第10章· 数的开方·期中复习讲义 ·2026-2027学年华师大版八年级数学上册

第10章·数的开方·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根与算术平方根的概念，会用符号表示并求一个非负数的平方根与算术平方根 · 掌握立方根的概念与性质，会求一个数的立方根并区分平方根与立方根 · 了解无理数与实数的概念，会进行实数的大小比较、估算与混合运算 · 能运用平方根、立方根解形如 x2=a 的方程并处理非负性综合问题 · 掌握新定义型实数运算与规律探索题的解题策略，能归纳一般结论 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 若 x2=a（a≥0），则 x 叫 a 的平方根，记作 ±；正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根 正数 a 的正的平方根叫算术平方根，记作 ，它具有双重非负性：a≥0 且 ≥0 (=a（a≥0），=|a| 利用平方根的定义可解形如 x2=a 的方程，注意不要漏掉负根 概念辨析例题：已知 +|b+3|=0，求 (a+b)2026 的值。 答案：由非负性得 a-2=0，b+3=0，即 a=2，b=-3，故 (a+b)2026=(-1)2026=1。 解析： 与绝对值均为非负数，几个非负数之和为 0 则各自为 0，这是算术平方根非负性的典型应用。 ☆ 2.立方根 若 x3=a，则 x 叫 a 的立方根，记作 ∛a；任意实数都有唯一的立方根 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0 ∛(-a)=-∛a，(∛a)3=a 立方根与平方根的区别：负数没有平方根但有立方根 概念辨析例题：求下列各式的值：∛(-27)；-∛(1/8)。 答案：∛(-27)=-3；-∛(1/8)=-1/2。 解析：根据立方根的定义，(-3)3=-27，(1/2)3=1/8；注意负数的立方根仍为负数。 ☆ 3.实数与无理数 无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点一一对应，实数范围内相反数、绝对值、运算法则与运算律仍然适用 常用夹逼法估算无理数的大小，确定无理数的整数部分与小数部分 实数大小比较可作差、平方或利用相邻完全平方数夹逼 概念辨析例题：估计 在哪两个相邻整数之间，并求 的整数部分与小数部分。 答案：∵ 32=9<11<16=42，∴ 3<<4，整数部分为 3，小数部分为 。 解析：用相邻完全平方数夹逼确定无理数范围，是估算与求整数部分问题的通用方法。 ☆ 4.新定义型实数运算与规律探索 新定义题先准确理解给定符号或运算规则，再代入数值按规则计算 规律探索题从特殊情形入手，观察前后项关系，归纳一般结论并验证 实数运算中注意运算顺序与符号，必要时结合整体代换 压轴综合题常融合平方根、立方根、方程组与不等式，需分小问逐步突破 概念辨析例题：定义新运算 a⊕b=∛b，求 16⊕(-8) 的值。 答案：16⊕(-8)=∛(-8)=4+(-2)=2。 解析：严格按定义代入，分别求出算术平方根与立方根后再相加，注意符号。 📋 知识总结表 名称 定义/符号 注意事项 平方根 若 x2=a，则 x=± 负数没有平方根 算术平方根 正数 a 的正平方根 双重非负性 a≥0，≥0 立方根 若 x3=a，则 x=∛a 负数也有唯一立方根 无理数 无限不循环小数 如 、π、0.101001… 实数 有理数与无理数统称 与数轴上的点一一对应 非负性 、|a|、a2 均非负 和为 0 则各自为 0 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与算术平方根的概念及非负性（第1-9题） · 牢记平方根与算术平方根的符号区别：± 与 · 见到 |b|+c2=0 型，立即用非负性列方程 · 利用 (=a 化简，注意 a≥0 的前提 · 解 x2=a 型方程时不要漏掉负根 1．（19-20八年级下·云南红河·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键． 直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中为正整数，，，…，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解、整式的判断、利用平方根解方程 【分析】对说法①，代表各项次数和为，满足条件的整式包括仅含一次项的单项式和含一次项与常数项的多项式，共种；对说法②，当时，将代入整式得，需其为的倍数：分和两类求解方程，得到对应种符合条件的整式；对说法③，按、分类统计方程有解的整式：时所有一次整式方程必有解，共个；当时，其中含二次单项式，含常数项的二次整式的对应方程，其中有解的有个，总计10个． 【详解】解：∵均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且． ∴可取，0或1， 对于①，已知，是一次整式： 当是单项式时，仅含一次项，整式为，，共2种； 当是多项式时，含一次项和常数项，整式为，，，，共4种； 因此满足条件的整式共种，故说法①错误． 对于②，当时，，则， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， 当能被5整除时： 当时，， 要为5的倍数，只有， 对应整式为，共1种； 当时，， 要为5的倍数，只有， 对应整式为，共1种； 因此满足条件的整式共个，故说法②错误． 对于③，当时，整式有6种：，，， 对应的方程均有解，共6个； 当时，则，， ∴， ∴符合条件的所有整式为：，，，，共6个； 其中使方程有解的整式为，，，共4个； 总共有个，故说法③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为0． 3．（21-22七年级下·四川德阳·期中）对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、代入消元法 【分析】根据的定义，为整数时可得到，，据此列出方程组求解，再代入计算的平方根即可. 【详解】解：是整数，表示小于的最大整数， ， 又， 同理， 整理①得， 代入②得， 解得， 将代入，得， ， ∴的平方根是. 4．（25-26七年级下·重庆永川·期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”·例如：三位数159，，是中项两倍数”；三位数764，，764不是“中项两倍数”．则“中项两倍数”的最小值是_____________，把“中项两倍数”的各个数字之和被3整除的商记为．其中，能被21整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为_____________． 【答案】 111 147 【知识点】求一个数的算术平方根、有理数的定义、列代数式 【分析】根据当最小时，百位数字和个位数字都为1，结合“中项两倍数”的定义，即可求出的最小值；由是“中项两倍数”，得，再由能被整除，可得为整数，从而求得的值，再根据为有理数，为有理数，求得的值，最后由求得的值，便可求得． 【详解】解：是“中项两倍数”， 当最小时，百位数字和个位数字都为1，即， 则， ∴的最小值是； 是“中项两倍数”， ， 能被整除， 为整数， ， 为有理数， 为有理数， 或或， 当，时，， 解得（舍）， 当，时，， 解得，此时， 当，时，， 解得（舍）， 综上，． 5．（25-26九年级上·福建·期末）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 【答案】(1)方程的一个正根为 (2) 因为N的算术平方根整数部分和小数部分分别为，， 所以．所以． 省略后，被开方数N的误差为． 因为，所以，即． N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小， 所以． 所以． 所以估计为是合理的． 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】此题考查了算术平方根和无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的应用是解题的关键． （1）根据题目中的方法进行解答即可； （2）求出，得到． 省略后，被开方数N的误差为．因为，所以，即．N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小，所以．即可得到结论． 【详解】（1）解：因为方程可化为， 所以方程的正根可表示为． ①估计1530的整数部分 估计1530为． 因为，所以估计为3． 将代入，估计即为630． 因为， 所以估计为9． ②估计1530的小数部分 将，，代入中， 所以估计为． 所以估计为． 所以方程的一个正根为． （2）略 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图①．这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27． (1)这个魔方的棱长为______（直接写出答案）． (2)图①中阴影部分是一个正方形．把图①中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，那么点B在数轴上表示的数为______（直接写出答案）． (3)若的立方根是2，b为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】求一个数的平方根、用勾股定理解三角形、实数与数轴、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根，勾股定理，数轴上的点与实数的对应关系，实数的小数部分求解，平方根的计算．掌握立方根、平方根的计算方法，结合勾股定理求线段长度是解题的关键． （1）根据正方体体积公式进行计算即可； （2）先通过勾股定理得到阴影正方的边长，再利用数轴上的点的位置关系，结合点对应，得出点表示的数； （3）先根据立方根的定义求出，再确定小正方形边长的小数部分，然后代入计算代数式的值，最后根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：魔方的棱长为． 故答案为3． （2）解：魔方棱长为3，则每个小立方体棱长为1， 阴影正方形的边长是小立方体的面对角线，长度为， 点B在数轴上表示的数为． 故答案为． （3）解：由题意得， 解得， 由（2）可知， 的小数部分为， 将，代入 得到， 的平方根为． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：A、B是数轴上的两点，A点表示的数是a，B点表示的数是b，并且满足． (1)______，______． (2)若点P、Q同时从点A出发向终点B运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒2个单位．运动多长时间，的长度是长度的2倍． (3)在（2）的条件下，点P、Q运动到点B后立即调头按原速度返回到点A，当一个点到点A后就停止运动，另一个点也同时停止运动．点C是线段上的一点，点P、Q运动了一段时间后，也都运动到线段上，当点P、Q的距离与点C到原点的距离之和等于8个单位，并且此时点P、Q到点C的距离第一次相等．从这个时间开始再运动几秒后，点P、Q到原点O的距离相等？ 【答案】(1)，8 (2) (3)1.6或4.8秒 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】（1）根据非负数的性质客人得出，，进解方程即可； （2）设有运动时间为，则P表示的数为，Q表示的数为，根据“的长度是长度的2倍”列方程求解即可； （3）设C表示的数为x，运动时间为时，点P、Q的距离与点C到原点的距离之和等于8个单位，并且此时点P、Q到点C的距离第一次相等，由P的速度大于Q的速度，可判断点P、Q到点C的距离第一次相等时，Q在C的左侧，P在C的右侧，则可得出，由点P、Q的距离与点C到原点的距离之和等于8个单位，得出，把代入求出，进而求出，然后分P到达B后，返回与Q重合；Q到达B后，返回，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， 故答案为：，8； （2）解：由（1）可知：数轴上A点表示数，B点表示数8， 设运动时间为，则P表示的数为，Q表示的数为， ∴，， 根据题意，得， 解得， 即运动时，的长度是长度的2倍； （3）解：设C表示的数为x，运动时间为时，点P、Q的距离与点C到原点的距离之和等于8个单位，并且此时点P、Q到点C的距离第一次相等， 则P表示的数为，Q表示的数为， ∵P的速度大于Q的速度， ∴此时Q在C的左侧，P在C的右侧， ∴，， 化简得， ∵点P、Q的距离与点C到原点的距离之和等于8个单位， ∴， ∴， ∴， ∴， 当P到达B后，返回与Q重合时， 根据题意，得， 解得； 当Q到达B后，返回时， 根据题意，得， 解得， ∴从这个时间开始再运动或秒后，点P、Q到原点O的距离相等． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上动点的问题，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性的性质，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离等是解题的关键． 9．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）用科学计算器求（n为正整数）的近似值（精确到0．001）如下，从不同角度观察并思考． (1)变化趋势 随着n的增大，的值随之________（填“增大”或“减小”）．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：_________． (2)分布规律 1与2之间的不完全开方数有2个：，； 2与3之间的不完全开方数有4个：，，，； 3与4之间的不完全开方数有6个：，，，，，； …… 以上的2个、4个、6个、8个，是巧合还是必然？ 如果是巧合，请举出反例；如果是必然，请用符号解释两个相邻正整数之间的不完全开方数的个数总满足以上规律． (3)运算关系 注意到，，三者恰好满足，，于是推理得出它们之间的运算关系为，． ①从表格中再找出具备类似关系的3个值，并仿照写出它们之间的运算关系； ②结合以上发现，求的值（精确到个位）． 【答案】(1)增大；正方形的面积越大，那么它的边长越大 (2) 解：上述规律是必然的，理由如下： 设a、b为两个相邻的正整数，且， ∴， ∴大于且小于的正整数为个， ∴b与a之间的不完全开方数有个，即个， ∴1与2之间的不完全开方数有2个； 2与3之间的不完全开方数有4个； 3与4之间的不完全开方数有6个： ……； (3)①选取， ∵， ∴，； ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，平方差公式，实数的运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据可得第一空的答案；根据正方形面积与其边长之间的关系可得第二空答案； （2）设a、b为两个相邻的正整数，且，则，则可推出b与a之间的不完全开方数有个，即个，据此可得答案； （3）①选取，根据表格中的数据可得，再仿照题意求解即可；②原式可变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，随着n的增大，的值随之增大．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：正方形的面积越大，那么它的边长越大． （2）略 （3）解：①略 ② 【考点2】立方根与实数的概念及大小比较（第10-15题） · 区分立方根与平方根：负数无平方根但有立方根 · 利用 ∛(-a)=-∛a 简化符号运算 · 实数大小比较可作差、平方或夹逼 · 实数与数轴结合时注意数形对应 10．（22-23七年级下·重庆江津·期中）下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的性质、加减消元法、求一个数的立方根、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查立方根，实数的性质，根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据立方根的定义，实数的性质，加减法解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：若与的值互为相反数，且， 则：，解得：， ∴；故①错误； ∵，解得：， ∵是整数，均为整数， ∴， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为；故②正确； ∵， ，得：；故③错误； ∵，解得：， 当互为相反数时，， 即：，此方程无解， 故无论取何值，和的值都不可能互为相反数．故④正确； 综上，正确的有2个； 故选B． 11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、求一元一次不等式的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先解方程组得到关于的表达式，再根据的范围判断③，再分别代入的值验证①②即可． 【详解】解：解方程组， 两式相加得，化简得， 两式相减得，化简得， ∵x为非负数，y为负数， ∴， 解得不等式组的解集为，故③正确． ① 当时， 左边， 右边， 左边右边，因此方程组的解满足，故①正确． ② 当时， ， ， ∴， ∵ ， ∴的立方根为，故②正确． 12．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【知识点】实数的大小比较、不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】（1）①可得，根据a、b都是正实数建立不等式组求解即可；②用含a的式子表示出b，进而用含a的式子表示出s，根据a的取值范围即可求出s的取值范围； （2）①根据，得到，再根据a、b、c都是正实数得到a的取值范围，利用作差法求出的符号即可得到答案；②同理可得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵a、b都是正实数， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、、是正实数， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 同理可得，， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 【答案】(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【知识点】实数的大小比较、不等式的性质 【分析】（1）①根据，利用结论，求解即可； ②根据，解答即可； ③，求解即可． （2）根据分母最大为10，结合性质，证明即可． （3）根据结论，转化成不等式，求整数解，解答即可； 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 14．（25-26七年级下·广东东莞·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体的棱长： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的小数部分是________；的整数部分是________． 【类比应用】 (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【思维拓展】 (3)如图，已知直线，，，射线，的反向延长线交于点，若，且、分别为和的整数部分，求出的值． 【答案】(1)，3 (2)0 (3)3 【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）根据[阅读理解]的方法求解即可； （2）根据[阅读理解]的方法求出a、b的值，然后代入计算即可； （3）同（1）求出，，则，设，，则，，如图，过F作，过C作，根据平行线的判定与性质可得出，，则，即可求解． 【详解】（1）解： ，即， 的整数部分是3，的小数部分是； ，即， 的整数部分为3； （2）解： ，即， 的整数部分是2，的小数部分； ，即， 的整数部分， ∴； （3）解：∵x、y分别为和的整数部分， ∴同法可求，， ∵， ∴， ∵，， ∴设，，则，， 如图，过F作，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可求， ∴， 整理得， 又， ∴． 15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 【考点3】无理数的估算与整数部分（第16-20题） · 用相邻完全平方数夹逼确定无理数范围 · 整数部分为不超过该无理数的最大整数 · 小数部分等于原数减去整数部分 · 估算后再代入相关代数式求值 16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数大小的规律，从特殊到一般的规律的探究是解题的关键．本题需要先找出的规律，再根据规律计算的值，最后根据已知条件求出的值． 【详解】解：设为距离最接近的整数，即， 当时，，解得， 所以，此时， 当时，， 解得， 所以，此时， 当时，，解得, 所以,此时， 以此类推，可以发现当时，的和为2，且对应的的个数为， 因为每个的和为2，所以，即一共有1012组，每组对应的的个数为个， 1025156． 故选：D． 17．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【知识点】无理数整数部分的有关计算、一元一次不等式组的其他应用 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 18．（25-26八年级上·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数． ①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可； ②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可． 【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为 由此可知； 设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为． 令，则，则的整数部分为，且， 当时，，的整数部分为，满足条件，故． ∵， ∴，即， ，，且， 的最小值为； 故答案为：；． 19．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查新定义，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解新定义的意义是正确解答的关键． 根据新定义得，，，，，，，，，……，，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，……，， ∴ ． 故答案为：． 20．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 【考点4】实数运算中的规律探索（第21-27题） · 从特殊前几项入手找循环或递推关系 · 区分数字规律与图形规律，必要时列表 · 归纳出一般式后代入较大序号验证 · 规律题常与乘方、整体代换结合 21．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 22．（25-26七年级下·重庆云阳·期末）对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、与算术平方根有关的规律探索题、归纳与类比 【分析】结合新定义，算术平方根性质和推导，的关系式，可判断（1）、（2）；进一步得到规律：，可判断（3）． 【详解】解：由题意得：，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，，故说法（1）正确； 当时，，故说法（2）正确； 当，，，，时， 则，，，，， ∴， 当时， ， 故说法（3）正确； 综上所述，三个说法均正确，正确个数是个． 23．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 活动主题 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 材料2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即 如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如： 材料3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明．十进制数转换成二进制数，如： 所以换成二进制数是，记为∶； 二进制数转换成十进制数， 如： 所以二进制数转换成十进制数为，记为 根据以上信息，解决下列问题： (1)①十进制数7转换成二进制数为( )₂； ②二进制数转换成十进制数为 ． (2)若一个十进制两位数转化成三进制数后是一个各数位上的数字全都为m的三位数，请求出这个十进制两位数； (3)已知a，b，c均是大于2的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3) ，理由如下 依题意得： ， ， ， ， ． 【知识点】乘方的应用、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，等式的性质以及单位进制的转化． （1）①根据题干中十进制数转换成二进制数的方法计算即可；②仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （3）仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法求出x、y、z，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①； ②． 故答案为：； （2）解：依题意得，这个三进制数， 转换为十进制数为 因为这个数是十进制两位数，所以 ． 当时，，是两位数， 当时，，是两位数； 当时，，但三进制数每一位数字最大是2，所以m不能为3及更大的数． 所以这个十进制两位数是或． （3）略 24．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 25．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）阅读材料：在课本鸽巢问题中，采用尽量平均分的方法：把个物品放入个抽屉，用物品总数除以抽屉数，如果有余数，数量最多的抽屉内物品个数为商加1；如果恰好整除，则结果等于商．我们将这个结果记作新运算．例如：，因此；，因此． 规定：当抽屉数固定不变时， 若，则称与为分配不变数组； 若，则称与为分配缩减数组． (1)直接写出结果：________，并计算； (2)若，请完成下列问题： ①判断和是属于分配不变数组还是分配缩减数组，写出完整推理过程； ②自然数满足，若和构成分配不变数组，求符合条件的自然数共有_____个． 【答案】(1)12，9 (2)①分配缩减数组 ②6 【知识点】新定义下的实数运算、有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据定义，计算即可； （2）①先根据定义，计算，再根据分配不变数组或分配缩减数组的定义，作出判断即可； ②根据题意，得，分有余数和整除两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ； ． （2）解：①， ； ， ； ． ， ； ， 故与为分配缩减数组． ②解：， ； 和构成分配不变数组， ， 设，为商，是余数，且， 当时，， ， ， ， ，符合要求， 故x是4的倍数，在中，是4的倍数的自然数有16，20，24，28，32，36，一共有6个； 当时，， ， ， ， ，不符合要求， 综上所述，在中，是4的倍数的自然数有16，20，24，28，32，36，一共有6个． 26．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 27．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”．记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． (1)仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ①； ②． (2)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (3)算一算： 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）①根据除方的意义求解； ②根据除方的意义求解； （2）根据除方的意义，将的次商用除法表示出来，写成成幂的形式； （3）用（2）中得到的规律代入求解，再计算即可． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：的次商为， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，数字类规律探索，新定义下的实数运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【考点5】新定义型实数运算（一）（第28-40题） · 先逐字读懂新定义符号的运算规则 · 严格按规则代入，不凭直觉化简 · 多步运算注意顺序与括号 · 含字母时先特殊值代入再一般化 28．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据新定义，推导得到x和的范围，联立不等式得到n满足的条件，计算出n后求各位数字之和即可． 【详解】解：∵，为非负实数， ∴为非负整数，， ∵，且， ∴， 将同乘正整数，得， ∴，且， ∵，不满足条件， ，，满足条件， ，不满足条件， ∴， ∴的各位数字之和为． 29．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加小括号，添加小括号后仍只有减法运算，然后将所得式子化简，称此为“有效操作”．例如： ，，…，给出下列说法： ①存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“有效操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、去括号 【分析】根据题意，理解新概念的意思，逐一分析判断即可解答． 【详解】解：根据题意，有，故存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确； 根据题意，无法通过有效操作得到和与原式中的和抵消，故②正确； 第一种：结果与原式相同； 第二种：； 第三种：； 第四种：； 第五种：； 第六种：； 第七种：； 第八种：； 第九种：； 第十种：； 第十一种：； 第十二种：； 第十三种：； 第十四种：； 第十五种：； 第十六种：， 有16种，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是读懂题意，理解新概念的定义． 30．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据推出、的关系，再结合集合性质求解、的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵集合，由集合互异性得，， ∴，， 又∵，集合，且， ∴ ∴，即 ∵，此时，， 由集合互异性得，故，， 又∵与元素对应相等，得， ∴， ∵，两边同除以得， ∴， ∴，即D选项符合题意． 【点睛】理解集合中元素的互异性、无序性是解题的关键． 31．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 32．（21-22七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算： （1）； （2）； （3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算 【详解】①因为，，所以，，即，，故①正确； ②设，则，；而，所以，，则，，所以，故②正确； ③设，则，，而，则，不能得到，，所以不能判断，故③不正确； ④因为，，所以，故④正确． 综上所述，错误的命题为③共1个， 故选：D． 33．（25-26八年级上·重庆·开学考试）有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数、数字类规律探索 【分析】先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②正确． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大． 34．（2025·重庆铜梁·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，根据可得，据此可判断①；分，，，，，，两种情况分别求出对应的M即可判断②；可求出，，那么当是一定不符合题意，再证明可符合题意即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 当时，则， ∵，且，，都是自然数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个，故②正确； 当时，， ∵，， ∴当时，， 当， ∵， ∴中，其中63个数取0到62的自然数，第63个数取72即可满足题意， ∴n的最大值为63，故③错误， 故选：B． 35．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式加减的应用，解题关键是理解新定义运算． 根据“漂亮数列”意义直接解可以判断①； 根据“漂亮数列”意义列出式子求得可以判断②； 根据“漂亮数列”意义列，由得出，代入，求出可以判断③． 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 36．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，其中，，，互不相同且均不为0，若满足，称这样的四位数为“美满数”．例如：四位数5247，，5247是“美满数”．最小的“美满数”是_______；去掉十位数字得到新三位数，则满足为正整数的最大“美满数”是_______． 【答案】 1287 8613 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，最小的“美满数”需千位最小，取，百位取最小可能值 ，据此根据确定c、d的值即可得到最小的“美满数”．对于第二问，需满足 为正整数，其中是去掉十位数字 所得三位数，即 ，则可得，进而得到是5的倍数；根据，，可推出，，保证a最大时有满足题意的M即为所求的值，据此求解即可． 【详解】解：∵要使“美满数”最小， ∴首先要保证千位数字最小， ∴， 在保证千位数字最小的前提下百位数字也要最小，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴最小的“美满数”为1287： 由题意得，， ∴ ， ∴， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴是10的倍数， ∴是5的倍数； ∵，， ∴，， ∴； ∵要使M最大， ∴首先要保证a最大， ∴当时，，此时能被5整除， ∴， ∴， ∴此时M的值为， ∴M的最大值为 故答案为：；． 37．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____；若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值为_____． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．根据题意直接计算，即可求出答案；设四位数m为，可推得能被7整除，进而分类讨论即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：； 设四位数m为， ∵m是“倍和数”， ∴， ∴， ∴， ∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数， 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，此时； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，能被7整除，； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 当时，，不能被7整除，舍去； 故所有满足条件的“倍和数”用的最大值为， 故答案为：． 38．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差，则称为“等差数”，将千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，记，若为等差数，且，则数为______；若为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最小“等差数”是______． 【答案】 2659 5612 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，根据题意得到，则，根据，推出，联立，解得，则数为；设M的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d，则，，求出，根据为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则可设（k为自然数），推出，则一定是4的倍数，故一定要是4的倍数，且，由此求出，则，又a、b、c、d互不相同，可得，则满足题意的M的值为5612． 【详解】解：∵为等差数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立，解得， ∴数为； 设M的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d， ∴，， ∴ ， ∵为正数且能表示为两个连续偶数的平方差， ∴可设（k为自然数）， ∴， ∴一定是4的倍数， ∴一定要是4的倍数，且， ∴或， 又∵要满足M最小，且a、c不为0， ∴要满足a最小，且要满足b最小， ∴， ∴， 又∵a、b、c、d互不相同， ∴， ∴满足题意的M的值为5612， 故答案为：2659；5612． 39．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）若一个四位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“事事如意数”．例如：四位数7863，，7863是“事事如意数”，则最大的“事事如意数”是______；“事事如意数”，若为整数，且，则满足条件的的最小值为______． 【答案】 9872 2598 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】由已知条件可得，要使最大，则a最大为9，b最大为8，从而得到，再把c从大到小列举求出符合题意的d即可求得最大的“事事如意数”；利用、可得 ，整理得 ，列举可得，；要使的最小值，则，再说明，要使的最小值，则b尽可能小，然后通过代入列举出符合条件的N的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， 要使最大，则a最大为9，b最大为8， ∴， ∴， 当时，，此时N的值为9861； 当时，，此时N的值为9872； ∴最大的“事事如意数”是9872． ∵， ∴， 又∵， ∴，整理得． ∵，b，c，且a，b，c，d互不相等，均为整数， ∴，， 要使的最小值，则， ∵， ∴， 要使的最小值，则b尽可能取小， 当时，，不符合题意； 当时，与重复，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，此时N的值为2598； 所以满足条件的N的最小值为2598． 40．（25-26八年级上·重庆·期中）一个四位自然数N的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果N的个位与百位的差比千位与十位的差要大t（t为正整数），那么就称N为“t值数”．把“t值数”N的千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数2358，因为，，5比大8，所以2358是“8值数”，且．如果一个四位自然数是“4值数”，则的值为_____；若S是一个“6值数”，且能被S的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的S的最大值为_____． 【答案】 1014 7195 【知识点】新定义下的实数运算、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了新定义的理解与应用，列方程解决问题，数字的表示与运算及整式的运算．第一空根据“t值数”的定义求出m的值，进而得到M和，最后根据的定义求出的值；第二空先设出“6值数”的定义列出等式，再结合能被S的各个数位上的数字之和整除的条件，求出满足条件的S的最大值即可． 【详解】解：由题意知，四位自然数是“4值数”， ∴对于，个位数是9，百位数是3，千位数是7，十位数是m， ∴个位与百位的差为，千位与十位的差为， ∵M是“4值数”， ∴个位与百位的差比千位与十位的差大4，即， 解得，即， ∴， 设， ∵S是一个“6值数”， ∴，即， 而， 则 ， ∴， ∵能被S的各个数位上的数字之和整除， ∴能被整除， 即能被整除， ∵a，b，c，d互不相等且都不等于0， ∴，即，则， 要使S最大，此时a取最大值7，则， ∵c，d互不相等且都不等于0， ∴，， 此时，经检验，数字7，1，9，5互不相等，满足所有条件． 故答案为：1014，7195． 【考点6】新定义型实数运算（二）（第41-45题） · 综合题分小问，由易到难逐步推进 · 新定义融合方程组、不等式时先化归为常规问题 · 压轴题书写要完整，关键步骤不跳步 · 结论要回扣定义与题目条件 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为______． 【答案】301 【知识点】新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握算术平方根的意义及新定义的意义是解题的关键；根据的意义，对每个无理数进行估算即可． 【详解】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； ∴ ． 故答案为：301． 42．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“何方神数”，例如四位数2459，因为，所以2459是“何方神数”若，A是“何方神数”，则A的最大值为_______；若是“何方神数”，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数N，规定，，若为整数，且被19除余13，则满足条件的M的最小值为______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用、利用平方根解方程 【分析】本题考查了新定义的运算，整式的加减，利用平方根解方程，根据题意列出符合条件的值，即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：是“何方神数”，则， 一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0， 当或1时，符合题意， 又A要最大， 要取最大值， 当时，（负值舍去）， 故这个数最大为； 是“何方神数”， ， ， 为整数，， 结合题意，或， 将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数， ， ， ， 被19除余13， ， 当时，， 则为的倍数， 为正整数，且为偶数， ，即， ， 可得， 解得（负值舍去），此时的最小值为； 当时，， 则为的倍数， 为正整数，且为偶数， ，即，不符合题意， 综上，的最小值为， 故答案为：；． 43．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 【答案】 7629 6174 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义，整除问题，理解定义是解题的关键．由为“逢双数”，得，即可求解；设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，得，由∵能被4整除，可知能被4整除，进而求得，即可得的最大值，最小值，即可求解． 【详解】解：∵为“逢双数”， ∴，解得：， 即：这个数为7629； 设“逢双数”的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为， 故，， =， ∵能被4整除， ∴， ∴能被4整除， 当时，或； 当时，或； 当时，或； ∵ ∴，时，m取得最大值，且为； ∴，时，m取得最小值，且为； 故最大值与最小值的差为：； 故答案为：． 44．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．下列五个结论： ①； ②若，，则，； ③若，且，为正整数，则符合条件的，的值有组； ④若，，关于的不等式组恰好有三个整数解，则实数的取值范围是； ⑤若对于任意不相等的实数，都成立，则． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③④⑤ 【知识点】二元一次方程的解、新定义下的实数运算、不等式的性质、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程组的求解，一元一次不等式组的整数解，因式分解的应用，根据新运算的定义，对每个结论逐一计算判断即可. 【详解】解：逐一判断每个结论：① 代入新运算得 ，故①正确； ② 根据题意得：整理得，两式相加得 ，代入得 ，故②正确； ③ 由 得 ，即 ，变形得 ，因为 为正整数，所以 是 的正整数倍，且 ，即 ，解得 ，因此 的可取的值为 ，对应 ，共3组解，故③正确； ④ 当 时，，代入不等式组得：，整理得，解得 ，因为不等式组恰好有三个整数解，整数解为 ，因此 ，解得 ，故④正确； ⑤ 由 对任意不相等的 都成立，得：，整理得 ，因为对任意不相等的 ，，因此 ，即 ，故⑤正确.故答案为． 45．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）定义一种新运算如下：，如． (1) ； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）因为，所以； （2）由，分和两种情况，求出的取值范围； （3）因为，分和两种情况求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 解得：； 当时， 解得：； 综上所述，； （3）解：， 当时，即时， 可得：， 解得：； 当时，即时， 可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，． 💯 课后巩固 复习建议 · 先记牢平方根、算术平方根、立方根的符号与定义，再做综合题 · 重视非负性模型，见到 、|a|、平方和为 0 要敏感 · 无理数估算坚持夹逼法，整数部分与小数部分不要混淆 · 新定义题先模仿例题代入，再总结同类套路 · 规律题多写前 3 项找关系，压轴题拆成小问逐个突破 【作业1】．（25-26七年级下·四川广安·期末）如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分和小数部分分别是， ∴，， ∴． 【作业2】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或或 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、利用平方根解方程 【分析】本题考查了新定义的理解与应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设（为整数），则方程可化为．因为，所以．那么，即，解得，再对整数进行分类讨论，分别求解方程，最后综合所有情况得到方程的解． 【详解】设（为整数）， 则方程可化为． 因为， 所以． 那么，即． 先看，移项可得， 因式分解为， 解得． 再看， 展开可得，移项得到， 对于二次函数， 其判别式， 且二次项系数大于0，所以恒大于，为任意整数都成立． 当时，，即，解得，此时，符合题意． 当时，，即，解得，所以符合题意． 当时，，即，解得，，所以符合题意． 当时，，即，解得，所以符合题意． 综上，方程的解为或或或． 答案选． 【作业3】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有，这里“+”号表示数的加法，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】利用运算规则进行变形，通过代入特定值简化计算． 本题考查了新定义运算。正确理解定义，灵活变形计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵ 令，则， ∴  ， ∴， 即 ∴． 又 ∵ 故， ∴ ， 故选：A． 【作业4】．（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】解题的关键是需要理解的含义，解题的过程中，可以先研究人数较少的情况进行判断． 【详解】解：A．根据再同一个社交群中，无论找个相互认识的人，还是找个相互不认识的人，只是换了一种角度，结果相同，故，正确，不符合题意； B．在两个人的情况下，如果两个人相互认识，，如果两个人相互不认识，，故正确，不符合题意； C．假设，设这八个人分别为A，B，C，D，E，F，G，H，如果他们互相认识就用线段连接起来；如果任意8个人中必定存在3个人均相互认识或存在3个人互相不相识，那我们考虑最平均的状态，即假设A与其他四个人认识（B，C，D，E），与另外三个人不认识，如图，此时只要B，C，D，E中有两个人互相认识，即满足题意，假设B，C互相认识， 结合图象，我们可以发现若没有E，F情况仍然成立，则使得任意个人中必定存在3个人均相互认识或存在3个人互相不相识的最小值不是8，而是6，即，故错误，符合题意； ，任意6个人中必有3个人互相认识或3人互不相识， D．根据C的推到过程可知，个人均相互认识可以看作是个点之间互相连接，显然在考场上很难画出2024个点并将他们互相连接起来，所以我不能在考场上计算出正确，不符合题意． 【作业5】．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、构成三角形的条件、绝对值非负性 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 【作业6】．（23-24九年级下·重庆大足·期末）一个四位正整数的各数位上的数字都不相同且都不为零，并满足千位上的数字与百位上的数字之和为，且十位上的数字与个位上的数字之和为，则称为“七夕数”，将“七夕数”的千位上的数字与十位上的数字交换、百位上的数字与个位上的数字交换得到一个新的四位正整数，则称这个数为M的“七夕佳数”，规定，例如：四位正整数，∵，，∴是“七夕数”，此时．若，则______；若“七夕数”满足能被整除，则满足条件的四位正整数的最大值为______． 【答案】 ； ． 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 设“七夕数”的千位上的数字为，十位上的数字为，则百位上的数字为，个位上的数字为， ∴， ， ∴， ∵，， ∴取最大值时，， 又∵能被整除，的各数位上的数字都不相同， ∴， ∴的最大值为为， 故答案为：． 【作业7】．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为8，个位数字之和为7，则称为“相依数”，把分解成的过程叫做“相依拆解”．例如：因为，所以1820是“相依数”；因为，所以1168不是“相依数”，则最大的“相依数”为____________．若自然数是“相依数”，“相依拆解”为，将的个位数字与的十位数子之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为___________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，设为“相依数”，令，，则，据此可得，则，再证明当时，随着M的增大，的值增大，同理由对称性当时，随着M的增大，的值减小，据此可得A的最大值；设，则，即可得到，，则，根据为整数，得到或或或，据此求出a、b的值，进而求出P、Q的值即可得到答案． 【详解】解：设为“相依数”，令，，则， ∴， ∴， 设， ∴ ， 当时，， ∴此时， ∴当时，随着M的增大，的值增大， 同理由对称性当时，随着M的增大，的值减小， ∵M为正整数， ∴当时，的值有最大值，最大值为， ∴最大的“相依数”为； 设，则， ∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴或或或， ∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； ∴，或，或，或，或，或，或，； 同理可得， ∴当，P、Q的值与时P、Q的值正好相反，即此时M的值正好相等 ∴可以为或或或或或或， ∴自然数的最大值为， 故答案为：，． 【作业8】．（24-25七年级下·重庆万州·期中）对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的 2 倍，百位数字比个位数字小 2，那么称这个数 M 为“强基数”，例如： ， ∵， ， ∴ 是个“强基数”；又如 ， ∵， ∴ 不是一个“强基数”．则最大的“强基数”是 ______．若将任意一个四位正整数 N 的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数 N 的“逆袭数”，同时记 为四位正整数 与其“逆袭数”之差，例如： ，其“逆袭数”为， ．若一个“强基数” M 的个位数字为，设 ，且 是8的倍数，则所有满足题意的“强基数”M 的最小值是_______ ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式加减的应用，列式表示出、是解题的关键． 首先理解题目中的定义：千位数字是十位数字的2倍．百位数字比个位数字小2．逆袭数的定义：将N的四位数字逆序排列得到的新数，称为N的逆袭数．根据定义可得最大的“强基数”是，根据题意计算，根据必须是8的倍数，用列举法求最小值． 【详解】解：设最大的“强基数”是 ，满足： (十位 的取值范围为 )；(个位 的取值范围为 )． 要最大化四位数，需使千位 最大．当 时，．此时，百位 最大值为 ，当 时，，故四位数为 ． 最大的“强基数”为 8749． 设满足题意的“强基数”M为 ，其逆袭数为 ，则： 代入 、，得： ， ∴ ∵ 是的倍数，， ∴是8的倍数， 当， ，对应数 ； ， ，对应数 ； ，，对应数 ； ， ，对应数 ． 比较上述数，最小值是 ． 故答案为：， ． 【作业9】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如果一个四位数能被两个两位数与表示为，其中数与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称四位数为“成功数”，并把数被数与表示为的过程，称为“成功分解”，例如：，35与33的十位数字相同，个位数字之和等于8， ∴1258是“成功数”．按照这个规定，则2344____________“成功数”（填“是”或“不是”）；若把一个四位“成功数”进行“成功分解”，即表示为，并将放在的左边组成一个新的四位数，若能被13整除，且的各个数位数字之和能被4整除，则满足条件的数最小值是____________． 【答案】 是 1728 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义下的数的整除问题，熟练掌握能被13、4整除的数的特征以及根据新定义建立数学表达式是解题的关键．判断2344是否为“成功数”，需找到满足条件的两位数和，使，且与十位数字相同，个位数字之和为8．设，则，得出的表达式，再根据能被13整除且各位数字之和能被4整除，结合是四位数确定、的范围，进而求解的最小值． 【详解】解：设，则（为的整数，为的整数）． ． 当，时，，， ， ∴2344是“成功数”． 设，则（为的整数，为的整数），． ∵能被13整除，的各位数字之和为，且能被4整除，即（为整数），化简得， ∴为偶数． 又∵是四位数， 当， 时，，，此时 ，不满足为位数的条件． 当，时，，，，，，能被13整除，各位数字之和为，能被4整除． 因此，的最小值为1728． 故答案为：是，1728． 【作业10】．（24-25九年级下·重庆·期中）我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则_____；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为_____ 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了新定义，根据题意可得四位数A的千位数字为，十位数字为，当时，四位数的百位数字为，此时不是“长久数”，则，进而可得，解得，则四位数即为，；分当时，B的千位数字为a，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当时， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，两种情况求出对应的、，，进而表示出，再根据是整数，且能被10整除推出b与c的关系式，据此讨论求解即可． 【详解】解： ，，， 四位数的千位数字为，十位数字为， 当时，四位数的百位数字与十位数字均为， 不是“长久数”， ， 四位数的百位数字为， ， ， 四位数即为， ； 当时， ，且， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， 此时，，不符合题意； 当时，则， 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， ，， ， ， 此时为； 当时， ，(不符合题意，舍去）； 当时， 可得：，， ， ， 为； 当时， 可得：，(不符合题意，舍去)； 当时， ，且，，，， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ∵ ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， ，不符合题意； 当时，则 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， 要满足最大，则首先要满足最大， 当时，， ， ， 此时为； 当或或时，此时的值一定小于， 综上所述，的最大值即为， 故答案为：；． 【作业11】．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果一个四位自然数A，满足千位与十位数字之和为8，百位数字与个位数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数，，A的千位数字与百位数字之差记为，，若是“宏志数”，则＝_____；若能被3整除，则满足条件的A的最小值是 _________． 【答案】 3 1471 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义数，正确理解定义，列出等式计算是解题的关键． 【详解】∵是“宏志数”， ∴， 解得， 故， 故答案为：3； 设四位自然数A的千位数字是m，百位数字是n，根据“宏志数”的定义得，十位数字是，个位数字是， 故， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵，能被3整除， （1）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，能被3整除，符合题意； 此时的四位数是5035； 当m取2，3，4，6，7时，的值都是分数，故都不符合题意； （2）当时，， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （3）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，能被3整除，符合题意； 此时的四位数3253； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （4）当时，， 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，被3整除，符合题意； 此时四位数为2362； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （5）当时，， 当时，，能被3整除，符合题意； 此时四位数1471； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； （6）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不被3整除，不符合题意； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时， ，被3整除，符合题意， 此时四位数是4540； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 故最小的四位数是1471， 故答案为：1471． 【作业12】．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 【作业13】．（22-23八年级上·重庆北碚·期末）对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“天平数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“天平数”，；，，不是“天平数”． (1)判断是否为“天平数”，并说明理由；如果是“天平数”，求出的值； (2)已知，均为“天平数”，其中，是整数，，是整数，若，求出满足条件的所有的的值． 【答案】(1)是“天平数”，理由见解析，； (2)或或． 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】（）根据“天平数”的定义进行判断，根据的定义进行计算便可求得的值； （）由新定义与已知条件列出方程，再求出符合条件的、、的值即可； 本题考查了实数的新定义运算，不定方程的解，正确理解新定义，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：是“天平数”，理由如下： ， 是“天平数”， ； （2）解：、是“天平数”， ∵，是整数， ∴， 是“天平数”， ∴， ∴， ∵，是整数， 是“天平数”， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ①， 可得，为奇数且， ∴或或， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时的值不存在； ②， 可得，为偶数且， ∴或或或， ∵， ∴， 即， ∴或或或， ∵， ∴或或或， ∵， ∴或或， 此时，， 即或或，或或， ∴或或， ∴的值为或或． 【作业14】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ． (1)根据上面式子规律，请你想一想：_____：（用含的代数式表示）： (2)若，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) ，理由如下： ∵， ， ∴， ∴． 【知识点】新定义下的实数运算、列代数式 【分析】（）由给出的式子得出运算的方法即可； （）分别求出两种运算的结果，然后求出即可判断； 此题考查了定义新运算的方法，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由式子规律可得，， 故答案为：； （2）略 【作业15】．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、由不等式组解集的情况求参数、构造二元一次方程组求解 【分析】此题考查了新定义，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义得到关于、的方程组，解方程组求出与的值即可； （2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，建立关于c的不等式组，求解，即可得出的范围． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：． （2）解：由题意得， 解得：． 要使恰有3个整数解，必有， 解得：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章·数的开方·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根与算术平方根的概念，会用符号表示并求一个非负数的平方根与算术平方根 · 掌握立方根的概念与性质，会求一个数的立方根并区分平方根与立方根 · 了解无理数与实数的概念，会进行实数的大小比较、估算与混合运算 · 能运用平方根、立方根解形如 x2=a 的方程并处理非负性综合问题 · 掌握新定义型实数运算与规律探索题的解题策略，能归纳一般结论 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 若 x2=a（a≥0），则 x 叫 a 的平方根，记作 ±；正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根 正数 a 的正的平方根叫算术平方根，记作 ，它具有双重非负性：a≥0 且 ≥0 (=a（a≥0），=|a| 利用平方根的定义可解形如 x2=a 的方程，注意不要漏掉负根 概念辨析例题：已知 +|b+3|=0，求 (a+b)2026 的值。 答案：由非负性得 a-2=0，b+3=0，即 a=2，b=-3，故 (a+b)2026=(-1)2026=1。 解析： 与绝对值均为非负数，几个非负数之和为 0 则各自为 0，这是算术平方根非负性的典型应用。 ☆ 2.立方根 若 x3=a，则 x 叫 a 的立方根，记作 ∛a；任意实数都有唯一的立方根 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0 ∛(-a)=-∛a，(∛a)3=a 立方根与平方根的区别：负数没有平方根但有立方根 概念辨析例题：求下列各式的值：∛(-27)；-∛(1/8)。 答案：∛(-27)=-3；-∛(1/8)=-1/2。 