第10章 数的开方概念清单速记表（知识清单）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学第10章“数的开方”知识清单系统梳理了平方根、立方根、实数的核心内容，涵盖概念定义、性质特征及运算方法，为学生搭建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 清单以“章节-概念-定义-相关概念”四级结构呈现知识体系，通过对比平方根与立方根性质、标注被开方数非负性等设计，培养学生的抽象能力和推理意识。特别包含“计算器操作指南”等实用模块，助力不同学生高效复习，教师可利用其系统性设计分层教学活动。

第10章 数的开方清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 10.1 平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根。例如，因为 ，，所以 5 和 -5 都是 25 的平方根。 平方运算、二次方根 平方根的性质 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数；0 的平方根只有一个，就是 0；负数没有平方根。 正数、0、负数、互为相反数 算术平方根 正数 的正的平方根，叫做 的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”；另一个平方根是它的相反数，即 。因此正数 的平方根可以记作 。 平方根、被开方数、根号 0 的算术平方根 因为 0 的平方等于 0，而其他任何数的平方都不等于 0，所以 0 的平方根只有一个（就是 0），也叫做 0 的算术平方根，记作 ，即 。 0、平方根、算术平方根 被开方数 在 中， 称为被开方数。被开方数必须是非负数。 算术平方根、根号、非负数 开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算，将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根。 平方根、平方运算、开方 用计算器求算术平方根 用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可。当被开方数不是完全平方数时，得到的是算术平方根的近似值。 算术平方根、近似值、计算器 立方根 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根。例如，因为 ，所以 6 是 216 的立方根。 立方运算、开立方、三次方根 立方根的性质 任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。 正数、负数、0、唯一性 根指数 数 的立方根记作 ，读作“三次根号 ”。其中， 是被开方数，3 是根指数。 立方根、被开方数、根号 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 立方根、立方运算、开方 用计算器求立方根 用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可。使用立方根功能时，可先输入根指数，再按键，最后输入被开方数。 立方根、根指数、计算器 10.2 实数 无理数 无限不循环小数叫做无理数。例如 、、圆周率 等都是无理数。 无限不循环小数、有理数、实数 实数 有理数和无理数统称为实数。 有理数、无理数、实数集 实数与数轴的一一对应 每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步。 数轴、实数、一一对应 实数范围内开方运算的规律 从有理数扩充到实数以后，正数总可以开平方、开立方。在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。任意一个实数有且只有一个立方根。 平方根、立方根、实数范围 实数的相反数与绝对值 在七年级上学期学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律，对于实数也适用。 相反数、绝对值、大小比较、运算律 实数的大小比较与运算 涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行。例如，用计算器求得 ，而 ，因此 。 无理数、近似值、大小比较 不是有理数 在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于 2，也就是说 不是有理数，实际上它是一个无限不循环小数。证明时假设 是有理数，设 （、 是互质的正整数），推出 ，从而 是偶数，进而 也是偶数，这与假设 、 互质矛盾。 无理数、反证法、无限不循环小数 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $