1.3 二次函数的性质&专题特训1 二次函数的最值问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

10.(1)因为抛物线y=一x2+2x+c与y轴正半轴交于 点B,所以B(0,c).所以OB=c.因为OA=OB,所以 A(c,0).因为抛物线y=一x2+2x+c经过点A,所以 0=一c2+2c十c,解得c=3或c=0(舍去).所以抛物线对 应的函数表达式为y=一x2十2x+3.因为y=一x2+ 2x+3=-(x一1)2+4，所以顶点G的坐标为(1,4). (2)因为y=一x2十2x+3=一(x一1)2十4，所以抛物线的 对称轴为直线x=1.因为M,N为抛物线上两点（点M在 点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位和5个 单位，所以易得点M的坐标为（一2，一5）或(4，一5)，点N 的坐标为(6，一21).因为Q为抛物线上点M,N之间（含点 M,N)的一个动点，所以当M(-2,-5),N(6,-21)时， -21≤y%≤4；当M(4,-5),N(6,-21)时，-21≤o≤-5. 1.3二次函数的性质 1.B二次函数y=x2一2x十3=(x一1)2+2，图象的对 称轴为直线x=1,故A错误.顶点坐标为(1,2)，a>0,图 象开口向上，最小值为2，故B正确.在对称轴的左侧，即当 x<1时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，即当x>1 时，y随x的增大而增大，故CD错误 2.-1因为二次函数y=2x2-mx十5，当x<-2时，y 随x的增大而减小；当x>一2时，y随x的增大而增大， 所以图象的对称轴为直线-一2，即一X-一2：解得 m=一8.所以二次函数为y=2x2十8x十5.当x=一1时， y=2-8+5=-1. 3.减小因为a2≥0，所以a2十1≥1.所以抛物线开口向 上.因为a2十1>a2≥0，所以对称轴为直线x= a2 1 a2 20a+D,且-2<2a+1)<0.所以当x<-1时， y随x的增大而减小 4一4由图，得一会-一 2 =一1，解得b=2.因为图 象经过点（一3,0），所以0=（一3）2一3X2十c,解得c 一3.所以二次函数的表达式为y=x2十2x一3，则二次函 数的最小值为4如c-_4X1×(-3)-2: =一4 Aa 4×1 5.(①由题意，得抛物线经过点c2,）A(8,0.所以 3 4a十2b=1'解得 9 a=- 16 所以该抛物线对应的函数 64a+8b=0, b2 3 2+3 3 表达式为y=一 16 .(2)因为y=一62+ 3 ?x=一36（x一4)2+3，所以当x=4时，y取得最大值3. 所以蔬菜大棚离地面的最大高度是3m(3)由题意，得 当y=1.5时，DE的宽度取得最大值，所以令一是十 之=1.5，解得x=4+2,=4-2E.所以DE=4计 2√2-(4-2√2)=42(m).所以横梁DE的宽度最大是 4√2m. 6B抛物线)一+a:十3的对称相为直线x=一兰 一2.故①正确.当x=0时，y=3,所以点(0,3)在抛物线 上.故②正确.当a>0时，若x1>x2>一2，则y1>y2;当 a<0时，若x1>x2>-2,则y1<y2.故③错误.当y,=y2 时，点P,(x1y1),P2（x2,y2)关于直线x=一2对称，所 以x1十x2=一4.故④错误.综上所述，正确的有2个. 7.C令-x2+2x十3=x十1，解得x1=-1,x2=2,所 以y= /-x2+2x+3x<-1或x>2》如图，在同-平面 {x+1(-1x2). 直角坐标系中分别画出函数y=一x2十2x十3和y=x十1 的图象，则图中实线部分即为函数y=min{-x2+2x+3, x十1}的图象.根据图象可知，当x=2时，y的最大值为3. 5 4 3 54-3-210 1 =3 =5 (第7题) 8.x>一2因为点A(一7，y1),B(3,yz)均在抛物线y= a.x2+bx十c(a≠0)上，一7<3，C(x,yn)是该抛物线的顶 点，y1>y2≥yo,所以a>0,49a-7b+c>9a+3b十c.所 以6<如，所以会<2所以一会>-2所以， -b>-2. 2a 9.(1)因为y=-x2+2m.x-m2+3m+1=-(x-m)2+ 3m+1,所以抛物线y=-x2+2mx一m2+3m+1的顶点 坐标为(m,3m十1).因为抛物线的顶点在第二象限，所以 m<0, 3m+1>0 解得一弓<m<0,所以m的取值范国是 一3<m<0.(2)因为当-2≤x≤1时，y先随x的增 1 大而增大，后随x的增大而减小，且抛物线的对称轴为直 线x=m,所以-2<m<1.当x=一2时，y=一m2一m一 3;当x=1时，y=一m2+5m.因为仅当x=1时y有最小 值，所以-m2+5m<-m2-m-3,解得m<-.所以 -2<m<一是因为m为整数，所以m=-1 一微专题·二次函数函数值大小比较的方法 1.B因为A(-4,y1),B(-3,y2),C(2,y3)为二次函 数y=x2十4x-5的图象上的三点，所以y1=(一4)2+ 4×(-4)-5=-5,y2=(-3)2+4×(-3)-5=-8, y3=2+4×2-5=7.所以y2<y1<y3: 2.C二次函数y=-2x2-8x十m图象的对称轴为 -8 直线x=一2×（二2-2，点(0，y)关于直线x=-2 的对称点（一4，y1)在抛物线上.因为一2<0，所以抛物 线的开口向下，当x<一2时，y随x的增大而增大.因 为（一4，y1),(一2，y2),(一3，y3)都是抛物线上的点， 且-4<-3<-2，所以y2>y>y1. 3.B因为点A(1n),B(3,n)在二次函数的图象上，所 以二次函数的图象的对称轴为直线工=3-2因为 a>0,所以二次函数的图象开口向上，距离对称轴越近 的点的纵坐标的值越小.因为点C(一1，y1)到直线x=2 的距离为3，点D(0,y2)到直线x=2的距离为2，点 E(6,y3)到直线x=2的距离为4，所以y2<y1<ya· 4.D因为y=一x2一mx十4，所以抛物线的对称轴为 直线x=-受因为5<m<6,所以0<-m十6<1， -3<一罗<-号，则点A(一3，)在对称轴左侧，点 B(一m+6:)在对称轴右侧.因为0<-空-（一3）< 3<-m+6-(受)<号，所以点A离对称轴更 1 近.又因为抛物线的开口向下，距离对称轴越远的点的 纵坐标的值越小，所以y2<y1.当x=0时，y=4,所以 点0,40在范物线上因为号<0-（一罗）<3，所以点 (0,4)比点A离抛物线的对称轴远，比，点B离抛物线的 对称轴近.所以y2<4<y1. 5.(1)因为对于x1=3,x2=4,有y1=y2,所以抛物线 的对称轴为直线：=士产一子因为地物线的对称抽 2 为直线x=t,所以t=2: 7 (2)因为2<x1<3,3< <4,所以<士产<号<又因为<， 2 a>0,所以点(x1,y1)离对称轴更近，则点(x1,y1)与 (2y)连线的中点在对称轴的右侧.所以十2>. 2 所≤多 专题特训一二次函数的最值问题 1.B由题意，得y=(x+1)★2=(x+1)[(x+1)+2X 2]-3=(x+1)(x+5)-3=x2+6x+2=(x+3)2-7.因 为1>0，所以二次函数的图象开口向上.所以当x=一3 时，y有最小值一7. 2.B因为M,N两点关于y轴对称，点M的坐标为(a, b),所以点N的坐标为（一a,b).又因为点M在函数y= 的图象上，点N在函数y=x十3的图象上，所以 b2a' 1 整理，得 ab=2'所以函数y=一abr2+ b=-a+3, a+b=3. (a+b)x=- 号+3x,因为-号0所以二次函数有录 大值，最大值 一3 9 4x(-) 2 3.C因为函数y=一2x2+bx十c的图象经过点（一1,1） -2-b十c=1, 和（一3，一7），所以 b=一4·所 解得{ 1-18-3b+c=-7, c=-1 以y=-2x2-4x-1=-2(x+1)2+1.因为-2<0， 一3x0,一3一（一1）1>|0一（一1）|，所以当x=一1 时，y取得最大值1；当x=一3时，y取得最小值-7.所以 函数的最大值与最小值之和是1+（一7）=一6. 4.2关于x的二次函数y=ax2一4ax+3a2-6图象的 对称轴为直线x=-,-2.因为当x<0时，y随x的 2a 增大而减小，所以二次函数的图象开口向上，α>0.因为 当-1≤x≤3时，y有最大值16，且|-1-2>|3一2，所 以当x=-1时，y=16,则a+4a十3a2-6=16,解得a= 号<0（不合题意：合去或a=2所以a的值为2 5.B二次函数y=ax2一6ax十9a十5图象的对称轴为直 线x= 60=3.因为a<0,所以二次函数的图象开口向 2a 下.若0<m<3,则-3<m-3<0.所以0<3-m<3, 即m一3<|6-3.因为m≤x≤6，所以当x=3时，函数 有最大值，最大值为9a一18a十9a十5=5；当x=6时，函 数有最小值，最小值为36a-36a+9a+5=9a+5.故B符 合题意. 6.3因为y=x2一2x+2=(x-1)2+1,所以当x=1 时，y取得最小值1；当x<1时，y随x的增大而减小；当 x>1时，y随x的增大而增大.当x=0时，y=2;当x=t 时，y=t2一2t十2；当x=2时，y=2.因为0≤x≤t,所以可 分以下情形分析：①当0<t<1时，M=2,N=t-2t+2, 因为M=5N,所以2=5(t2一2t+2),此方程无解.②当 1≤t≤2时，M=2,N=1,此时不满足M=5N,不符合题 D7 意.③当t>2时，M=t2-2t+2,N=1,因为M=5N,所 以t2一2t十2=5，解得t=3或t=一1（舍去）.综上所述，t 的值为3. 7.-1或-2因为y=x2十2ax=(x十a)2-a2,所以二 次函数图象的对称轴为直线x=一a,开口向上.①若 一a<0,即a>0,则当x=0时，m=0;当x=3时，M=9+ 6a.因为M-m=4,所以9+6a-0=4,解得a=-6(舍 去).②若0≤-a≤1.5，即-1.5≤a≤0，则当x=一a时， m=-a2;当x=3时，M=9+6a.因为M一m=4,所以 9+6a十a2=4,解得a=-1或a=-5(舍去).③若 1.5<一a3,即一3a<一1.5，则当x=一a时，m= -a2;当x=0时，M=0.因为M-m=4,所以0一 (一a2)=4,解得a=一2或a=2(舍去).④若一a>3,即 a<一3，则当x=3时，m=9十6a;当x=0时，M=0.因为 M-m=4,所以0一(0十a)=4,解得a=-吕（舍去.综 上所述，a的值是-1或-2. 8.因为y=x+2nx+4m2=(x十m)2+3m,所以二次 函数图象的对称轴是直线x=一，且开口向上.①当 2m>一m,即m>0时，因为2mx2m十3，y的最小值 为9，所以当x=2m时，y=9.所以4m2+4m2+4m2=9, 解得侧号或则-一号（合去，此时二次西数的求达式 为y=x2十3x十3.②当2m≤-m≤2m十3，即-1≤ m≤0时，因为2m≤x≤2m十3，y的最小值为9，所以当 x=一m时，y=9.所以m2-2m2+4m2=9,解得m= 士√3（都不符合题意，舍去）.③当2m十3<一m,即m< 一1时，因为2mx2m十3，y的最小值为9，所以当x= 2m+3时，y=9.所以(2m+3)2+2m(2m+3)+4m2=9, 解得m=0(舍去)或m=一1.5.此时二次函数的表达式为 y=x2-3十9.综上所述，二次函数的表达式为y=x2十 W3x+3或y=x2-3x十9. 1.4二次函数与一元二次方程的关系 1.C二次函数y=a.x2-2a.x十c图象的对称轴为直线 一24=1，因为二次函数的图象与x轴的一个交点的 x=-2a 横坐标在-0.5和一0.4之间，且2-(-0.5)=2.5,2一 (一0.4)=2.4，所以二次函数的图象与x轴的另一个交点 的横坐标在2.4和2.5之间.所以关于x的方程ax2一 2a.x十c=0的较大的根的取值范围是2.4<x<2.5. 2112530将w=30代入A=7wt-52,得力= 2×30r-502=-5+1501=-54-15)2+1125.因 为一5<0，所以当t=15,即当飞行15s时，炮弹飞行的最 0 大高度为1125m.令h=0,则-5t2+150t=0,解得t=0 (舍去)或t=30.所以该炮弹在空中飞行了30s后落到地 面上 3.(1)因为抛物线y=ax2十bx十c经过点A(一3,0)， B(1,0),所以不妨设抛物线对应的函数表达式为y= a(x十3)(x-1).因为抛物线经过点C(0,3),所以3= a(0+3)(0一1)，解得a=一1.所以抛物线对应的函数表达 式为y=-(x+3)(x-1),即y=-x2-2x十3.(2)因 为抛物线y=a.x2+bx十c与x轴交于点A(-3,0),B(1, 0,所以抛物线的对称轴为直线=一-1.国为点 D与，点C(0,3)关于抛物线的对称轴对称，所以点D的坐 标为(-2,3).由题图，得关于x的不等式ax2+bx十c> mx十n的解集为一2x<1. 4.B因为x1,x2是一元二次方程ax2十bx十c=0的两 个根，所以x1,x2是抛物线y=ax2十b十c与x轴交点的 横坐标.因为抛物线的对称轴为直线x=2,所以工十2？= 2 2,即x1十x2=4>0.故A错误.因为一1<x1<0,所以 一1<4一x2<0,解得4<x2<5.故B正确.因为抛物线与 x轴有两个交点，所以b2一4ac>0.故C错误.因为抛物线 开口向下，所以a<0.因为抛物线的对称轴为直线x=2, 所以-品=2.所以6=-4a>Q.所以ab<0故D错误 5.B二次函数y=mx2-(2m-1)x-2(m≠0)图象的对 称轴为直线上=-一2卫-1一当m<0时，图象 2m 开口向下，1一动>1，所以当≤1时，)魔x的增大国塔 大.故甲正确设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为 x1,x2,即关于x的方程mx2一(2m一1)x一2=0的两个 根为1所以，+-2，=-名由题音， 得|x1-x2|=3,所以(x1一x2)2=9,即(x1十x2)2一 4:=9所以()'+及=9.化简并整想，得5m- m 4m一1=0.解得m=1或m=一5，经检验，m=1或 n=一}均符合题意故乙正确， 6.一5<t≤4关于x的一元二次方程-x2十mx一t=0 的解就是抛物线y=一x2十mx与直线y=t的交点的横 17 坐标因为抛物线的对称轴为直线x=一2×《-一2，所 以m=4.所以y=-x2+4x.当x=1时，y=3;当x=2 时，y=4;当x=5时，y=一5.如图，若关于x的一元二次 方程一x2十mx-一t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有 解，则直线y=t在直线y=一5和直线y=4之间且包括 8第1章二次函数 1.3二次函数的性质 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基。 1.下列关于二次函数y=x2一2x十3的说法，正确的是 () A.图象的对称轴为直线x=2 B.函数的最小值为2 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.当x<2时，y随x的增大而减小 2.已知二次函数y=2x2一mx十5，当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>一2时，y随x的增 大而增大.当x=一1时，y的值是 3.已知函数y=(a2+1)x2十a2x+1,则当x<-1时，y随x的增大而 对称轴Y 4.如图所示为二次函数y=x2十bx十c的图象，则该函数的最小值是 -3 -10 5.舒青境生活实际有一个抛物线形的蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直 角坐标系中，抛物线对应的函数表达式可以用y=α.x2十bx来表示.已知大棚在 地面上的宽度OA为8m,距离点O2m处的棚高0为}m (第4题) (1)求该抛物线对应的函数表达式， (2)求蔬菜大棚离地面的最大高度， (3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5m,则横梁DE的宽度最大是多少米？ y/mt 0 B A x/m (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.已知P1(x1y1),P2(x2y2)是抛物线y=a.x2十4a.x十3(a是常数，且a≠0)上的点，现有下列 结论：①该抛物线的对称轴是直线x=一2；②点(0,3)在抛物线上；③若x1>x2>一2，则y1> y2;④若y1=y2,则x1十x2=一2.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 a(asb), 7.舒考回新定义题[2025雅安中考]我们规定min{a,b}= 如min{1,3}=1,min{3,-4}= b(a-b), 一4.如果y=min{-x2+2x+3,x+1},那么y的最大值是 () A.0 B.1 C.3 D.4 9 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 8.已知点A(一7，y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)上，C(xo,yo)是该抛物线的顶 点.若y1>y2≥y。,则xo的取值范围是 9.已知抛物线y=-x2+2mx一m2+3m十1(m为常数). (1)当抛物线的顶点在第二象限时，求m的取值范围. (2)当一2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且仅当x=1时y有最小 值，求整数m的值， 微专题·二次函数函数值大小比较的方法 1.[代数法]若A(一4，y1),B(一3，y2),C(2,y3)为二次函数y=x2+4x一5的图象上的三点，则 y1y2,y3的大小关系是 ( A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<yy2 D.y1<y3<y2 2.[对称法][2025杭州上城期未]若(0，y1),(-2,y2),(-3,y3)是二次函数y=一2x2一8x十m 图象上的点，则y1y2y3的大小关系为 A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1 3.[距离法]已知二次函数y=a.x2+bx十c(a>0)的图象过点A(1,n),B(3,n).若点C(-1, y1),D(0,y2),E(6,y3)也在该二次函数的图象上，则下列结论中，正确的是 ( A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<yy2 D.y1<y3<y2 4.[距离法]已知点A(一3，y1),B(一m十6，y2)在抛物线y=-x2-m,x+4上.若5<m<6,则下 列判断中，正确的是 () A.y1<y2<4 B.y2<y1<4 C.y1<4<y2 D.y2<4<y1 5.[中点法]在平面直角坐标系中，M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx十c(a>0)上的任 意两点，设该抛物线的对称轴为直线x=t. (1)若对于x1=3,x2=4,有y1=y2,求t的值. (2)若对于2<x1<3,3<x2<4,都有y1<y2,求t的取值范围. 10 >“答案与解析”见D6 第1章二次函数 专题特训一二次函数的最值问题 类型一定轴不定范围 1.定义运算a★b=a(a十2b)-3,例如4★3=4×(4+2×3)-3，则函数y=(x十1)★2的最小 值为 () A.-3 B.-7 C.-9 D.-21 2已知M,N两点关于y轴对称，且点M在函数y=的图象上，点N在函数y=x+3的图象 上.设点M的坐标为(a,b),则函数y=一abx2十(a+b)x () A.有最大值3 B有最大值号 C有最小值号 D.有最小值3 类型二定轴定范围 3.若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（一1,1）和(-3，一7)，则当-3≤x≤0时，函数的最大 值与最小值之和是 () A.0 B.-3 C.-6 D.-8 4.已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+3a2一6，当x<0时，y随x的增大而减小，且当-1≤ x≤3时，y有最大值16，则a的值为 类型三定轴动范围 5.[2025金华义乌模拟]已知关于x的二次函数y=ax2-6a.x十9a+5(a<0),且m≤x≤6.若0 m<3,则 () A.函数有最大值9a+5 B.函数有最大值5 C.函数没有最小值 D.函数没有最大值 6.分类讨论思想已知二次函数y=x2一2x十2，当0≤x≤t时，函数的最大值为M,最小值为N.若 M=5N,则t的值为 类型四动轴定范围 7.分类讨论思想当0≤x≤3时，二次函数y=x2+2ax的最大值是M,最小值是m.若M-m=4,则 a的值是 类型五动轴动范围 8.分类讨论思想已知二次函数y=x2十2m.x十4m2(m为常数)，当2m≤x≤2m十3时，y的最小值 为9，求二次函数的表达式。 “答案与解析”见D7