解析：根据立方根的定义，(-3)3=-27，(1/2)3=1/8；注意负数的立方根仍为负数。 ☆ 3.实数与无理数 无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点一一对应，实数范围内相反数、绝对值、运算法则与运算律仍然适用 常用夹逼法估算无理数的大小，确定无理数的整数部分与小数部分 实数大小比较可作差、平方或利用相邻完全平方数夹逼 概念辨析例题：估计 在哪两个相邻整数之间，并求 的整数部分与小数部分。 答案：∵ 32=9<11<16=42，∴ 3<<4，整数部分为 3，小数部分为 。 解析：用相邻完全平方数夹逼确定无理数范围，是估算与求整数部分问题的通用方法。 ☆ 4.新定义型实数运算与规律探索 新定义题先准确理解给定符号或运算规则，再代入数值按规则计算 规律探索题从特殊情形入手，观察前后项关系，归纳一般结论并验证 实数运算中注意运算顺序与符号，必要时结合整体代换 压轴综合题常融合平方根、立方根、方程组与不等式，需分小问逐步突破 概念辨析例题：定义新运算 a⊕b=∛b，求 16⊕(-8) 的值。 答案：16⊕(-8)=∛(-8)=4+(-2)=2。 解析：严格按定义代入，分别求出算术平方根与立方根后再相加，注意符号。 📋 知识总结表 名称 定义/符号 注意事项 平方根 若 x2=a，则 x=± 负数没有平方根 算术平方根 正数 a 的正平方根 双重非负性 a≥0，≥0 立方根 若 x3=a，则 x=∛a 负数也有唯一立方根 无理数 无限不循环小数 如 、π、0.101001… 实数 有理数与无理数统称 与数轴上的点一一对应 非负性 、|a|、a2 均非负 和为 0 则各自为 0 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与算术平方根的概念及非负性（第1-9题） · 牢记平方根与算术平方根的符号区别：± 与 · 见到 |b|+c2=0 型，立即用非负性列方程 · 利用 (=a 化简，注意 a≥0 的前提 · 解 x2=a 型方程时不要漏掉负根 1．（19-20八年级下·云南红河·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中为正整数，，，…，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（21-22七年级下·四川德阳·期中）对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 4．（25-26七年级下·重庆永川·期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”·例如：三位数159，，是中项两倍数”；三位数764，，764不是“中项两倍数”．则“中项两倍数”的最小值是_____________，把“中项两倍数”的各个数字之和被3整除的商记为．其中，能被21整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为_____________． 5．（25-26九年级上·福建·期末）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图①．这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27． (1)这个魔方的棱长为______（直接写出答案）． (2)图①中阴影部分是一个正方形．把图①中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，那么点B在数轴上表示的数为______（直接写出答案）． (3)若的立方根是2，b为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：A、B是数轴上的两点，A点表示的数是a，B点表示的数是b，并且满足． (1)______，______． (2)若点P、Q同时从点A出发向终点B运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒2个单位．运动多长时间，的长度是长度的2倍． (3)在（2）的条件下，点P、Q运动到点B后立即调头按原速度返回到点A，当一个点到点A后就停止运动，另一个点也同时停止运动．点C是线段上的一点，点P、Q运动了一段时间后，也都运动到线段上，当点P、Q的距离与点C到原点的距离之和等于8个单位，并且此时点P、Q到点C的距离第一次相等．从这个时间开始再运动几秒后，点P、Q到原点O的距离相等？ 9．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）用科学计算器求（n为正整数）的近似值（精确到0．001）如下，从不同角度观察并思考． (1)变化趋势 随着n的增大，的值随之________（填“增大”或“减小”）．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：_________． (2)分布规律 1与2之间的不完全开方数有2个：，； 2与3之间的不完全开方数有4个：，，，； 3与4之间的不完全开方数有6个：，，，，，； …… 以上的2个、4个、6个、8个，是巧合还是必然？ 如果是巧合，请举出反例；如果是必然，请用符号解释两个相邻正整数之间的不完全开方数的个数总满足以上规律． (3)运算关系 注意到，，三者恰好满足，，于是推理得出它们之间的运算关系为，． ①从表格中再找出具备类似关系的3个值，并仿照写出它们之间的运算关系； ②结合以上发现，求的值（精确到个位）． 【考点2】立方根与实数的概念及大小比较（第10-15题） · 区分立方根与平方根：负数无平方根但有立方根 · 利用 ∛(-a)=-∛a 简化符号运算 · 实数大小比较可作差、平方或夹逼 · 实数与数轴结合时注意数形对应 10．（22-23七年级下·重庆江津·期中）下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 12．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 13．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 14．（25-26七年级下·广东东莞·期中）【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体的棱长： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的小数部分是________；的整数部分是________． 【类比应用】 (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【思维拓展】 (3)如图，已知直线，，，射线，的反向延长线交于点，若，且、分别为和的整数部分，求出的值． 15．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【考点3】无理数的估算与整数部分（第16-20题） · 用相邻完全平方数夹逼确定无理数范围 · 整数部分为不超过该无理数的最大整数 · 小数部分等于原数减去整数部分 · 估算后再代入相关代数式求值 16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 17．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 18．（25-26八年级上·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 19．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 20．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【考点4】实数运算中的规律探索（第21-27题） · 从特殊前几项入手找循环或递推关系 · 区分数字规律与图形规律，必要时列表 · 归纳出一般式后代入较大序号验证 · 规律题常与乘方、整体代换结合 21．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·重庆云阳·期末）对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 23．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 活动主题 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 材料2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即 如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如： 材料3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明．十进制数转换成二进制数，如： 所以换成二进制数是，记为∶； 二进制数转换成十进制数， 如： 所以二进制数转换成十进制数为，记为 根据以上信息，解决下列问题： (1)①十进制数7转换成二进制数为( )₂； ②二进制数转换成十进制数为 ． (2)若一个十进制两位数转化成三进制数后是一个各数位上的数字全都为m的三位数，请求出这个十进制两位数； (3)已知a，b，c均是大于2的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 24．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 25．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）阅读材料：在课本鸽巢问题中，采用尽量平均分的方法：把个物品放入个抽屉，用物品总数除以抽屉数，如果有余数，数量最多的抽屉内物品个数为商加1；如果恰好整除，则结果等于商．我们将这个结果记作新运算．例如：，因此；，因此． 规定：当抽屉数固定不变时， 若，则称与为分配不变数组； 若，则称与为分配缩减数组． (1)直接写出结果：________，并计算； (2)若，请完成下列问题： ①判断和是属于分配不变数组还是分配缩减数组，写出完整推理过程； ②自然数满足，若和构成分配不变数组，求符合条件的自然数共有_____个． 26．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 27．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”．记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． (1)仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ①； ②． (2)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (3)算一算： 【考点5】新定义型实数运算（一）（第28-40题） · 先逐字读懂新定义符号的运算规则 · 严格按规则代入，不凭直觉化简 · 多步运算注意顺序与括号 · 含字母时先特殊值代入再一般化 28．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 29．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加小括号，添加小括号后仍只有减法运算，然后将所得式子化简，称此为“有效操作”．例如： ，，…，给出下列说法： ①存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“有效操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 31．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 32．（21-22七年级下·河南濮阳·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算： （1）； （2）； （3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 33．（25-26八年级上·重庆·开学考试）有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 34．（2025·重庆铜梁·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有6个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 35．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 36．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，其中，，，互不相同且均不为0，若满足，称这样的四位数为“美满数”．例如：四位数5247，，5247是“美满数”．最小的“美满数”是_______；去掉十位数字得到新三位数，则满足为正整数的最大“美满数”是_______． 37．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____；若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值为_____． 38．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差，则称为“等差数”，将千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，记，若为等差数，且，则数为______；若为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最小“等差数”是______． 39．（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）若一个四位自然数，各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“事事如意数”．例如：四位数7863，，7863是“事事如意数”，则最大的“事事如意数”是______；“事事如意数”，若为整数，且，则满足条件的的最小值为______． 40．（25-26八年级上·重庆·期中）一个四位自然数N的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果N的个位与百位的差比千位与十位的差要大t（t为正整数），那么就称N为“t值数”．把“t值数”N的千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数2358，因为，，5比大8，所以2358是“8值数”，且．如果一个四位自然数是“4值数”，则的值为_____；若S是一个“6值数”，且能被S的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的S的最大值为_____． 【考点6】新定义型实数运算（二）（第41-45题） · 综合题分小问，由易到难逐步推进 · 新定义融合方程组、不等式时先化归为常规问题 · 压轴题书写要完整，关键步骤不跳步 · 结论要回扣定义与题目条件 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为______． 42．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“何方神数”，例如四位数2459，因为，所以2459是“何方神数”若，A是“何方神数”，则A的最大值为_______；若是“何方神数”，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数N，规定，，若为整数，且被19除余13，则满足条件的M的最小值为______． 43．（2024·重庆南岸·模拟预测）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，若为“逢双数”，则这个数为______；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为______． 44．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．下列五个结论： ①； ②若，，则，； ③若，且，为正整数，则符合条件的，的值有组； ④若，，关于的不等式组恰好有三个整数解，则实数的取值范围是； ⑤若对于任意不相等的实数，都成立，则． 其中正确的是________（填写序号）． 45．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）定义一种新运算如下：，如． (1) ； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 先记牢平方根、算术平方根、立方根的符号与定义，再做综合题 · 重视非负性模型，见到 、|a|、平方和为 0 要敏感 · 无理数估算坚持夹逼法，整数部分与小数部分不要混淆 · 新定义题先模仿例题代入，再总结同类套路 · 规律题多写前 3 项找关系，压轴题拆成小问逐个突破 【作业1】．（25-26七年级下·四川广安·期末）如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或或 【作业3】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有，这里“+”号表示数的加法，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业4】．（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 【作业5】．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【作业6】．（23-24九年级下·重庆大足·期末）一个四位正整数的各数位上的数字都不相同且都不为零，并满足千位上的数字与百位上的数字之和为，且十位上的数字与个位上的数字之和为，则称为“七夕数”，将“七夕数”的千位上的数字与十位上的数字交换、百位上的数字与个位上的数字交换得到一个新的四位正整数，则称这个数为M的“七夕佳数”，规定，例如：四位正整数，∵，，∴是“七夕数”，此时．若，则______；若“七夕数”满足能被整除，则满足条件的四位正整数的最大值为______． 【作业7】．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为8，个位数字之和为7，则称为“相依数”，把分解成的过程叫做“相依拆解”．例如：因为，所以1820是“相依数”；因为，所以1168不是“相依数”，则最大的“相依数”为____________．若自然数是“相依数”，“相依拆解”为，将的个位数字与的十位数子之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为___________． 【作业8】．（24-25七年级下·重庆万州·期中）对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的 2 倍，百位数字比个位数字小 2，那么称这个数 M 为“强基数”，例如： ， ∵， ， ∴ 是个“强基数”；又如 ， ∵， ∴ 不是一个“强基数”．则最大的“强基数”是 ______．若将任意一个四位正整数 N 的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数 N 的“逆袭数”，同时记 为四位正整数 与其“逆袭数”之差，例如： ，其“逆袭数”为， ．若一个“强基数” M 的个位数字为，设 ，且 是8的倍数，则所有满足题意的“强基数”M 的最小值是_______ ． 【作业9】．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如果一个四位数能被两个两位数与表示为，其中数与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称四位数为“成功数”，并把数被数与表示为的过程，称为“成功分解”，例如：，35与33的十位数字相同，个位数字之和等于8， ∴1258是“成功数”．按照这个规定，则2344____________“成功数”（填“是”或“不是”）；若把一个四位“成功数”进行“成功分解”，即表示为，并将放在的左边组成一个新的四位数，若能被13整除，且的各个数位数字之和能被4整除，则满足条件的数最小值是____________． 【作业10】．（24-25九年级下·重庆·期中）我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则_____；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为_____ 【作业11】．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果一个四位自然数A，满足千位与十位数字之和为8，百位数字与个位数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数，，A的千位数字与百位数字之差记为，，若是“宏志数”，则＝_____；若能被3整除，则满足条件的A的最小值是 _________． 【作业12】．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【作业13】．（22-23八年级上·重庆北碚·期末）对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“天平数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“天平数”，；，，不是“天平数”． (1)判断是否为“天平数”，并说明理由；如果是“天平数”，求出的值； (2)已知，均为“天平数”，其中，是整数，，是整数，若，求出满足条件的所有的的值． 【作业14】．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ． (1)根据上面式子规律，请你想一想：_____：（用含的代数式表示）： (2)若，，试比较与的大小，并说明理由． 【作业15】．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $