专题13 相似多边形与图形的位似 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题13相似多边形与图形的位似期中复习讲义 知识点 01 相似多边形定义 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 ⚠️两个条件缺一不可： ① 所有对应角相等；② 所有对应边对应成比例。 ✅举例：正方形与正方形相似；正五边形与正五边形相似。 ❌反例：矩形与矩形不一定相似（边不一定成比例）；菱形与菱形不一定相似（角不一定相等）。 书写规范：对应顶点按照顺序书写，如四边形ABCD四边形A'B'C'D'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别： 若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 知识点 04 位似图形定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个公共点叫做位似中心。 ⚠️核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 1.位似三要素 两个图形相似； 对应顶点连线交于同一点（位似中心）； 对应边互相平行（或共线）。 2.位似与相似的关系 知识点 05 位似图形的性质 1.位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形一切性质； 2.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）； 3.对应线段互相平行（或在同一直线上）； 4.对应角相等。 知识点 06 位似作图标准步骤 1.确定位似中心； 2.在原图上选取若干关键点； 3.分别连接位似中心与各关键点，并延长（或截取）； 4.根据给定位似比，在射线上截取对应点； 5.顺次连接得到的各对应点，得到位似图形。 知识点 07 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 1、相似多边形判定条件遗漏 易错提醒：判定多边形相似，必须同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可，只满足其中一个条件不能判定相似。 2、相似比前后顺序颠倒 易错提醒：相似比有方向性，必须是前一个图形边长比后一个图形边长，顺序颠倒，比值互为倒数，做题必须看清顺序。 3、周长比、面积比公式混用 易错提醒：相似图形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；已知面积比求相似比需要开平方，不可直接套用。 4、混淆相似与位似的关系 易错提醒：位似图形一定相似，相似图形不一定位似；位似图形额外要求对应顶点连线交于同一点。 5、位似图形只画一种情况漏解 易错提醒：同一位似中心、同一缩放比例，存在同向、反向两种位似图形，无说明时需要全部考虑。 6、位似坐标变换漏掉负值情况 易错提醒：以原点为位似中心缩放，坐标变化有正负两种情况，正向放大缩小、反向放大缩小都存在，极易漏解。 7、错误认为位似中心只能在图形外侧 易错提醒：位似中心可在图形外部、边上、内部或两图形之间，位置不唯一。 8、位似比与相似比概念混淆 易错提醒：位似比特指新图形与原图形的相似比，必须以原图为参照标准，不可颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★ 题型二 相似图形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★★ 题型六 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型七 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型八 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型九 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型十 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型十一 在坐标系中画位似图形 ★★ 题型十二 在坐标系中画位似中心 ★★ 题型十三 坐标与图形综合 ★★★ 题型十四 相似三角形的综合问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 相似多边形 1．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 2．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 【详解】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 3．下列各组中的两个图形一定相似的有（　　） （1）两个等腰三角形；    （2）两个直角三角形；    （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形；    （5）两个矩形；            （6）两个菱形； （7）两个正方形；        （8）两个等腰梯形；        （9）两个圆． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】根据相似三角形及多边形的判定依次判断即可 【详解】解：（1）两个等腰三角形不能确定其每个内角的度数，所以不一定相似； （2）两个直角三角形只有一个相同的角是直角，其他两个角都不确定，所以不一定相似； （3）两个等腰直角三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似； （4）两个等边三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似； （5）两个矩形四个角都为90度，但是对应边不一定成比例，所以不一定相似； （6）两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似； （7）两个正方形对应边成比例，对应角一定相等，所以一定相似； （8）两个等腰梯形对应边和对应角都不确定，所以不一定相似； （9）两个圆一定相似； ∴相似的是（3）（4）（7）（9）， 故选：B 【点睛】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应． 题型二 相似图形 4．下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的概念，两个图形相似需对应角相等且对应边成比例． 圆、等边三角形和正方形都一定满足，而菱形角不一定相等，故不一定相似． 【详解】解：A、两个圆形状相同，一定相似，故选项不符合题意； B、两个等边三角形，角均为，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； C、两个正方形，角均为，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； D、两个菱形对应角不一定相等（如一个为正方形，一个为一般菱形），不一定相似，故选项符合题意． 故选：D． 5．已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是____________，____________，____________． 【答案】 【分析】根据相似三角形三边对应成比例，将原三角形三边同时乘同一个不为1的正实数，即可得到符合要求的边长． 【详解】解：∵要新三角形与原三角形相似， ∴新三边与原三边对应成比例． ∴可以取相似比为， ∵原三角形三边长从小到大依次为，，， ∴新三边依次为：，，． 6．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 题型三 相似多边形的性质 7．如图，四边形四边形，则（    ） A．10 B．12.5 C．20 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 故选：C． 8．如图，一张矩形绸布的长，宽按照图中方式将它裁成相同的五面矩形彩旗．如果裁出的矩形矩形，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．两个矩形相似则两矩形的长宽之比相等，据此判断即可． 【详解】解：裁出的矩形矩形， 矩形与矩形的宽与长的比相同， ， 解得或）（舍）， 故答案为：． 9．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】如果与它形状一样且比它大，所以宽变成3张，长变成张，一共使用了18张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最多，由此得出答案即可． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的3倍， ∴需要正方形的纸片是（张）． 题型四 位似图形的识别 10．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 11．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 12．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 题型五 判断位似中心 13．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 14．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 15．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 题型六 位似图形相关概念辨析 16．如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 【答案】一定 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，即可解题． 【详解】解：矩形与矩形关于点O位似， 点O、B与点一定共线， 故答案为：一定． 17．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 18．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似的性质可得，，则，再根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为， 故选：A． 题型七 求两个位似图形的相似比 19．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果. 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，其中， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比是. 20．五边形位似于五边形，它们的面积比为，已知位似中心O到A点的距离为6，那么O到的距离为__________． 【答案】9 【分析】此题考查了位似的性质．先求出相似比为，再根据位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：∵五边形位似于五边形，它们的面积比为， ∴它们的相似比为， ∵位似中心O到A的距离为6， ∴O到的距离是， 故答案为：9． 21．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 题型八 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 22．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【答案】 位似中心 位似中心 相似比 【解析】略 23．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 【答案】C 【分析】结合题意，根据位似图形的性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，连接AO并延长于点G 根据题意，得： 以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的 当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D 当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G 故选：C． 【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，从而完成求解． 24．如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求得、、的坐标，画出图形，根据求线段中点的坐标公式，即可求得． 【详解】解：、、，将向左平移4个单位，得到， 、、， 如图： 以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内， 的坐标为，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移和位似作图，熟练掌握和运用平移和位似作图的方法是解决本题的关键． 题型九 求位似图形的对应坐标 25．如图，在平面直角坐标系中，与是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，则点D的横坐标为（    ） A．1 B．4 C．8 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念和相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，再由、，得、，可根据相似三角形的性质得到答案． 【详解】解：如图，过点A作轴于点M，过点D作轴于点N，则， ∵与是以O为位似中心的位似图形， ∴，，且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D点横坐标为8． 故选：C． 26．如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 【答案】 【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出B、C间的横坐标的长度，、C间的横坐标的长度，再根据位似比列式计算即可得解． 【详解】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为，、C间的横坐标的长度为， ∵与的位似比为， ∴， 解得：． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的性质，解题的关键是明确位似中心为原点时，对应点坐标的变化规律． 已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，则位似比为或当位似比为时,的坐标为；当位似比为时,的坐标为 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小为原来的， ∴位似比为或． ∵点的坐标为， ∴当位似比为时,的坐标为； 当位似比为时,的坐标为． ∴点的对应点的坐标为或． 故选：． 题型十 在坐标系中求两个位似图形的比值 28．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， 的面积与的面积之比为， 故选：D． 29．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：点，对应点，位似中心为点， ，， 与是位似图形， ， 与的相似比为， 的面积与的面积之比为． 30．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可得到，，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵以点C为位似中心，作的位似图形， ∴， ∴，， ∴与平行， ∴， ∴， ∵，点与原点O重合， ∴， ∴． 题型十一 在坐标系中画位似图形 31．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 32．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 33．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 题型十二 在坐标系中画位似中心 34．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点G，确定位似中心，然后求出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为． 35．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解： 由位似图形的概念可知：与的位似中心是直线与直线的交点， 位似中心的坐标为． 故答案为： 36．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接交于，根据坐标系求出点的坐标，再根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接交于，则点为位似中心， 设的解析式为：，将，， 代入可得：，解得：， ∴的解析式为：， 当时， ∴点的坐标为， 则位似中心的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．还考查了待定系数法求一次函数解析式． 题型十三 坐标与图形综合 37．已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于y轴的直线上点的坐标特征及两点间距离的计算． 利用平行于y轴的直线上点的横坐标相等求出m的值，再通过纵坐标差的绝对值计算线段长度． 【详解】解：∵直线轴 ∴点P与点Q的横坐标相等 ∵点P横坐标为，点Q横坐标为6 ∴ 解得 将代入，得点P的纵坐标为，即 ∴线段的长为 故选：C． 38．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 39．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】考查知识点平面直角坐标系中点的坐标特征、翻折的性质、勾股定理、两点间距离公式． 首先由轴、得；由得．再翻折后，．最后设，用两点间距离公式列方程和，联立解得． 【详解】轴，，∴ C 点坐标为． 由为直角三角形，，可得轴，得． ，， 设，由得， 由得． 由①得， 由②得， 得，故， 将代入①，得 解得或（舍去） 即点 D 的纵坐标为． 故答案为：． 题型十四 相似三角形的综合问题 40．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 【答案】C 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点为位似中心， 且 又 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 41．如图，已知，若，，则_____. 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 42．如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 【答案】A 【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD，利用相似三角形的性质得出OD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD， ∵∆CBD，∆AOB都是等腰直角三角形， ∴，，∠ABO=∠CBD=45°， ∴，∠ABC=∠OBD， ∴∆ABC~∆OBD， ∴， ∴， ∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB， ∴OA=OB=， ∵AD≤OA+OD， ∴AD≤， AD2≤98， 故选：A． 【点睛】题目主要考查旋转变换，相似三角形的判定和性质，作出相应辅助线，构造相似三角形及确定点D的运动轨迹是解题关键． 解答题 1．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． （1）根据相似多边形的性质得到，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）根据相似多边形对应边成比例可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比是． 【答案】解：如图所示即为所作， 【分析】由于所给网格有限，所以只画出与原图形在原点同侧的情况．将四边形各顶点的横、纵坐标同时乘以，得到对应点坐标，，，，在平面直角坐标系中描出这四个点，顺次连接，所得四边形即为符合要求的位似图形． 【详解】略 3．如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】(1) 如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； (2) 当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【答案】(1)不是； (2) 【分析】（1）求出两个长方形的长宽之比，即可判断． （2）利用位似图形的性质，推出两个长方形的边长之比，即可解答． 【详解】（1）解：外部大长方形的长和宽之比为， 中空的长方形铁板的长，宽， 中空的长方形长和宽之比为， ， 大、小两个长方形不是位似图形； （2）解：中空的长方形铁板的长，宽， 当大、小两个长方形是位似图形时， 可得， 整理可得， 所以当m和的比值是时，大、小两个长方形是位似图形． 5．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 【答案】(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）位似图形对应顶点连线交于位似中心，直线与交点即为位似中心； （2）按照位似放大倍数延长得到对应点； （3）先求对应边长得到位似比为，根据位似图形面积比等于位似比的平方，得到面积比值为． 【详解】（1）解：如图， 与交于点， 位似中心是点； （2）略 （3）解：，，，， ，， ， ． 6．如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 【答案】(1)等腰梯形；，理由见解析 (2)的大小不变， (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合正方形的性质得到，即可得解；连接，根据正方形的性质证明，得到，由垂直平分线的性质得到，等量代换即可得证； （2）连接，，证明，得到，由垂直平分线的性质证明，得到，等边对等角结合邻补角的定义证明，再由四边形内角和定理得到，得到是等腰直角三角形，即可得证； （3）由勾股定理依次求解，的长，证明，得到，的长，过点作交于，设，则，，在中，利用勾股定理解直角三角形可求得，的长，证明，即可求得的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ，即， ， ， ， 四边形的形状是等腰梯形； ，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）解：的大小不变，； 如图，连接，， 由正方形的对称性可知，点、关于对称， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：，， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， 如图，过点作交于，交于N，则，， ， 设，则，， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ，， ， ， ，即， 解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13相似多边形与图形的位似期中复习讲义 知识点 01 相似多边形定义 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 ⚠️两个条件缺一不可： ① 所有对应角相等；② 所有对应边对应成比例。 ✅举例：正方形与正方形相似；正五边形与正五边形相似。 ❌反例：矩形与矩形不一定相似（边不一定成比例）；菱形与菱形不一定相似（角不一定相等）。 书写规范：对应顶点按照顺序书写，如四边形ABCD四边形A'B'C'D'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别： 若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 知识点 04 位似图形定义 如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个公共点叫做位似中心。 ⚠️核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 1.位似三要素 两个图形相似； 对应顶点连线交于同一点（位似中心）； 对应边互相平行（或共线）。 2.位似与相似的关系 知识点 05 位似图形的性质 1.位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形一切性质； 2.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）； 3.对应线段互相平行（或在同一直线上）； 4.对应角相等。 知识点 06 位似作图标准步骤 1.确定位似中心； 2.在原图上选取若干关键点； 3.分别连接位似中心与各关键点，并延长（或截取）； 4.根据给定位似比，在射线上截取对应点； 5.顺次连接得到的各对应点，得到位似图形。 知识点 07 平面直角坐标系中的位似变换 1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0)。 2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 1、相似多边形判定条件遗漏 易错提醒：判定多边形相似，必须同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可，只满足其中一个条件不能判定相似。 2、相似比前后顺序颠倒 易错提醒：相似比有方向性，必须是前一个图形边长比后一个图形边长，顺序颠倒，比值互为倒数，做题必须看清顺序。 3、周长比、面积比公式混用 易错提醒：相似图形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；已知面积比求相似比需要开平方，不可直接套用。 4、混淆相似与位似的关系 易错提醒：位似图形一定相似，相似图形不一定位似；位似图形额外要求对应顶点连线交于同一点。 5、位似图形只画一种情况漏解 易错提醒：同一位似中心、同一缩放比例，存在同向、反向两种位似图形，无说明时需要全部考虑。 6、位似坐标变换漏掉负值情况 易错提醒：以原点为位似中心缩放，坐标变化有正负两种情况，正向放大缩小、反向放大缩小都存在，极易漏解。 7、错误认为位似中心只能在图形外侧 易错提醒：位似中心可在图形外部、边上、内部或两图形之间，位置不唯一。 8、位似比与相似比概念混淆 易错提醒：位似比特指新图形与原图形的相似比，必须以原图为参照标准，不可颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★ 题型二 相似图形 ★ 题型三 相似多边形的性质 ★★ 题型四 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★★ 题型六 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型七 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型八 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型九 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型十 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型十一 在坐标系中画位似图形 ★★ 题型十二 在坐标系中画位似中心 ★★ 题型十三 坐标与图形综合 ★★★ 题型十四 相似三角形的综合问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 相似多边形 1．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 2．将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组中的两个图形一定相似的有（　　） （1）两个等腰三角形；    （2）两个直角三角形；    （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形；    （5）两个矩形；            （6）两个菱形； （7）两个正方形；        （8）两个等腰梯形；        （9）两个圆． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 题型二 相似图形 4．下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 5．已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是____________，____________，____________． 6．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 题型三 相似多边形的性质 7．如图，四边形四边形，则（    ） A．10 B．12.5 C．20 D．50 8．如图，一张矩形绸布的长，宽按照图中方式将它裁成相同的五面矩形彩旗．如果裁出的矩形矩形，则的值等于___________． 9．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 题型四 位似图形的识别 10．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B．C． D． 11．如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 12．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 题型五 判断位似中心 13．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 14．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    15．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 题型六 位似图形相关概念辨析 16．如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 17．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为_________．    18．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 题型七 求两个位似图形的相似比 19．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 20．五边形位似于五边形，它们的面积比为，已知位似中心O到A点的距离为6，那么O到的距离为__________． 21．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 题型八 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 22．总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 23．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 24．如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型九 求位似图形的对应坐标 25．如图，在平面直角坐标系中，与是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，则点D的横坐标为（    ） A．1 B．4 C．8 D．18 26．如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 27．如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为(    ) A． B． C．或 D．或 题型十 在坐标系中求两个位似图形的比值 28．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 29．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 30．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 题型十一 在坐标系中画位似图形 31．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 32．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    33．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型十二 在坐标系中画位似中心 34．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为________． 36．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________． 题型十三 坐标与图形综合 37．已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 38．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 39．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为________． 题型十四 相似三角形的综合问题 40．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 41．如图，已知，若，，则_____. 42．如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 解答题 1．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比是． 3．如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 4．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 5．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 6．如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $