专题三 期中综合复习 满分压轴讲义（有理数·整式加减）（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （有理数·整式加减）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 突破有理数混合运算的难点，熟练处理含乘方、绝对值与运算律的综合题 · 掌握数轴上的动点、翻折、距离等综合探究问题的分析方法 · 熟练进行整式的加减化简与求值，能处理整体代入与参数问题 · 攻克数字类、图形类规律探索压轴题，会用代数式表示第n个特征 · 能综合运用有理数与整式知识解决实际应用与新定义问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算与运算律 加减混合：统一写成省略加号的和，正负分别结合凑整 乘除混合：先定符号再算绝对值，除法转乘法乘倒数 乘方：(-a)n的符号由n奇偶决定，注意-an与(-a)n的区别 运算律：交换律、结合律、分配律在复杂计算中可大幅简化 概念辨析例题：计算：-14-×[2-(-3)2] 答案： 解析：-14=-1，(-3)2=9，括号内=2-9=-7，原式=-1-×(-7)=-1+= ☆ 2.数轴、绝对值与动点 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，右边的数总比左边大 绝对值几何意义：|a|表示点到原点距离，|a-b|表示两点距离 动点问题：先设时间t，表示出动点位置，再列距离等式 翻折问题：折痕对应两点中点重合，对称点到折痕距离相等 概念辨析例题：数轴上点A表示-2，点B表示4，点P从A出发以每秒3个单位向右运动，几秒后PA=PB？ 答案：1秒 解析：t秒后P表示-2+3t，PA=3t，PB=|(-2+3t)-4|=|3t-6|，令3t=|3t-6|，解得t=1 ☆ 3.整式的概念与化简求值 单项式系数含符号，次数为所有字母指数和 多项式次数看最高次项，升降幂按某字母指数排列 同类项合并：系数相加减，字母与指数不变 化简求值：先去括号合并同类项，再代入；复杂题可整体代入 概念辨析例题：已知A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2+xy-1，且3A+6B的值与x无关，求y 答案：y= 解析：3A+6B=15xy-6x-9=(15y-6)x-9，与x无关则15y-6=0，y= ☆ 4.数字与图形规律探索 数字规律：观察相邻项差、比或序号关系，写出通项 图形规律：列表数个数，找增量差，验证前几项 程序流程图：按箭头顺序逐步代入，注意分支条件 新定义题：严格按定义运算，把陌生符号翻译成常规运算 概念辨析例题：观察下列等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…，则1+3+5+…+(2n-1)=？ 答案：n2 解析：从1开始的连续奇数和等于奇数个数的平方，共n个奇数，和为n2 ☆ 5.实际应用与综合压轴 正负数应用：审清基准与方向，列式后结合绝对值 销售/方案问题：用代数式表示费用，比较不同方案 新运算：按给定法则代入，注意运算顺序 压轴题：分小问递进，前问结论常为后问铺垫 概念辨析例题：某商品每件成本a元，按成本增加20%定价，后因库存降价打九折出售，每件盈利多少元？ 答案：0.08a元 解析：定价1.2a，九折售价1.08a，盈利=1.08a-a=0.08a 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘方符号 负数偶次幂正、奇次幂负 -an≠(-a)n 绝对值 |a-b|=数轴两点距离 化简先判内部符号 动点问题 设t表示位置列距离方程 注意方向与相遇点 同类项 字母相同指数相同 合并系数相加 化简求值 先化简再代入 整体代入更快捷 规律探索 找差/比写通项 代回前几项验证 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的加减运算（第1-4题） · 减法统一成加法，省略加号后正负分别结合 · 加减混合实际问题用数轴辅助分析 · 注意运算结果的符号与绝对值 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵，第1923次到达之后的第1924次就是从原地出发，所以这只能算一次， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是100． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9＝”的“□”中填入“”或“”，则所有算式的运算结果有______种． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算；根据题意，式子的所有可能结果最大为，最小为，每次改变一个任意的符号，其结果都是奇数，进而，即可求解． 【详解】解：依题意，进行计算时最大的结果为（全部取“”），最小的结果为（全部取“”） 每改变一个符号其结果都是奇数，从到之间有个奇数， ∴所有算式的运算结果有种， 故答案为：． 3．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则_________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 【详解】由题意得：． 4．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）表示不大于的最大整数，计算______． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数大小的比较，根据规定表示不大于的最大整数，分别取得和的值，再进行加法运算即可．理解表示不大于的最大整数是解题的关键． 【详解】解：∵是表示不大于的最大整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 【考点2】有理数的乘除、乘方与混合运算（第5-10题） · 严格按乘方→乘除→加减顺序，括号优先 · 乘方先定符号，-an与(-a)n区别要清 · 程序流程图按箭头逐步代入，注意分支 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据数据运算程序计算出前8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； …… ∴从第2次开始，每6次一个循环周期， ∴， ∴第2024次输出的结果是， 故选：B． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据题意列出含乘方的有理数混合运算的式子是解题的关键． 先根据题意列出式子，然后运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 【答案】 1（答案不唯一） 961 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数的计算，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是（答案不唯一，还可能是169等）； 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________． 【答案】23 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据、、、为四个不相同的正整数，且满足，可以求得、、、对应的数字，然后即可得到的最小值． 【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足， ， ， ，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 不妨设，，，， 解得，，，， ，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 当，，，时，取得最小值，此时的值为23， 故答案为：23． 9．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)256 (2)， (3)不存在m的值，使这三个数的和等于514 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查规律型−数字变化类问题，有理数的运算等知识点， （1）根据第一组对应的数为的序数次幂的规律即可得解； （2）根据第二组的数比第一组对应的数大3，第三组的数的规律为即可得解； （3）根据规律构建方程即可解决问题； 熟练掌握探究的规律是解决此题的关键． 【详解】（1）观察知，第一组第一个数为， 第一组第二个数为， 第一组第三个数为， 第一组第四个数为， ∴第一组第n个数为， ∴第一组的第8个数分别是， 故答案为：256； （2）观察知，第二组第一个数为， 第二组第二个数为， 第二组第三个数为， 第二组第四个数为， ∴第二组第n个数为， 观察知，第三组第一个数为， 第三组第二个数为， 第三组第三个数为， 第三组第四个数为， ∴第三组的第n个数， 故答案为：，； （3）由题意知， ∴， ∵， ∴不存在m的值，使这三个数的和等于514． 10．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【答案】（1）1，；（2）C；（3）；（4）；（5） 【知识点】有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）根据新定义的运算法则列式计算即可； （2）根据新定义的运算法则逐一分析每个选项即可； （3）按照新定义可得； （4）分别计算，，根据运算结果可得答案； （5）根据新定义的运算法则先转化为乘方运算，再按照有理数的运算法则与运算顺序计算即可. 【详解】解：（1）， ； （2）A.当时，，不符合题意， B.当时，，不符合题意； C.正数的n次商结果是正数是正确的，负数的偶次商结果一定是正数， ∴负数的n次商结果不一定是负数，符合题意； D.n次商等于它本身的数是1，正确，不符合题意； 故选：C （3）归纳：把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为： ， （4） ， ∴； （5） ． 【考点3】数轴、绝对值与翻折探究（第11-15题） · 动点问题设时间t，表示出动点位置 · 数轴距离=|大数-小数|，翻折对称点到折痕等距 · 带字母绝对值分情况讨论，结合几何意义 11．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若，则，原结论不正确，不符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，符合题意； 故答案为：①⑤． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）运算能力学习了绝对值的概念后，我们知道一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，．请解答下面的问题： (1)因为，所以，则________． (2)若有理数，则________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）根据去括号法则，即可求解； （2）根据绝对值的概念，即可求解； （3）先将所求式子去绝对值，再求和即可． 【详解】（1）解： . （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：原式． 【点睛】本题考查绝对值、相反数及有理数的加减运算，掌握掌握去绝对值的方法是解题的关键. 13．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，，为有理数，，，，且，，求的值． （2）当的取值范围是________时，式子有最小值为________． （3）当的取值范围是________时，式子有最大值为________． 【答案】（1）；（2），16；（3），8 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据乘方和绝对值的定义求出，再由，，得到，据此代值计算即可； （2）分别求出，取得最小值时x的取值范围即可得到答案； （3）分当时，当时，当时，三种情况去掉绝对值进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴异号，同号， ∴， ∴； （2）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，有最小值12， 同理可得当时，有最小值4， ∴当时，和可以同时取到对应的最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，16； （3）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，式子有最大值为8， 故答案为：，8． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的乘方，化简绝对值等等，熟知去绝对值的方法是解题的关键． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的其他应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 15．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【知识点】有理数的除法运算、有理数加法运算、绝对值的其他应用 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【考点4】整式的概念与化简求值（第16-18题） · 多项式次数看最高次项，参数问题列方程 · 先去括号合并同类项再代入 · 与某字母无关即该字母系数为0 16．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】利用已知条件求出的值，然后代入时的表达式计算． 本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】∵当时，， 即， ∴. 当时，， ∵， ∴原式 故选：A． 17．（25-26七年级上·全国·期中）已知是关于的三次三项式，则________． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】直接利用多项式的次数与项数的定义得出n的值，进而得出答案． 【详解】解：是关于的三次三项式， 且， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，解决问题的关键是正确把握多项式的次数与系数的定义． 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 【考点5】整式的加减运算（第19-22题） · 去括号注意负号各项变号，添括号逆用 · 合并同类项系数相加字母不变 · 整式加减结果仍是整式，按某字母降幂排列 19．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】添括号、整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减运算、括号添等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意列举出此操作的所有结果，即可判定①；所有结果中字母a的系数恒为1，两结果相加a的系数为2，无法为零，即可判定②；通过合理添加括号可使结果与原式相同，正确． 【详解】解：①初始多项式符号交替排列，如．添加两个括号后，可能的结果包括：1． 原式：；2．添加括号如，结果为；3．添加括号如，结果为；同理，符号排列为时，类似操作产生3种结果．总共有种不同结果，故①错误． ②无论括号如何添加，所有结果中字母的系数始终为．若存在两种操作结果相加为0，则的系数需为，矛盾．故②正确． ③例如，添加括号，去括号后与原式相同．故③正确． 综上，正确的说法为②和③，共2个． 故选C． 20．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加法运算，熟练掌握整式的加法运算是解题的关键． 由题意知，即可判定①；由题意得到，即可求出，从而判定②；先说明，再结合可知，易得或，然后求出满足条件的，然后求和即可判断③；由，然后分五种情况，分别求出符合条件的，然后统计即可解答． 【详解】解：①由题意得∶，故①错误； ②∵， ∴， ∴，故②错误； ③由题意得： ， ∵， ∴ ∴或， ∴或， ∴所有满足条件的整式的和为，故③正确； ④∵， ∴当时，， ∴，即； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，为正整数， ∴或或或， ∴或或或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、为正整数， ∴或 ∴或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，、为正整数， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、、为正整数， ∴即此时不满足要求． ∴所有满足条件的整式有9个，即④正确． 正确的个数是2． 故选：C． 21．（2024·重庆渝北·二模）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】合并同类项、数字类规律探索 【分析】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键． 根据题目找出规律逐个判断即可解答． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 记前n个式子的和为，则，， 所以， 因为 ， ∴， 故④错误． 故选B． 22．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 【答案】(1)， (2)①② (3) (4)8 【知识点】整式的加减运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式的加减运算，有理数的乘方运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题干提供的信息，将八进制数转化成十进制数，十进制数73转化成二进制数，即可作答； （2）①根据二进制数加法运算法则，进行计算即可； ②根据二进制数加法运算法则，进行计算即可； （3）仿照十进制的有理数乘法运算法则进行计算即可． （4）理解题意，得出，，结合三位数比三位数大2，且，则，又因为a，b，c，d，e都是整数，且是的其中一个，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴将八进制数转化成十进制数，结果为； 依题意，，，，， ，，， ∴将十进制数73转化成二进制数，结果为； （2）解：①依题意， 即； ②依题意， ； （3）解：依题意， ∴． （4）解：∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，且 ∴， ， 则， ∴， 则， ， ∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数， ∴a，b，c，d，e都是整数，且是的其中一个， 则尽量小， ∴， 则， ∴． 【考点6】整式加减的实际应用（第23-27题） · 用代数式表示数量关系，再列式化简 · 方案比较问题分情况列式后比较 · 结果要有单位，结合实际意义检验 23．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多2，记图（1）中阴影区域周长为，图（2）中阴影区域周长为，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，理解题意并列出正确的代数式是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图（2）得大长方形的长为，那么它的宽为，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再将它们作差，计算即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图（2）得大长方形的长为， ∵大长方形的长比宽多， ∴它的宽为， ∴，， ∴ ， 故选：B． 24．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，将三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，则图中的两个阴影部分的周长之和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】据图得到，阴影的大长方形的长为，宽为；阴影的小长方形的长为，宽为c，再用周长公式即可表示出两个阴影小长方形的周长之和． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据长与宽之间的数量关系来解答． 25．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式加减的应用，设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，可得，，即可由得，进而得到，最后取的最大值为代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，都是正整数，由日历表，可知的最大值为，此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 26．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 27．（24-25七年级上·四川眉山·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 2元∕m3 超过但不超过的部分 3元∕m3 超过的部分 4元∕m3 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费 ．（直接写出答案） (2)设某户月用水量为n立方米，当时，则该用户应缴纳的水费 元（用含n的整式表示）． (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的整式表示）． 【答案】(1)元 (2) (3)当时，共缴费元；当时，共缴费元；当时，共缴费元； 【知识点】整式加减的应用、列代数式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了阶梯收费问题，涉及了列代数式、有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据收费规则即可求解； （2）根据收费规则即可求解； （3）根据甲用户缴纳的水费超过了元，可得；分类讨论当时，则乙用户该月用水超过了；当时，则乙用户该月用水超过但不超过；当时，则乙用户该月用水不超过；三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由表格可知：该用户这个月应缴纳的水费为：元， 故答案为：元 （2）解：当时，则该用户应缴纳的水费为：元， 故答案为： （3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了元， ∴； ∵甲、乙两用户一个月共用水，设甲用户这个月用水， ∴乙用户这个月用水， 当时，则乙用户该月用水超过了， 由（2）得：共缴费元； 当时，则乙用户该月用水超过但不超过， 共缴费元； 当时，则乙用户该月用水不超过， 共缴费元； 【考点7】有理数的实际应用（第28-30题） · 正负数表示相反意义量，先定基准 · 路程、耗油量、销售利润列式后计算 · 结合绝对值求总路程与距离 28．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时； （2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数除法的应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)每个班计划购书量为本 (2)，， (3) 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算，正确理解正负数的意义是解题的关键． （1）由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本． （2）由一班实际购书量与计划购书量的差本，二班实际购书量为本，三班实际购书量为本，与每个班计划购书量为本相加减即可求． （3）把每班实际数量相加，可得个班团体购书总数量，用总数除以，求出每次购买本的次数，以及需要单独购买的数量，根据每本书售价为元，列式计算可得答案． 【详解】（1）解：∵由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为， ∴每个班计划购书量为本， （2）解：由题意可得：∵一班实际购书量与计划购书量的差本， ∴一班实际购入本， ∵二班实际购书量为本， ∴二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， ∵三班实际购书量为本， ∴三班实际购书量与计划购书量的差为本， 故答案为：，，． （3）解：由上可得个班团体购书总数量为：本， ∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， 又∵一次购买达到本，其中本书免费， ∴一次购买达到本，只需要花本书的钱， ∴最低总花费为：元， ∴这个班团体购书的最低费用为． 30．（24-25七年级上·云南昆明·期末）综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑___________圈，若终点位于D区域，那么起点应在___________区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取） (3)该学校举行运动会，初一年级需要在跑道上进行的比赛项目信息如下： 比赛项目 参赛组数 每组用时（分钟） 米接力 米 米 米 已知比赛需满足以下条件：①“米接力”和“米”比赛只能在直道进行；②“米”和“米”比赛需占用整个跑道；③为安全起见，“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛；“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛．受天气变化影响，以上4个比赛项目需要尽快完成，请你通过计算，设计一个用时最少的方案． 【答案】(1)， (2)①平方米；②塑胶跑道的建造费用是元 (3)用时最少为分钟 【知识点】列代数式、有理数四则混合运算的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用； （1）根据题意用除以周长的圈数，根据4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为米，结合图形，即可求解； （2）①根据足球场和缓冲区的总面积是长方形的面积加上两个半圆的面积，列出代数式即可求解； ②根据总面积减去足球场和缓冲区的总面积求得塑胶跑道的面积进而乘以，代入，即可求解； （3）根据表格数据，结合题意，分析不同方案，根据能同时进行的方案时间最小，即可求解． 【详解】（1）解：圈 ∵第一圈（最短圈）周长为400米；直道长为100米． ∴米，两个半圆的长分别为米 ∴4个点刚好将田径场最短圈分成等距离的4份，每段长为米 ∴终点位于D区域，那么起点应在它的对面的点即点， 故答案为：，． （2）①∵足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆 ∴足球场和缓冲区的总面积是平方米； ②∵总占地面积为平方米， ∴塑胶跑道的面积为 当，时，总费用为：元 答：塑胶跑道的建造费用是元 （3）根据题意有以下九种方案: ①所有比赛项目均顺次进行 米接力 米 米 米 用时分钟 ②短跑比赛顺次进行，米顺次开始，米交替开始 米接力 米 米 米交替 用时分钟 ③短跑比赛顺次进行，米交替开始，米顺次开始 米接力 米 米交替 米 用时分钟 ④短跑比赛顺次进行，米和米交替开始 米接力 米米交替 米交替 用时 分钟 ⑤短跑比赛同时进行，米和米顺次进行 米接力和 米米米 用时分钟 ⑥短跑比赛同时进行，米顺次开始，米交替开始 米接力 米 米 米交替 用时分钟 ⑦短跑比赛同时进行，米交普开始，米顺次开始 米接力和 米米交 米 用时分钟 ⑧短跑比赛同时进行，米和米分别交替开始 米接力 米米交替 米交替 用时分钟 ⑨短跑比赛同时进行，米和米交替开始 米接力 米 米 米 用时分钟 因为，所以用时最少为分钟． 【考点8】数字类规律探索（第31-38题） · 找相邻项差或比，写出第n项通项 · 程序流程图与代数式结合，按步骤代入 · 单项式规律题看系数与字母指数分别找 31．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、程序流程图与代数式求值 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 32．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 33．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 34．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可． 【详解】解：∵乙同学答对了一半以上， ∴乙同学至少答对了3道题， ∴， ∴， ∴甲、丙至少答对了2道题， 假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意； ∴第3题的答案一定是B， 假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意； ∴乙同学答对了3道题， 假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意； ∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题， ∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A， ∴甲、丙、丁都答对了2题，即，， ∴． 故选：B． 35．（24-25九年级下·北京·阶段检测）“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第___________号和第___________号环． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了逻辑推理和数字组合的概念，解题的关键在于通过合理断开两个环，将连环拆分成不同数量的小部分，使得这些小部分能够通过组合和交换的方式，满足每天获取对应数量银环的要求．根据题意尝试找出一种合理的拆分方式，然后根据每天的获取规则来验证是否可行即可得解． 【详解】解：断开第环和第环，断开后形成了个(第环断开产生)单环、个单环(第环断开产生)、一个环(环)、一个环(环)、一个环(环)， 每天获取工钱的具体方式如下， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环和一个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 故答案为：，． 36．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 【答案】 【知识点】数字类规律探索、单项式规律题 【分析】本题为单项式规律探究题. 结合斐波那契数列的特征，分别找出输出中系数、的次数、的次数的变化规律，即可求解. 【详解】解：根据表格中给出的输入输出数据，可得各部分的规律均满足： 从第3项开始，每一项等于前两项的和. ① 系数规律：输入时， ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为. ② 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. ③ 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. 综上，当输入时，输出结果为. 37．（2026·广东佛山·一模）【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 【答案】(1) (2) 解：∵， ， ∵是的倍数， ∴是的倍数时，那么就能被7整除， 即是的倍数时，那么就能被7整除； (3)①；②是的倍数，且是的倍数 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】（1）利用表格中的规律得出可以被7整除，那么就能被7整除； （2）根据规律得到，分解式子得到，即可求解； （3）①设前面的数字为，即，整理得到，即是的倍数时，能被整除，求出即可；②由被整除的规律和被整除的规律列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一个三位数，如果可以被7整除，那么就能被7整除； （2）略 （3）解：①设中前面的数字为，则可表示为， ∵， ∴当是的倍数时，能被整除， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②：∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； ∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； 综上所述，当是的倍数，且是的倍数时，四位数，既能被整除，也能被整除． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）(1)【读一读】观察下列等式：，请直接写出下一个等式． (2)【猜一猜】________（用含n的式子表示）． (3)【用一用】数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，它有一定的规律性．第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】通过观察等式来求解； 通过观察前面的等式规律来求解； 通过观察等式、三角形数的规律，运用归纳推理和裂项相消法来求解． 【详解】（1）解：观察已知等式，下一个等式为： ． 故答案为：． （2）解：由前面的等式规律可得：． 故答案为：． （3）解：由题意可知，， ． ． 即：． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题关键是通过观察、归纳找到规律，再运用裂项相消法进行计算． 【考点9】图形类规律与代数式建模（第39-45题） · 列表数图形个数，找增量差写通项 · 翻折、点阵类问题先画前几个图 · 代数式建模后回代验证前3项 39．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）将棋子按如图所示的方式摆放，则摆第个图形需要的棋子的个数是（    ） A．141个 B．144个 C．147个 D．150个 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形规律探索，解题关键是找出图形中棋子个数的变化规律． 先找出图形中棋子个数的规律，第个图形棋子个数为，再将代入即可． 【详解】解：分析前几个图形的棋子个数： 第1个图形：棋子个数为， 第2个图形：棋子个数为， 第3个图形：棋子个数为， 通过上述分析，可得出第个图形需要的棋子个数为（其中为正整数）． 当时，代入规律式可得：， 因此，摆第个图形需要的棋子个数是个． 故选：D． 40．（2022·湖北十堰·模拟预测）将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 41．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示的图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图案中所贴剪纸“”的个数为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】 分别表示出前面几个图形中“”的个数，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】 解：由题图可知，第个图案中所贴剪纸“”的个数为， 第个图案中所贴剪纸“”的个数为， 第个图案中所贴剪纸“”的个数为， …… 所以第个图案中所贴剪纸“”的个数为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查图形变化的规律，根据所给的图形发现“”的个数依次增加是解题的关键． 42．（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为_____（用含n的代数式表示）． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意知：第（1）个图形中五角星的个数为；第（2）个图形中五角星的个数为；第（3）个图形中五角星的个数为；得出第（）个图形中五角星的个数为，由此得出答案即可． 【详解】解：第（1）个图形中五角星的个数为； 第（2）个图形中五角星的个数为； 第（3）个图形中五角星的个数为； 第（4）个图形中五角星的个数为； 所以第（）个图形中五角星的个数为． 故答案为：． 43．（22-23七年级上·四川达州·期末）将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3) 不能， ， 解得：， 不是整数，不合题意， 不能将正方形划分成有个正方形的图形； (4) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，一元一次方程的应用，掌握从特殊到一般的探究规律的方法是解答本题的关键． （1）探究每次划分所得正方形个数的规律，即可得到答案； （2）利用第（1）题得到的规律列方程求解，即可得到答案； （3）利用第（1）题得到的规律列方程求解，可判断是否符合题意，即可得出答案； （4）由题干的划分方法得到启发，作类似的分割，利用数形结合的思想，计算每次分割后左上角正方形的面积和剩余部分图形的面积，即可从所得规律中得出答案． 【详解】（1）解：第一次划分可得个正方形，第二次划分可得个正方形，第三次划分可得个正方形， 第次划分可得个正方形， 第次划分可得正方形：个； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 第次划分后能有个正方形； （3）略 （4）解：由题意，我们也将正方形进行如上相同得分割， 那么第一次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第二次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第三次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为 ， 所以第次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为 ， ． 44．（2025·安徽合肥·一模）阅读与思考 下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求 （ 为正整数）方法 方法 1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除 2 ． 可得 ，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得 ， ． 我们列出特殊情况： ； ； ；．．． ． 两边分别相加可得， ． ． 试用这些方法和结果，可以解决问题． 任务1 计算： __________． 任务2 我们知道： ； ； ；．．． 则 __________． 任务3 若 ； 请仿写下去，并求 【答案】任务1： 任务2： 任务3：， 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了数字的变化规律、乘方，解题关键是要读懂题目的意思，举一反三． （1）根据方法1：“头尾相加法”即可解答； （2）根据方法2，“递归法”，计算即可； （3）根据规律仿写并计算即可． 【详解】解：（1）根据方法1，， 同时， 相加得： 可得：， 故答案为：； （2）根据方法2:，有： ； ； ； ； 两边相加可得，， ∴； 故答案为：； （3）； ； ； ； 两边相加得： ． 45．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)256 (2)259， (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律， （1）根据数字变化特点可知第①行的数是的序号数次方，解答即可； （2）第②行的数比第①行的数大3，可得答案，第③行的数的序号数次方，再乘以2的序号数少1次方，可得答案； （3）分别根据数字变化规律得出第9个数，再求出和． 【详解】（1）解：第①行的数是 ； 故答案为：256； （2）解：第②行的数是 ； ． 故答案为：259, ； （3）解：第①行中的第9个数是，第②行中的第9个数是，第③行中的第9个数是， 所以． 💯 课后巩固 复习建议 · 运算关：混合运算顺序与符号是压轴题失分重灾区 · 数轴关：动点翻折要会设t、列距离方程、分情况讨论 · 整式关：化简求值先化简，与某字母无关即系数为0 · 规律关：数字找差比、图形列增量，写出通项必验证 · 应用关：审题抓基准与方向，列式后结合实际作答 【作业1】．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 【作业2】．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（    ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．根据括号外面是“”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号， 故化简后只能得到一种结果，均为，故①正确； 代数式中，有两种情况： 括号内三个数任意两个交换位置，化简后的结果不变，故只有一种结果，为； 当分别与括号内的三个数换位思考，化简后得到3种结果分别为： ， ， ， 故该代数式共得到4种结果，故②正确； 代数式中， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ； 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 最后3种结果相同，故该代数式共得到4种结果，故③正确； 代数式中， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ； 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 第1种与最后1种化简结果相同，故该代数式共得到5种结果，故④正确； 故选：D． 【作业3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，，，，，，……根据这个规律，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现所求式子的末位数字变化特点是解题的关键． 根据，，，，，，…．可以得到，，，，的末位数字，从而可以分析末位数字的变化特点，得到答案． 【详解】解：∵，，，，，，…． ∴的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， 的末位数字是， …， 即末位数字每个一循环，依次为：，，，； ∵， ∴的末位数字是， 故选：B． 【作业4】．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，将-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5这九个数分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．现在，，分别表示其中的一个数，则的值为（     ）（一题多解法） A．-5 B．-4 C．0 D．5 【答案】A 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】由第行数据，可知每行、每列、每条对角线上的三个数之和均为，可分别求出，代入代数式进行计算即可；或由图中第行和第列的三个数之和相等求出，由第行和第列的三个数之和相等求出，由第行和第列上的三个数之和相等求出，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由第行数据，可知每行、每列、每条对角线上的三个数之和均为， ∴，，， ∴． 一题多解法 由图中第行和第列的三个数之和相等，得． 由第行和第列的三个数之和相等，得． 由第行和第列上的三个数之和相等，得． ∴． 【作业5】．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点，表示的数分别为-2和-1．现将正六边形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所表示的数为0．连续翻转多次后，数轴上2026所对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上的翻折、数轴上的规律探究 【分析】翻转后数轴上右侧的点表示的数是，对应的点为，由，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，连续翻转后，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，……， ∴每次一个循环． ∵， ∴连续翻转多次后，数轴上2026所对应的点是． 【作业6】．（23-24七年级上·陕西西安·期末）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为_________． 0 3 1 【答案】9 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数减法计算、加减混合运算法则等知识点，求出的值是解题的关键． 先根据题意列方程组，求得的值，然后代入式子计算即可． 【详解】解：由题意解答：，即； ∴，即：，解得：； ，即，解得：； ，解得：； ，即，解得：； 所以． 故答案为9． 【作业7】．（24-25七年级上·江西赣州·阶段检测）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 【答案】3或5 【知识点】多项式的项、项数或次数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵多项式 是关于x的三次多项式， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 故答案为：3或5． 【作业8】．（25-26六年级上·全国·课后作业）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去，第2024次输出的结果是___________． 【答案】6 【知识点】数字类规律探索、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的运算，根据计算程序找出变化规律是解题的关键． 根据计算程序求出前9次的计算结果，发现除了第1次外，每6次为一个循环，据此即可求解． 【详解】解答：由题意得， 第1次输出的结果是12， 第2次输出的结果是6， 第3次输出的结果是3， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是6， 第9次输出的结果是3， ， ∴除了第1次外，每6次为一个循环， ， ∴第2024次输出的结果是6， 故答案为：6． 【作业9】．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】8 【知识点】乘方的应用、有理数四则混合运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 【作业10】．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则_____；且为完全平方数，则满足条件的正整数为_____． 【答案】 7 5842 【知识点】整式加减的应用、列代数式、有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】根据百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为； 把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，又因为为完全平方数，所以只有当、时满足条件，求出此时的即可． 【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， 则有，，且、均为整数， ，， ， 为整数， 的个位数为或， 的个位数为或， 或， 四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同， 的个位数为， ； 解： 为完全平方数， 整理得：， 的个位数是或， 的个位数是， 的值为、、、，的值为、、、、、，且a与d不相同 当，时，， 是完全平方数， 符合题意； 此时，， ； 符合条件的有， 故答案为： ；． 【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，列出关于、的代数式． 【作业11】．（25-26七年级上·全国·课后作业）将从1开始的连续自然数按如图所示的方式排列： 则2025在第___________行． 【答案】45 【知识点】数字类规律探索 【分析】仔细观察，找到规律是解决本题的关键． 每一行的数字是由小到大的自然数的排列。奇数行的第一个数是行号的平方；偶数行的最后一个数是行号的平方，由此可求出答案． 【详解】观察题图可知，奇数行的第一个数是行号的平方；偶数行的最后一个数是行号的平方． ∵，， ∴在第行． 【作业12】．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 【答案】(1)B地在A地的西边4千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将所给的路程记录相加，如果结果为正则B地在A地的东边，如果结果为负则B地在A地的西边，如果结果为0则B地与A地重合； （2）分别算出每次航行后离出发点的位置即可得到答案； （3）先求出总路程，再求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解： （千米）， ∴B地在A地的西边4千米； （2）解：第一次航行后距离A地千米； 第二次航行后距离A地（千米）； 第三次航行后距离A地（千米）； 第四次航行后距离A地（千米）； 第五次航行后距离A地（千米）； 第六次航行后距离A地（千米）； 第七次航行后距离A地（千米）； 第八次航行后距离A地（千米）； ∴第四次航行后距离A地千米，冲锋舟离出发点A最远处， ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米. （3）解： （升）， （升）． ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油． 【作业13】．（25-26八年级上·全国·课后作业）【操作感知】如图，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时折痕与数轴交点表示的数为________； 【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕与数轴交点表示的数为________（用含的代数式表示）； 【问题解决】若为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数． 【答案】操作感知：；建立模型：；问题解决：或或 【知识点】列代数式、数轴上的翻折 【分析】（）根据中点坐标公式计算即可； （）根据中点坐标公式解答即可； （）设点表示的数是，分到的距离相等，到的距离相等，到的距离相等三种情况，根据中点坐标公式解答即可求解； 本题考查了实数与数轴，折叠的性质，掌握中点坐标公式是解题的关键． 【详解】解：操作感知：由题意可得，点表示的数是，表示的数是， ∵折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合， ∴点与点 关于折痕对称，折痕与数轴交点即为的中点， ∴折痕与数轴交点表示的数为， 故答案为：； 建立模型：∵关于折痕对称， ∴的中点即是折痕与数轴的交点， ∴折痕与数轴交点表示的数为； 问题解决：设点表示的数是， 当到的距离相等，即是中点时， ； 当到的距离相等，即是中点时， ， 解得； 当到的距离相等，即是中点时， ， 解得； 综上，点表示的数为或或． 【作业14】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、有理数四则混合运算 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养． （1）根据元完美数组的定义判断即可； （2）依据新运算定义进行计算即可； （3）依据新运算定义，尝试使得的计算结果即可； （4）根据新运算定义，则可知数组，中对应位置不能同时为1，由数组，的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出的最大可能值是． 【详解】（1）解：在中不是完美数组，是4元完美数组， 所以3元完美数组的有：， 故答案为：； （2）解：∵，， ； 故答案为：2； （3）解：， 当时，，当时，，当时，， 综上即或0， ， ， ∵， 或 或 或 ； （4）解：∵， 、中对应位置的元不能同时为1， 每个数组有个元，1可以出现在个位置，或者全部为0， 的最大值为 故答案为：2025． 【作业15】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （有理数·整式加减）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 突破有理数混合运算的难点，熟练处理含乘方、绝对值与运算律的综合题 · 掌握数轴上的动点、翻折、距离等综合探究问题的分析方法 · 熟练进行整式的加减化简与求值，能处理整体代入与参数问题 · 攻克数字类、图形类规律探索压轴题，会用代数式表示第n个特征 · 能综合运用有理数与整式知识解决实际应用与新定义问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算与运算律 加减混合：统一写成省略加号的和，正负分别结合凑整 乘除混合：先定符号再算绝对值，除法转乘法乘倒数 乘方：(-a)n的符号由n奇偶决定，注意-an与(-a)n的区别 运算律：交换律、结合律、分配律在复杂计算中可大幅简化 概念辨析例题：计算：-14-×[2-(-3)2] 答案： 解析：-14=-1，(-3)2=9，括号内=2-9=-7，原式=-1-×(-7)=-1+= ☆ 2.数轴、绝对值与动点 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，右边的数总比左边大 绝对值几何意义：|a|表示点到原点距离，|a-b|表示两点距离 动点问题：先设时间t，表示出动点位置，再列距离等式 翻折问题：折痕对应两点中点重合，对称点到折痕距离相等 概念辨析例题：数轴上点A表示-2，点B表示4，点P从A出发以每秒3个单位向右运动，几秒后PA=PB？ 答案：1秒 解析：t秒后P表示-2+3t，PA=3t，PB=|(-2+3t)-4|=|3t-6|，令3t=|3t-6|，解得t=1 ☆ 3.整式的概念与化简求值 单项式系数含符号，次数为所有字母指数和 多项式次数看最高次项，升降幂按某字母指数排列 同类项合并：系数相加减，字母与指数不变 化简求值：先去括号合并同类项，再代入；复杂题可整体代入 概念辨析例题：已知A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2+xy-1，且3A+6B的值与x无关，求y 答案：y= 解析：3A+6B=15xy-6x-9=(15y-6)x-9，与x无关则15y-6=0，y= ☆ 4.数字与图形规律探索 数字规律：观察相邻项差、比或序号关系，写出通项 图形规律：列表数个数，找增量差，验证前几项 程序流程图：按箭头顺序逐步代入，注意分支条件 新定义题：严格按定义运算，把陌生符号翻译成常规运算 概念辨析例题：观察下列等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…，则1+3+5+…+(2n-1)=？ 答案：n2 解析：从1开始的连续奇数和等于奇数个数的平方，共n个奇数，和为n2 ☆ 5.实际应用与综合压轴 正负数应用：审清基准与方向，列式后结合绝对值 销售/方案问题：用代数式表示费用，比较不同方案 新运算：按给定法则代入，注意运算顺序 压轴题：分小问递进，前问结论常为后问铺垫 概念辨析例题：某商品每件成本a元，按成本增加20%定价，后因库存降价打九折出售，每件盈利多少元？ 答案：0.08a元 解析：定价1.2a，九折售价1.08a，盈利=1.08a-a=0.08a 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 乘方符号 负数偶次幂正、奇次幂负 -an≠(-a)n 绝对值 |a-b|=数轴两点距离 化简先判内部符号 动点问题 设t表示位置列距离方程 注意方向与相遇点 同类项 字母相同指数相同 合并系数相加 化简求值 先化简再代入 整体代入更快捷 规律探索 找差/比写通项 代回前几项验证 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的加减运算（第1-4题） · 减法统一成加法，省略加号后正负分别结合 · 加减混合实际问题用数轴辅助分析 · 注意运算结果的符号与绝对值 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9＝”的“□”中填入“”或“”，则所有算式的运算结果有______种． 3．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则_________． 4．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）表示不大于的最大整数，计算______． 【考点2】有理数的乘除、乘方与混合运算（第5-10题） · 严格按乘方→乘除→加减顺序，括号优先 · 乘方先定符号，-an与(-a)n区别要清 · 程序流程图按箭头逐步代入，注意分支 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________． 9．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【考点3】数轴、绝对值与翻折探究（第11-15题） · 动点问题设时间t，表示出动点位置 · 数轴距离=|大数-小数|，翻折对称点到折痕等距 · 带字母绝对值分情况讨论，结合几何意义 11．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是______（填写序号）． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）运算能力学习了绝对值的概念后，我们知道一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，．请解答下面的问题： (1)因为，所以，则________． (2)若有理数，则________． (3)计算：． 13．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，，为有理数，，，，且，，求的值． （2）当的取值范围是________时，式子有最小值为________． （3）当的取值范围是________时，式子有最大值为________． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 15．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【考点4】整式的概念与化简求值（第16-18题） · 多项式次数看最高次项，参数问题列方程 · 先去括号合并同类项再代入 · 与某字母无关即该字母系数为0 16．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 17．（25-26七年级上·全国·期中）已知是关于的三次三项式，则________． 18．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【考点5】整式的加减运算（第19-22题） · 去括号注意负号各项变号，添括号逆用 · 合并同类项系数相加字母不变 · 整式加减结果仍是整式，按某字母降幂排列 19．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．（2024·重庆渝北·二模）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 【考点6】整式加减的实际应用（第23-27题） · 用代数式表示数量关系，再列式化简 · 方案比较问题分情况列式后比较 · 结果要有单位，结合实际意义检验 23．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多2，记图（1）中阴影区域周长为，图（2）中阴影区域周长为，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 24．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，将三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，则图中的两个阴影部分的周长之和等于（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________________． 26．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 27．（24-25七年级上·四川眉山·期中）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 2元∕m3 超过但不超过的部分 3元∕m3 超过的部分 4元∕m3 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费 ．（直接写出答案） (2)设某户月用水量为n立方米，当时，则该用户应缴纳的水费 元（用含n的整式表示）． (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含x的整式表示）． 【考点7】有理数的实际应用（第28-30题） · 正负数表示相反意义量，先定基准 · 路程、耗油量、销售利润列式后计算 · 结合绝对值求总路程与距离 28．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时； （2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） (1)求每个班计划购书量； (2)直接写出：________，________，________； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 30．（24-25七年级上·云南昆明·期末）综合与实践 根据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，如图1，场地的部分数据如下：①第一圈（最短圈）周长为400米；②直道长为100米． (1)运动员在图1的田径场最短圈上完成1000米比赛，他需要跑___________圈，若终点位于D区域，那么起点应在___________区域（填“A”，“B”，“C”或“D”）； (2)某中学根据国际田联标准并结合本校场地实际，建成一个如图2所示的田径运动场，运动场由足球场、缓冲区和塑胶跑道组成，总占地面积为平方米，其中足球场的长为米，宽为米，两端的缓冲区均为直径米的半圆． ①足球场和缓冲区的总面积是多少平方米？（用含的式子表示，结果保留） ②若塑胶跑道的建造费用为每平方米元，当时，塑胶跑道的建造费用是多少元？（取） (3)该学校举行运动会，初一年级需要在跑道上进行的比赛项目信息如下： 比赛项目 参赛组数 每组用时（分钟） 米接力 米 米 米 已知比赛需满足以下条件：①“米接力”和“米”比赛只能在直道进行；②“米”和“米”比赛需占用整个跑道；③为安全起见，“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛；“米”比赛开始分钟后，才能开始下一场比赛．受天气变化影响，以上4个比赛项目需要尽快完成，请你通过计算，设计一个用时最少的方案． 【考点8】数字类规律探索（第31-38题） · 找相邻项差或比，写出第n项通项 · 程序流程图与代数式结合，按步骤代入 · 单项式规律题看系数与字母指数分别找 31．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 32．（21-22七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 35．（24-25九年级下·北京·阶段检测）“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第___________号和第___________号环． 36．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 37．（2026·广东佛山·一模）【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）(1)【读一读】观察下列等式：，请直接写出下一个等式． (2)【猜一猜】________（用含n的式子表示）． (3)【用一用】数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，它有一定的规律性．第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，求n的值． 【考点9】图形类规律与代数式建模（第39-45题） · 列表数图形个数，找增量差写通项 · 翻折、点阵类问题先画前几个图 · 代数式建模后回代验证前3项 39．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）将棋子按如图所示的方式摆放，则摆第个图形需要的棋子的个数是（    ） A．141个 B．144个 C．147个 D．150个 40．（2022·湖北十堰·模拟预测）将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示的图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图案中所贴剪纸“”的个数为______（用含的代数式表示）． 42．（25-26七年级上·全国·期末）探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为_____（用含n的代数式表示）． 43．（22-23七年级上·四川达州·期末）将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 44．（2025·安徽合肥·一模）阅读与思考 下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务． 求 （ 为正整数）方法 方法 1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除 2 ． 可得 ，即： 方法2：“递归法” 由完全平方公式可得 ， ． 我们列出特殊情况： ； ； ；．．． ． 两边分别相加可得， ． ． 试用这些方法和结果，可以解决问题． 任务1 计算： __________． 任务2 我们知道： ； ； ；．．． 则 __________． 任务3 若 ； 请仿写下去，并求 45．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 💯 课后巩固 复习建议 · 运算关：混合运算顺序与符号是压轴题失分重灾区 · 数轴关：动点翻折要会设t、列距离方程、分情况讨论 · 整式关：化简求值先化简，与某字母无关即系数为0 · 规律关：数字找差比、图形列增量，写出通项必验证 · 应用关：审题抓基准与方向，列式后结合实际作答 【作业1】．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【作业2】．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（    ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果 A．1 B．2 C．3 D．4 【作业3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，，，，，，……根据这个规律，则的末位数字是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【作业4】．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，将-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5这九个数分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．现在，，分别表示其中的一个数，则的值为（     ）（一题多解法） A．-5 B．-4 C．0 D．5 【作业5】．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点，表示的数分别为-2和-1．现将正六边形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所表示的数为0．连续翻转多次后，数轴上2026所对应的点是（     ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级上·陕西西安·期末）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为_________． 0 3 1 【作业7】．（24-25七年级上·江西赣州·阶段检测）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 【作业8】．（25-26六年级上·全国·课后作业）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去，第2024次输出的结果是___________． 【作业9】．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【作业10】．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则_____；且为完全平方数，则满足条件的正整数为_____． 【作业11】．（25-26七年级上·全国·课后作业）将从1开始的连续自然数按如图所示的方式排列： 则2025在第___________行． 【作业12】．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 【作业13】．（25-26八年级上·全国·课后作业）【操作感知】如图，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时折痕与数轴交点表示的数为________； 【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕与数轴交点表示的数为________（用含的代数式表示）； 【问题解决】若为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数． 【作业14】．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 【作业15】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $