第1章·有理数·期中复习·讲义 ·2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

第1章·有理数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理有理数的有关概念，会求一个数的相反数、倒数与绝对值 · 借助数轴理解绝对值的几何意义，解决距离与动点问题 · 熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，灵活运用运算律 · 能解决有理数运算的实际问题，会用程序流程图与代数式表示运算结果 · 会从数字与图形中探索规律，用含n的代数式表示一般结论 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的有关概念 有理数：整数与分数统称有理数，按符号分为正有理数、零、负有理数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是-a，互为相反数的两数和为0 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，a(a≠0)的倒数为 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，正数绝对值是它本身，负数绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 概念辨析例题：求-的相反数、倒数与绝对值 答案：相反数为，倒数为-，绝对值为 解析：相反数只改变符号；倒数交换分子分母；负数的绝对值等于它的相反数 ☆ 2.数轴与绝对值的几何意义 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线，任何有理数都可以用数轴上的点表示 两点距离：数轴上点A、B表示的数为a、b，则AB=|a-b|=大数减小数 绝对值化简：|a-b|先判断a-b的符号，再去掉绝对值符号 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0，则a=0且b=0 概念辨析例题：数轴上点A表示-3，点B表示5，求A、B两点间的距离及到两点距离相等的点表示的数 答案：AB=|5-(-3)|=8，中点表示的数为1 解析：距离用大数减小数：5-(-3)=8；中点为两数的平均数：(-3+5)÷2=1 ☆ 3.有理数的运算 加法：同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b) 乘除：两数相乘除同号得正、异号得负，并把绝对值相乘除；除以一个数等于乘它的倒数 乘方与混合运算：an表示n个a相乘；混合运算先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-22×(-)+(-6)÷|-3| 答案：0 解析：-22=-4，-4×(-)=2；(-6)÷3=-2；2+(-2)=0 ☆ 4.实际应用与规律探索 正负数表示相反意义的量，如温度升降、收支、海拔与邮费等实际问题 程序流程图：按图中给定的输入、判断与运算框逐步计算输出结果 数字规律：观察相邻项的差或倍数关系，用含n的代数式写出第n个数 图形规律：数出图形个数的增量，列表找通项，再代入前几项验证 概念辨析例题：一组数：1，4，9，16，…，按此规律写出第n个数 答案：第n个数为n2 解析：第1个数是12，第2个数是22，第3个数是32，故第n个数为n2 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 a的相反数是-a，a+(-a)=0 0的相反数是0 倒数 乘积为1的两数互为倒数 0没有倒数 绝对值 |a|≥0，|a-b|=两点距离 化简先判断符号 有理数减法 a-b=a+(-b) 减号和减数同时变号 乘方 an=n个a相乘 -22=-4，(-2)2=4 混合运算 先乘方→再乘除→后加减 运算律可简化计算 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的有关概念与加减运算（第1-3题） · 相反数只变符号、倒数交换分子分母，0没有倒数 · 异号相加先比较绝对值，取大数的符号 · 减法统一成加法后再用运算律 1．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法①绝对值等于它本身的数是0；②两个有理数的差一定小于被减数；③倒数等于它本身的是，任何有理数都有倒数；④几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负数；⑤正数的任何次幂都是正数；⑥单项式的系数是3，次数是2．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、倒数、有理数的乘方运算、单项式的系数、次数 【分析】本题考查的是绝对值的概念、有理数的减法、倒数的概念、有理数的乘法、单项式的概念，掌握它们的概念和运算法则是解题的关键．根据绝对值的概念、有理数的减法、倒数的概念、有理数的乘法、单项式的概念判断即可． 【详解】解：①绝对值等于它本身的数是0和正数，故说法错误； ②两个有理数的差一定小于被减数，说法错误，例如：，而； ③倒数等于它本身的是，任何有理数都有倒数，说法错误，因为0没有倒数； ④几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负数，说法错误，例如，0不是负数； ⑤正数的任何次幂都是正数，说法正确； ⑥单项式的系数是，次数是2，故说法错误； 故选：B． 2．（25-26七年级上·甘肃白银·期中）下列说法：①在数轴上离原点越远的点所对应的数的绝对值越小；②互为相反数的两个数绝对值相等；③多项式的二次项系数是－3；④数轴上点到原点的距离是6，则点表示的数是6；⑤几个有理数相乘，如果积为负数，那么负因数的个数是奇数个．正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】相反数的定义、多个有理数的乘法运算、多项式的项、项数或次数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义、相反数的性质、多项式的系数、数轴上的点表示的数、有理数乘法法则，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据绝对值的几何意义、相反数的性质、多项式的系数、数轴上的点表示的数、有理数乘法法则进行逐项判断正误即可． 【详解】① 由绝对值的几何意义可知，在数轴上离原点越远的点所对应的数的绝对值越大，故①错误； ② 由相反数的性质可知，互为相反数的两个数绝对值相等，故②正确； ③ 由二次项的系数的定义可知，多项式的二次项是，系数是 ，不是-3，故③错误； ④ 数轴上点 到原点的距离是6，则点 表示的数是6或-6，故④错误； ⑤ 根据有理数的乘法法则可知，几个有理数相乘，如果积为负数，那么负因数的个数是奇数个，故⑤正确； 综上，正确的有②和⑤，共2个． 故选A． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是__________（填写序号）． ①若，则； ②若，且均为整数，则的最大值是6； ③如图  ，则图形中阴影部分面积是； ④当式子取最小值时，是． 【答案】②③④ 【知识点】有理数加法运算、绝对值的几何意义、列代数式 【分析】根据绝对值的性质可得均为正或者中两个为负一个为正，分两种情况进行计算即可判断①；根据有理数的加法和乘法即可判断②；根据图形表示出面积即可判断③；根据平方的非负性即可判断④，从而得到答案． 【详解】解：①， 均为正或者中两个为负一个为正， 当均为正时，， 设当为正，为负，， 或，故①错误； ② ，且均为整数， 要使最大，则均为负， ，或，， 当，时，， 当，时，， 若，且均为整数，则的最大值是6，故②正确，符合题意； ③由图可得：图形中阴影部分面积是，故③正确，符合题意； ④， ， 当，即时，式子取最小值为3， 当式子取最小值时，是，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的混合运算、列代数式、非负数的性质等知识点，熟练掌握正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、零的绝对值是零；有理数的运算法则；平方具有非负性是解此题的关键． 【考点2】绝对值的几何意义与化简（第4-9题） · 数轴上两点距离=|大数-小数| · 含字母绝对值先判断绝对值内式子的符号 · 求距离之和最小值时找临界点 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为、、，．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间（靠近点B） D．点的右边 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义．根据“绝对值表示数轴上一个点与原点的距离”判断即可． 【详解】解：A、原点在点的左边时，此时，不符合题意； B、原点在点与点之间时，，，因为，所以，不符合题意； C、若原点在线段中点的左边，则，，此时，不符合题意； D、原点在点的右边时，，则，符合题意； 故选：D． 5．（2023七年级上·全国·竞赛）设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 _______． 【答案】18 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练应用数轴将绝对值具象化是解题的关键．画出数轴，依次让，，，，，最大，那么可知，，，，，，从而算得答案． 【详解】解：如图所示：依次让，，，，，最大， 那么 故答案为：18． 6．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）若为互不相等的正偶数，满足，则的最小值为______． 【答案】18 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的乘方运算、数轴上两点之间的距离 【分析】题目主要考查数轴上两点之间的距离，有理数的乘方及乘法运算，理解题意，确定分别为是解题关键． 根据题意得出为互不相等的偶数，确定分别为，然后结合绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵为互不相等的正偶数， ∴为互不相等的偶数， ∵ ∴分别为， ∵表示数轴上一点x到的距离之和， ∴当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：18． 7．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 8．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）结合数轴，回答下列问题： (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是___________；如果和两点之间的距离是4，那么为___________； (3)求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； (4)已知是有理数，则的最小值为___________；此时相应的的最大值是___________；最小值是___________． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)0 (4)，， 【知识点】有理数加法运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式即可得到和之间的距离为，即可得到方程，再求解即可； （3）可知数轴上到3之间的整数对应的点到3和的距离之和为6，即可得到，再相加即可； （4）为数轴上表示有理数的点到表示的点和表示的点的距离之和，然后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示和2的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； ∵和两点之间的距离是4， ∴ ， 或， 故答案为：或； （3）解：， ∴数轴上到3之间的整数对应的点到3和的距离之和为6， ∴符合条件的整数有， ∴ （4）解：， ∴为数轴上表示有理数的点到表示的点和表示的点的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，， ∴最小值为，此时相应的最大值是，最小值是， 故答案为：，，． 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）①根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； ②根据题意得，即可求解； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，200，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点F上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和为：，即可求解． 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时， ， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 【考点3】绝对值的非负性与字母化简（第10-14题） · |a|≥0、a2≥0，非负数和为0则各项为0 · 化简|x-a|分x≥a与x<a两种情况 · 结合数轴判断点的位置再去绝对值 10．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．或2 D．或4 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了绝对值，乘方，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由可知，即，结合和，求出和的可能取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∵， ∴或， 当时，由得, 故， 当时，由得, 故， ∴， 或 ，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为或， 故选：D． 11．（25-26七年级上·重庆·期中）在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义及分类讨论思想是解题的关键． 根据绝对值的性质，对每个说法逐一分析判断． 【详解】，，①正确； ，，，②错误； 当时，，不是正数，③错误； 当时，无意义，④错误； 若，当负数个数为1时，， 当负数个数为2时， 当负数个数为3时， ，故⑤正确． 综上，①和⑤正确，共2个． 故选：． 12．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）若与的和为0，则__________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值；根据非负数的性质得出值，再利用裂项法计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴且， ∴，， ∴ 故答案为：． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】c 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，利用数轴比较数的大小从而正确化简计算是解题关键． 【详解】解：由数轴可知：，，， ． 故答案为：c． 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图1，在一条可以折叠的数轴上有四个点，表示的数分别为，，且． (1)求的值； (2)如图2，若以点为折点将数轴向右对折，使点的对应点落在点和点之间，且与这两点的距离都等于2，求两点的距离； (3)若以点为折点将数轴向右对折，点的对应点表示的数为，是整数，求两点的距离． 【答案】(1)，； (2)3 (3)9 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）由题易得点表示的数为0，则，进而可得，即可得解； （3）依题意可得是正整数，故得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，； （2）解：∵点落在点C和点D之间，且与这两点的距离都等于2，， ∴点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得，， ∴， 即，， ∴B，C两点的距离为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵c是整数，， ∴是正整数， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 【考点4】数轴上的距离与动点问题（第15-20题） · 动点位置=起点±速度×时间，注意方向 · 两点距离用|表示数之差|表示 · 翻折问题：折痕是对应两点的中点 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【知识点】数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：B． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ 【答案】（1）2；（2）①；②A表示，B表示3；（3）或或． 【知识点】数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为，①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为，由此得出A、B两点表示的数； （3）分三种情况：、和，先求出的长，再利用数轴的性质求出点表示的数，由此即可得． 【详解】（1）解：∵表示的点1与表示的点重合， ∴折痕为原点O， 则表示的点与2表示的点重合， 故答案为： （2）解：∵折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合， 则折痕表示的点为， ①设表示的点与数a表示的点重合， 则， ； 故答案为： ②∵数轴上A、B两点之间距离为8， ∴数轴上A、B两点到折痕的距离为4， ∵A在B的左侧， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）解：设C表示，D表示8， 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 综上，折痕处对应的点所表示的数是或或． 18．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计了以下两种学习活动： （一）折叠 （1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ； （2）点A、B表示的数分别是、4，若将此数轴沿A、B两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． （二）平移 （3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ； （4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点P的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点，若点M，点P表示的数分别是，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【知识点】有理数四则混合运算、数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的混合运算． （1）根据折痕点的含义列式求解即可； （2）根据折痕点的含义逐步求解最左边的折痕点对应的数即可． （3）设木棒的长度为，可得：，进一步求解即可． （4）由点表示的数为，可得一次跳跃点表示的数为，结合点与点位于点P的两侧，且，可得点是的中点，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是； 如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是． （2）∵点A、B表示的数分别是、4， ∴第一次对折后折痕点对应的数为：， 第二次对折后折痕点对应的数为：， 第三次对折后折痕点对应的数为：， 第四次对折后折痕点对应的数为：， 第五次对折后折痕点对应的数为：， ∴这样连续对折5次后，再将其展开，最左端的折痕与数轴的交点表示的数为： （3）设木棒的长度为， 由题意可得：， 解得． （4），理由如下： ∵点表示的数为，则一次跳跃点表示的数为， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴点是的中点， ∵点P表示的数分别是， ∴点表示的数为：， ∴． 19．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 【答案】(1) (2)①； ②不变，理由如下： ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变． 【知识点】绝对值非负性、数轴上点的平移（动点问题）、列代数式、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查最小正整数定义，绝对值和完全平方非负性，数轴上两点间距离，数轴上动点问题等． （1）根据题意可得，利用绝对值和完全平方非负性可知，； （2）①经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为，继而可求出本题答案；②经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，继而可得，，继而得到，继而可知不会随着时间t的变化而改变． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：①∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以3个单位长度的速度向右运动， ∵点A现在表示的数为，点C现在表示的数为， ∴经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为， ∴， 故答案为：14； ② 略 20．（25-26七年级上·天津·期末）如图，在数轴上，数a、b所对应的点分别为A、B，点O表示原点，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点A表示的数是_____，点B表示的数是______； (2)点Q的速度为每秒______个单位，当______秒时P、Q两点停止运动； (3)点C是线段的一个三等分点，点M是的中点，设P、Q两点运动的时间为秒，用含t的式子表示线段的长，不用写出t的取值范围； (4)假设动点P，Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于Q的速度，其余条件不变．E为的中点，F为的中点，当点P在线段上运动时，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)，18； (2)3， (3)当点C表示6时，，当点C表示12时，； (4)或 【知识点】绝对值非负性、列代数式、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查线段的加减，整式的加减，列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得出结论即可； （2）根据题意求得点的速度，再计算点相遇时间即可； （3）分情况，即点是靠近点的三等分点或点是靠近点的三等分点，再表示出的长即可； （3）分情况，即两点相遇之前或两点相遇之后，设，，则，表示出即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 故点A表示的数是，点B表示的数是18； （2）解：由题意可得点Q的速度为每秒个单位， ， 则当秒时P、Q两点停止运动； （3）解：根据题意知，点表示的数为，表示的数为， 设表示的数为， 是的中点， ， ， ， 点是的三等分点，， 点表示6或12， 当点表示6时，， 当点表示12时，， 即当点表示6时，， 当点表示12时，； （4）解：当点相遇之前，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 当点相遇之后，如图， 设，，则， ，，， E为的中点，F为的中点， ，， ， ； 综上，线段与的数量关系为或． 【考点5】有理数的乘除运算（第21-25题） · 先定符号再算绝对值，除法转乘倒数 · 多个有理数相乘，负因数个数决定符号 · 带分数先化为假分数再约分 21．（25-26六年级上·上海·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每前进1步或后退1步的时间都是1秒，并且每1步的距离为1个单位长度．表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算、数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴上的规律探究，根据题意得到机器人运动以5秒为一个循环，每个循环净前进1单位，据此逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意，机器人运动以5秒为一个循环，每个循环净前进1单位， ∴，故①正确； ∵，， ∴机器人在第76秒的位置上再前进一个单位，到达第77秒的位置， 故，故②错误； ∵，， ∴机器人在第2024秒的位置后退1个单位，到达第2025秒的位置； ∴，故③错误； 故选A． 22．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中正确的有________．（填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和性质，有理数的运算．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，，，， 观察①②③④四个结论，结论③错误； 故答案为：①②④． 23．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知三个有理数a、b、c，其积是负数，其和是正数，当时，代数式的值为____． 【答案】1 【知识点】多个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义、有理数加法中的符号问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的加法法则和乘法法则及有理数的绝对值的意义． 先根据有理数的加法法则和乘法法则判断a、b、c的符号，再化简x的值，最后再代入中求值即可． 熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键． 【详解】∵a、b、c三个数的积是负数， ∴这三个数为三个负数或两正一负， 又∵这三个数的和是正数， ∴这三个数只能为两正一负． 设， 则 ， ． 故答案为：1 24．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，那么称为“异数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以所得的商记为，例如：时，，．则______．若为“异数”，且与的个位数字之和能被整除，则满足条件的最大“异数”与最小“异数”的差是______． 【答案】 414 82 【知识点】有理数的除法运算、整式加减的应用 【分析】本题主要考查代数式的运算和有理数的混合运算，根据题意可知，且，利用已知定义即可求得；设，则，可求得，结合题意可知能被5整除，则能被5整除，令，分情况计算求得满足条件的最大“异数”与最小“异数”并作差即可． 【详解】解：当时，，四位数， ∴． 设，则，四位数， ∴， ∴与的个位数字之和为， ∴， ∵与的个位数字之和能被整除， ∴能被整除， 令， 当时，或或或； 当时，或或或或或或或； 当时，或或或； 满足条件的最大“异数”与最小“异数”的差是， 故答案为：和． 25．（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）有理数a，b，满足，且，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有______（填序号）． 【答案】①③/③① 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数大小比较 【分析】此题考查了数轴、绝对值，由有理数a，b，满足，且，再根据有理数的运算法则、相反数、绝对值分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：∵有理数a，b，满足，且， ∴，故①正确； ∵有理数a，b，满足，且， ∴，， ∴，故②错误， ∵有理数a，b，满足，且， ∴，，， ∴，故③正确， ∵有理数a，b，满足，且， 当，时，， ∴说法错误，故④错误， ∴正确的有①③． 故答案为：①③． 【考点6】有理数的乘方运算（第26-30题） · 看清底数：-22与(-2)2意义不同 · 负数偶次幂为正、奇次幂为负 · 乘方应用问题先列式再计算 26．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值的化简与有理数乘方计算，由绝对值和平方根求出x和y的可能值，再根据绝对值方程推出x与 y的大小关系，排除不满足条件的值，最后计算的可能值． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵，且当且仅当， ∴，即， 当时，，但或均小于5，故不满足； 当时，，或均满足， 若，则； 若，则， ∴的值为或， 故选：C． 27．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】乘方的应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得，推出，进而得点表示的数为；即可求解； 【详解】解：∵点表示的数为4，点表示的数为， ∴； ∵， ∴； ∴点表示的数为； ∵， ∴数对应的点所在线段是； 故选：A 28．（23-24七年级上·吉林长春·期中）式子计算结果的个位数字是______． 【答案】8 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据的尾数恒为6，可知中每一项的尾数均为6，则最后的结果的末尾数为2023个6相加的尾数，问题随之得解． 【详解】∵的尾数恒为6， ∴中每一项的尾数均为6， 则最后的结果的末尾数为2023个6相加的尾数， 即：， ∴位数是8， 故答案为：8． 29．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知表示个互不相等的整数，这个数的绝对值都大于，且满足则的最大值是______． 【答案】590 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查有理数的乘方及绝对值的意义，解题的关键是理解题意；根据题意，得出，然后可得，的最大值需使a、b、c尽可能大且互异，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由，且，得，故， 代入方程得，由且为整数，同理可得， ∴的最大值需使a、b、c尽可能大且互异， ∴当时，，由于，不满足互异，故取， 此时，，，， 时，，， 发现当值增大时，的值会逐渐变小，故时，取到最大值； 故最大值为590； 故答案为590． 30．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若将二进制数转化成十进制数为，则转化成十进制数为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】乘方的应用、列代数式 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，理解二进制的概念是解题的关键． 由二进制数转十进制的性质，个1组成的二进制数其十进制值为，根据给定条件，由个1组成的二进制数转换为十进制数为，即，需要求由个1组成的二进制数的十进制值，即，并用表示． 【详解】解：∵个1组成的二进制数其十进制值为， ∴二进制数，即， ∴，即， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点7】有理数的混合运算（第31-38题） · 严格按乘方、乘除、加减的顺序计算 · 有括号先算括号，中括号小括号依次进行 · 恰当使用交换律、结合律、分配律简化 31．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则的值为（   ） 4 a b 3 c d e f A．7 B． C．1 D．8 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了等式的性质及有理数的加减法运算，利用所有行、列、对角线之和相等的条件，先由第一行和副对角线求出，再逐步求出其他未知数的值，最后代入表达式计算． 【详解】解：由题意得，，解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：A． 32．（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数运算，掌握有理数运算法则，根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 根据题意，先求出所有数字之和，除以2，即可得到竖线上所有数字之和，求出b的值，再分析出横线上的所有数字，根据内圈上的4个数字之和也等于总数字之和的一半，求出内圈左边数字的值，即可得到a的取值情况，即可求解． 【详解】解：， ， 竖线上的四个数字为， 横线上的四个数字为， ， 内圈左边的数字为， 为或2， 当时，， 当时，， 故的值为或1． 故选：B． 33．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“九九数”，此时，规定，例如中，是“九九数”，；又如中，不是“九九数”，则： （1）______； （2）对于一个“九九数”，且为偶数，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“九九数”为______． 【答案】 或 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）根据定义代入求值，进行判断即可；（2）先设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，根据为“九九数”，推出，，并求出的值为，求出，再根据是的倍数，推出是的倍数，根据的取值范围推出，然后根据为偶数，推出的可能取值为：，最后进行计算结合的千位数字不小于百位数字即可求解． 【详解】解：（1）中，，是“九九数”， ； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为， ∵为“九九数”， ∴，即，， ∴ ， ∴， ∵是的倍数，， ∴是的倍数， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为零， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为奇数，的可能取值为：， ∵的千位数字不小于百位数字，各个数位上的数字互不相等且均不为零， ∴， ∵时， 若，，符合题意，，，； 若，，符合题意，，，； 若，，不符合题意； 若，，不符合题意； ∴综上，满足条件的所有“九九数”为或． 34．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数，如：，，则以下结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解： ，故正确； ，故正确； 当时，，故错误； 当时，，故错误； ， ，解得：， 的值可以是，故正确． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 35．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 【答案】(1)103； (2)①；② (3)0；0；0；1； 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题干提供的信息，将六进制数转化成十进制数，将十进制数转化成二进制数即可； （2）根据二进制数加减运算法则，进行计算即可； （3）仿照十进制的有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：① ∴； ②， ∴． （3）解：即0个0相加，结果为0； 即0个1相加，结果为0； 即1个0相加，结果为0； 即1个1相加，结果为1； 填表： 乘数 乘数 积 0 0 0 1 ∴． 36．（23-24七年级上·广东东莞·阶段检测）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【答案】(1) (2)； (3)； (4)； 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 【点睛】本题考查有理数的规律题，解题的关键是熟练掌握有理数的规律． 37．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 38．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2) ①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． (3)84，见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可；②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【详解】（1）解： ． （2）略 （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．     解法2（整体计算）： 原式 （或）（或84）， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 【考点8】程序流程图与规律探索（第39-43题） · 按流程图从输入框逐步执行，注意判断分支 · 数字规律找相邻项的差或比 · 写出含n的通项并代入验证 39．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（   ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了程序题型，有理数的加法和乘法运算，周期规律的探索，解题的关键是找出周期规律． 根据程序运算得出结果，探索出周期规律，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 第一次输出结果为24， 第二次输出的结果为12， 第三次输出的结果为6， 第四次输出的结果为3， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为3， 第七次输出的结果为， …… 往后计算为周期为2的循环规律， ∴第2025次输出循环的周期个数为， ∴第2025次输出的结果为6， 故选：B． 40．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了代数式求值、数字规律等知识点，发现从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1是解题的关键． 根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1，据此解答即可． 【详解】解：第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 第6次，， 第7次，， ……， 依此类推，从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1， 所以第2025次输出的结果为1． 故选：D． 41．（25-26七年级上·重庆万州·期末）如图的运算程序中，第1次输入的x为64，则第2025次输出的结果（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，数字类规律探索，根据流程图运算程序计算出前几次的输出结果，总结得到输出结果的规律是解题的关键． 首先分别求出第1到第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2025次输出的结果为多少即可． 【详解】解：依题意， 第1次输出的结果为：； 第2次输出的结果为：； 第3次输出的结果为：； 第4次输出的结果为：； 第5次输出的结果为：； 第6次输出的结果为：； 第7次输出的结果为：； 第8次输出的结果为：； 则从第5次开始，每两次一个循环输出2，1， ∵， ∴第2025次输出的结果为2． 故选：C． 42．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，某市规划师设计的广场座椅和装饰性圆点按照一定规律摆放．第个广场中“●”的个数为，第个广场中“●”的个数为，第3个广场中“●”的个数为，…，以此类推．规划师想要计算，当第个广场建设完成时，所有广场中“●”数量的倒数之和是多少．则的值为__________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律的探索与数字类规律问题，通过观察图形找到“●”数量的变化规律是解题的关键． 观察图形，得出每个广场“●”数量的规律，把每个倒数拆成两个分数的差，让中间项相互抵消，抵消后只剩首尾几项，通分计算得出最终结果即可． 【详解】解：第个广场：； 第个广场：； 第个广场：； 第个广场：； 第个广场：； 又∵，，，，， ∴ ． 故答案为：． 43．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据程序的运算法则计算解题即可； （2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可； （3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可． 【详解】（1）解：输入的值为，输出结果为：， 故答案为：； （2）当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）当输入自然数，输入自然数，则， 根据性质③： ， 根据性质②： ， 根据性质①；， 综上，的值为． 【考点9】有理数运算的实际应用（第44-50题） · 用正负数表示相反意义的量 · 实际问题列式后按混合运算规则计算 · 方案比较类问题分别计算再作判断 44．（2022九年级·香港·竞赛）兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛．它们都以恒定的速度奔跑．兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米．它们同时从同地出发．然而，刺猬跑的方向与兔子的方向相反．当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑．问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？（） A．45 B．50 C．55 D．100 E．505 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题为环形行程问题，兔子方向保持不变，先计算兔子到达出发点的总时间，再计算第一次相遇的时间和位置，进而得到刺猬到达出发点的总时间，最后计算时间差即可． 【详解】解：∵兔子方向不变，跑道长550米，兔子速度为10米每秒， ∴兔子到达出发点的总时间为秒， ∵出发时二者反向，速度和为米每秒，相遇时路程和为一圈550米， ∴第一次相遇时间秒， 相遇时兔子跑了的路程为米，此时距离出发点还剩米，刺猬转身后与兔子同向，因此刺猬也需要跑50米才能到达出发点， ∵刺猬速度为1米每秒，转身之后不会再相遇（兔子速度更快，距离不断拉大），无需再次转身， ∴刺猬从相遇点到出发点的时间秒， ∴刺猬总时间秒， ∴时间差为秒． 45．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票桶爆米花张主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ）元． A．530 B．540 C．550 D．590 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，至少需要5份套餐B以满足5个纪念币需求，但通过调整购买组合使总金额达到600元可享受更优惠的满减，从而最小化支付金额． 【详解】解：∵需要5个纪念币， ∴至少购买5份套餐B， 若购买5份套餐B和5张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元， 若购买6份套餐B和4张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元， 若购买5份套餐B、2份套餐A和3张单票：总金额元，优惠后为元， ∵一份套餐B的费用>一份套餐B的费用>一张单票的费用， ∴其他所有满足要求的买法，最终的总费用一定超过上述情况的花费， ∵， ∴最少支付540元， 故选：B． 46．（2026·北京·一模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 42 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据表格中的数据计算出按的先后顺序制作时间即可； 要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给道具制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造，再按照或分类讨论即可． 【详解】解：（1）甲先制作用10分钟， 然后乙再给包装8分钟，这8分钟甲可以给制作，（分）， 还剩下的时间制作2分钟，这时还需要（分）， 乙开始给包装又花了8分钟，这8分钟甲给制作，还留有（分）， 这1分钟甲给制作，在乙完成的包装时甲给制作还需要（分），这分钟乙同时可以包装完， 综上，按照的顺序制作，等甲做完且乙包装完， 需要（分）， 最后，甲制作完之后，乙再给包装花费（分） 所以总时长为（分）； （2）要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给产品制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造， 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）； 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）， 所以按照的顺序制作所需总时间最短． 47．（2026·北京西城·三模）社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【答案】 0 284 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【详解】解：（1）所有商品的总重量为， 总价值为元， 要让两个纸箱的商品总价值之差最小，需尽量让两箱价值接近总价值的一半元，同时每箱重量不超过， 存在可行分装方案：第一箱装件洗衣液、件洗洁精和件香皂， 重量为， 价值为元； 第二箱装件洗衣液、件卷纸和件香皂， 重量为， 价值为元； 两箱价值相等，差值最小为元； （2）要求整箱总件数恰好件且不超重，求总价值最高值，优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择件洗衣液时重量为，剩余件总重量需不超过，选择件洗洁精和件卷纸，总重量为，刚好符合不超过， 此时总价值为元； 若选择件洗衣液重量为，剩余件最高价值组合为件洗洁精加件香皂，总价值为元，低于元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为元． 48．（2026·北京石景山·一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【答案】 22 C，E，G 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 49．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时； （2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【知识点】有理数除法的应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 50．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）综合实践 怎样邮寄沃柑更经济?南宁武鸣沃柑是全国名特优新农产品，皮薄易剥，汁多味甜．小南家的沃柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小南家定了10箱沃柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小南家常年的邮寄经验，包裹越大，沃柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，沃柑几乎无受损（受损忽略不计）；一个包裹质量在80千克至120千克之间，沃柑的受损率估计为，破损部分由小南家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱沃柑的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄， 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小南家支付的邮费更省?省多少钱? 任务3 今年沃柑的成本价为3元/千克，售价为8元/千克．结合任务2，邮寄10箱沃柑哪种方案利润更高? 【答案】任务1：100千克；任务2：选方案二邮寄，小南家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一：邮寄10箱沃柑的利润为（元）， 方案二：邮寄10箱沃柑的利润为（元）， ∵ ∴方案一利润更高． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式． 任务1：根据表格中的数据列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求解判断即可； 任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，进而判断求解即可． 【详解】解：任务1：（千克）， ∴这10箱沃柑的总质量为100千克； 任务2：由表格可得， ，，，， ∴10箱沃柑中重量为的有1箱，重量为的有4箱，重量为的有3箱，重量为的有2箱， 方案一：（元）； 方案二： ∵这10箱沃柑的总质量为100千克， ∴（元）， ∵，（元）， ∴选方案二邮寄，小南家支付的邮费更省，省34元； 任务3：略 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：相反数、倒数、绝对值的定义与符号要脱口而出 · 数轴过关：距离公式与动点问题先画数轴再列式 · 运算过关：混合运算按顺序，运算律用活不跳步 · 应用过关：实际问题审清题意，列式计算后作答 · 规律过关：数字找差、图形找增量，通项写出后验证 【作业1】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数； ②一定是一个负数； ③没有绝对值是的数； ④若，则a是一个正数； ⑤在原点左边离原点越近的数就越大； 正确的有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小 【分析】此题考查了绝对值的性质和正负数的概念，根据绝对值的性质和正负数的概念逐个判断即可． 【详解】解：一个数的绝对值一定是非负数，故①错误； 当是负数或0时，不是负数（是正数或0），故②错误； 没有绝对值是的数，故③正确； 若，则a是一个正数或0，故④错误； 在原点左边离原点越近的数就越大，故⑤正确； 正确的有③和⑤，共2个． 故选：B． 【作业2】．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知三个数将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果，称为第一次操作；将按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果，以此类推，第次操作后的得到的三个结果记为，下列说法： ①若，则三个数中最大的数是11； ②若，且中最小值为8，则或； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了绝对值的运算以及规律探究，熟练掌握绝对值的性质和通过分析前几次操作结果找规律的方法是解题的关键． 分别对三个说法进行分析，通过计算每次操作的结果，结合绝对值的性质和规律探究来判断对错． 【详解】解：∵ ，，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． ∴ 中最大的数是，故①正确． ∵ ，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． 当时，或，解得或． 当时，或，解得或． 当时，，解得． 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，，满足最小值为． 故仅满足，故②错误． ∵ ，三个数为，，． ∴第一次操作：；；． 第二次操作：；；． 第三次操作：；；． 第四次操作：；；． ……， ∴第11次操作：；；． ∴，故③错误． 综上，正确的个数为． 故选：． 【作业3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①0除以任何数都得0；②两个互为相反数的数相除商为；③除以一个负数结果总比大；④两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，商不变，那么两数互为相反数．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数除法的运算规则，涉及零的特殊性、相反数的性质、负数除法的符号规律以及商不变条件下的数的关系． 逐一分析四个说法的正确性：  ①考虑除数是否为；②验证互为相反数的数相除的结果，并考虑除数为的特殊情况；③计算除以负数的结果范围；④分析交换被除数与除数后商不变的条件． 【详解】解：①：除以任何数都得；错误，因为除数不能为，除以非零数才得． ②：两个非零互为相反数的数相除商为；错误，当互为相反数的两个数均为时，除数也为，不符合除法规则． ③：除以一个负数结果总比大；正确，结果为正数（如），正数恒大于． ④：交换被除数与除数商不变，则两数互为相反数；错误，设两数为和，若，则，即或；故两数可能相等或互为相反数． 故选：A． 【作业4】．（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目与游戏项目不能同时选择； ④游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择． 小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是（    ） A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】先根据规则确定选项目的可能数量组合：类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个或类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵必须选择5个游戏项目，选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数 ∴类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个或类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个 ∴当类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个时， ∵要求最高总积分， ∴类别Ⅰ选择B，C， ∵游戏项目与游戏项目不能同时选择，游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，F，G ∴最高总积分为； ∵要求最低总积分 ∴类别Ⅰ选择A，C ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，E，F ∴最低总积分为； 当类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个时 ∵要求最高总积分， ∴若类别Ⅰ选择B， ∵游戏项目与游戏项目不能同时选择，游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择E，F，G， ∴共选择4个游戏项目，不符合题意，舍去； ∴若类别Ⅰ选择C， ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，F，G，H ∴最高总积分为； ∵要求最低总积分 ∴类别Ⅰ选择A， ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择E，F，G，H ∴最低总积分为； 综上所述，最高总积分为33，最低总积分为24 ∴ ∴总积分的差的最大值是9． 【作业5】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够通过运算找出规律是解题关键．根据题意依次求出每次输入结果，发现规律为从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环，据此即可求解． 【详解】解：当第1次输入x的值是2，输出的结果为； 第2次输入的x的值是1，输出的结果为； 当第3次输入x的值是6，输出的结果为； 第4次输入的x的值是3，输出的结果为； 当第5次输入x的值是8，输出的结果为； 第6次输入的x的值是4，输出的结果为； 第7次输入的x的值是2，输出的结果为； ……， 由此可得，从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环， 因为， 所以第2025次输出的结果是3． 故选：A 【作业6】．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】根据题意理解定义，找全正因数个数，相加计算即可． 【详解】解：根据题意可知，的正因数：、、、、、共有个 ∴， 根据题意可知，， ∴，，， ∵的正因数：、、、有个， ∴， ∵的正因数：、、有个， ∴， ∵， ∴． 【作业7】．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 【答案】3037 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴、数字规律，依次求得每次移动后点所对应的数，根据总结的规律求解即可． 【详解】解：由题知，第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动个单位长度，移动后点所对应的数为1； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； ⋯， 移动n次后该点对应的数为个单位长度； ∴移动5次后对应的点数为，n为奇数时，向右移动；n为偶数时，向左移动； ∴第2025次向右移动个单位长度， ∵， 即前2024次移动后表示的数为， ∴， ∴移动2025次后表示的数为3037，移动2025次后该点到原点的距离为3037， 故答案为：3037． 【作业8】．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为__________． 【答案】9 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了速度路程的问题，有理数的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 分三种情况讨论，画出示意图分析即可． 【详解】解：①高速列车和低速列车第1次相遇，如图： 时间为， ②高速列车到达C站需要，此时低速列车距离C站，高速列车要追到它需要，而，大于低速列车到达B站的时间，显然低速列车先到达B站，而高速列车没有追到它，如图， 此时高速列车距离C站：，距离B站：，低速列车1小时后离开B站，此时高速列车距离B站：，则追到低速列车需要时间为：，显然此时低速列车还没有到达A站，如图： 此后低速列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与低速列车共相遇3次； ③高速列车与低速列车第1次相遇，如图， ， 高速列车先出发1小时，距离B站：，两车此时都向C站走，高速列车需要追到普通列车；④高速列车到达C站返回后与普通列车第2次相遇，如图： ， 高速列车到达C站需要，此时普通列车距离C站，两车还需要相遇，此后高速列车向A站走，此后普通列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与普通列车共相遇3次； ⑤普通列车与低速列车第1次相遇，如图： 普通列车出发时，两车相距，两车相遇需，⑥低速列车第1次出B站的时间是，此时普通列车在距离B站处，要追到低速列车需要大于低速列车到达A站的时间，低速列车从A站返回后与普通列车相遇，如图： 低速列车从A站返回时，普通列车距离A站：，两车还需要第2次相遇，⑦普通列车到达A站用时：，低速列车到达A站需要：，故此时低速列车从A站离开了，走了，则它第2次离开B站还需要，此时普通列车距离B站，则刚好到达B站，两车第3次相遇，此后普通列车不再行驶，故普通列车与低速列车相遇3次，故共相遇9次， 故答案为：9． 【作业9】．（2026·江苏扬州·二模）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值 ． 故此最大值为50． 【作业10】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和新定义问题，理解定义，通过构造图形表示是解题的关键． 构造面积为1的正方形，表示出即可求解． 【详解】解：如图，构造面积为1的正方形， 由图可知：， ∵， ∴， 故答案为1． 【作业11】．（25-26八年级上·重庆·期中）一个三位正整数满足，则称这个三位正整数为“公能数”．对于一个“公能数”，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：，满足，则为“公能数”，那么，所以．则________；对于任意一个“公能数”，若能被整除，则满足条件的最大“公能数”是________． 【答案】 ； 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，对于第一问，直接计算的值；对于第二问，先推导出，由能被整除得出，再结合且，确定，进而求出和的可能取值，找出最大的数． 【详解】解：当时，， ； 解：设， 则， ， ， ， 可得：， ， 又， ， 能被整除，能被整除， 一定是的倍数， ， 则，且， ，或，， 或， 其中最大的是． 故答案为：，． 【作业12】．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则以下各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有_____． 【答案】①、② 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题重点考查了数轴、绝对值的意义，整式的加减乘运算、不等式的性质等知识，解答此题的关键是根据绝对值的意义和数轴确定各字母的取值范围，此外还需要注意不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 通过数轴上对应的点可以得到，根据，得出，，，，，，，，逐个化简即可判定各式的正误，从而得到答案． 【详解】解：由数轴可以得到， ∵， ∴，，，，，，，， ∴， 故①式成立； ∴， 故②式成立； ∴ ， 故③式不成立； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故④式不成立； ∵， ， 故⑤式不成立． 故答案为：①、②． 【作业13】．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． (1)若点C为原点，则b=_______，_______ (2)若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且，求p的值． (3)E为线段上一点，其所表示的数为e，则的最大值为_______，最小值为_______． 【答案】(1)； (2)或 (3)14，8 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查绝对值的含义，利用绝对值之差代表两点间的距离是解题的关键． （1）根据数轴直接写出结果即可； （2）代入得，分情况解方程即可； （3）根据绝对值的含义，先可求得，再求的最值即可． 【详解】（1）解：若点C为原点，则，， ， 故答案为：； ． （2）∵点B为原点，在， ， 当时，，解得； 当时，； 当时，，， 综上，p的值为或． （3）E为线段上一点，其所表示的数为e， 由（2）知， 当E在点A处时， 此时取得最大值8， 所以得最大值为14； 当E在之间时，， 此时取得最小值2， 所以得最小值为8； 故答案为：14；8． 【作业14】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，或7 (4)点P表示的数为或，或15 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数的加减混合运算、有理数乘法的实际应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15． 【作业15】．（24-25七年级上·北京西城·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 【答案】(1)， (2)（） (3)，，， 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、程序流程图与有理数计算 【分析】（1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得：， 不大于， 取绝对值，得：， 当时，； 当时， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 不大于， 取相反数，得：， 大于， 取倒数，得：， 当时，； 故答案为：，； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是：， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是：， 是输入的经过若干次加而来， 即：（）， （）， 故输入的为：（）， 故答案为：（）； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为：，，，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数大小比较，有理数的加法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值，求倒数等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【作业16】．（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 【答案】(1)9，205 (2)209 (3)105 (4)4 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，有理数的乘方，有理数的加法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）参照方法①②计算即可； （2）参照方法①②计算即可； （3）先将变为十进制数，判断是偶数还是奇数，再参照方法③④计算即可； （4）将十进制数15转化为二进制数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：9，205； （2）解： ； （3）解：， 54为偶数时，需要表示成七进制． ． 故答案为：105； （4）解：由题意知， ， 店家至少需要推出4种不同重量的密封礼盒，重量分别为1斤，2斤，4斤，8斤， 故答案为：4． 【作业17】．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【答案】（1）1，；（2）C；（3）；（4）；（5） 【知识点】有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）根据新定义的运算法则列式计算即可； （2）根据新定义的运算法则逐一分析每个选项即可； （3）按照新定义可得； （4）分别计算，，根据运算结果可得答案； （5）根据新定义的运算法则先转化为乘方运算，再按照有理数的运算法则与运算顺序计算即可. 【详解】解：（1）， ； （2）A.当时，，不符合题意， B.当时，，不符合题意； C.正数的n次商结果是正数是正确的，负数的偶次商结果一定是正数， ∴负数的n次商结果不一定是负数，符合题意； D.n次商等于它本身的数是1，正确，不符合题意； 故选：C （3）归纳：把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为： ， （4） ， ∴； （5） ． 【作业18】．（2025七年级上·江苏·专题练习），，，，计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查探究发现数字规律及有理数的四则混合运算，关键是找到数字运算的规律． 观察已知条件发现规律，等，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·有理数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理有理数的有关概念，会求一个数的相反数、倒数与绝对值 · 借助数轴理解绝对值的几何意义，解决距离与动点问题 · 熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，灵活运用运算律 · 能解决有理数运算的实际问题，会用程序流程图与代数式表示运算结果 · 会从数字与图形中探索规律，用含n的代数式表示一般结论 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的有关概念 有理数：整数与分数统称有理数，按符号分为正有理数、零、负有理数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是-a，互为相反数的两数和为0 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，a(a≠0)的倒数为 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，正数绝对值是它本身，负数绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 概念辨析例题：求-的相反数、倒数与绝对值 答案：相反数为，倒数为-，绝对值为 解析：相反数只改变符号；倒数交换分子分母；负数的绝对值等于它的相反数 ☆ 2.数轴与绝对值的几何意义 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线，任何有理数都可以用数轴上的点表示 两点距离：数轴上点A、B表示的数为a、b，则AB=|a-b|=大数减小数 绝对值化简：|a-b|先判断a-b的符号，再去掉绝对值符号 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0，则a=0且b=0 概念辨析例题：数轴上点A表示-3，点B表示5，求A、B两点间的距离及到两点距离相等的点表示的数 答案：AB=|5-(-3)|=8，中点表示的数为1 解析：距离用大数减小数：5-(-3)=8；中点为两数的平均数：(-3+5)÷2=1 ☆ 3.有理数的运算 加法：同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b) 乘除：两数相乘除同号得正、异号得负，并把绝对值相乘除；除以一个数等于乘它的倒数 乘方与混合运算：an表示n个a相乘；混合运算先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-22×(-)+(-6)÷|-3| 答案：0 解析：-22=-4，-4×(-)=2；(-6)÷3=-2；2+(-2)=0 ☆ 4.实际应用与规律探索 正负数表示相反意义的量，如温度升降、收支、海拔与邮费等实际问题 程序流程图：按图中给定的输入、判断与运算框逐步计算输出结果 数字规律：观察相邻项的差或倍数关系，用含n的代数式写出第n个数 图形规律：数出图形个数的增量，列表找通项，再代入前几项验证 概念辨析例题：一组数：1，4，9，16，…，按此规律写出第n个数 答案：第n个数为n2 解析：第1个数是12，第2个数是22，第3个数是32，故第n个数为n2 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 a的相反数是-a，a+(-a)=0 0的相反数是0 倒数 乘积为1的两数互为倒数 0没有倒数 绝对值 |a|≥0，|a-b|=两点距离 化简先判断符号 有理数减法 a-b=a+(-b) 减号和减数同时变号 乘方 an=n个a相乘 -22=-4，(-2)2=4 混合运算 先乘方→再乘除→后加减 运算律可简化计算 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的有关概念与加减运算（第1-3题） · 相反数只变符号、倒数交换分子分母，0没有倒数 · 异号相加先比较绝对值，取大数的符号 · 减法统一成加法后再用运算律 1．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法①绝对值等于它本身的数是0；②两个有理数的差一定小于被减数；③倒数等于它本身的是，任何有理数都有倒数；④几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负数；⑤正数的任何次幂都是正数；⑥单项式的系数是3，次数是2．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·甘肃白银·期中）下列说法：①在数轴上离原点越远的点所对应的数的绝对值越小；②互为相反数的两个数绝对值相等；③多项式的二次项系数是－3；④数轴上点到原点的距离是6，则点表示的数是6；⑤几个有理数相乘，如果积为负数，那么负因数的个数是奇数个．正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是__________（填写序号）． ①若，则； ②若，且均为整数，则的最大值是6； ③如图  ，则图形中阴影部分面积是； ④当式子取最小值时，是． 【考点2】绝对值的几何意义与化简（第4-9题） · 数轴上两点距离=|大数-小数| · 含字母绝对值先判断绝对值内式子的符号 · 求距离之和最小值时找临界点 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为、、，．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间（靠近点B） D．点的右边 5．（2023七年级上·全国·竞赛）设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 _______． 6．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）若为互不相等的正偶数，满足，则的最小值为______． 7．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 8．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）结合数轴，回答下列问题： (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是___________；如果和两点之间的距离是4，那么为___________； (3)求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； (4)已知是有理数，则的最小值为___________；此时相应的的最大值是___________；最小值是___________． 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【考点3】绝对值的非负性与字母化简（第10-14题） · |a|≥0、a2≥0，非负数和为0则各项为0 · 化简|x-a|分x≥a与x<a两种情况 · 结合数轴判断点的位置再去绝对值 10．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．或2 D．或4 11．（25-26七年级上·重庆·期中）在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）若与的和为0，则__________． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 14．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图1，在一条可以折叠的数轴上有四个点，表示的数分别为，，且． (1)求的值； (2)如图2，若以点为折点将数轴向右对折，使点的对应点落在点和点之间，且与这两点的距离都等于2，求两点的距离； (3)若以点为折点将数轴向右对折，点的对应点表示的数为，是整数，求两点的距离． 【考点4】数轴上的距离与动点问题（第15-20题） · 动点位置=起点±速度×时间，注意方向 · 两点距离用|表示数之差|表示 · 翻折问题：折痕是对应两点的中点 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 16．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ 18．（25-26七年级上·广东珠海·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础，而平移和折叠是初中数学两种重要的图形变换．综合实践课上，老师设计了以下两种学习活动： （一）折叠 （1）折叠数轴，使得数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如数轴上两点之间的距离为11，按与上述同样的折叠方式能够重合，则左边这个点表示的数是 ； （2）点A、B表示的数分别是、4，若将此数轴沿A、B两处剪开，如图，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． （二）平移 （3）一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ； （4）一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点P的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点，若点M，点P表示的数分别是，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 19．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 20．（25-26七年级上·天津·期末）如图，在数轴上，数a、b所对应的点分别为A、B，点O表示原点，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，沿数轴向左运动，点P的速度是点Q速度的，P、Q两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点A表示的数是_____，点B表示的数是______； (2)点Q的速度为每秒______个单位，当______秒时P、Q两点停止运动； (3)点C是线段的一个三等分点，点M是的中点，设P、Q两点运动的时间为秒，用含t的式子表示线段的长，不用写出t的取值范围； (4)假设动点P，Q相遇后不停止运动，且只知P的速度小于Q的速度，其余条件不变．E为的中点，F为的中点，当点P在线段上运动时，直接写出线段与的数量关系． 【考点5】有理数的乘除运算（第21-25题） · 先定符号再算绝对值，除法转乘倒数 · 多个有理数相乘，负因数个数决定符号 · 带分数先化为假分数再约分 21．（25-26六年级上·上海·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每前进1步或后退1步的时间都是1秒，并且每1步的距离为1个单位长度．表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 22．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中正确的有________．（填写序号） ①；②；③；④． 23．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知三个有理数a、b、c，其积是负数，其和是正数，当时，代数式的值为____． 24．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，那么称为“异数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以所得的商记为，例如：时，，．则______．若为“异数”，且与的个位数字之和能被整除，则满足条件的最大“异数”与最小“异数”的差是______． 25．（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）有理数a，b，满足，且，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有______（填序号）． 【考点6】有理数的乘方运算（第26-30题） · 看清底数：-22与(-2)2意义不同 · 负数偶次幂为正、奇次幂为负 · 乘方应用问题先列式再计算 26．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 27．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·吉林长春·期中）式子计算结果的个位数字是______． 29．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知表示个互不相等的整数，这个数的绝对值都大于，且满足则的最大值是______． 30．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若将二进制数转化成十进制数为，则转化成十进制数为______．（用含的代数式表示） 【考点7】有理数的混合运算（第31-38题） · 严格按乘方、乘除、加减的顺序计算 · 有括号先算括号，中括号小括号依次进行 · 恰当使用交换律、结合律、分配律简化 31．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则的值为（   ） 4 a b 3 c d e f A．7 B． C．1 D．8 32．（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 33．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“九九数”，此时，规定，例如中，是“九九数”，；又如中，不是“九九数”，则： （1）______； （2）对于一个“九九数”，且为偶数，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“九九数”为______． 34．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数，如：，，则以下结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有______． 35．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 36．（23-24七年级上·广东东莞·阶段检测）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 37．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 38．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【考点8】程序流程图与规律探索（第39-43题） · 按流程图从输入框逐步执行，注意判断分支 · 数字规律找相邻项的差或比 · 写出含n的通项并代入验证 39．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（   ）． A．3 B．6 C． D． 40．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 41．（25-26七年级上·重庆万州·期末）如图的运算程序中，第1次输入的x为64，则第2025次输出的结果（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 42．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，某市规划师设计的广场座椅和装饰性圆点按照一定规律摆放．第个广场中“●”的个数为，第个广场中“●”的个数为，第3个广场中“●”的个数为，…，以此类推．规划师想要计算，当第个广场建设完成时，所有广场中“●”数量的倒数之和是多少．则的值为__________． 43．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【考点9】有理数运算的实际应用（第44-50题） · 用正负数表示相反意义的量 · 实际问题列式后按混合运算规则计算 · 方案比较类问题分别计算再作判断 44．（2022九年级·香港·竞赛）兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛．它们都以恒定的速度奔跑．兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米．它们同时从同地出发．然而，刺猬跑的方向与兔子的方向相反．当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑．问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？（） A．45 B．50 C．55 D．100 E．505 45．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票桶爆米花张主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ）元． A．530 B．540 C．550 D．590 46．（2026·北京·一模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 47．（2026·北京西城·三模）社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 48．（2026·北京石景山·一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 49．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时； （2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 50．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）综合实践 怎样邮寄沃柑更经济?南宁武鸣沃柑是全国名特优新农产品，皮薄易剥，汁多味甜．小南家的沃柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小南家定了10箱沃柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小南家常年的邮寄经验，包裹越大，沃柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，沃柑几乎无受损（受损忽略不计）；一个包裹质量在80千克至120千克之间，沃柑的受损率估计为，破损部分由小南家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱沃柑的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄， 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小南家支付的邮费更省?省多少钱? 任务3 今年沃柑的成本价为3元/千克，售价为8元/千克．结合任务2，邮寄10箱沃柑哪种方案利润更高? 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：相反数、倒数、绝对值的定义与符号要脱口而出 · 数轴过关：距离公式与动点问题先画数轴再列式 · 运算过关：混合运算按顺序，运算律用活不跳步 · 应用过关：实际问题审清题意，列式计算后作答 · 规律过关：数字找差、图形找增量，通项写出后验证 【作业1】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列语句： ①一个数的绝对值一定是正数； ②一定是一个负数； ③没有绝对值是的数； ④若，则a是一个正数； ⑤在原点左边离原点越近的数就越大； 正确的有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【作业2】．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知三个数将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果，称为第一次操作；将按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果，以此类推，第次操作后的得到的三个结果记为，下列说法： ①若，则三个数中最大的数是11； ②若，且中最小值为8，则或； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①0除以任何数都得0；②两个互为相反数的数相除商为；③除以一个负数结果总比大；④两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，商不变，那么两数互为相反数．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业4】．（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目与游戏项目不能同时选择； ④游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择． 小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是（    ） A．8 B．9 C．11 D．12 【作业5】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【作业6】．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 【作业7】．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 【作业8】．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为__________． 【作业9】．（2026·江苏扬州·二模）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【作业10】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 【作业11】．（25-26八年级上·重庆·期中）一个三位正整数满足，则称这个三位正整数为“公能数”．对于一个“公能数”，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：，满足，则为“公能数”，那么，所以．则________；对于任意一个“公能数”，若能被整除，则满足条件的最大“公能数”是________． 【作业12】．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则以下各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有_____． 【作业13】．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． (1)若点C为原点，则b=_______，_______ (2)若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且，求p的值． (3)E为线段上一点，其所表示的数为e，则的最大值为_______，最小值为_______． 【作业14】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【作业15】．（24-25七年级上·北京西城·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 【作业16】．（25-26七年级上·重庆合川·期末）【探究学习】其他进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：①把二进制数改写成十进制数；②把三进制数改写成十进制数． ①方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可．②方法：把三进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数3的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 探究2：③把十进制数89改写成二进制数；④把十进制数257改写成三进制数． ③方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． ④方法：把十进制数257改写成三进制数，用这个十进制数257连续除以3，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来：，这样就化成了三进制数，这种方法是“除以3倒取余数”．      (1)“二进制”化为十进制数为______；“六进制数”化为十进制数为______． (2)计算（结果转化为十进制）： (3)有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，表示成三进制，当x为偶数时，表示成七进制．如：二进制明码“1101”化为十进制为13，13为奇数，化成三进制为“111”，所以译成密码为111，请将二进制明码“110110”译成密码为________（直接写结果）． (4)合川桃片专卖店推出不同重量的密封礼盒（重量为整斤数），由于制作工艺特殊，店铺规定顾客只能购买整盒，不能拆开重新包装．通过灵活搭配这几种规格的礼盒（同一订单每种礼盒最多搭配一个），竟然可以恰好满足任何1斤到15斤（整斤数）的订单需求（即订单斤数等于若干礼盒重量之和），利用二进制解决：店家至少需要推出________种不同重量的密封礼盒（直接写结果）． 【作业17】．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【作业18】．（2025七年级上·江苏·专题练习），，，，计算： 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $