精品解析：吉林省长春市九台区第三十一中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学阶段大练习 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，与是同类二次根式是（　　） A.                                        B.                                        C.                                        D. 3. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 从数学的观点看，对以下事件判断正确的是（ ） A. “画饼充饥”是随机事件 B. “拔苗助长”是必然事件 C. “刻舟求剑”是必然事件 D. “守株待兔”是随机事件 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（） A. B. C. D. 7. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与周长比为 C. D. 8. 如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 若，则的值是________． 10. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为______． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 13. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E为边的中点，交于点F．若，则的长为________． 14. 如图，在中，，，是斜边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交于点，连结，给出下面五个结论：；；；；，上述结论中．所有正确的序号是______． 三、解答题（本大题共10道题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． （1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； （2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 18. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形．（保留作图痕迹） （1）如图1，在中，______； （2）如图2，在边上取一点，使得； （3）如图3，边上找一点，使得． 20. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 21. 在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． （1）求证：； （2）若，则的值为 ； （3）若，则长为 ． 22. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 23. 如图，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点，点P是直线（不与点A，B重合）上一个动点，过点P作和的垂线，垂足分别为C、D，连接，设点P的横坐标为m． （1）求一次函数解析式； （2）当，矩形的面积为1时，求此时点P坐标； （3）点P在运动过程中，当与相似时，请直接写出点P的坐标． 24. 如图，在中，，点为边的中点，连接，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．作点关于直线的对称点．设点的运动时间为秒． （1）线段长为_______； （2）当把的面积分为两部分时，求的值； （3）当点在内部时，求的取值范围； （4）当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段大练习 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A.                                        B.                                        C.                                        D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将各个选项化为最简二次根式再和比较即可 【详解】A.  =2，与不是同类二次根式，此项错误 B.  =2与是同类二次根式，此项正确 C. =2与不是同类二次根式，此项错误 D. =2与不是同类二次根式，此项错误 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的基本概念，解题的关键是先化成最简二次根式 3. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根． 4. 从数学观点看，对以下事件判断正确的是（ ） A. “画饼充饥”是随机事件 B. “拔苗助长”是必然事件 C. “刻舟求剑”是必然事件 D. “守株待兔”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可， 【详解】解：A. “画饼充饥”是确定事件中的不可能事件，故选项不符合题意； B. “拔苗助长”是确定事件中的不可能事件，故选项不符合题意； C. “刻舟求剑”是确定事件中的不可能事件，故选项不符合题意； D. “守株待兔”是随机事件，故选项符合题意； 故答案为：D 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先过点A作于点D，根据题意得，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【详解】解∶过点作于点，则， 在中，， 在中，， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键． 7. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与周长比为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换得到，，，则，，与周长比为，，即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴，，与周长比为， ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由锐角的余弦定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， 设相邻两平行线间的距离为， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据比例的性质，即可求得，继而求得的值． 【详解】∵ ， ∴， 即， ∴ ． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）. 10. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成比例即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为， 解得． 答：这栋楼的高度为， 故答案为：60 11. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交轴于点，根据题意得出，即可求出；本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角正切值的定义是解题的关键． 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出． 【详解】解∶迎水坡的坡比为， ，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 13. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E为边的中点，交于点F．若，则的长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】如图，过作交于，证明，可得，再证明，结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1 【点睛】本题考查的是正方形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 14. 如图，在中，，，是斜边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交于点，连结，给出下面五个结论：；；；；，上述结论中．所有正确的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得，，，可得，进而可得≌，则，进而可得，即，即可判断结论；根据，，，可得，即可判断结论；证明∽，得出，故结论不正确；证明∽，可得到则正确；证明∽，可得不正确． 本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由旋转得，，， ． ， ． ． ， ≌， ． ，， ， ， ， ． 故结论正确； 由旋转得，，， ， ． ，， ． 故结论正确； ，， ， ∽， ， 故结论不正确； ，， ∽， ， ， ， ， 故正确； ，， ∽， ， ， ， ， 故结论不正确． 综上所述，所有正确结论的序号是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10道题，共78分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将方程等号右边移项至左边后，用因式分解法进行求解即可； （2）用求根公式法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 17. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． （1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； （2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解． （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为， 故答案为：； 小问2详解】 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的有3种， ∴小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的概率为：． 18. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 【答案】1m 【解析】 【分析】根据场地的原长与宽，设小路的宽度为xm，得到草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x），由题意列出方程即可． 【详解】设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）． 根据题意即可得出方程为： （16﹣2x）（9﹣x）＝112， 解得x1＝1，x2＝16． ∵16＞9， ∴x＝16不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：小路的宽为1m． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清草坪的总长与总宽时关键． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形．（保留作图痕迹） （1）如图1，在中，______； （2）如图2，在边上取一点，使得； （3）如图3，在边上找一点，使得． 【答案】（1）1 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查作图的应用与设计作图、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可得，，，则； （2）取的中点D，结合三角函数的定义，点D即为所求； （3）取格点M，N使，， ，连接交于点E，得，则，进而可得，即点E即所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理得： ，， ， ， ． 故答案为：1； 【小问2详解】 由（1）知：，， 如图，取的中点D，连接， 则， 则点D即为所求； 【小问3详解】 取格点M，N使，， ， 连接交于点E， 则， ， ，， ， 则点E即为所求． 20. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，路程与速度和时间的关系，是解题关键． （1）过B点作于C，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的值，结合山高即可求出的值； （2）在中，求得的长，再计算段和段所用时间和即得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过B点作于C， 则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要． 21. 在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． （1）求证：； （2）若，则的值为 ； （3）若，则的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）由折叠的性质得出，，，由勾股定理求出，设，则，，由相似三角的性质得出，可求出的长，则可得出答案； （3）设，则，由折叠知，，，由相似三角形的性质得出，，则可得出方程求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， 由翻折可知，， ，， ， ． 【小问2详解】 解：把沿翻折，使点恰好落在边上的点处， ，，， 四边形是矩形， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得． ， ， 故答案：； 【小问3详解】 解：设，则， 由折叠知，，， ， ， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点，点P是直线（不与点A，B重合）上一个动点，过点P作和的垂线，垂足分别为C、D，连接，设点P的横坐标为m． （1）求一次函数解析式； （2）当，矩形的面积为1时，求此时点P坐标； （3）点P在运动过程中，当与相似时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与几何图形的应用等知识点，相似三角形的判定与性质等知识，根据点的坐标，用绝对值表示出，的长度是解题的关键，同时渗透了分类讨论思想， (1)将点、代入，解方程组即可； (2)根据点在第一象限知，，解方程可得的值； (3)首先可知，分两种情形和，根据对应边成比例，从而解决问题． 【小问1详解】 解：将点、代入得， ， ， 一次函数解析式； 【小问2详解】 解：由(1)可知， 点的横坐标为， ， ， 或， 或； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 与相似且， 可分两种情况： ①当时， ， ，解得， ∴， ②时， ， ， 解得或， ∴或， 或或． 24. 如图，在中，，点为边的中点，连接，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．作点关于直线的对称点．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为_______； （2）当把的面积分为两部分时，求的值； （3）当点在内部时，求的取值范围； （4）当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，设，则，进而勾股定理求得，即可得出的长； （2）分当在上时，当在上时，分别画出图形，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （3）分当在上时，当在上时，分别画出图形，求得的值，根据的轨迹是以为圆心为半径的圆，进而判断的取值范围； （4）由（2）可得当是的中点时，，则；当在上时，同理得出时符合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点为边的中点， ∴， ∵ 设，则， ∴，, ∴ ∴， 【小问2详解】 解：∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∵ ∴，则， 当在上时，把的面积分为两部分时，则 依题意，，， ∴，即 解得：； 当在上时，，则， 同理可得 解得： 综上所述，当把的面积分为两部分时，或 【小问3详解】 解：如图所示，当在上时， ∵，关于对称， ∴， 又∵， ∴，解得：； 当在上时，如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵关于对称， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即 ∵， ∴的轨迹是以为圆心为半径的圆， ∴当在内部时， 【小问4详解】 由（2）可得当是的中点时， ∴ ∵关于对称， ∴，此时， 当在上时，如图所示， ∵， 则 ∴， 同理可得， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， 解得： 综上所述，当时，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $