的立方根是3， ∴，， 解得，， 故答案为：5；； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 35．已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． ◆题型8 利用平方根解方程 36．已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵25的平方根为， ∴． 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 或． 38．计算 (1)计算：． (2)求下列式中x的值：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、化简绝对值，然后相加减即可； （2）根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ． 39．解答下列各题 (1)计算 (2)解方程 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 40．求出下列的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型9 求一个数的立方根 41．若，则的立方根为________． 【答案】 【分析】利用平方和算术平方根的非负性，先求出a和b的值，再计算，最后求出的立方根． 【详解】解：∵，，且满足， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 42．若，则x的值为__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，对等式变形即可求出的值. 【详解】解：， 又， . 43．已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出的值，代入原式求出的值，计算得到后，再求的立方根即可． 【详解】解：要使二次根式与有意义，被开方数需满足， 解得且， 因此， 代入， 得， 则， ， 所以的立方根为． 44．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根定义，立方根的定义，二次根式有意义的条件，逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A，∵，∴ A错误； 选项B，∵表示36的算术平方根，结果为，∴ B错误； 选项C，∵，∴ C正确； 选项D，∵二次根式中被开方数为非负数，，∴无意义，D错误． 45．化简：_______． 【答案】 【详解】解： ． ◆题型10 与立方根有关的规律探索题 46．已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 47．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 48．阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，，，， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数，而，则，可得．由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 【答案】(1)45 (2)三，0，840 【详解】（1）解：∵，，而， ∴立方根是两位数； 立方数的个位是5，只有个位为5的数，立方的个位才是5， ∴立方根的个位是5； 去掉 91125后三位，得到91， ∵，，且， ∴十位是4； 综上，91125的立方根是45； （2）解：∵，，而， ∴立方根是三位数； 立方数的个位是0，只有个位为0的数，立方的个位才是0， ∴立方根的个位是0； 去掉592704000后三位，得到592704； 求592704的立方根：因其个位是4，故其立方根的个位是4； 去掉592704的后三位得到592， ∵，，且， ∴其立方根的十位是8； ∴592704的立方根是84； ∴592704000的立方根是840． 49．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 50．（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． ◆题型11 立方根的实际应用 51．已知一个正方体的棱长为，若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为_______． 【答案】 【详解】解：原正方体的棱长为， 原正方体体积为 ， 改变后正方体体积为 ， 设改变后正方体的棱长为， 可得， 解得. 52．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 53．体积为80的正方体的棱长在（     ） A．8到9之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】先根据正方体体积公式得到棱长为，再用夹逼法估算无理数的范围，找到和80相邻的两个立方数，即可得到棱长的范围 【详解】解：设正方体的棱长为，根据正方体体积公式，得， ∵ ，，且， ∴ ，即， 因此体积为80的正方体的棱长在4到5之间 54．一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可． 【详解】解：设这种正方体集装箱的棱长为． ∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方， ∴． ∵，棱长为正数， ∴． 55．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【详解】解：∵溢出的水体积为 ∴该正方体铁块的体积为 ∴该正方体铁块的棱长为 ∵ ∴ ∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． ◆题型12 算术平方根和立方根综合应用 56．若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】是的算术平方根， ， 是的立方根， ， 将代入得： ． 57．计算： (1)计算：； (2)已知的算术平方根为4，的立方根是，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算立方，化简绝对值，立方根，乘方，再运算即可； （2）根据算术平方根以及立方根的定义求出x，y的值，再代入求出的值，进而求出最后结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：的算术平方根为4，的立方根是， ，， 解得：，， ， 的平方根是． 58．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 59．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】8 【分析】根据题意得出，确定，再由立方根得出，然后代入计算，求出算术平方根即可． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得，      的立方根为， ， 解得，      ． 的算术平方根为． 60．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． ◆题型13 无理数的估算 61．下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过比较平方数确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 因此下列整数中与最接近的是． 62．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得点表示的数大于3且小于3.5，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设点所代表的数为， 由数轴可知：，即，故B、C错误， ∵， ∴数轴上点表示的数可能是． 63．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 64．关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 65．写出满足的所有整数：______． 【答案】和 【分析】对和大小的估算，得到的大致范围，确定满足条件的整数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴满足的整数有，． ◆题型14 实数的分类 66．数据，，，，（每相邻两个之间增加一个），这个实数中无理数有______个． 【答案】 【分析】先化简题目中的根式，再根据无理数的定义判断每个实数，然后统计无理数的个数即可． 【详解】解：先对各实数进行化简判断：，是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每相邻两个之间增加一个）是无限不循环小数，属于无理数， 综上，无理数共有个． 67．下列四个数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），有理数是整数和分数的统称，逐一判断选项即可得出结果． 【详解】解：∵整数和分数都是有理数，无限不循环小数是无理数， ∴ 选项：是整数，是有理数，不符合要求； 选项：是分数，是有理数，不符合要求； 选项：是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求； 选项：是整数，是有理数，不符合要求． 68．下列实数中，无理数是（     ） A． B．0 C．3.14 D． 【答案】D 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：选项A 、 是分数，属于有理数； 选项B、 是整数，属于有理数； 选项C、 是有限小数，属于有理数； 选项D 、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 69．下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． 70．下列四个数中属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：是整数，属于有理数，故A错误； 是分数，属于有理数，故B错误； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C正确； ，是分数，属于有理数，故D错误． ◆题型15 实数的大小比较 71．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较两个非负数的大小，可对两个数分别平方，通过比较平方结果的大小判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：对两个数分别平方，可得，， ∵， ∴． 72．下列四个数中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的基本规则（负数小于，正数大于；两个负数，绝对值大的数反而小）即可得出结果． 【详解】解：∵ ，， 又∵ ，即 ， ∴ ， ∴ 四个数中最大的是． 73．下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四个选项中是最大的数． 74．下列各数中，比小的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，根据负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】∵负数正数，绝对值大的负数反而小， ∴． 75．下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据负数小于0，两个负数相比较，绝对值大的反而小即可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最小的数是． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各数中：，，，，，，，中，无理数有几个？（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先化简可化简的数，再分类判断． 【详解】解：是分数，是整数，、是有限小数，是整数，以上均为有理数． 开方开不尽，含无理数，是无限不循环小数，以上均为无理数． 无理数共3个． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】先根据倒数、绝对值、算术平方根、平方根、立方根的定义，逐个判断嘉琪的答案是否正确，再计算得分即可． 【详解】解：逐个判断正误： ①的倒数是，嘉琪答案错误； ②负数的绝对值是它的相反数，，嘉琪答案正确； ③算术平方根为非负数，4的算术平方根是，嘉琪答案正确； ④只有0的平方根与立方根相等，嘉琪答案正确； ⑤，嘉琪答案正确； ∴嘉琪共做对4道题，每小题20分，得分为分． 3．（21-22七年级下·贵州遵义·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 4．（22-23八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 5．（21-22七年级下·四川绵阳·开学考试）下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【答案】A 【分析】根据算术平方根、倒数、立方根、绝对值的定义，逐一判断每个命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①对于算术平方根等于本身的数，的算术平方根是，也等于本身，算术平方根等于本身的数是和，①错误； ②对于倒数等于本身的数，的倒数是，也等于本身，倒数等于本身的数是和，②错误； ③对于立方根等于本身的数，，，，立方根等于本身的数是和，③正确； ④对于绝对值等于本身的数，所有非负数的绝对值都等于本身，不止和，④错误． 综上，只有③正确． 6．（23-24七年级下·四川广安·期末）如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 7．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 二、填空题 8．（25-26七年级下·西藏林芝·期末）若，则的值是________________． 【答案】3 【分析】先根据偶次方和绝对值的非负性建立关于，的方程组，进而求出的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 由①②得：，即， ∴． 9．（25-26七年级下·四川凉山·期末）已知，则的算术平方根为_______． 【答案】 【分析】根据被开方数非负列出不等式组求出x的取值范围，进而确定x的值和y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得 ∴， ∴ ， ∴的算术平方根为． 10．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果，是2026的两个平方根，那么__________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得与的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ． 11．（25-26七年级下·山东滨州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： ①，， 又， ， ∴能确定的立方根是个两位数． ②， ∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，即，可得，由此能确定的立方根的十位上的数是， 因此的立方根是．据此，若整数是的立方根，则________． 【答案】 【分析】仿照题干给出的方法，先求出的立方根，再结合立方根的性质即可得． 【详解】解：①，，， ∴， ∴能确定的立方根是两位数； ②∵， ∴能确定的立方根的个位数字是； ③划去后面的三位得到数，而，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位数字是； ∴， ∴， ∵整数是的立方根， ∴． 三、解答题 12．（25-26七年级下·云南昭通·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 13．（21-22七年级下·河南濮阳·期末）已知实数m、n满足，且，，求的立方根． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，又因为，则有或，则题目可解． 【详解】解：∵，， ∴，． 又∵， ∴有或． ∴或， 即的立方根为或． 14．（25-26七年级下·北京西城·期末）计算： (1)； (2)求等式中的值：． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先分别化简各项，再合并同类项即可得到结果； （2）利用平方根的定义开平方，分情况计算得到的值即可． 【详解】（1）解： （2）解：对于等式， 根据平方根的定义开平方得： ， 当时， 解得， 当时，解得， 或． 15．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的定义可求出，根据算术平方根的定义求出，再根据平方根的定义即可求解； （2）根据平方根及立方根的定义求出的值即可求解； 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∵非零实数的算术平方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：，， ∵是的平方根与的立方根之和， ∴， ∴或， ∴或， ∴的立方根是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $