第10章 数的开方全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦数的开方全章高频重点与核心难点，构建从基础概念到综合应用的阶梯式训练体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|15类高频题型|覆盖平方根、立方根、无理数等概念辨析与基础运算|从定义理解到简单应用，形成概念-运算-初步应用的认知链条| |核心提升|7类重难题型|突出非负性、方程求解、新定义运算等综合应用|深化概念联系，构建"性质-转化-建模"的解题逻辑| |题型专练|约75道梯度题|包含选择、填空、解答等多元题型，结合数轴、三角形等跨知识情境|通过变式训练强化知识迁移，培养推理意识与应用能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10章数的开方全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1：利用平方根的定义判断等式是否成立 题型2：求一个数的平方根 题型3：已知一个数的平方根求代数式的值 题型4：算术平方根的非负性与三角形综合 题型5：估算算术平方根的取值范围 题型6：与算术平方根有关的规律探索题 题型7：平方根与立方根概念综合 题型8：与立方根有关的规律探索 题型9：判断是否为无理数 题型10：无理数估算 题型11：实数的分类 题型12：实数与数轴结合 题型13：实数比较大小 题型14：程序设计与实数运算 题型15：实数运算的实际应用 目核心提升：重难题型归纳 题型1：利用平方根解方程 题型2：利用算术平方根的非负性求代数式的值 题型3：算术平方根的非负性相关求解 题型4：算术平方根与立方根综合 题型5：无理数整数部分相关计算 题型6：实数的混合运算 题型7：新定义下的实数运算 目题型专练：高频重难特训 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1利用平方根的定义判断等式是否成立 1.下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是() A.V64=±8 B.±V64=±8 C.±64=±4 D.V64=8 2.下列说法正确的是() A.V9的平方根是3 B.8的立方根是±2 C.4的平方根是2 D.-2是2的平方根 3.下列说法不正确的是() A.0.04的平方根是±0.2 B.-4是16的一个平方根 C.9的立方根是3 D.-27=-3 4.下列说法正确的是() A.8的立方根是±2 B.5是25的一个平方根 C.9的平方根是3 D.V4的平方根是±2 5.下列结论中，正确的是() 1 A.64的立方根是±4 B.8没有平方根 C.算术平方根等于它本身的数是0,1，-1D.-27=-3 ◆题型2求一个数的平方根 6.下列计算中，正确的是() A.V4=±2 B.(-5=5 c.-2=2 D.±V16=4 7.16的平方根是（). A.-4 B.4 C.±4 D.±16 8.若x2=81,则x的值为() A.9 B.-9 C.+9 D.3 9.下列式子中，不正确的是() A.V4=±2 B.-V/100=-10 C.38=2 D.±V9=±3 10.4的平方根是（) A.2 B.±2 c.2 D.±V2 2/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3已知一个数的平方根求代数式的值 11.已知Va的平方根是±2，则a的值为 12.正数a的平方根是x-6和4x-4,求a的值. 13.一个正数的两个平方根分别是2a和-a+2,则这个正数是 14.若正数x的两个平方根为2a-6与a+3,则a的值为 15.2x-7与4+x是同一个正数的两个不同的平方根，则这个正数为 ◆题型4算术平方根的非负性与三角形综合 16.已知a,b,c满足a-V8+Vb-5+c-18=0. (1)求a,b,c的值： (2)试问以，b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长：若不能，请说明理由. 17.已知△ABC的三边长a,b,c满足a-12+Vb-3=0且c为奇数.则c= 18.平面直角坐标系中，点Aa,0,点B0,b分别在x轴和y轴上，点C4,c在线段AB上，满足 a-8+Vb-6+c-32=0. VA B 图1 图2 图3 (1)请直接写出a= b= ,C三 (2)如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位 长度沿y轴正方向运动.两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动.设两点的运动时间均为t 线.是香存在使约S匹-合m:若布在，求品：份金老不布在.设男医前 (3)如图2，连接OC,点D为第二象限内一点，且∠BOD=∠BOC.点E是y轴正半轴上的一个动点 (不与点B重合)，连接AE,交直线OC于点F.已知∠AOC=∠CAO,探究∠ABO,∠BAE, ∠AFO之间的数量关系，并说明理由， 19.已知x,y,2为三角形的三边长，且满足3(x-3)+y-2+2y=x-y-z+V(x+y-z),则以x, y为边长的等腰三角形的周长为() A.5 B.7 C.8 D.7或8 3120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.已知△ABC的三边长a、b、c均为整数，且a和b满足Va-2+b2-6b+9=0 (1)求a、b的值， (2)求满足条件的c的值. ◆题型5估算算术平方根的取值范围 21.与20.5最接近的整数是() A.3 B.4 C.5 D.6 22.如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南.当它静止的时候，勺柄就会指向南方，己知司南的 长度与最大宽度的比值为26-1.请估计这个比值在() A.3和4之间B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 23. 小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是±243： ②由表可知，V588介于24.2和24.3之间： ③若a</5.9049<b,且b-a=0.1,则a+b=4.85: ④若x满足24.2<Vx<24.3,则满足条件的整数x共有5个. 以上推断合理的是 (写出所有正确推断的序号) 24.设n为正整数，且n<只10<n+1,则n的值为 25.与9.1最接近的整数是() A.3 B.4 C.5 D.6 ◆题型6与算术平方根有关的规律探索题 26.先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： 4/20 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 236 好1+岭4贵 (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： 1+1+1 V132142 (2)运用以上你发现的规律计算： +1 9921002 27.若√135≈11.62，V1.35≈1.162，Va≈0.1162，则a的值为() A.0.0135 B.0.135 c.0.427 D.13.5 28.先观察规律，再求值：已知4=2,400=20，V40000=200,,则V400000000=() A.2000 B.20000 C.200000 D.2000000 29.对于两个正整数a、ba<b,将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根， 记作x1;第二次操作：计算b与X1的差的算术平方根，记作x2;第三次操作：计算b与X2的差的算术平方根， 记作X3;…依次类推，若x1=X2==Xn,则下列说法：(1)当a=1时，b=2;(2)当a=4时，b=20: (3)当a=1,2,3,…,n时，对应b的值分别为b1,b2,b3,…,bm,若n=2025,则 1+1+1++1一=2025 b,b,6,b52026,其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 30.若V30≈5.477,3≈1.732，则/300≈ ◆题型7平方根与立方根概念综合 31.下列说法正确的是() A.正数有两个互为相反数的立方根 B.负数没有立方根 C.一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D.2的立方根是±2 32.下列说法正确的是() 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1的平方根和立方根都是1 B.负数的平方根仍是负数 C.一个数的算术平方根比这个数小 D.两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 33.下列结论正确的是() A.64的平方根是±4 B。8没有立方根 C.立方根等于本身的数是0 D.-27=-27 34.有下列说法： ①平方根是它本身的数有1,0： ②算术平方根是它本身的数有1,0： ③立方根是它本身的数有-1,0,1； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是-1或0 其中正确的是() A.①② B.①③ c.②③ D.③④ 35.下列说法正确的是() A.负数没有立方根 B.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D.一个不为0的数的立方根与被开方数同号 ◆题型8与立方根有关的规律探索 36.小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律 己知1=1，则V100=10,10000=100:已知√9=3，则900=30，V90000=300: 已知1=1，则1000=10,1000000=100：已知/8=2，则8000=20，/8000000=200： (1)根据小明的发现，请填空：若a=2.5,那么V100a=:若6=-1.2，那么1000000b=_, (2)现有一个长方形，其长和宽分别用x,y来表示，且满足x+y-8=4. ①求该长方形的周长C. 6120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C,请利用(1)中所得规律，求出√C的值. 37.我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求 24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计 算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知24389是一个整数的立方，求24389： ①由103=1000,1003=1000000，可以确定24389是 位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定24389的个位上的数字是 ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而2=8,3=27，可以确定24389的十位上的数字是 ；由此求得24389= (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求592704的值， 38.阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数 是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39. 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为103=1000,1003=1000000， 所以59319是两位数. X 0 y 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 x3的 个位 0 1 P 7 4 5 6 3 数字 由上表，因为59319的个位数字是9，所以59319的个位数字是9. 因为303=27000,403=64000.所以303<59319<40，即59319的十位数字是3.故59319=39， 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算103823= (2)已知7921是整数的平方，求7921的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由， 0 2 3 4 5 6 8 9 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 1 4 16 25 36 49 64 81 x的 个位 0 6 6 0 数字 39. 已知2.061≈1.273,20.61≈2.742，则20610≈ 40.已知/2.14≈1.463，V21.4≈4.626，则V214≈ ;已知/0.3≈0.669,3≈1.442，则300≈ ◆题型9判断是否为无理数 41.下列实数中，是无理数的是() A.3.14 2 B.1.010010001 C.7 D.-V7 42.在实数2， 号，314.7,8,210101,1-3中，无理数有（)个 A.1 B.2 C.3 D.4 43.下列各数中，是无理数的是() A.3 B.V2 c.V4 D.3.1415926 44.下列四个数中，是无理数的是() 1 A.2026 B.5 c.-2.6 D.0.303003000300003 45.下列各数中，是无理数的是() B.6 C.3.14 D.V4 ◆题型10无理数估算 46.估计5-只V3的值应在() A.2和3之间 B.3和4之间 C.1和2之间 D.4和5之间 47.实数V93更接近下列哪个整数() A.8 B.9 C.10 D.11 48.将四个数-V2,V5,V13,V23表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 -1012346789> 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.若n为正整数，且满足n</7<n+1,则n= 50.如果m=V26-1,那么m的取值范围是() A.5<m<6 B.4<m<5 C.3<m<4 D.2<m<3 ◆题型11实数的分类 51.下列四个选项是负有理数的是() A.2 B.-π C.1 D.-0.3 52在实数河，行子6,0，无数关有《） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 53.下列实数中，是整数的是() A.21 B.0 c.2 D.I 54.下列各数是整数的是() B.-g 2 A.π c.-1.3 D.7 55.将下列各数填在相应的集合里. 5 64,几，3.1415926，-0.456,3.03003003.（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，-9， -7,0.1 有理数集合：{ …}: 无理数集合：{ …}: 正实数集合：{ …: 整数集合：{ …} ◆题型12实数与数轴结合 56.如图，正方形ABCD的面积为6，顶点A在数轴上，且点A表示的数为l,数轴上有一点E在点A的左 侧，若AD=AE,则点E表示的数为一· 9120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 57.如图，正方形ABCD的面积为6，它的顶点A在数轴上，且表示的数为2.以点A为圆心，AD长为半 径画弧，交数轴于点E(点E在点A的左侧)，则点E所表示的数为 B -3-2-101234 58.如图，在数轴上，√6对应的点可能是() MN O P -101234→ A.点M B.点N C.点Q D.点P 59.将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1c),数轴上点A对应刻度尺上的“4'，面 积为2Cm的正方形其中一个顶点落在点C处，以点A为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点C.则 点C在刻度尺上对应的数为 A 3 4 cm 60.如图，数轴上表示5的点落在() ①②③④ A.段① B.段② C.段③ D.段④ ◆题型13实数比较大小 61.比较大小：25 几，（填“>”、“<”或“=”） 62.在实数-1,0，几，5中，最大的数是() A.-1 B.0 C.π D.V5 63.在实数-27、V3、-π、0中，最小的数是() A.-27 B.3 C.-π D.0 10/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 64.下列四个数中最小的是() A.-2 c.-V6 D.2 B.0 65.比较大小：124 5, 5-1 1 (填“>”，“<”或“=”) 2 2 ◆题型14程序设计与实数运算 66. 根据以下程序，当输入V20时，输出结果为() 是 输入x 计算x2+2 结果>6 输出结果 否 A.6 B.V37 c.38 D.V40 67. 如图是一个数值转换器，当输入的x为36时，输出的y是(). 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 A.6 B.6 C.±6 D.±V6 68.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是() 是无理数 输入x 输出y 是有理数 A.8 B.4 c.V8 D.V2 9.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为 是 输入取算术平方根→于2足输出 70.如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是 是有理数 取算术是有理数 取立 是无理数 输入x 输出y 平方根 方根 是无理数 ◆题型15实数运算的实际应用 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 71.陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术.它历史悠久，多 在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰.风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花 鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝.现有一张 长方形红色宣纸，长、宽之比为4：3，宣纸面积为588cm, (1)求宣纸的周长： (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为291cm的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请 说明理由.（π取3） 72.如图将长方形木板ABCD裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的4倍. D ② 乙 甲 ① 丙 C (1)若甲，乙面积分别为12,8， ①求BC的长， ②求长方形ABCD的面积. (2)若阴影部分①的面积为3，求阴影部分②的面积. 73.有一块面积为64平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为40平方米的长 方形工件，且要求长宽之比为5：4，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理 由 74.如图，按照国际标准，A系列纸的长与宽的比例均符合V2:1;其中，Ao纸的面积为1m2;将A纸沿 两条长边中点的连线裁切，就得两张A1纸：再将A纸沿两条长边中点的连线裁切得两张A2纸…依此类推， 得A3,A4,A等等的纸张（如图所示）·若设A4纸张的宽为xm,则下列列式正确的是() 4o A As Ao A A.V2x=1 B.V2x2=1 c.2x2=1 D.2x2=1 6 75.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为一： 12/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1利用平方根解方程 1.(25-26七年级下·北京大兴期中)已知9x2=49,求实数x的值， 2.(25-26七年级下甘肃临夏期中)求x的值：2x-22=8, 3.(25-26七年级下湖北武汉期中)若x2-100=0,则x的值为 4.(25-26七年级下·安徽芜湖期中)求下列各式中x的值： 02x3 (2)4x-1=25. 5.(25-26七年级下·安徽芜湖·期中)解方程：2x-12=8 ◆题型2利用算术平方根的非负性求代数式的值 6.(25-26七年级下.广西柳州期末)已知Vx-3+y+1=0,则x+y= 7.(25-26七年级下·北京期末)若Va-3+b+4=0,则a+b2026= 8.(25-26七年级下辽宁鞍山期末)若a,b为实数，且a+12+Vb-3=0,则a+b2= 9.(25-26七年级下北京期末)若x-2+y+3=0,则x-y= 10.(25-26七年级下湖北咸宁期末)若a+b+Vb-4=0,则a+2030= ◆题型3算术平方根的非负性相关求解 11.(25-26七年级下·天津南开.期中)如果2x-6与V2+y互为相反数，那么x+y的平方根是 12.（25-26七年级下·甘肃平凉·期中)下列没有算术平方根的是() A.-5 B.0 C.6 D.192) 13.(2026重庆三模)若实数x,y同时满足x-y=2,x-y=4,则x的值为 14.(25-26九年级下·山东聊城：阶段检测)若(b-10)2+a+8=0,则a+b的平方根是 15.（25-26七年级下·辽宁大连期中)探究以下问题： (1)【特例探究】 13/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5= 0=,(6= (2)【规律总结】 对于实数a, 当a≥0时，a=,当a<0时，a= (3)【学以致用】 1 2 计算： 2026 2025 ◆题型4算术平方根与立方根综合 16.(21-22七年级下·吉林长春期中)已知a+1的立方根是-3,2b-1的算术平方根是6，c是V30的整数 部分.求a+2b-3c的值」 17.(25-26八年级上陕西汉中.期中)己知3a-7的算术平方根为V5,5b-11的立方根为-1，求a+2b的 立方根. 18.(25-26八年级上·吉林长春期中)已知正数x的两个平方根分别是2a-1和a+7,负数y的立方根与它 本身相同。 (1)求a,x,y的值： (2)求x-11y的算术平方根. 19.(25-26八年级上·江苏泰州期中)已知3x+1的算术平方根是4，x+2y的立方根是-1，求2x-5y的 平方根。 20.(25-26八年级上·宁夏银川期中)已知3x-5的算术平方根是5,1-2y的立方根是-3. (1)求x,y的值： (2)求Vx+2y-2的平方根. ◆题型5无理数整数部分相关计算 21.(25-26七年级下.甘肃定西期末)已知4a+1的平方根是±3，b-1的立方根为2,15的整数部分为c. (I)求a、b、c的值： (2)求2a+b+c的算术平方根与15的小数部分的差. 22.(25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)已知：x=2-3,y=2+3. (1)求x2+y2+2xy (2)若x的小数部分是m,y的小数部分是n,求(m+n)2026 23.(25-26七年级下·广东汕头期末)已知：2x-1和4x+3是m的两个不同的平方根，2y+2是V10的整 数部分. (1)求x,y,m的值. 14/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求1+4y的平方根. 24.（25-26七年级下·山东德州·期末)如图，将面积分别为10和5的正方形的一条边落在数轴上，一个 顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处. B -6-5-4-3-2-1012345 (1)点A表示的数为 点B表示的数为 (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ..V4<V6<V9 ∴.2<6<3 ·.V6的整数部分为2，小数部分为/6-2 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为】 ,小数部分为 (3)已知x是整数，0y<1,且x+y=5+V7,求x+3y的值， 25.(24-25七年级下·四川南充·阶段检测)按要求解答下列问题： (1)已知：2a+1的算术平方根是3,3a-b-1的立方根是2，求20b+a的值. (2)已知a是V10的整数部分，b是它的小数部分，求a+b+3/的平方根 ◆题型6实数的混合运算 26.21-2t年级下-云南昆明期)计第：1-2+(-2+6+(-)5+27 27.(25-26七年级下·陕西渭南期末)计算：64+3-27-3}. 28.(25-26七年级下·吉林期末)计算：27-55-1+-2 29.（25-26七年级下.甘肃庆阳期末)计算：V16--32+27 30.(25-26七年级下湖北咸宁期末)计算：-12026+8-/9--2 ◆题型7新定义下的实数运算 31.(21-22八年级下.贵州毕节期中)设a、b、c是任意三个实数，用mxa,b表示a、b两个数中的较 大者，maxa,b,c表示a、b、c三个数中的较大者 例如max-1,-1=-1,max-1,2=2,max5,4,3=5 根据以上材料，回答相关问题： ()max-5,-2=,max2,-4= (2)若mx3x+1,-x+1,-3=-x+1,求x的取值范围. 15/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.(21-22八年级下.宁夏银川期中)定义：对于实数a,符号a表示不大于a的最大整数，例如5.7=5， 15=5,←-m=-4. (1)如果a=-2,那么a的取值范围是多少？ X+1 (2如果2一 =3,那么求满足条件的所有正整数X? 33.(25-26七年级上陕西西安阶段检测)若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=a×b+a,如 2*3=2×3+2=8. (1)求-1*2的值： (2②)求-2*3*-1的值. 34.（26-27七年级上：广西南宁·开学考试)阅读材料：在课本鸽巢问题中，采用尽量平均分的方法：把m 个物品放入k个抽屉，用物品总数除以抽屉数，如果有余数，数量最多的抽屉内物品个数为商加1：如果恰 好整除，则结果等于商.我们将这个结果记作新运算Rm,k.例如：7÷3=2…，因此R7,3=3； 6÷3=2,因此R6,3=2 规定：当抽屉数k固定不变时， 若Ra+b,k=Ra,k+Rb,k,则称a与b为分配不变数组： 若Ra+b,k<Ra,k+Rb,k,则称a与b为分配缩减数组. (1)直接写出结果：R23,2=,并计算R18,5+R21,5: (2)若k=4,请完成下列问题： ①判断19和17是属于分配不变数组还是分配缩减数组，写出完整推理过程： ②自然数x满足12<x<38,若x和17构成分配不变数组，求符合条件的自然数共有 个 35.(25-26八年级下辽宁.期末)对x,y定义一种新运算T,规定Tx,y=ax+by2x+y,其中a,b是 非零常数，等式右边是通常的四则运算。 如：T2,1=a×2+b×12×2+1=10a+5b,Tm,-1=am-b川2m-1. (1)填空：T1,-1= ;(用含a,b的代数式表示) (2)已知T1,-1=3且T0,1=-1. ①求a,b的值； T-m,2m+12-13 ②若关于m的不等式组 T3m,1-6m>t 恰好有三个整数解，求t的取值范围. 题型专练 高频重难特训 16/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级下广东广州期末)对于无理数T,若整数a,b满足a<T<b，且a是小于T的最大整数， b是大于T的最小整数，则称a,b为无理数T的“相邻区间”.例如：1<V2<2,称1,2为V2的“相邻区 x=m 间”.已知m,n为某无理数的“相邻区间”，整数m,n满足4<m+n<15,且 y=Vn 是关于x,y的 二元一次方程mx-ny=c的一组解，则整数c的值是() A.1或36 B.2或35 C.1或37 D.2或36 2.(25-26七年级下·重庆南川期末)对于正实数n,根据n是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正 实数m;若n为有理数，则m=n+1;若n为无理数，则m=n2+2.这种得到m的过程称为对n进行一次 变换。对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，…，依此类推.例如，正实数n=5为有理 数，则对5进行一次变换得到的数为5+1=6，V6为无理数，对5进行二次变换得到的数为V6+2=8: 8为有理数，对5进行三次变换得到的数为8+1=3.下列说法中正确的有() ①对正实数1进行三次变换，得到的数为V5; ②若对正实数n进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的n的值之和为63+√6： ③若对正实数n进行三次变换得到的数为5，且n>5,则所有满足条件的n有4个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(25-26七年级下·河南洛阳·期末)对于不相等的两个实数m、n,定义新运算“田”如下：当m>n时， m⊕n=2m+n;当m<n时，m⊕n=2m-n.若x+2⊕3>C,则x的取值范围为() A.2 <x<1或x>1 B.方<X1或x>1 1 C.X> 2 D.x>1 2 4.(25-26七年级下四川广安期末)如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个 正方形，正方形的边长为a.已知4-a的整数部分和小数部分分别是x,y,则ax-y的值为() A.-6+2V6 B.-26-6 c.6-2V6 D.2-2V6 5.(25-26七年级下·重庆铜梁期中)某计算器中有√x、Vx、x2三个按键，以下是这三个按键的功能. ①X:将屏幕显示的数变成它的算术平方根： 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②： 将屏幕显示的数变成它的倒数： ③x2:将屏幕显示的数变成它的平方. 输入x卫图园… ① ② ③ 输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键.例如：当输入5时，第1步 操作的结果是25，第2步操作的结果是5，第3步操作的结果是亏，…下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为aa>0,那么第2026步操作之后，显示的结果是： ③若开始输入一个数据aa>0,经过若干步操作后，得到的结果为l6,则a有6种不同的值；正确的个数 是(). A.0 B.1 C.2 D.3 6.(25-26七年级下·重庆期中)对于任意实数x,其整数部分记为x],小数部分记为{x},即： x=[x]+{x},其中[x]表示不超过x的最大整数.如[2.4]=2，{2.4}=0.4：[-2.4]=-3，{-2.4}=0.6.下 列结论正确的个数是() ①{-0.5}=0.5： ②[-17]=-5： ③若x+y=n(n是整数)，则[x]+[y]=n或n-1: ④若[x]=1,[y]=2,[z]=3,则[x+y+z]所有可能的值为6,7,8： 7.11 ⑤方程3[x]-1={x}+2x的解为x=1或x= 3或3 A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 7.(25-26七年级下·安徽阜阳期末)我们已经学习了利用“夹逼法”估算Vn的值，现在用表示距离 √n(n为正整数)最近的正整数.例如：a表示距离1最近的正整数，.a1=1;a2表示距离2最近的正 整数，∴.a2=1;a3表示距离3最近的正整数，..a3=2,…利用这些发现得到以下结论： ①若an=3时，n的值有6个； ②哈合片0：略为 8.(25-26七年级下·湖北武汉·期中)若x、y八、z、满足： 18/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x+2y+z-m-5+2只2x-y+2z-m+3=Vx-4y+3z-2026+只2026-x+4y-3z,则m-2026的 值为一· 9.(25-26七年级下福建厦门期中)用an表示距离Vn(n为正整数)最近的正整数.例如：a1表示距离 V1最近的正整数，.a1=1;a,表示距离√2最近的正整数，∴.a2=1;a3表示距离3最近的正整数， ∴.a3=2.…,利用这些发现得到以下结论： ①ag=3; ②an=3时，n的值有5个： ③a1-a2+a3-…+a11-a12=0; 1+1++1=8 ④a1a2 a20 1+1++1=100时，n的值为250. 回当a,a8n 以上正确的结论有一·（填序号） 10.(25-26七年级下.福建福州·期中)用an表示最接近n的整数(n为正整数)，例如： 1=1,2≈1.414,3≈1.732,4=2,5≈2.236，…， ∴.a1=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,…, 那么a1+a2+a3+·t23= 三、解答题 11.(25-26七年级下·湖南湘西·期中)计算：-12×-23+-3--64×121-9729. 12.(25-26七年级下重庆期末)先化简，再求值：2-22b-4a+8ab-3-5bl,其中a、b 满足a=4+-27,b=3-3+-12025. 13.(2026浙江嘉兴·二模)观察下列等式： =1+17 2×36 13×412 根据以上规律，请完成下面问题： 19/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求X5的值： (2)比较X1+X2+X3++X2025与2026的大小，并说明理由 14.(25-26七年级下·广东珠海期中)对于实数α，我们规定：用符号a表示不大于a的最大整数，称 a为a的根整数，例如：9=3，V10=3. O C A B ①计算：4=：-37列=」 (2)如图所示，数轴上表示1和V2的对应点分别为A、B,点A是BC的中点，O为原点，设C点表示的数 为x,试求x-1+1-2V2的值， (3)i计算|1-|R2+|3-|V4+·2024+20251. 15.(25-26七年级下·广东珠海·期中)任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T: m<T<n,(其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“知行区 间”为m,n,如1<V3<2,所以3的知行区间为1,2. (1)无理数V11的“知行区间”是： x=m (2)若其中一个无理数的“知行区间”为m,n且满足0<m+n<12,其中 y=V五 是关于x、y的方程 mx-ny=C的一组正整数解，求C值： (3)实数x、、m满足关系式：X+y-m=VX+y-2026+V2026-X-y,求m的算术平方根的“知行区 间”. 20/20函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章有理数全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1利用平方根的定义判断等式是否成立 1.B 2.D 3.C 4.B 5.D ◆题型2求一个数的平方根 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B ◆题型3已知一个数的平方根求代数式的值 11.16 12.16 13.16 14.1 15.25 ◆题型4算术平方根的非负性与三角形综合 16.(1①)a=2V2,b=5,c=3V2 (2)能构成三角形，周长为5V2+5 17.3 18.(1)8,6,3 (2)存在，t=2秒 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)∠AFO=2∠OBA+∠BAE, 理由：如图， E D 12 43 ∠1=，∠ 2+, .2 1+, 又∠ 1+, 32, ,∠3CA0, .∠4CA0. DO‖AB 过点F作FH‖AB,交x轴于点H, ..FH DO, ∴.∠1+∠OH,∠BAE=∠AFH, .∠OEA=∠OBA+∠BAE,∠OEA+∠EFO+∠2=180， .∠OBA+∠BAE+180°-∠AE0+∠2=180， :∠OBA+∠BAE-∠AFO+∠AFO-∠BAE=O. ·∠OBA+∠BAE=∠AFO-∠AFO-∠BAE 2 .2∠OBA+2∠BAE=2∠AFO-∠AFO+∠BAE, 整理得：∠AFO=2∠OBA+∠BAE, .关系为：∠AFO=2∠OBA+∠BAE 19.D 20.(1)a=2,b=3 (2)c=2,3,4 ◆题型5估算算术平方根的取值范围 21.C 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.B 23. ①②④ 24.3 25.A ◆题型6与算术平方根有关的规律探索题 6m站4器 2)9g99 100 27.A 28.B 29.D 30.17.32 ◆题型7平方根与立方根概念综合 31.c 32.D 33.D 34.C 35.D ◆题型8与立方根有关的规律探索 36.(1)25;-120 (2)①144：②120 37.1)①两：②9；③2,29 (2)84 38.(1)47 (2)V7921=89,理由见解析 39.27.42 40. 14.63 6.69 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型9判断是否为无理数 41.D 42.C 43.B 44.B 45.B ◆题型10无理数估算 46.B 47.C 48.9V23 49.2 50.B ◆题型11实数的分类 51.D 52.B 53.B 54.B 55.364,3.1415926,-0.456,0, 7 T,3.030030003..(每相邻两个3之间依次多1个0)，-9，V0.1: G.L314159263030m3003（每相邻满个3之间铁次多1个0)，品，7孔，01： 64,0,-7 ◆题型12实数与数轴结合 56.1-V6 57.2-V6 58.C 59.4+92 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60.B ◆题型13实数比较大小 61.< 62.C 63.C 64.D 65. > ◆题型14程序设计与实数运算 66.C 67.B 68.D 69.V2 70.2 ◆题型15实数运算的实际应用 71.(1)98cm (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为rcm, 由题意得：3r2=291, 解得：r=V97, :圆形纸胚的直径为2r=2V97,宣纸的宽为21cm,且2V97=388,212=441, .21>2V97, ∴能够裁出来 72.1)①BC的长为2V2+2V3;②长方形ABCD的面积为14+6V6 (2)6 73.能办到；长方形的长和宽分别为5V2米和4V2米 74.D 75.2V10-4 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1利用平方根解方程 1x号 2.X=4或X=0 3. ±10 40x=号 5.X=3或x=-1 ◆题型2利用算术平方根的非负性求代数式的值 6.2 7.1 8.4 9. 5 10.2026 ◆题型3算术平方根的非负性相关求解 11.±1 12.A 13. 1 3 14.±V2 15.(1)5,0,6 (2)a,-a 2025 62026 ◆题型4算术平方根与立方根综合 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16. -6 17.2 18.(1)a=-2,x=25,y=-1 (2)6 19.±5 20.(1)x=10,y=14 (2)±V6 ◆题型5无理数整数部分相关计算 21.(1)a=2,b=9,c=3 (2)7-V15 22.(1)16 (2)1 1 1 5 23.(①X=3,y=2,m= (2)±V3 24.1)-V10,5: (22,V5-2: (3)3V7+1 25.(1)4: (2)±V19 ◆题型6实数的混合运算 26. 8 27.2 28.V5 29.-2 30.-4 ◆题型7新定义下的实数运算 31.(1)-2:2 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x≤0 32.(1) -2≤a<-1 (2) 满足条件的正整数x为5,6 33.(1)-3 (2)-2 34.(1)12,9 (2)①分配缩减数组②6 35.(1)a-b (2)①a=2,b=-1;②-1≤t<11 题型专练 高频重难特训 1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.110 8.11 9.①③④⑤ 10.75 11.75 12.3a2-2ab,7-2V3 1 13.(130 (2)X1+x2+X3+…+X202s5<2026;见解析 14.(1)2,-7 (2)-2 (3)23 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(1)3,4 (2)1或37 (3)45,46 9/9 第10章 数的开方全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：利用平方根的定义判断等式是否成立 题型2：求一个数的平方根 题型3：已知一个数的平方根求代数式的值 题型4：算术平方根的非负性与三角形综合 题型5：估算算术平方根的取值范围 题型6：与算术平方根有关的规律探索题 题型7：平方根与立方根概念综合 题型8：与立方根有关的规律探索 题型9：判断是否为无理数 题型10：无理数估算 题型11：实数的分类 题型12：实数与数轴结合 题型13：实数比较大小 题型14：程序设计与实数运算 题型15：实数运算的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1：利用平方根解方程 题型2：利用算术平方根的非负性求代数式的值 题型3：算术平方根的非负性相关求解 题型4：算术平方根与立方根综合 题型5：无理数整数部分相关计算 题型6：实数的混合运算 题型7：新定义下的实数运算 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 利用平方根的定义判断等式是否成立 1．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 2．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； B．，所以，的立方根是，因此本选项错误，不符合题意； C．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； D．，所以，是的平方根，因此本选项正确，符合题意； 3．下列说法不正确的是（     ） A．0.04的平方根是 B．是16的一个平方根 C．9的立方根是3 D． 【答案】C 【详解】解：选项A，，的平方根是，A说法正确，不符合题意； 选项B，，是的一个平方根，B说法正确，不符合题意； 选项C，，的立方根是，不是，C说法错误，符合题意； 选项D，，，D说法正确，不符合题意． 4．下列说法正确的是（     ） A．的立方根是 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】根据平方根与立方根的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A∵， ∴的立方根是，不是，A错误； 选项B∵， ∴的平方根为，即是的一个平方根，B正确； 选项C∵， ∴的平方根是，不是只有，C错误； 选项D∵， ∴的平方根是的平方根，为，不是，D错误． 5．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． ◆题型2 求一个数的平方根 6．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． 表示的算术平方根，结果为非负数， ，∴A错误； B．对任意实数，都有， ，∴B错误； C． ，C计算正确； D． 表示的平方根， ，∴D错误． 7．的平方根是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本定义，解题需区分平方根和算术平方根，明确正数的平方根有两个，且互为相反数． 【详解】根据平方根的定义：若，则是的平方根， ∵ ， ∴ 的平方根是． 8．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴是 的平方根 ∵， ∴． 9．下列式子中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根与立方根的定义判断每个式子的正误即可得到答案． 【详解】解：A、∵表示的算术平方根，∴，A错误； B、，B正确； C、，C正确； D、，D正确.． 10．4的平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：4的平方根是． ◆题型3 已知一个数的平方根求代数式的值 11．已知的平方根是，则的值为______． 【答案】16 【详解】解：的平方根是 根据平方根的定义可得 ∴． 12．正数的平方根是和，求的值． 【答案】 【分析】由正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可． 【详解】解：正数的平方根是和， ， 解得， 则， ． 13．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】16 【分析】根据平方根的性质列出方程，求出的值，即可得到这个正数． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得 ， 这个正数为． 14．若正数x的两个平方根为与，则a的值为______． 【答案】1 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出一元一次方程，即可求解的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 15．与是同一个正数的两个不同的平方根，则这个正数为__________． 【答案】25 【分析】根据一个正数的两个不同平方根互为相反数，先求出x的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个不同平方根互为相反数 ∴， 解得：， 将代入，得， ∴这个正数为． ◆题型4 算术平方根的非负性与三角形综合 16．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【详解】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 17．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 18．平面直角坐标系中，点，点分别在x轴和y轴上，点在线段上，满足． (1)请直接写出________，________，________； (2)如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度沿y轴正方向运动．两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动．设两点的运动时间均为t秒，是否存在t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． (3)如图2，连接，点D为第二象限内一点，且．点E是y轴正半轴上的一个动点（不与点B重合），连接，交直线于点F．已知，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)8，6，3 (2)存在，秒 (3)， 理由：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点F作，交x轴于点H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴关系为：． 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b，c的值，即可得出结论； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）利用平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理及角度的等量代换即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，． （2）解：由（1）知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴t的值为2秒． （3）略 19．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 20．已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 【详解】（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． ◆题型5 估算算术平方根的取值范围 21．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质，被开方数越大算术平方根越大，通过比较相邻整数的平方以及中点的平方，判断的大小，即可得到最接近的整数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴距离5更近 因此与最接近的整数是5． 22．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．请估计这个比值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【详解】解：， ， 即， ， 即 该比值在4和5之间． 23．小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 24．设为正整数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 25．与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】确定的取值范围，再比较距离得到最接近的整数，运用算术平方根的大小比较性质求解． 【详解】解：∵ ， ，， ∵ ， ∴ 更接近． ◆题型6 与算术平方根有关的规律探索题 26．先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 27．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 28．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 29．对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】结合新定义，算术平方根性质和推导，的关系式，可判断（1）、（2）；进一步得到规律：，可判断（3）． 【详解】解：由题意得：，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，，故说法（1）正确； 当时，，故说法（2）正确； 当，，，，时， 则，，，，， ∴， 当时， ， 故说法（3）正确； 综上所述，三个说法均正确，正确个数是个． 30．若，，则____． 【答案】 【详解】解：， 由题干可知， ∴． ◆题型7 平方根与立方根概念综合 31．下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． 32．下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，通过举反例排除错误选项． 【详解】解：A．∵的平方根是，立方根是，∴A错误． B．∵负数没有平方根，∴B错误． C．∵的算术平方根是，的算术平方根是，均等于原数；的算术平方根是，大于原数，∴C错误． D．设互为相反数的两个数为与，∵它们的立方根分别为和，∴两个数互为相反数时，它们的立方根也互为相反数，∴D正确． 33．下列结论正确的是（     ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】根据平方根与立方根的定义和性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、的平方根是，不是，A错误； B、任何实数都有立方根，负数也有立方根，，因此有立方根，B错误； C、立方根等于本身的数有0，1，，不只有，C错误； D、∵，，∴成立，D正确． 34．有下列说法： ①平方根是它本身的数有，； ②算术平方根是它本身的数有，； ③立方根是它本身的数有，，； ④如果一个数的负的平方根等于它的立方根，那么这个数是或． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的基本概念逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：① 平方根是本身的数：∵ 的平方根是 ，不等于它本身，只有 的平方根是它本身，∴①错误； ② 算术平方根是本身的数：∵ 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ，∴算术平方根是本身的数是 和 ，∴②正确； ③ 立方根是本身的数：∵ ，，，∴立方根是本身的数有 ，，，③正确； ④ 若一个数的负的平方根等于它的立方根：∵负数没有平方根， 不存在平方根，只有 满足条件，∴④错误． 综上，正确的说法是②③． 35．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． ◆题型8 与立方根有关的规律探索 36．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 37．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两； ；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1） ， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 38．阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 39．已知，，则______． 【答案】 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解： ， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 40．已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． ◆题型9 判断是否为无理数 41．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：选项A、是有限小数，属于有理数； 选项B、是有限小数，属于有理数； 选项C、是分数，属于有理数； 选项D 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 42．在实数，，3.14，，，2.10010001，中，无理数有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：是无理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； 则无理数有个． 43．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可求解． 【详解】解：∵选项A中是分数，属于有理数，∴A不符合题意； ∵选项B中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴B符合题意； ∵选项C中，2是整数，属于有理数，∴C不符合题意； ∵选项D中是有限小数，属于有理数，∴D不符合题意； 故选：B． 44．下列四个数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，是分数，属于有理数，不符合要求； 选项B，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； 选项C，是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； 选项D，是有限小数，属于有理数，不符合要求． 45．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是无理数； B、是开立方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数； C、是有限小数，不是无理数； D、，是整数，不是无理数． ◆题型10 无理数估算 46．估计的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质求出的范围，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即； 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴， 即， 的值在和之间． 47．实数更接近下列哪个整数（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再通过比较和区间中点的大小，判断其更接近的整数. 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且， ∴ ∴ ∴更接近整数10. 48．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 49．若n为正整数，且满足，则________． 【答案】2 【分析】估算的取值范围，确定介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 50．如果，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出与26相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再推导的取值范围即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式各边同时减1，得 ，即 . ◆题型11 实数的分类 51．下列四个选项是负有理数的是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数），结合正负性判断各选项即可． 【详解】解：、∵中是无理数， ∴是负无理数，不符合题意； 、∵中是无限不循环小数，属于无理数， ∴是负无理数，不符合题意； 、由是大于的有理数，是正有理数，不符合题意； 、∵，且是有限小数，属于分数，是有理数， ∴是负有理数，符合题意． 52．在实数，，，，0中，无理数共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：开立方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是无理数，因此仍是无限不循环小数，是无理数； 开平方无法得到整数或分数，是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； ∴无理数共有个． 53．下列实数中，是整数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 整数包括正整数，零，负整数，对各选项分析如下， 选项A：，是分数，不是整数， 选项B：是整数，符合要求， 选项C：是无限不循环小数，属于无理数，不是整数， 选项D：是无限不循环小数，属于无理数，不是整数． 54．下列各数是整数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简各选项，整数包含正整数、零、负整数，再结合整数定义，对各选项逐一判断． 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数，不是整数，故该选项不符合题意； B、，是负整数，属于整数，故该选项符合题意； C、是有限小数，属于分数，不是整数，故该选项不符合题意； D、是分数，不是整数，故该选项不符合题意． 55．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． ◆题型12 实数与数轴结合 56．如图，正方形的面积为6，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 【答案】 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 57．如图，正方形的面积为6，它的顶点在数轴上，且表示的数为2．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），则点所表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即为的长，结合点在点的左侧，利用数轴上两点间的距离关系即可得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， （负值舍）， 由作图可知， 顶点在数轴上，且表示的数为2，点在点的左侧， 点表示的数为． 58．如图，在数轴上，对应的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】估算出，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴在数轴上，对应的点可能是点． 59．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，正方形的边长为， ∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 ∴点在刻度尺上对应的数为． 60．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； ◆题型13 实数比较大小 61．比较大小：________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】将两个数分别与比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵， ∴， ． 62．在实数，0，，中，最大的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据实数比较大小的规则，先区分正负，再比较正数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵负数小于0，0小于所有正数， ∴，且和0均小于和， 又∵ ，，可得， ∴四个数的大小关系为， 因此最大的数是． 63．在实数、、、0中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先化简各数，再根据实数大小比较规则：负数小于0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数更小，即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 最小的数是． 64．下列四个数中最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四个数进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的数是． 65．比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ ◆题型14 程序设计与实数运算 66．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，输入后计算，若结果不大于6则将结果重新代入计算，直到结果大于6为止，通过计算并比较大小即可得出答案． 【详解】解：输入， 第一次计算结果为， ， 需将重新代入计算， 同理，第二次计算结果为， 由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2， 当计算结果为时，，仍不满足结果， 需将再次代入计算， 下一次计算结果为， ， 输出结果为． 67．如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 【详解】解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 68．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，而4是有理数， 当时，，而2是有理数， 当时，，而是无理数，输出y， ∴输出的y的值是． 69．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数； 再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数； 再把2输入，2的算术平方根是，是无理数， 所以输出y的值是． 70．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 【答案】 【详解】解：由程序计算图可得：当输入x的值是64时，则第一次输出结果为，，是有理数， ∴第二次输出结果为． ◆题型15 实数运算的实际应用 71．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 72．如图将长方形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的4倍． (1)若甲，乙面积分别为12，8， ①求的长． ②求长方形的面积． (2)若阴影部分①的面积为3，求阴影部分②的面积． 【答案】(1)①的长为；②长方形的面积为 (2)6 【分析】（1）①先推导出正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，则，即可解答． ②先推导出丙的面积为，得到正方形丙的边长为，，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设正方形丙的边长为．求出正方形甲的边长为，得到，继而 出，设正方形乙的边长为，得到，进而推导出，则阴影部分②的面积，即可解答． 【详解】（1）解∶①由题意得，正方形甲的面积为12，正方形乙的面积为8． 正方形甲的边长为，正方形乙的边长为． 由图可知，的长等于正方形乙的边长与正方形甲的边长之和． ． 答：的长为； ②甲的面积是丙面积的4倍，且甲的面积为12， 丙的面积为． 正方形丙的边长为． 由图可知，的长等于正方形乙的边长与正方形丙的边长之和． ． 长方形的面积为 ． 答：长方形的面积为； （2）解：如图 设正方形丙的边长为． 甲的面积是丙面积的4倍， 正方形甲的边长为， ∴， 阴影部分①的面积为3，且， 阴影部分①的为， 设正方形乙的边长为， 由图可知，， 阴影部分②的， 阴影部分②的面积． 答∶阴影部分②的面积为6． 73．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 74．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 75．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． ◆题型1 利用平方根解方程 1．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，求实数x的值． 【答案】 【分析】化简后根据平方根的性质求解即可； 【详解】解：∵， ∴， 对等式两边开平方得：． 2．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）求x的值：． 【答案】或 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若，则x的值为______． 【答案】 【详解】解： 移项，得 开平方，得 . 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 5．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）解方程： 【答案】或 【分析】利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：由得：， 即或， 所以或． ◆题型2 利用算术平方根的非负性求代数式的值 6．（25-26七年级下·广西柳州·期末）已知，则________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为时，每个非负数均为，据此分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解： ， ，， ，， ． 8．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）若，为实数，且，则__________． 【答案】4 【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 9．（25-26七年级下·北京·期末）若，则_______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 10．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）若，则__________． 【答案】2026 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，． ∴． ◆题型3 算术平方根的非负性相关求解 11．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 12．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列没有算术平方根的是（     ） A． B．0 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，解题关键是掌握只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根，只需判断各选项数的正负性即可． 【详解】解：选项A：是负数，因此没有算术平方根； 选项B：是非负数，算术平方根为； 选项C：是正数，有算术平方根； 选项D：，是正数，有算术平方根． 13．（2026·重庆·三模）若实数，同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，再根据绝对值的性质，分和两种情况讨论，消去绝对值符号后求解方程组，舍去不符合题意的解，得到，的值后代入计算即可. 【详解】解：由二次根式的性质得， ， 原方程组可化为： ， ①当时，， 将化为， 移项得， 将代入， 可得：， 整理得：， 若， 则原式化为，即，不成立，舍去； 若，则原式化为， 解得：，符合， 将代入， 可得：，符合， 此时； ②当时，， 将化为， 移项得：， 将代入， 可得：， 整理得：， 若，则原式化为， 解得：，不符合，舍去； 若，则原式化为，即，不成立，舍去； 故时无解； 综上，的值为. 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 15．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． ◆题型4 算术平方根与立方根综合 16．（21-22七年级下·吉林长春·期中）已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求出和的值，估算得到整数的值，代入代数式计算即可． 【详解】解： 的立方根是，的算术平方根是， ，， 计算得：，解得， ，解得， ，即， 的整数部分为，即， 将，，代入得： ， 综上所述，的值为． 17．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解、的值，再代入，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； ∴， ∴的平方根为． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． ◆题型5 无理数整数部分相关计算 21．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 22．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知：，． (1)求 (2)若的小数部分是，的小数部分是，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴的整数部分是0，的整数部分是3， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴． 23．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即， 的整数部分是3， ， 解得， 综上，，，； （2）解：把代入，， 3的平方根是． 24．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图，将面积分别为10和5的正方形的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为________________；点表示的数为________________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： 的整数部分为2，小数部分为 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为________，小数部分为________________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】（1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，故，，再分别代入进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分为． （3）解：∵， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． 25．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． (2)已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求出a，b的值，代入目标式计算即可； （2）先估算的范围得到a，b的值，代入计算后再求平方根． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； ， 将代入得， 解得； 将代入得，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， 代入得，， ∴19的平方根为． ◆题型6 实数的混合运算 26．（21-22七年级下·云南昆明·期中）计算：． 【答案】 【分析】先根据乘方、算术平方根、立方根的性质分别计算每一项的结果，再进行加减合并得到最终答案； 【详解】解：原式 ． 27．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根、立方根的定义及二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式， ． 28．（25-26七年级下·吉林·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 29．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 30．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． ◆题型7 新定义下的实数运算 31．（21-22八年级下·贵州毕节·期中）设a、b、c是任意三个实数，用表示a、b两个数中的较大者，表示a、b、c三个数中的较大者 例如，，． 根据以上材料，回答相关问题： (1)______，______； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】（1）根据所给定义可得答案； （2）根据所给定义可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为． 32．（21-22八年级下·宁夏银川·期中）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数，例如，，． (1)如果，那么的取值范围是多少？ (2)如果，那么求满足条件的所有正整数？ 【答案】(1) (2) 满足条件的正整数为， 【分析】（1）根据新定义将转化为关于的不等式组，求解得到取值范围； （2）将看作整体，根据新定义列不等式组，解出的范围后筛选正整数解． 【详解】（1） 解：∵表示不大于的最大整数，， ∴且， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴或． 33．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据规定有理数的新运算法则运算即可． 【详解】（1）解：根据新运算得． （2）解：， ． 34．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）阅读材料：在课本鸽巢问题中，采用尽量平均分的方法：把个物品放入个抽屉，用物品总数除以抽屉数，如果有余数，数量最多的抽屉内物品个数为商加1；如果恰好整除，则结果等于商．我们将这个结果记作新运算．例如：，因此；，因此． 规定：当抽屉数固定不变时， 若，则称与为分配不变数组； 若，则称与为分配缩减数组． (1)直接写出结果：________，并计算； (2)若，请完成下列问题： ①判断和是属于分配不变数组还是分配缩减数组，写出完整推理过程； ②自然数满足，若和构成分配不变数组，求符合条件的自然数共有_____个． 【答案】(1)12，9 (2)①分配缩减数组 ②6 【分析】（1）根据定义，计算即可； （2）①先根据定义，计算，再根据分配不变数组或分配缩减数组的定义，作出判断即可； ②根据题意，得，分有余数和整除两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； ， ； ． （2）解：①， ； ， ； ． ， ； ， 故与为分配缩减数组． ②解：， ； 和构成分配不变数组， ， 设，为商，是余数，且， 当时，， ， ， ， ，符合要求， 故x是4的倍数，在中，是4的倍数的自然数有16，20，24，28，32，36，一共有6个； 当时，， ， ， ， ，不符合要求， 综上所述，在中，是4的倍数的自然数有16，20，24，28，32，36，一共有6个． 35．（25-26八年级下·辽宁·期末）对定义一种新运算，规定，其中是非零常数，等式右边是通常的四则运算． 如：，． (1)填空：________；（用含的代数式表示） (2)已知且． ①求的值； ②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）①根据新定义可得，解之即可得到答案； ②先求出，，进而解不等式组，再根据不等式组只有三个整数解进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴， 又∵， 联立， 解得：； ②∵， ， ∴原不等式组可化为， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴； 解得：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东广州·期末）对于无理数，若整数，满足 ，且是小于的最大整数，是大于的最小整数，则称为无理数的“相邻区间”．例如：，称为的“相邻区间”．已知为某无理数的“相邻区间”，整数，满足，且是关于，的二元一次方程的一组解，则整数的值是（     ） A．1或36 B．2或35 C．1或37 D．2或36 【答案】C 【分析】根据“相邻区间”的定义和二元一次方程的解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值． 【详解】解： 为某无理数的“相邻区间”， 由题意得， ， ， 是方程的解， ， 为整数， 为完全平方数， 时，，满足，即， 时，，满足，即， 的值可能是3或8．　 是方程的解， 当时则， 当时则， 或. 2．（25-26七年级下·重庆南川·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题根据给定的变换规则，对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为，对三个说法逐一分类讨论验证，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：变换规则为：对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为， 判定说法①： 是有理数，一次变换得；是无理数， 二次变换得；是有理数， 三次变换得，因此说法①正确． 判定说法②： 对二次变换得， 设一次变换结果为，即对变换得． 若为有理数，则，解得； 再对分类：若为有理数，得； 若为无理数，得（负根舍去）． 若为无理数，则，解得（负根舍去），是有理数，矛盾舍去． 满足条件的和为，因此说法②正确． 判定说法③： 三次变换得， 设二次变换结果为，一次变换结果为， 从后往前推导：对变换得，得（有理）或（无理），共2个； 对变换得，得、、，共3个； 对变换得且要求：得2个符合的，得1个符合的，没有符合的， 共3个符合条件的，说法③认为有4个，因此说法③错误． 综上，正确的说法共有2个，选C． 3．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）对于不相等的两个实数、，定义新运算“”如下：当时，；当时，．若，则的取值范围为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据新运算的规则，分两种情况对和的大小关系分类讨论，解一元一次不等式后取并集即可得到的取值范围． 【详解】解：当，即时，根据新运算定义得， ， ， 解得， 结合前提，得此种情况下； 当，即时，根据新运算定义得， ， ， 解得， 结合前提，得此种情况下； 综上所述，的取值范围为或． 4．（25-26七年级下·四川广安·期末）如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分和小数部分分别是， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2026步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则有6种不同的值；正确的个数是（  ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先梳理三步按键的变换规律，找出操作循环周期，再分别验证①②③是否正确；设输入数为，推导一轮三步后的变换结果，确定循环周期． 【详解】解：设当前数为： 第1步（平方）：， 第2步（倒数）：， 第3步（算术平方根）：， 第4步（平方）：， 第5步（倒数）：， 第6步(算术平方根)：， 即每6步操作完成一次完整循环，循环周期； 输入，第5步结果是，说法①正确； 周期，计算2026的余数：，余数为4，即第2026步等价于第4步，第4步结果为，不是，说法②错误； 设最终某一步得到16，分6种步数位置逆向： 若16是第1步结果：； 若16是第2步结果：； 若16是第3步结果：； 若16是第4步结果：（重复值）； 若16是第5步结果：（重复值）； 若16是第6步结果：， 汇总所有不重复的：，仅4个不同值，不是6个，说法③错误， 综上，正确的个数是1． 6．（25-26七年级下·重庆·期中）对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，解题关键是掌握表示不超过的最大整数，的性质，逐一对五个结论进行判断即可． 【详解】根据定义，对任意实数，有，为整数，且满足 ，，逐一判断如下： ① ， ， ，故①正确． ②， ， 不超过的最大整数为，即 ，故②正确． ③ ，（为整数）， ， ， ， ， 即 ， 是整数， 或，故③正确． ④ ， ， 相加得 ， 的可能值为，故④正确． ⑤原方程 ，代入整理得： ， 即， ， ， 解得 ， 为整数， ， 分别得，，，均符合条件， 故⑤正确． 综上，个结论全部正确，故选D． 二、填空题 7．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，…利用这些发现得到以下结论： ①若时，的值有6个； ②当时，的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查数字规律探究，根据的定义推导得到：若（为正整数），则对应个不同的正整数，且每一组对应的所有的和为，根据总和计算得到总个数． 【详解】解：根据定义，若（为正整数）， 则， ∴， 不等式各边平方得， ∵是正整数， ∴最小为，最大为， ∴的总个数为， 每一组对应同一个的的和，为， ∵， ∴共有组， 对应到， ∴总的个数为， ∴． 8．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若x、y、z、m满足： ，则的值为______． 【答案】11 【分析】根据，得到，进而得到，列方程组，计算得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①②得， 由③得，代入得 ， ∴， 将代入②，得， 整理得， 将④代入⑤得， 解得， ∴ 9．（25-26七年级下·福建厦门·期中）用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，利用这些发现得到以下结论： ①； ②时，的值有5个； ③； ④； ⑤当时，的值为2550． 以上正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：①表示距离最近的正整数， ，所以①正确； ②当时，为，，，，，一共有个， 所以②错误； ③，，，，，，，，，，，， ， 所以③正确； ④由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故④正确； ⑤， ， 所以⑤正确； 综上，①③④⑤正确． 10．（25-26七年级下·福建福州·期中）用表示最接近的整数（为正整数），例如： ，，，，，…， ，，，，，…， 那么________． 【答案】 【分析】根据无理数的估算以及四舍五入法则，得出的值，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，， ， ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）计算：． 【答案】75 【详解】解： ． 12．（25-26七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中、满足，． 【答案】， 【分析】先通过去括号、合并同类项对整式进行化简，再根据算术平方根、立方根、绝对值及有理数乘方的运算法则求出、的值，最后将、代入化简后的式子计算出最终结果． 【详解】解：原式 ，， 原式． 13．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 14．（25-26七年级下·广东珠海·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【答案】(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 15．（25-26七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1)无理数的“知行区间”是______； (2)若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3)实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 【答案】(1) (2)1或37 (3) 【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，再根据“知行区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， 无理数的“知行区间”是， 故答案为：； （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， 是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是正整数， 是一个完全平方数，， ， 满足题意的m、n的值为：或， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：实数x，y，m满足关系式：， ，， ， ， ， 即， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“知行区间”是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $