第2章·整式及其加减·期中复习·讲义 ·2026-2027学年华师大版七年级数学上册

第2章·整式及其加减·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解用字母表示数的意义，会列代数式表示简单的数量关系 · 掌握单项式、多项式、整式的有关概念，会确定系数与次数 · 熟练进行去括号、添括号与合并同类项，完成整式的加减运算 · 掌握化简求值与整体代入的方法，理解无关型问题的解题思路 · 会从数字与图形中探索规律，能用整式解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.列代数式与整式的有关概念 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或字母也是代数式 单项式：数与字母的积；数字因数是系数，所有字母指数的和是次数 多项式：几个单项式的和；每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数是多项式的次数 同类项：所含字母相同且相同字母指数也相同的项，合并时系数相加、字母及指数不变 概念辨析例题：指出单项式-x2y的系数与次数 答案：系数为-，次数为3 解析：系数包括前面的符号；次数是所有字母指数之和：2+1=3 ☆ 2.整式的加减运算 去括号：括号前是“+”号，去掉括号后各项不变号；括号前是“-”号，各项都变号 添括号：所添括号前是“+”号，括到括号里的各项不变号；是“-”号则各项都变号 整式加减：先去括号，再合并同类项，结果仍为整式 化简后若不含某个字母，则结果与该字母的取值无关（无关型问题） 概念辨析例题：化简：3(2a-b)-2(a-2b) 答案：4a+b 解析：去括号：6a-3b-2a+4b；合并同类项：(6-2)a+(-3+4)b=4a+b ☆ 3.化简求值与整体代入 直接代入：把字母的值直接代入化简后的式子计算 整体代入：不求字母的值，把已知式子看作整体代入求值 无关型问题：化简后令该字母的系数为0，求出参数 求值步骤：一化（化简）、二代（代入）、三算（计算） 概念辨析例题：已知a+b=3，求2(a+b)-3a-3b+5的值 答案：2 解析：原式=2(a+b)-3(a+b)+5=-(a+b)+5=-3+5=2 ☆ 4.规律探索与实际应用 数字规律：观察相邻项的差、比或乘方关系，用含n的式子表示第n个数 图形规律：数出图形个数，列表找增量，写出第n个图形的式子 实际应用：把实际问题中的数量关系用代数式表示，再列式计算 方案比较：分别列出不同方案的代数式，代入数值后比较大小 概念辨析例题：用火柴棒搭正方形：1个正方形用4根，2个用7根，3个用10根，搭n个正方形用多少根？ 答案：(3n+1)根 解析：每增加一个正方形增加3根：4=3×1+1，7=3×2+1，10=3×3+1，故为3n+1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 单项式 数与字母的积 系数含符号，次数=字母指数和 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项的次数 同类项 字母相同、指数相同 与系数无关，常数项都是同类项 去括号 负号括号各项变号 分配律逐项乘，不漏项 化简求值 先化简再代入 能整体代入不拆开 无关型问题 令字母系数为0 先化简再令系数为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字类规律探索（第1-10题） · 观察相邻项的差、比或乘方关系 · 用含n的代数式写出第n个数 · 代入前几项检验通项是否正确 1．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1.现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．2 C．0 D．5 3．（25-26七年级上·广西钦州·期末）数学老师根据图中的◯三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（    ）． A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》就是代表之作．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值为（   ） A． B．520 C．1326 D．19899 5．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，有和两种取法，即；当时，有，，，四种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为_____；若，则的值为_____． 7．（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，，，，________，…若分裂后，其中有一个奇数是125，则m的值是________． 8．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式：_____________________． （2）计算：___________． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是________． 10．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）一列数，，，，，其中，，，，，请通过一定的计算量找出规律后求出______． 【考点2】图形类规律探索（第11-19题） · 数出图形个数，列表找增量 · 分析图形结构的变化规律 · 用含n的式子表示第n个图形 11．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是一组有规律的图形，它们均由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2026个图形中涂有阴影的小正方形的个数是（    ） A．4046 B．6076 C．4049 D．6079 12．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第一幅图形中“●”的个数为，第二幅图形中的“●”个数为，第三幅图形中“●”的个数为，，以此类推，则（   ）（用的代数式表示，） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 14．（23-24六年级下·北京海淀·期中）十九世纪的时候，（1858）与（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列，从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，若位于第m层第n个数（从左往右数），则__________，__________． 15．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是________． 16．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为______． 17．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第次后，骰子朝下一面的点数是_________． 18．（2020七年级·山东·竞赛）在平面上有10条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成________部分． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）在同一平面内探索“直线相交时可以把平面最多分成多少个区域”的问题时，研究者发现k条直线分成的区域中三角形的个数存在某种规律，将条直线相交最多组成的三角形的个数记为，通过画图可得，当时，，则当时，____________；在此基础上继续探究，若，则_________________． 【考点3】代数式表示与规律综合（第20-25题） · 把规律结果用代数式表示 · 结合整式加减化简规律式 · 注意特殊位置与边界情况 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；当时，可得；……，若，则k的值为（    ） A．148 B．152 C．156 D．160 21．（25-26八年级上·重庆·期末）有依次排列的3个整式：．对任意相邻的2个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这2个整式之间，由此产生第1个整式串：，．将第1个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第2个整式串：．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第3个整式串共有个整式； ②第6个整式串中，从左往右第三个整式为； ③第个整式串的和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）若（n为正整数），令，为的个位数字，则下列说法正确的有（   ） ①； ②； ③的个位数字为2． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．（25-26六年级下·山东东营·期末）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论： ①展开式有项，系数和为；②的结果是； ③展开式中，系数最大为20；④的展开式中第三项的系数为190．其中正确的有（     ）   …… …… A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）一组按规律排列的多项式，则它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【考点4】整式的加减运算（第26-28题） · 先去括号再合并同类项 · 括号前负号各项都变号 · 结果按某字母降幂排列 26．（23-24九年级上·重庆万州·阶段检测）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，称这种操作为“差绝对”操作．例如，对于1、2、3进行“差绝对”操作得到： ①对、0、3、5进行“差绝对”操作的结果是24； ②若，，3的“差绝对”操作的结果化简后为常数，则； ③、、的“差绝对”操作的结果化简后有7种不同的结果； 其中说法正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2025·重庆綦江·一模）在整式之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过4次操作后，若，则所有整式的值之和为15； ③经过7次操作后，将得到128个整式； ④第8次操作后，从左往右第2个整式为： 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（25-26七年级上·河南郑州·期中）数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号的正方形边长为10，则2号正方形的边长为_________． 【考点5】化简求值与整体代入（第29-31题） · 先化简再代入，减少计算量 · 已知式子的值整体代入 · 代入负数或分数时加括号 29．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）设三个互不相等的有理数，既可表示为1、、的形式，又可表示为4、、的形式，则的值为____________． 30．（25-26八年级下·四川成都·期末）有依次排列的4个数：1，5，3，9，对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：1，4，5，，3，6，9，这称为第一次操作，做第二次同样的操作后也可产生一个新数串，则第三次操作所产生的新数串之和是______，第100次操作所产生的新数串之和是______． 31．（25-26七年级上·福建三明·期中）在一次数学活动课上，同学们开展剪绳子计算分割所得段数的研究． (1)如图1，将一根绳子对折一次，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为3段；剪两刀，绳子变为5段．如果剪4刀，绳子变为多少段？ (2)如果将绳子对折两次，如图2，按上述方式剪刀，绳子变为多少段？ (3)将绳子对折次，按上述方式剪若干刀，绳子正好变为201段，写出满足条件的所有的值． 【考点6】整式的有关概念与无关型问题（第32-35题） · 单项式系数、次数与多项式次数分清 · 无关型问题先化简再令字母系数为0 · 判断一个式子是否为单项式看分母是否含字母 32．（2026·重庆江津·二模）关于x的n次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法： ①若，，则符合条件的整式有且仅有1个； ②若，则多项式M可以为二次三项式； ③若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为； ④若，，则满足条件的多项式M共有33个． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含m，的代数式表示） ②探究：若的值不随着时间t的变化而改变，求值． ③在②的条件下，若M点与A，B，C三点同时开始在数轴上运动，点M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上运动，请含的式子表示． 34．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 35．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【考点7】整式加减的实际应用（第36-49题） · 把数量关系列成代数式 · 方案问题分别列式再比较 · 结果代入数值后作答 36．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，长、宽均为定值的长方形内部（不含边界）有一个边长为定值的正方形A，顺次延长正方形A的四条边，将长方形分割出B，C，D，E四个小长方形．下列结论正确的是（   ） A．若正方形A在长方形内部向左移动，则长方形C，D的周长之和变小 B．若正方形A在长方形内部向下移动，则长方形B，C的周长之和变大 C．若正方形A在长方形内部任意移动，则长方形B的周长不变 D．若正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等 37．（25-26八年级上·四川内江·期中）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差等于百位数字与个位数字的差，且该差值为2，则称此数为“差等数”．例如：四位数3614，因为，所以3614是“差等数”；已知“差等数”、，将其千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，．若能被7整除，是完全平方数，则满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为_____． 38．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若，，，则______（用含n的式子表示）． 39．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）王老师报出一个五位数，学生们将它顺序倒排后得到的五位数减去原数后，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956．王老师判定4个结果中有一个是正确的，答对的是______． 40．（2025·重庆·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则_____，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为________． 41．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如果一个四位正整数m的千位数字与个位数字之和为8，百位数字是十位数字的两倍，则称这样的四位数m为“冷静数”，若交换m的千位数字与百位数字、十位数字与个位数字后得到一个新数，且．例如“冷静数”，则，．求______；若已知m为“冷静数”，且的千位、百位组成的两位数与其十位、个位组成的两位数的和记为，能被7整除，则满足条件的m的最小值为______． 42．（25-26七年级上·福建福州·期末）初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程．在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是①____（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以②_____=③______． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 43．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小敏和小华对一些四位数（、、、均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究． (1)这个四位数可用含、、、的代数式表示为______； (2)小敏尝试将一些四位数倒序排列后，再与原数相加，发现和都为11的倍数． 如：，． 你认为上述结论对于一般的也成立吗？请说明理由； (3)小华猜想：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 例如：判断491678能不能被11整除． 奇位数字的和，偶位数字的和，，因此，491678能被11整除．这种方法叫奇偶位差法． 请你帮小华证明猜想：对于一个四位数（、、、均为不超过9的正整数），若满足，则四位数能被11整除． 44．（23-24七年级上·山西运城·期中）阅读材料，解决下列问题： 灵动数 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，将其千位数字和百位数字组成一个两位数，再将其十位数字和个位数字组成一个两位数，若十位数字和个位数字组成的两位数是千位数字和百位数字组成的两位数的2倍，则称这个四位正整数为“灵动数”．比如四位数2346，千位数字和百位数字组成的两位数是23，十位数字和个位数字组成的两位数是46，因为，所以2346是“灵动数”．我们可以用这两个两位数来表示“灵动数”，如2346可表示为：． (1)判断3470是不是“灵动数”，并说明理由； (2)请写出一个“灵动数”：________，并用其千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：________． (3)若用a表示一“灵动数”千位数字和百位数字组成的两位数，则这个“灵动数”表示为________；（用含a的代数式表示） (4)将（3）中的“灵动数”的千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数交换位置，得到一个新四位数，聪明的亮亮发现原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数，请你帮亮亮说明其中的原因． 45．（25-26七年级上·福建厦门·期中）一个三位数，设百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，其中：x，y，z为0至9的整数，且． (1)若一个三位数n，设百位数字为x，十位数字比百位数字大2，个位数字又比十位数字大2，用含x的代数式表示这个三位数n； (2)在（1）的条件下，n加53得到一个三位数p，去掉这个三位数p的个位数字得到一个新的两位数，去掉三位数p的百位数字得到一个新的两位数，请求出的值； (3)在（1）的条件下，另一个三位数q，十位数字比百位大3，个位数字又比十位数字大3，若是7的倍数，求所有满足条件的的值． 46．（24-25七年级上·重庆·期中）（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买棵桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 47．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和1位校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即： 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即： 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即： 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算“步骤3”中的值和校验码的值： (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则用含有的代数式表示上述步骤中的为_____，此时的值为_____； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是2，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出_____． 49．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 【考点8】数轴与绝对值化简综合（第50-52题） · 由数轴判断点的位置与符号 · 去绝对值先判断内部式子的符号 · 结合整式加减化简含字母的绝对值 50．（21-22七年级上·广西桂林·阶段检测）对于数轴上的一切数，式子的最小值是______． 51．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为__________． (3)已知，求的最大值和最小值． 52．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：单项式系数次数、多项式次数要判断准确 · 运算过关：去括号变号是易错点，合并同类项要彻底 · 求值过关：先化简再代入，会用整体代入简化计算 · 应用过关：列代数式审清题意，方案问题列式比较 · 规律过关：数字找差、图形找增量，写出通项并验证 【作业1】．（25-26七年级上·重庆合川·期末）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个．①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【作业2】．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个长方形区域分割为若干三角形，其分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图1，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；如图2，当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）；如图3，当长方形内有3个点时，可分得8个三角形（不计被分割的三角形）；…，以此类推，当长方形内有50个点时，可分得三角形的个数为（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【作业3】．（23-24七年级下·重庆江北·期末）有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【作业4】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业5】．（24-25九年级下·重庆·期中）已知单项式串：其中为非负整数，均为正整数．规定：，整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为所以．以下说法：①若则；②若，则所有满足条件的整式的和为；③若，则所有满足条件的整式有10个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业6】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【作业7】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，则代数式的值为_______． 【作业8】．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第个单项式是___________． 【作业9】．（2026·四川成都·二模）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第n（n为正整数）幅图形中“●”的个数为 ____________  ， 的值为 ____________  ． 【作业10】．（2025七年级上·全国·专题练习）按照如图所示的图形摆放的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是________． 【作业11】．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）若一个各个数位上的数字均不为0的四位数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），则称该四位数为“k型数”．例如，对于四位数4675，∵∴4675为“5型数”．若四位数是“型数”，则______；若四位数A是“3型数”，是“型数”，将A的百位数字与十位数字变换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，则满足条件的四位数A的最大值为______． 【作业12】．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为______． 【作业13】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究 阅读下列材料，并解答后面的问题： “四平八稳” 在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为． 举例说明： 取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则． (1)四位数8442 平稳数（填是或不是）； (2)已知8424是平稳数，计算； (3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数． 【作业14】．（2026七年级上·全国·专题练习）求为何值时，式子（为正整数）有最小值，并求出此最小值． 【作业15】．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【作业16】．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知式子． (1)当______，______时，此式子的值与字母的取值无关； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求的值． 【作业17】．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【作业18】．（25-26七年级上·重庆·期中）一个三位数，十位数字比百位数字大 2，个位数字比十位数字大 1，则称为“诚勤”数；一个三位数，十位数字比百位数字大 3，个位数字比十位数字大 1，则称为“立达”数； (1)直接写出最小的“诚勤”数是： ，最大的“立达”数是： ； (2)“诚勤”数加 103 得到一个三位数，去掉这个三位数的个位数字得到一个新的两位数，去掉三位数的百位数字得到一个新的两位数，请求出的值； (3)若“诚勤”数与“立达”数的和是 11 的倍数，求出所有满足条件的的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·整式及其加减·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解用字母表示数的意义，会列代数式表示简单的数量关系 · 掌握单项式、多项式、整式的有关概念，会确定系数与次数 · 熟练进行去括号、添括号与合并同类项，完成整式的加减运算 · 掌握化简求值与整体代入的方法，理解无关型问题的解题思路 · 会从数字与图形中探索规律，能用整式解决实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.列代数式与整式的有关概念 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或字母也是代数式 单项式：数与字母的积；数字因数是系数，所有字母指数的和是次数 多项式：几个单项式的和；每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数是多项式的次数 同类项：所含字母相同且相同字母指数也相同的项，合并时系数相加、字母及指数不变 概念辨析例题：指出单项式-x2y的系数与次数 答案：系数为-，次数为3 解析：系数包括前面的符号；次数是所有字母指数之和：2+1=3 ☆ 2.整式的加减运算 去括号：括号前是“+”号，去掉括号后各项不变号；括号前是“-”号，各项都变号 添括号：所添括号前是“+”号，括到括号里的各项不变号；是“-”号则各项都变号 整式加减：先去括号，再合并同类项，结果仍为整式 化简后若不含某个字母，则结果与该字母的取值无关（无关型问题） 概念辨析例题：化简：3(2a-b)-2(a-2b) 答案：4a+b 解析：去括号：6a-3b-2a+4b；合并同类项：(6-2)a+(-3+4)b=4a+b ☆ 3.化简求值与整体代入 直接代入：把字母的值直接代入化简后的式子计算 整体代入：不求字母的值，把已知式子看作整体代入求值 无关型问题：化简后令该字母的系数为0，求出参数 求值步骤：一化（化简）、二代（代入）、三算（计算） 概念辨析例题：已知a+b=3，求2(a+b)-3a-3b+5的值 答案：2 解析：原式=2(a+b)-3(a+b)+5=-(a+b)+5=-3+5=2 ☆ 4.规律探索与实际应用 数字规律：观察相邻项的差、比或乘方关系，用含n的式子表示第n个数 图形规律：数出图形个数，列表找增量，写出第n个图形的式子 实际应用：把实际问题中的数量关系用代数式表示，再列式计算 方案比较：分别列出不同方案的代数式，代入数值后比较大小 概念辨析例题：用火柴棒搭正方形：1个正方形用4根，2个用7根，3个用10根，搭n个正方形用多少根？ 答案：(3n+1)根 解析：每增加一个正方形增加3根：4=3×1+1，7=3×2+1，10=3×3+1，故为3n+1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 单项式 数与字母的积 系数含符号，次数=字母指数和 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项的次数 同类项 字母相同、指数相同 与系数无关，常数项都是同类项 去括号 负号括号各项变号 分配律逐项乘，不漏项 化简求值 先化简再代入 能整体代入不拆开 无关型问题 令字母系数为0 先化简再令系数为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字类规律探索（第1-10题） · 观察相邻项的差、比或乘方关系 · 用含n的代数式写出第n个数 · 代入前几项检验通项是否正确 1．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1.现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类规律探究，先分别确定前面十次破译的结果，可得破译结果按照，，，，，，，，，循环，再进一步解答即可. 【详解】解：由题意可得：是奇数， ∴第一次破译得，是偶数， ∴第二次破译得，是奇数， ∴第三次破译得，是偶数， ∴第四次破译得，是奇数， ∴第五次破译得，是偶数， ∴第六次破译得，是奇数， ∴第七次破译得，是偶数， ∴第八次破译得，是奇数， ∴第九次破译得，是偶数， ∴第十次破译得，是奇数， ∴第十一次破译得，是偶数， 综上：破译结果按照，，，，，，，，，循环， ∵， ∴第2024次破译得， ∴对应的最终明文是. 故选：A 3．（25-26七年级上·广西钦州·期末）数学老师根据图中的◯三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（    ）． A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据图片发现密码的数字规律，是解题的关键．根据所给密码可知，最上面的数与下面右边的数的乘积的结果是密码的前两位，下面的两个数的乘积的结果是密码的中间两位，最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前个密码与三个数字的关系可以发现： 第、个数字为最上面的数与下面右边的数的积， 第、个数字为下面的两个数的积， 第、个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积， ∴第、个数字，第、个数字，第、个数字， ∴该校的密码是． 故选：． 4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》就是代表之作．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值为（   ） A． B．520 C．1326 D．19899 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字类规律探索，根据图中数据，可以发现数字的变化规律：每行最后一个数都是1，从第2行开始倒数第二个数等于行数n。从第3行开始，倒数第三数是，求出，所在的行数，即可求出． 【详解】解：∵“杨辉三角”中每行最后一个数都是1，从第2行开始倒数第二个数等于行数n．从第3行开始，倒数第三个数分别是： 第3行：， 第4行：， 第5行：， 第6行：， 第7行：， 第8行：， ……， 第n行：． ∴． ∵从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的数每行都取2个数， ∴． ∴，是第201行的两个数． ∴当时，． 故选：D． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【详解】解：根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查规律型：数列变化类，解题关键在于注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 6．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，有和两种取法，即；当时，有，，，四种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为_____；若，则的值为_____． 【答案】 12 156 【知识点】数字类规律探索 【分析】当时，从1，2，3，4，5，6，7中，取两个数的和大于7的取法；当时，从1，2，3......22，23，24，25中，取两个数的和大于25，根据规律可得． 【详解】解：当时，从1，2，3，4，5，6，7中，取两个数的和大于7，这两个数分别是，，，，，， ，，，， ，， ∴； 当时，从1，2，3......22，23，24，25中，取两个数的和大于25，这两个数分别是： ，......，共24种取法， ，......，共22种取法， ，......，共20种取法， ，......，共18种取法， .....， ，，共2种取法， ∴； 故答案为：12，156． 7．（26-27七年级上·河北张家口·阶段检测）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，，，，________，…若分裂后，其中有一个奇数是125，则m的值是________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】总结题干给出的分裂规律，得到分裂后奇数的范围，判断所在的范围即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，（n为大于1的正整数）， ∴ ， 当时，， 当时，， ∵， ∴若分裂后，其中有一个奇数是125，则m的值是11． 8．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式：_____________________． （2）计算：___________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题； （1）首先根据前四个等式的特征，可得第个等式的分子是n+2，分母是；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可． （2）根据题意，把前3个等式左右两边分别相加，求出的值，再把第4，5，6，7个等式左右两边分别相加，求出的值即可解答． 【详解】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式： 故答案为：； （2）∵ ∴ 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第行、第列的数是________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，则2026为第1行，第46列的第一个数，据此可得答案． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是，且排完个数后，从第1行第列开始排列这个数， ∴第行，第列的数是， ∴2026为第1行，第46列的第一个数， ∴第行，第列的数是． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）一列数，，，，，其中，，，，，请通过一定的计算量找出规律后求出______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，找出循环规律和循环周期是解题的关键．根据题意，分别求出，，，的值，找出循环规律和循环周期，即可求解． 【详解】解：∵，， 当时，， 当时，， 当时，， 这列数是以，，这三个数为一个周期循环出现的， 一个周期内； ∵， 即中，有个循环周期， ∵一个循环周期内，相乘的结果是， 故的结果等于个相乘， 即． 故答案为：． 【考点2】图形类规律探索（第11-19题） · 数出图形个数，列表找增量 · 分析图形结构的变化规律 · 用含n的式子表示第n个图形 11．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是一组有规律的图形，它们均由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2026个图形中涂有阴影的小正方形的个数是（    ） A．4046 B．6076 C．4049 D．6079 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了探究规律—图形．由图形得第个图涂有阴影的小正方形的个数是，据此计算即可求解． 【详解】解：第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 当时， ； 故选：D． 12．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第一幅图形中“●”的个数为，第二幅图形中的“●”个数为，第三幅图形中“●”的个数为，，以此类推，则（   ）（用的代数式表示，） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索、列代数式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出，，，，并进一步求出，，，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，，，，， ∴，，，， ∴． 故选：A． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 【答案】3001 【知识点】图形类规律探索 【分析】第1个图形中黑色棋子的个数是个，第2个图形中黑色棋子的个数是个，第3个图形中黑色棋子的个数是个，第n个图形中黑色棋子的个数是个，计算时的代数式的值即可． 【详解】解：根据题意，得第n个图形中黑色棋子的个数是个， 当时，． 14．（23-24六年级下·北京海淀·期中）十九世纪的时候，（1858）与（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列，从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，若位于第m层第n个数（从左往右数），则__________，__________． 【答案】 7 33 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形归纳出向右发散的都是真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是并灵活利用规律是解题的关键． 由图可知，向右发散的都是真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是，根据此规律、逆向推理即可解答． 【详解】解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是，向左发散的都是假分数，规律是， ∴， ∴在第7层，即， 由图知，左边有2个数，左边有4个数，左边有8个数，左边有16个数， ∴左边有个数，即， 故答案为：7，33． 15．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形类规律探索，由图得出第个图案用木棍根，再令，计算即可得出答案． 【详解】解：由图可得： 第个图案用木棍：(根)， 第个图案用木棍：(根)， 第个图案用木棍：(根)， ， ∴第个图案用木棍根， ∴当时，(根)， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了三角形的面积与中点的性质，解题的关键是发现三角形面积的变化规律． 通过分析中点连线形成的三角形与原三角形的面积关系，发现每次新形成的三角形面积是前一个的，进而推导出第个三角形的面积公式，再代入求解． 【详解】由题意，， ， 依次类推，， ， ∴的面积为， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第次后，骰子朝下一面的点数是_________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，规律探究；根据正方体相对两个面上的数字进行分析解答即可． 【详解】解：观察图可知， 点数和点数相对，点数和点数相对，且四次一循环， 则可知滚动第一次点数朝上，滚动第二次点数朝上，滚动第三次点数朝上，滚动第四次点数朝上，滚动第次后与第四次相同，滚动第次后朝上的点数是，朝下的点数是．故答案为：． 18．（2020七年级·山东·竞赛）在平面上有10条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成________部分． 【答案】56 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查计数推理． 首先判断1条直线，将平面分成2个区域；2条直线，将平面分成个区域；3条直线，将平面分成个区域；4条直线，将平面分成个区域；得出规律，进而计算即可． 【详解】解：1条直线，将平面分成2个区域； 2条直线，将平面分成个区域； 3条直线，将平面分成个区域； 4条直线，将平面分成个区域； …… n条直线，将平面分成个区域； 10条直线，将平面分成个区域； 故答案为：． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）在同一平面内探索“直线相交时可以把平面最多分成多少个区域”的问题时，研究者发现k条直线分成的区域中三角形的个数存在某种规律，将条直线相交最多组成的三角形的个数记为，通过画图可得，当时，，则当时，____________；在此基础上继续探究，若，则_________________． 【答案】 4 25 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查的是相交线形成的三角形个数，摸清数字的变化规律是解决此题的关键． 根据直线相交最多形成三角形的规律，表示k条直线相交最多组成的三角形个数，可知当时，；由规律可求得，化简变为，并将其代入到中即可求解． 【详解】解：由题意得，当时，此时三角形的个数为4个，即， 故答案为：4； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； 当时，此时三角形的个数为个，即； ∴条直线相交最多组成的三角形的个数为， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：25． 【考点3】代数式表示与规律综合（第20-25题） · 把规律结果用代数式表示 · 结合整式加减化简规律式 · 注意特殊位置与边界情况 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；当时，可得；……，若，则k的值为（    ） A．148 B．152 C．156 D．160 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先分别求出当时，的值，再归纳类推出当为偶数时和当为奇数时，的值的一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 归纳类推得，当为偶数时，；当为奇数时，， 当时，， 故选：C． 21．（25-26八年级上·重庆·期末）有依次排列的3个整式：．对任意相邻的2个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这2个整式之间，由此产生第1个整式串：，．将第1个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第2个整式串：．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第3个整式串共有个整式； ②第6个整式串中，从左往右第三个整式为； ③第个整式串的和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减，掌握通过条件推导出对应变化规律是解题的关键． 根据题意，可知第n个整式串共有个整式，所有整式的和为，从左往右第三个整式为，即可求解． 【详解】解：根据题意，可知第0个整式串为，整式的个数为，所有整式的和为； 第1个整式串为，整式的个数为，所有整式的和为； 第2个整式串为，整式的个数为，所有整式的和为； 通过观察，可知第n个整式串共有个整式，所有整式的和为，从左往右第三个整式为， 则第3个整式串共有个整式，故结论①正确， 第6个整式串中，从左往右第三个整式为，故结论②错误， 第个整式串的和为，故结论③错误， 综上所述，只有结论①正确，正确的结论只有1个． 故选：B． 22．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）若（n为正整数），令，为的个位数字，则下列说法正确的有（   ） ①； ②； ③的个位数字为2． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、列代数式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了列代数式并求值，分式的化简以及数字类的规律等内容，解题的关键是根据题目要求列出代数式并找到规律． 本题需逐一验证三个说法的正确性，首先计算的值判断①；其次通过分析的表达式，利用分式求和判断②；最后通过寻找的周期性规律求和判断③． 【详解】解：①由题，，其中。 当时，，故， 因此，①错误； ②，则。 求和时，各中间项抵消，得： ， 因此，②正确； ③为的个位数字，观察个位规律： 当的个位数为1、3、6、8时，分别为2、2、2、2； 当的个位数为2、7时，； 当的个位数为4、5、9、0时，； 每10个数为一个周期，和为， 2025个数包含202个完整周期和5个剩余数（对应个位数为1、2、3、4、5），其和为， 总和为，个位数为0，故③错误； 综上，仅②正确， 故选：B． 23．（25-26六年级下·山东东营·期末）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图所示，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论： ①展开式有项，系数和为；②的结果是； ③展开式中，系数最大为20；④的展开式中第三项的系数为190．其中正确的有（     ）   …… …… A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】根据杨辉三角的规律分别对四个结论进行判断即可． 【详解】解：验证结论①： ∵时，展开式有项，系数和为； 时，展开式有项，系数和为； 时，展开式有项，系数和为， ∴展开式有项，系数和为，结论①中系数和为，故错误； 验证结论②： ， 令，得，故②正确； 验证结论③： 根据杨辉三角系数规律，展开式各项系数为，展开式各项系数为， ∴展开式各项系数为，最大系数为，故③正确.； 验证结论④： 观察第三项系数规律： 时为， 时为， 时为， ∴展开式中第三项的系数为， 当时，第三项系数为，故④正确． 24．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）一组按规律排列的多项式，则它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据多项式的变化规律来解答．将多项式分成两个单项式，再找到两个单项式的规律，即可得到答案． 【详解】解：∵这组多项式的每一项中，第一个部分均为a，保持不变， 观察后一部分的规律： 第1个式子：系数为，b的次数为， 第2个式子：系数为，b的次数为， 第3个式子：系数为，b的次数为， 第4个式子：系数为，b的次数为， ∴第n个式子中，后一部分的系数为，b的次数为， ∴第n个式子为． 故答案为：C． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【答案】(1)，画图如下，    (2) (3)，理由如下： 由图知，， ， ， ， ， ∴第个等式， 故答案为：． 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键， （1）按题意计算画图即可得解； （2）由图找到数的规律进行计算即可得解； （3）由图找到数的规律进行计算即可得解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， …； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ， ∴， 故答案为：； （3）略 【考点4】整式的加减运算（第26-28题） · 先去括号再合并同类项 · 括号前负号各项都变号 · 结果按某字母降幂排列 26．（23-24九年级上·重庆万州·阶段检测）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，称这种操作为“差绝对”操作．例如，对于1、2、3进行“差绝对”操作得到： ①对、0、3、5进行“差绝对”操作的结果是24； ②若，，3的“差绝对”操作的结果化简后为常数，则； ③、、的“差绝对”操作的结果化简后有7种不同的结果； 其中说法正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． ①根据“差绝对”操作进行运算，即可判定； ②根据“差绝对”操作进行运算，得，再分类讨论对化简，即可判定； ③首先根据“差绝对”操作进行运算，分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①对，0，3，5进行“差绝对”操作得： ，故①正确； 对，，3进行“差绝对”操作得：， 当时，， 当时，， 当时，，故②正确； 对，，进行“差绝对”操作得：， 当，，， ； 当，，， ； 当，，， ； 当，，， ； 当，，， ； 当，，，； 当，，； ； 当，，，； ，，的“差绝对”操作化简结果可能存在的不同表达式一共有7种， 故③正确， 综上，故有3个正确的． 故选：D． 27．（2025·重庆綦江·一模）在整式之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过4次操作后，若，则所有整式的值之和为15； ③经过7次操作后，将得到128个整式； ④第8次操作后，从左往右第2个整式为： 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索，根据操作方式找出变化规律是解题的关键．①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②代入，求出经过4次操作后所得数据，求和即可判断．③根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过7次操作后所得整式个数即可判断；④根据操作方式得出每次操作后从左往右第2个整式的规律，然后求出第8次操作后，从左往右的第2个整式即可判断． 【详解】解：第一次操作后：， ，， ∴第二次操作后：，故①正确； 若，则初始和为2， 第一次操作后：和为； 第二次操作后：和为； 第三次操作后数为：， 则第三次操作后：和为； 第四次操作后数为：，则 则第四次操作后：和为，故②不符合题意； 第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整式，由此发现第次操作后有个整式， ∴第7次操作后，将得到个整式，故③不符合题意； 第1次操作后，从左往右第2个整式为：， 第2次操作后，从左往右第2个整式为：， 第3次操作后，从左往右第2个整式为：， ∴第3次操作后，从左往右第2个整式为：， ∴第8次操作后，从左往右第2个整式为：，故④符合题意， ∴正确的有2个， 故选：B． 28．（25-26七年级上·河南郑州·期中）数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号的正方形边长为10，则2号正方形的边长为_________． 【答案】12 【知识点】整式的加减运算、列代数式 【分析】本题考查正方形的性质，长方形的性质，列代数式，整式的加减，理解图形是解题的关键．设标注1，2的正方形的边长分别为，分别表示出各个正方形的边长，再根据长方形的对边相等，列出方程，化简即可解答． 【详解】解：设标注1，2的正方形的边长分别为， 由图可知：第3个正方形的边长为， 第4个正方形的边长为， 第5个正方形的边长为， 第6个正方形的边长为， 第7个正方形的边长为， 第10个正方形的边长为， 第8个正方形的边长为， 第9个正方形的边长为， 根据长方形的对边相等可得： ， 整理得， ∵标注为1号的正方形边长为10，即， ∴， 故答案为：． 【考点5】化简求值与整体代入（第29-31题） · 先化简再代入，减少计算量 · 已知式子的值整体代入 · 代入负数或分数时加括号 29．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）设三个互不相等的有理数，既可表示为1、、的形式，又可表示为4、、的形式，则的值为____________． 【答案】0或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据题意可知与中有一个是4，与中有一个是1，再分4种情况讨论，求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，与中有一个是4，与中有一个是1， ①当，时，解得，此时三个有理数分别为1、4、2，满足题意， ∴； ②当，时，解得，此时三个有理数分别为1、4、3，满足题意， ∴； ③当，时，则，此时4与相等，不满足题意，舍去； ④当，时，则，此时4与相等，不满足题意，舍去； ∴综上所述，的值为0或． 故答案为：0或． 30．（25-26八年级下·四川成都·期末）有依次排列的4个数：1，5，3，9，对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：1，4，5，，3，6，9，这称为第一次操作，做第二次同样的操作后也可产生一个新数串，则第三次操作所产生的新数串之和是______，第100次操作所产生的新数串之和是______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先计算原数串的和，通过计算操作后数串和的变化，总结规律：每次操作后新数串的总和比上一次操作增加，第次操作后新数串总和为原和加上，再分别代入计算即可． 【详解】解：原数串为，原和 ， 第一次操作，插入的相邻两数差之和为， ∴第一次操作后总和 第二次操作，所有新增差的和展开后中间项全部抵消，结果仍为， 因此第二次操作后总和 第三次操作，新增差的和仍为， 因此第三次操作后总和 总结规律：第次操作后，新数串总和为 当时，． 31．（25-26七年级上·福建三明·期中）在一次数学活动课上，同学们开展剪绳子计算分割所得段数的研究． (1)如图1，将一根绳子对折一次，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为3段；剪两刀，绳子变为5段．如果剪4刀，绳子变为多少段？ (2)如果将绳子对折两次，如图2，按上述方式剪刀，绳子变为多少段？ (3)将绳子对折次，按上述方式剪若干刀，绳子正好变为201段，写出满足条件的所有的值． 【答案】(1)9段 (2)段 (3)，， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形类规律问题，用代数式表示，代数式求值，解题的关键是找到题目中的规律． 对于（1），根据每剪一次增加2段可得答案； 对于（2），根据每剪一次增加4段可得答案； 对于（3），先根据绳子对折的次数的变化可得段数的变化规律，即可得出段数的关系式，再讨论可能的结果即可． 【详解】（1）解：剪1刀，绳子变为3段； 剪2刀，绳子变为5段； 剪3刀，绳子变为7段； 剪4刀，绳子变为9段； （2）解：剪1刀，绳子变为5段； 剪2刀，绳子变为段； 剪3刀，绳子变为段； 剪4刀，绳子变为段； 剪m刀，绳子变为段； （3）解：当绳子对折1次时，剪m刀，绳子变为段； 当绳子对折2次时，剪m刀，绳子变为段； 当绳子对折3次时，剪m刀，绳子变为段； 当绳子对折4次时，剪m刀，绳子变为段， 当绳子对折k次时，剪m刀，绳子变为段， 所以， 解得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以k的值为1，2，3． 【考点6】整式的有关概念与无关型问题（第32-35题） · 单项式系数、次数与多项式次数分清 · 无关型问题先化简再令字母系数为0 · 判断一个式子是否为单项式看分母是否含字母 32．（2026·重庆江津·二模）关于x的n次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法： ①若，，则符合条件的整式有且仅有1个； ②若，则多项式M可以为二次三项式； ③若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为； ④若，，则满足条件的多项式M共有33个． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、多项式的项、项数或次数 【分析】依次判断四个说法，根据题目条件分类讨论，验证每个说法是否正确，统计正确个数． 【详解】已知条件：，为正整数，均为整数，为所有系数的乘积． ① 当，时，，满足，为正整数． 整数乘积为仅存在和两种情况，仅符合正整数要求，此时，但要求，不成立，因此没有符合条件的整式，①错误． ② 若，取，，，满足，乘积，是二次三项式，因此可以为二次三项式，②正确． ③ 若二次三项式，即，所有符合条件的多项式为： ，，，，． 求和得：，③错误． ④ 若，，分类计数： ：，，且，为正整数，为整数，∴，；，；，；，；共个符合条件； ：，，且，为正整数，、为整数，∴，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；共个符合条件； ：，，且，为正整数，、、为整数，∴，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；已找到个符合条件，总个数超过，因此④错误． 综上，只有个说法正确． 33．（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含m，的代数式表示） ②探究：若的值不随着时间t的变化而改变，求值． ③在②的条件下，若M点与A，B，C三点同时开始在数轴上运动，点M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；②③,或 【知识点】数轴上两点之间的距离、单项式的系数、次数、整式的加减运算、列代数式 【分析】本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的有关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从1出发以每秒4个单位长度的速度运动，秒过后，表示出各点的数在表示出线段长解答即可． 【详解】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 的值不变， ∴ 解得：这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上运动，分为向左和向右运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为1，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是或，分点M在点A的左侧和右侧和M在点C的左侧和右侧四种情形解答即可． M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴ M从点1出发以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右运动 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 综上所述：或或． 34．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 【答案】(1)①不是，理由： ∵，不是单项式， ∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；，   ②是； (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题、整式的加减运算、单项式的判断 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解； （3）根据先求得，，再根据C与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，求出a，b的值，结合求出c的值，即得C表达式 【详解】（1）① 略； ②是， ∵ ，是单项式， ∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为； （2）∵与互为“孪生多项式”， ∴，且 ， ∴， 故； （3）∵， ∴， ∴， ∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【知识点】整式加减的应用、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 【考点7】整式加减的实际应用（第36-49题） · 把数量关系列成代数式 · 方案问题分别列式再比较 · 结果代入数值后作答 36．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，长、宽均为定值的长方形内部（不含边界）有一个边长为定值的正方形A，顺次延长正方形A的四条边，将长方形分割出B，C，D，E四个小长方形．下列结论正确的是（   ） A．若正方形A在长方形内部向左移动，则长方形C，D的周长之和变小 B．若正方形A在长方形内部向下移动，则长方形B，C的周长之和变大 C．若正方形A在长方形内部任意移动，则长方形B的周长不变 D．若正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，长方形和正方形的周长，平移的原则等知识．根据平移的原则和长方形周长的定义相加或相减分别计算可作判断． 【详解】解：A、若正方形A在长方形内部向左移动a个单位，则长方形C的周长减小，D的周长会增大，所以长方形C，D的周长之和不变，原说法错误； B、若正方形A在长方形内部向下移动b个单位，则长方形B的周长减小，C的周长会增大，长方形B，C的周长之和不变，原说法错误； C、若正方形A在长方形内部向下移动b个单位，则长方形B的周长减小，原说法错误； D、如图，设大长方形的一边，另一边，长方形B的长为x，宽为y，长方形D的长为n，宽为c，小正方形A的边长为d， ∴，， ∴， 若正方形A在长方形内部任意移动，假设将正方形A在长方形内部向下移动a个单位， 则B的周长+D的周长 ， C的周长+E的周长 ， ∴B，D的周长之和=C，E的周长之和， 同理可得：正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等， 故D原说法正确； 故选：D． 37．（25-26八年级上·四川内江·期中）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差等于百位数字与个位数字的差，且该差值为2，则称此数为“差等数”．例如：四位数3614，因为，所以3614是“差等数”；已知“差等数”、，将其千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，．若能被7整除，是完全平方数，则满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为_____． 【答案】2828 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查对新定义的理解，整式的运算；熟练掌握运算法则是关键．由题意易得，则有，，，，进而分类讨论进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ， ∴， ， 由条件可知最大为9，当时，， 为完全平方数符合题意， ∴， ∵能被7整除， ∴当时，能被7整除，此时最大， ∴满足条件的“差等数”中最大值为9573， ∵最小的满足条件的数则要千位尽可能小， ∴当时，， 由条件可知： 当时，则，∵新的四位数，∴，不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意； 当时，则，不是完全平方数不符合题意 当时，则，是完全平方数符合题意； ∴此时，， ∴， 由条件可知能被7整除， ∴此时满足条件的数最小， ∴满足条件的“差等数”中最小值为6745， ∴满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为． 故答案为：2828． 38．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若，，，则______（用含n的式子表示）． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查幻方，解题的关键是根据幻方的特点，列式得到，．先根据题意，得，易得，，再根据，即可得，据此即可解答． 【详解】解：根据题意，， ，， ， ， 故答案为：． 39．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）王老师报出一个五位数，学生们将它顺序倒排后得到的五位数减去原数后，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956．王老师判定4个结果中有一个是正确的，答对的是______． 【答案】乙 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，数的整除，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 原五位数与倒排后五位数的差是11的倍数，因此正确的差应能被11整除，通过计算各结果除以11的余数，判断是否被11整除． 【详解】解：设原五位数为 ，则倒排后为 ， ∴ 因此差是11的倍数, ∵，余数不为0； ，余数为0； ，余数不为0； ，余数不为0。 故只有34056是11的倍数， 故答对的是乙同学， 故答案为：乙． 40．（2025·重庆·模拟预测）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则_____，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、数的整除、二元一次方程的解 【分析】本题考查了整式的加减的应用、解二元一次方程、数的整除，采用分类讨论的思想是解此题的关键．由题意可得，结合得出，，表示出，结合题意可得能被23整除，由，得出或或，再分情况计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ， ，，，，且，，，均为整数， ， 为的倍数， ，， ，， ， ， 能被23整除， 能被23整除， ， 或或， 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，解得或， 当时，此时，，对应的， 当时，此时，，对应的， 满足条件的所有的和为， 故答案为：；． 41．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如果一个四位正整数m的千位数字与个位数字之和为8，百位数字是十位数字的两倍，则称这样的四位数m为“冷静数”，若交换m的千位数字与百位数字、十位数字与个位数字后得到一个新数，且．例如“冷静数”，则，．求______；若已知m为“冷静数”，且的千位、百位组成的两位数与其十位、个位组成的两位数的和记为，能被7整除，则满足条件的m的最小值为______． 【答案】 2426 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了新定义运算及数的表示方法，第一问直接计算交换后的数字并求值；第二问根据冷静数的定义设出数字，表达出和，简化表达式，利用整除性确定数字范围，求最小冷静数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设 m 的千位数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记作， 根据“冷静数”定义，有，， 交换后的千位数字为 b，百位数字为 a，十位数字为 d，个位数字为 c，记作， ∴，交换后， ∴， ∵的千位、百位组成的两位数为，十位、个位组成的两位数为， ∴， ∴， ∵能被7整除， 设（k为整数），即， 又∵，， ∴，， ∴代入上式可得：，即， ∵，， ∴当时，，即，化简得：， 要使m最小，需优先使a最小，再使c最小， ∴当时，， 则，， 此时， ∴满足条件的m的最小值为2426， 故答案为：，2426． 42．（25-26七年级上·福建福州·期末）初中数学中，数与代数领域的推理无处不在．探究整除数规律，就是一个典型的代数推理过程．在课堂上探究并证明了“自然数被3整除的规律”后，小明尝试探索“自然数被11整除的规律”． 【探究一：两位数】 （1）以下为小明的推理和证明思路． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是①____（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以②_____=③______． 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 请你帮助他补充完整①②③所缺的内容 【探究二：三位数】 （2）如果用表示一个三位数．当a、b、c应满足以下什么条件时，能被11整除． 现有三个a、b、c的关系：①能被11整除；②能被11整除；③能被11整除．请选出所有能够使得能被11整除的条件，并写出证明过程； 【答案】（1）①，②，③； （2）解：条件②和③能够使得能被11整除． 证明：因为， 将100和10分解为11的倍数与余数之和：，， 代入得：， 因为是11的倍数， 所以当是11的倍数时，能被11整除， 即满足条件②能被11整除时，能被11整除； 计算条件②与条件③的和为：，且能被11整除， 所以当条件②能被11整除时，条件③能被11整除， 所以满足条件③能被11整除时，也能被11整除； 对于条件①能被11整除取反例：当，，时， 满足能被11整除，但146不能被11整除， 故满足条件①时不成立； 综上，条件②和③能够使得能被11整除． 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减； （1）根据所列举的数可知，然后进一步计算即可； （2）将改写为，可知当是11的倍数时，能被11整除，然后证明条件②与条件③等价，再举反例证明条件①不成立即可． 【详解】解：（1）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a和b，通常记为，则这个两位数可表示为．小明列举了几个能被11整除的两位数：11，22，33，…，他观察到这些数共同的特征是（填a，b的数量关系）． 证明如下：因为，且满足①， 所以， 因为③能被11整除， 所以能被11整除． 故答案为：①，②，③； （2）略 43．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小敏和小华对一些四位数（、、、均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究． (1)这个四位数可用含、、、的代数式表示为______； (2)小敏尝试将一些四位数倒序排列后，再与原数相加，发现和都为11的倍数． 如：，． 你认为上述结论对于一般的也成立吗？请说明理由； (3)小华猜想：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 例如：判断491678能不能被11整除． 奇位数字的和，偶位数字的和，，因此，491678能被11整除．这种方法叫奇偶位差法． 请你帮小华证明猜想：对于一个四位数（、、、均为不超过9的正整数），若满足，则四位数能被11整除． 【答案】(1) (2) 能被11整除，理由如下： 设四位数为， ． ． 它们的和能被整除． (3) 能被11整除，理由如下： ， ， ． 四位数能被11整除． 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了整式的加减运算，四位数的表示，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）根据题意，表示出这个四位数即可； （2）分别表示出和，再求它们的和，仿照示例，即可得到结果； （3）把变形为，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）解：这个四位数可表示为． 故答案为：． （2）略 （3）略 44．（23-24七年级上·山西运城·期中）阅读材料，解决下列问题： 灵动数 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，将其千位数字和百位数字组成一个两位数，再将其十位数字和个位数字组成一个两位数，若十位数字和个位数字组成的两位数是千位数字和百位数字组成的两位数的2倍，则称这个四位正整数为“灵动数”．比如四位数2346，千位数字和百位数字组成的两位数是23，十位数字和个位数字组成的两位数是46，因为，所以2346是“灵动数”．我们可以用这两个两位数来表示“灵动数”，如2346可表示为：． (1)判断3470是不是“灵动数”，并说明理由； (2)请写出一个“灵动数”：________，并用其千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：________． (3)若用a表示一“灵动数”千位数字和百位数字组成的两位数，则这个“灵动数”表示为________；（用含a的代数式表示） (4)将（3）中的“灵动数”的千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数交换位置，得到一个新四位数，聪明的亮亮发现原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数，请你帮亮亮说明其中的原因． 【答案】(1) ， 故3470不是“灵动数”； (2)3060（答案不唯一）；（答案不唯一） (3) (4) ， 新四位数为， ， 为正整数， 和也为正整数， 原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数． 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了新定义，列代数式， （1）根据“灵动数”的定义，计算即可判断； （2）根据“灵动数”的定义和题干中的表示方法，即可解答； （3）根据“灵动数”的定义和题干中的表示方法，即可解答； （4）根据题意，将转换位置后的数字表示出来，看所得的代数式能否被3整除，即可解答， 正确理解新定义，把新知识转化为熟悉的知识进行解答，是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：根据“灵动数”的定义，可写出“灵动数”：3060，（答案不唯一） 用千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：；（答案不唯一） （3）解：由题意得该“灵动数”十位位数字和个位数字组成的两位数为， 则这个“灵动数”表示为； （4）略 45．（25-26七年级上·福建厦门·期中）一个三位数，设百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，其中：x，y，z为0至9的整数，且． (1)若一个三位数n，设百位数字为x，十位数字比百位数字大2，个位数字又比十位数字大2，用含x的代数式表示这个三位数n； (2)在（1）的条件下，n加53得到一个三位数p，去掉这个三位数p的个位数字得到一个新的两位数，去掉三位数p的百位数字得到一个新的两位数，请求出的值； (3)在（1）的条件下，另一个三位数q，十位数字比百位大3，个位数字又比十位数字大3，若是7的倍数，求所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)70或31 (3)或或210 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用，能够理解题意，根据题意列出代数式，再根据数的特征分类讨论是解题的关键． （1）根据题意可得百位数字为，十位数字，个位数字，再由题中所给的定义求解即可； （2）先求出，再根据的取值范围分两种情况：当时，，，当时，，，再分别求解即可； （3）设三位数的百位数字是，则十位数字是，个为数字是，求出，并确定的取值范围，则，由题意可知能被7整除，根据、的取值范围讨论即可． 【详解】（1）解：（1）百位数字为，十位数字比百位数字大2，个位数字又比十位数字大2， 百位数字为，十位数字，个位数字， ， ，， ， 故答案为：； （2）加53得到一个三位数， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述：的值为70或31； （3）设三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是， ， ，， ， ， 是7的倍数， 能被7整除， ，， 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； 综上所述：的值为或或210． 46．（24-25七年级上·重庆·期中）（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买棵桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 【答案】（1）该护栏第三边的边长为；（1）当时，；当时，；（3）“十小八”卖桃子的总利润为元 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查整式的加减的实际应用，关键是根据题意列出代数式； （1）将周长减去两条边长，即可求解；   （2）分两种情况，根据题意列出代数式，即可求解；   （3）将前两部分部分的利润相加，再减去无法销售的成本即可求解．   【详解】解：（1）该护栏第三边的边长为 ；   答：该护栏第三边的边长为；   （2）解：当时，他买桃树苗花的钱为； 当时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱， 他买桃树苗花的钱为； 答：当时，他买桃树苗花的钱为元；当时，为元； （3）依题意， ．   答：“十小八”卖桃子的总利润为元． 47．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【知识点】整式加减的应用、图形类规律探索 【分析】（1）根据题干性质求解即可； （2）根据题干性质求解即可； （3）根据题干性质求解即可． 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 48．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和1位校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即： 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即： 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即： 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算“步骤3”中的值和校验码的值： (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则用含有的代数式表示上述步骤中的为_____，此时的值为_____； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是2，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出_____． 【答案】(1)55，5 (2)，3 (3)6，4或0，2或5，7 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，正确理解题意、探究规律并利用规律是解题的关键． （1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a、b、c，然后再确定d，最后求校验码即可； （3）根据校验码为8，结合两个数字的差是2即可求解； 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤3”中的c的值为， ∴d的值为60， ∴校验码的值为， 故答案为：55，5； （2）解：根据题意得：，， ∴， ∵校验码为6， ∴， ∵d为10的整数倍， ∴的个位数字必须是9， ∴， ∴． 故答案为：，3. （3）解：设两个数字从左到右分别是p、q， 由题意得：，， ∴， ∵校验码为8， ∴， ∵或 ∴或， ∴或， 当时， ∵d为的整数倍， ∴的个位数字为4， ∴或6， ∴（不合题意舍去）或； 当时， ∵d为的整数倍， ∴的个位数字为0， ∴或5， ∴或； ∴这两个数字从左到右分别是6，4或0，2或5，7． 故答案为：6，4或0，2或5，7． 49．（25-26七年级上·江苏南通·期中）【回顾书本】 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是， 显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除．即：能被3整除． 【类比证明】 （1）小明同学从中发现：如果一个两位数的所有数位上的数字之和等于9，那么这个两位数就能被9整除．在此基础上，小明同学提出了“如果一个自然数的各数位上的数字之和等于9，那么这个自然数就能被9整除”的观点． 请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【简单运用】 （2）当五位数能被9整除，求代数式的值； 【拓展提升】 （3）①若两位数能被11整除，则a，b满足的条件______； ②若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件______； ③按此方法探究，若任意一个自然数能被11整除，直接写出这个自然数所有数位上的数满足的规律． 【答案】 （1）正确，证明：设三位数的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则这个三位数可表示为： ， ∵， 则上式变为， ∵是9的整数倍， 能被9整除，小明的观点正确； （2）或； （3）①；②或；③任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了数的整除特性的证明与应用，涉及3、9、11 的整除规律推导及实际运用．熟练掌握“用代数表示数并拆分变形，结合整除定义分析数字和与数的关系”是解题关键． （1）通过代数表示三位数，拆分变形为9 的倍数与数字和的组合，利用“数字和为9”推导其是9 的倍数，验证观点正确性； （2）根据能被9 整除的数的数字和规律，结合五位数的数字和，确定其为9 的倍数，进而求的值即可； （3）将数拆分为11 的倍数与数字组合的形式，通过整除条件推导不同位数下数字需满足的关系，归纳通用规律即可． 【详解】解：（1）略 （2）的各位数字和为， 由（1）的证明过程类比可知，若一个自然数各数位数字之和能被9整除，则该数能被9整除， 因此若五位数能被9整除，则能被9整除， 由题意可知， ∴或， ∴或； （3）①两位数，若能被11整除，则（k为整数）， ∵，， ∴，即； ②三位数 若能被11整除，则或11的倍数， 即或； ③根据②可得：若三位数能被11整除，则a，b，c满足的条件为（k为整数）， 四位数 ， 若能被11整除，则（k为整数）， 同理可得：若五位数能被11整除，则（k为整数）， 若六位数能被11整除，则（k为整数）， … 则任意自然数能被11整除的规律：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数． 【考点8】数轴与绝对值化简综合（第50-52题） · 由数轴判断点的位置与符号 · 去绝对值先判断内部式子的符号 · 结合整式加减化简含字母的绝对值 50．（21-22七年级上·广西桂林·阶段检测）对于数轴上的一切数，式子的最小值是______． 【答案】11 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题 【分析】分五种情况，，，，，结合绝对值的意义化简求解．本题考查绝对值意义，结合数轴，利用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当时，，，，， 则 ； 当时，，，，， 则 ， 在这里； 当时，，，，， 则 ； 当时，，，，， 则 ， 在这里； 当时，， ，， 则 ． 综上，式子的最小值是11． 故答案为：11． 51．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为__________． (3)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，3 (2) (3)10， 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、已知式子的值，求代数式的值、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，求代数式的值， 将化简为，根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4，结合3到的距离判定x的范围，即可求得最大值和最小值； 可表示为x到的距离与x到的距离和，当时，最小值为2，结合各自占比即可知x的取值和取最大值； 根据题意得，当，时，符合题意，此时，的最小值为3，的最小值为9，即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：将化简为， 根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4， ∵3到的距离为4， ∴x位于3到， 则能取到的最小值是，最大值是3； （2）解：可表示为x到的距离与x到的距离和， 则当时，最小值为2， ∵的占比为，的占比为， ∴当越大时，越小． 则当时取得最大值，； （3）解：根据题意得，且， ∵， ∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为9， ∴的最大值为：， 的最小值为：． 52．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)或1 (3)①2 ②当时，的最小值为6 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据表示x的点与表示的点之间的距离解答； 对于（2），分两种情况表示x的点与表示的点之间的距离是2解答即可； 对于（3），①分三种情况讨论表示x的点与表示和1的点之间的距离最小解答； ②分五种情况讨论表示x的点与表示，2，3的点之间的距离和最小，并求出最小值． 【详解】（1）解：表示x的点与表示的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：若，可知表示x的点与表示的点之间的距离为2， ∴x的值是或1； 故答案为：或1； （3）解：①当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在1的右边时，； 当表示x的数在和1之间时，， 所以最小值为2； ②当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在3的右边时，； 当表示x的数在和2之间时，， 当表示x的数在3和2之间时，， 当表示x的数是2时，， 所以最小值为6． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：单项式系数次数、多项式次数要判断准确 · 运算过关：去括号变号是易错点，合并同类项要彻底 · 求值过关：先化简再代入，会用整体代入简化计算 · 应用过关：列代数式审清题意，方案问题列式比较 · 规律过关：数字找差、图形找增量，写出通项并验证 【作业1】．（25-26七年级上·重庆合川·期末）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个．①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、倒数 【分析】本题主要考查数字规律，理解题意，找出规律是关键． 通过计算操作序列发现周期性：每3次操作（12个数）循环一次，循环序列为. 说法①正确；说法②中对应周期中第7个数为，错误；说法③中前50项和为，错误． 【详解】解：∵ 初始数列， 一次操作：相反数得，与1的和的倒数得， 二次操作：对操作， 相反数得，与1的和的倒数得， ∴ 说法①正确； 三次操作：对操作， 相反数得，与1的和的倒数得， 序列周期为12：， 对于， ∵ ， ∴ 对应周期第7个数， ∴ 说法②错误； 对于前50项和，周期和， ∵ ， ∴ ， ∵ 和为周期5前两个数，与和相同， ∴ ，， ， ∴ 说法③错误. 综上，仅①正确， 故选：B． 【作业2】．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个长方形区域分割为若干三角形，其分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．如图1，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；如图2，当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）；如图3，当长方形内有3个点时，可分得8个三角形（不计被分割的三角形）；…，以此类推，当长方形内有50个点时，可分得三角形的个数为（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．观察可知长方形内每增加一个点，那么分得的三角形数量增加2，据此规律求解即可． 【详解】解：当长方形内有1个点时，可分得个三角形； 当长方形内有2个点时，可分得个三角形， 当长方形内有3个点时，可分得个三角形， ……， 以此类推，可知当长方形内有n个点时，可分得个三角形， ∴当长方形内有50个点时，可分得三角形的个数为个， 故选：D． 【作业3】．（23-24七年级下·重庆江北·期末）有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了整式的加减运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则进行计算即可解答． 【详解】 第一次操作后的整式串：，，， 第二次操作后的整式串：，，，， 故结论正确． 由题意得：第一个整式串：，，； 第二个整式串：，，，，； 第三个整式串：，，，，，，，，； 第四个整式串：，，，，，，，，，，，，，，，，； ．．．．．． 观察可得：第奇数个整式串，从右往左第二个整式为；第偶数个整式串，从右往左第二个整式为； 即第个整式串中，从右往左第二个整式为； 故结论错误． 第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为， ．．．．．． 依照规律可得第次操作后，所有的整式的和为； 第2025次操作后，所有的整式的和为； 故结论正确． 观察可得：第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式， ．．．．．． 依照规律可得第个整式串比第个整式串多个整式． 故结论正确； 故选：B． 【作业4】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、添括号 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例或反例． 【详解】解：∵ 原多项式为， ① 选择d，e进行“加括号操作”，，故说法正确； ② 选择 进行“加括号操作”，，与原式相等，故说法正确； ③ 因为无论哪轮操作，的符号始终不变，所以操作结果与原式之和不可能为，故说法正确； ④ 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 结果数大于4种，故说法错误； ∴ 错误说法为④，共 个． 故选：B． 【作业5】．（24-25九年级下·重庆·期中）已知单项式串：其中为非负整数，均为正整数．规定：，整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为所以．以下说法：①若则；②若，则所有满足条件的整式的和为；③若，则所有满足条件的整式有10个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查数字类规律，整式加减； ①由题意得到，系数相加即可求出；②由，得出，再根据均为正整数，为非负整数，推出满足条件的整式的式子中必有这个常数项，得到满足条件的整式的和中必有常数项，即可判断结果；③分别讨论当，，，时，分别进行计算，求出所有满足条件的整式的个数即可． 【详解】解：由题意知： ∵ ∴ ∴， 故①正确； ， ∴， ∵均为正整数，为非负整数， ∴满足条件的整式的式子中必有这个常数项， ∴满足条件的整式的和中必有常数项， ∴所有满足条件的整式的和为错误， 故②错误； ∵ 当时， ∴ ∵ ∴ ∵为非负整数，为正整数， ∴， ∴， 当时，， ∴ ∵， ∴ ∵为正整数， ∴ ∴ 当时，， ∴ ∵ ∴， ∵均为正整数，为非负整数， ∴ ∴， 当时，， ∴ ∵， ∴ ∵均为正整数， ∴此时不满足， ∴所有满足条件的整式有10个， 故③正确； 故选：C． 【作业6】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【答案】①②④ 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了运动中的规律探究，利用枚举法找出变化规律，用规律解答即可． 【详解】解：根据题意，得 ，，，，，故①正确； ，，，，，故②正确；，，，，； 该运动以5秒为一个周期，在一个周期内净前进1个单位长度， ∵，则，，，，， ∴故③错误； ∵ ∴， ∴故④正确 故答案为①②④． 【作业7】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，则代数式的值为_______． 【答案】16 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，掌握整体思想求代数式的值是解题的关键． 由已知方程可得，将代数式变形为 ，代入 后简化，再利用方程除以（因 ）得 ，进而求出，最终代入计算． 【详解】由，得， 代数式， 代入，得， 由，得，即， 代入得 ， 由，因，除以得，即， 两边平方得 ，即， 所以， 代入得． 故答案为：16． 【作业8】．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）观察下列单项式：，，，，，按此规律，可以得到第个单项式是___________． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式规律探索，能根据所给单项式发现其系数及指数的变化规律是解题的关键．观察单项式序列的系数和指数的变化规律，系数为平方数且符号交替，指数与序号相同，由此得出第个单项式，进而得解． 【详解】解：第一个单项式：； 第二个单项式：； 第三个单项式：； 第四个单项式：； ， 因此第个单项式为． 当时，， 所以第个单项式为． 故答案为：． 【作业9】．（2026·四川成都·二模）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第n（n为正整数）幅图形中“●”的个数为 ____________  ， 的值为 ____________  ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，数字规律，根据图示找出规律：，代入计算即可． 【详解】解：第1幅图形中“●”的个数为：， 第2幅图形中“●”的个数为：， 第3幅图形中“●”的个数为：， 第4幅图形中“●”的个数为：， ， 以此类推，第n 幅图形中“●”的个数为：， , ． 【作业10】．（2025七年级上·全国·专题练习）按照如图所示的图形摆放的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是________． 【答案】3038 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律． 根据前几个图形的规律，找到当为奇数时和当为偶数时需要的黑色正方形个数，继而代入计算即可． 【详解】第个图形中黑色正方形的数量是个， 第个图形中黑色正方形的数量是个， 第个图形中黑色正方形的数量是个， 第个图形中黑色正方形的数量是个， 第个图形中黑色正方形的数量是个， … 当n为奇数时，黑色正方形的个数为， 当n为偶数时，黑色正方形的个数为， ∴第个图形中黑色正方形的数量是个． 故答案为：． 【作业11】．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）若一个各个数位上的数字均不为0的四位数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），则称该四位数为“k型数”．例如，对于四位数4675，∵∴4675为“5型数”．若四位数是“型数”，则______；若四位数A是“3型数”，是“型数”，将A的百位数字与十位数字变换位置，得到一个新的四位数B，B也是“3型数”，则满足条件的四位数A的最大值为______． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用. 由新定义列方程可解得的值，设，根据是“型数”,也是“型数”, 有 且，可得，设，由是“型数”，分两种情况：和时，分别计算即可得到答案. 【详解】解：∵四位数是“型数”， ∴，解得：； 设， ∵是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”， 且， 将两式相减整理得：， ∴的十位与百位数字相同，设，由是“型数”，分两种情况： 时，， ∵四位数是“型数”, ， 是“型数”， ， ， 整理化简得：， ∵、是整数，、是偶数， 而3是奇数， 无整数解，此种情况不存在； 时， ， ∵是“型数”， ∴， 即①， ∵是“型数”， ∴，即②， ①+②化简得， ①+②×2化简得， ∴当时，，此时； 当时， ， 此时； 综上所述，满足条件的四位数的最大值为． 故答案为:, ． 【作业12】．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为______． 【答案】392 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键在于将代入原式，求出相关代数式的值． 先令，即可求出①；再令，得到②，可得，最后令，可得，由此即可求得的值，继而可求解． 【详解】解：令，得：①； 令，得②， 得：， 即， 令，得， 则， ∴， 故答案为：392． 【作业13】．（25-26七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究 阅读下列材料，并解答后面的问题： “四平八稳” 在中华传统文化中，“四平八稳”常用来形容做事稳妥、周全，不偏不倚，其中“四”与“八”也象征着平衡与和谐．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“平稳数”．对于平稳数m，任意去掉一个数位上的数字，可以得到四个三位数，这四个三位数的和记为． 举例说明： 取，因为千位与个位之和，百位与十位之和，且，所以6336是平稳数．去掉千位得336，去掉百位得636，去掉十位得636，去掉个位得633，则． (1)四位数8442 平稳数（填是或不是）； (2)已知8424是平稳数，计算； (3)若一个平稳数m的千位上的数字与个位上的数字之和为12，且能被5整除，求满足条件的所有平稳数中的最大数． 【答案】(1)不是 (2)2934 (3) 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】（1）根据平稳数的定义进行判断即可； （2）根据题意求出结果即可； （3）设千位上的数字为a，百位上的数字为b，则个位上的数字为，十位上数字为，根据题意得出，，求出，根据且能被5整除，得出能被5整除，然后结合，，求出最大值即可． 【详解】（1）解：因为千位与个位之和为，百位与十位之和，且，所以8442不是平稳数． （2）解：； （3）解：设千位上的数字为a，百位上的数字为b，则个位上的数字为，十位上数字为，根据题意得： ，， 解得：，， 去掉千位得：， 去掉百位得， 去掉十位得， 去掉个位得， ， ∴ ， ∴要使能被5整除，必须使能被5整除， ∵，， ∴要使满足条件的所有平稳数最大，则、， ∴，， ∴满足条件的所有平稳数中的最大数为． 【作业14】．（2026七年级上·全国·专题练习）求为何值时，式子（为正整数）有最小值，并求出此最小值． 【答案】，最小值为 【知识点】绝对值的几何意义、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】由绝对值的几何意义变形，进而得出当时有最小值，代入原式后化简即可． 【详解】解： ， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和，且为正整数， 当时，有最小值， 则最小值为 （其中，且为正整数）． 【作业15】．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 【作业16】．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知式子． (1)当______，______时，此式子的值与字母的取值无关； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，根据题意求出，的值即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； （3）先用适当的方法变形，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵此式子的值与的取值无关， ∴，， ∴，． 故答案为：；． （2）解：原式． 当时， 原式． （3）解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题关键． 【作业17】．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 【作业18】．（25-26七年级上·重庆·期中）一个三位数，十位数字比百位数字大 2，个位数字比十位数字大 1，则称为“诚勤”数；一个三位数，十位数字比百位数字大 3，个位数字比十位数字大 1，则称为“立达”数； (1)直接写出最小的“诚勤”数是： ，最大的“立达”数是： ； (2)“诚勤”数加 103 得到一个三位数，去掉这个三位数的个位数字得到一个新的两位数，去掉三位数的百位数字得到一个新的两位数，请求出的值； (3)若“诚勤”数与“立达”数的和是 11 的倍数，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1)134，589 (2)或 (3)或100或322 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了“诚勤”数，“立达”数，列代数式，整式的加减法，化简绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题目，当“诚勤”数的百位数字最小时，其最小，当“立达”数的个位数字最大时，其百位数字也达到最大，此时其最大，据此作答即可； （2）不妨设“诚勤”数的百位数字为，那么其十位数字为，个位数字为，那么，，可得当（为正整数），，当（为正整数），，然后根据，计算出答案即可； （3）设“立达”数的百位数字为，那么十位数字为，个位数字为，可知，其中，设“诚勤”数的百位数字为，那么其十位数字为，个位数字为，，其中，那么，根据其为11的倍数，可得，然后分情况讨论即可． 【详解】（1）解：“诚勤”数十位数字比百位数字大 2，个位数字比十位数字大 1， 当百位数字为1时，其最小， 此时十位数字为，其个位数字为， 最小的“诚勤”数是134； “立达”数，十位数字比百位大 3，个位数字比十位数字大 1，又个位数字最大为， 其十位数字最大为8， 此时百位数字为，达到最大值， 最大的“立勤”数是589； 故答案为：134，589； （2）解：不妨设“诚勤”数的百位数字为，那么其十位数字为，个位数字为， ， ，为正整数， （为正整数）， “诚勤”数加 103 得到一个三位数， ， 去掉这个三位数的个位数字得到一个新的两位数， 当（为正整数），，当（为正整数），， 去掉三位数的百位数字得到一个新的两位数， ， 时，； 当时，； 故答案为：或； （3）解：设“立达”数的百位数字为，那么十位数字为，个位数字为， ， ，， ， 不妨设“诚勤”数的百位数字为，那么其十位数字为，个位数字为， ，其中， 是的倍数， 能被11整除， ，， 当时，能被11整除， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为或100或322． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $