第1章·有理数·期中复习讲义 ·2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

第1章·有理数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理有理数的概念体系，掌握正负数、相反数、倒数、绝对值等基本量 · 会用数轴表示有理数、比较大小，理解绝对值的几何意义 · 熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，灵活运用运算律 · 掌握科学记数法与近似数，能按精确度取近似值 · 能运用有理数知识解决实际问题与动点、程序流程图等综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 有理数：整数和分数统称有理数，按符号分为正、零、负三类 正负数：表示相反意义的量，0既不是正数也不是负数 相反数：只有符号不同的两数，a的相反数为-a，和为0 倒数：乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：-的相反数和倒数分别是多少？ 答案：相反数为，倒数为- 解析：相反数只变符号；倒数交换分子分母并保留原符号 ☆ 2.数轴与绝对值 数轴：规定原点、正方向、单位长度的直线，右边的数总比左边大 绝对值：数轴上点到原点距离，|a|≥0；负数绝对值是它的相反数 绝对值几何意义：|a-b|表示数轴上a、b两点间的距离 两个负数比较：绝对值大的反而小 概念辨析例题：已知|x-2|+|y+3|=0，求x+y的值 答案：-1 解析：两个非负数和为0则各自为0：x-2=0得x=2，y+3=0得y=-3，x+y=-1 ☆ 3.有理数的运算 加减法：同号相加取同号，异号相加取大绝对值符号；减法化加法 乘除法：同号得正异号得负，绝对值相乘除；除法转乘法乘倒数 乘方：an表示n个a相乘；负数偶次幂为正、奇次幂为负 混合运算：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-22×(-)+| -3 |÷(-1) 答案：-1 解析：-22=-4，-4×(-)=2，3÷(-1)=-3，2+(-3)=-1 ☆ 4.科学记数法与近似数 科学记数法：把绝对值大于10的数写成a×10n，1≤|a|<10 n等于原数整数位数减1，小数点向左移动n位 近似数：四舍五入到哪一位就说精确到哪一位 有效数字：从左边第一个非零数字起至末位数字止 概念辨析例题：用科学记数法表示地球质量约5980000000000000000000000千克 答案：5.98×1024千克 解析：小数点左移24位，a=5.98满足1≤|a|<10 ☆ 5.有理数的实际应用 正负数表示相反意义量，先定基准再列式 路程、耗油量问题用绝对值求和 销售、盈亏问题列式后结合实际意义作答 数轴动点问题设时间t，表示位置后列距离等式 概念辨析例题：某冷库温度每小时下降3℃，8小时后从5℃降到多少？ 答案：-19℃ 解析：5+(-3)×8=5-24=-19℃ 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数与倒数 和为0互为相反数；积为1互为倒数 0没有倒数 绝对值 |a|≥0，负数取绝对值要变号 化简先判正负 数轴距离 |a-b|=两点距离 动点先设t 乘方符号 负数偶次幂正、奇次幂负 -an≠(-a)n 科学记数法 a×10n，1≤|a|<10 n=位数-1 混合运算 乘方→乘除→加减 括号优先 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念、分类与正负数（第1-9题） · 有理数先定符号再分整分，0是整数但非正非负 · 相反数只变符号、倒数交换分子分母、0无倒数 · 正负数表示相反意义量，先确定基准 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．两个有理数互为相反数，它们的商是 D．相反数等于它本身的数是0 2．（25-26七年级上·四川德阳·期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 3．（25-26七年级上·天津·阶段检测）的倒数是________． 4．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）如果a是与0之间的有理数，则a可以为______． 5．（23-24七年级下·上海宝山·期中）对于近似数，它有________个有效数字． 6．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②倒数等于它本身的数只有；③的底数为；④20200精确到千位为；⑤若，则或．其中一定正确的是_________（只需填写序号）． 7．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）请根据图示的对话解答下列问题． (1) ， ； (2)请用比较，，，的大小 8．（23-24七年级上·云南文山·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果＋50米表示向东走50m，那么向西走100米，可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）甲、乙、丙三地的海拔分别为，，，那么最高的地方比最低的地方高（    ） A． B． C． D． 【考点2】相反数与绝对值的化简（第10-17题） · 绝对值化简先判断内部正负，再去符号 · 带字母绝对值分情况讨论 · 多重符号化简：奇负偶正 10.5，，0，   ， 11．（26-27七年级上·山西晋中·阶段检测）已知a，b是有理数，若a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 12．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）若，，且，则____． 13．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是________． 14．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 15．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）用“”、“”填空： （1）__________；（2）__________；（3）__________． 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）在数轴上表示下列各数，并按照从小到大的顺序用“”连接起来； ，，，，     17．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）若a､b非零且互为相反数，c､d互为倒数，m的绝对值为，求的值． 【考点3】数轴、绝对值几何与动点距离（第18-28题） · 数轴右边数总比左边大，两负数比大小看绝对值 · |a-b|=数轴两点距离，动点问题设t列等式 · 翻折对称点到折痕距离相等 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 19．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字______的点重合（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）下列说法中正确的个数是（　　） ①若，，则x，y都为负数； ②已知，则的值不可能为0； ③若，则的大小关系是； ④如果a、b、c为有理数，且，则的值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，其中点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是 ，它们的相对位置如图所示，下列对点A，B，C的位置描述正确的是（   ）． A．点A，C在原点的左侧 B．点B，C在原点的右侧 C．点A在表示数1的点的左侧 D．点B在表示数1的点的右侧 22．（24-25七年级上·广西钦州·期中）比较大小：________（用“>”，“<”或“=”填空）. 23．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的相反数是2，的绝对值是，则______． 24．（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 25．（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________． 26．（23-24七年级上·四川成都·期中）规定：，例如，．下列结论中，正确的是_____(填写正确选项的番号)． ①式子的最小值是8；②若，则；③能使成立的x的值不存在；④若，则为定值． 27．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接_____． 28．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知A，B，C，D在上分表示a，b，c，d，，则线段的长度为___________． 【考点4】科学记数法与近似数（第29-33题） · a×10n中1≤|a|<10，n=整数位数-1 · 近似数精确度看四舍五入到哪一位 · 大数先数位数再写科学记数法 29．（25-26九年级下·江西上饶·期中）被誉为“大国重器”的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为12000公里（1公里米），若将此射程以“米”为单位用科学记数法表示，应为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 30．（23-24九年级上·吉林长春·期末）据统计，2023年中秋节、国庆节假期国内旅游出游约人次．同比增长，这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 31．（2022·贵州铜仁·模拟预测）每年的3月14日是“圆周率日”．谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位．其中数值31.4万亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·重庆合川·期末）2024年9月25日，中国向太平洋公海试射了一枚洲际导弹，不仅准确地击中预定海域，而且导弹射程达到了惊人的12000千米．其中12000用科学记数法表示为_________． 33．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下滴水，每滴水约毫升．小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，当小明离开小时后水龙头滴了________毫升水．（用科学记数法表示） 【考点5】有理数的乘除与乘方（第34-36题） · 乘除同号得正异号得负，除法转乘法乘倒数 · 乘方先定符号再算绝对值 · 注意-an与(-a)n的区别 34．（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A． 和 B． 和 C． 和 4 D．以上三组都互为倒数 35．（24-25七年级上·四川泸州·期中）计算： 36．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）． ①对于任何正整数n，； ②（）； ③（a是有理数，，n是正整数）； ④； ⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． ①试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______． ②计算：． 【考点6】有理数的混合运算与运算律（第37-43题） · 严格按乘方→乘除→加减顺序 · 灵活用交换律、结合律、分配律凑整 · 程序流程图按箭头逐步代入 37．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为（   ） A．27 B．9 C．3 D．1 38．（2023七年级·全国·竞赛）算式的计算结果是___________． 39．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算： 40．（24-25七年级上·北京·期中）计算． 41．（23-24七年级上·陕西安康·期中）计算：． 42．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）计算 (1) (2) 43．（26-27七年级上·辽宁辽阳·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点7】有理数的实际应用（第44-49题） · 正负数应用先审基准与方向 · 总路程用绝对值之和，距离用差的绝对值 · 列式后结合实际意义作答 44．（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列关于代数式的值的结论：的值可能是正数；的值一定比大；③的值一定比小；的值随着的增大而减小．其中所有正确结论的序号是_____． 45．（25-26七年级上·山西晋中·期中）星期天，骑行爱好者小爱和小数相约从家骑自行车去后沟古村游玩． 请你根据以下信息完成相应任务． 信息一 小爱和小数给亲朋好友买了一些礼物，小爱买了2张A款年画和5张生肖剪纸，小数买了3张A款年画和2张生肖剪纸．A款年画每张a元，生肖剪纸每张b元． 信息二 进入秋季后，早晚气温变化较大．他俩9点到达后沟古村时气温为，14点前平均每小时升温，随后平均每小时降温． 任务： (1)小爱和小数给亲朋好友买礼物一共花了______元；（用含a，b的代数式表示，要求结果最简） (2)当日16点他俩从后沟古村返回，当时后沟古村的气温是多少？ (3)你还能提出什么数学问题？ 46．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）小明看一本书，第一天看了50页，占全书页数的，第二天看了全书的，小明第二天看了多少页？ 47．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． (1)若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为_____； (2)小明骑行的最短距离为_____． 48．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33米，慢车每秒行21米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25秒后快车超过慢车．那么两车长分别是多少? 49．（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念关：正负数、相反数、倒数、绝对值要辨析清楚 · 数轴关：数形结合，比较大小、求距离、解动点都靠它 · 运算关：混合运算按顺序，运算律凑重要熟练 · 记数关：科学记数法a×10n，近似数看精确度 · 应用关：审题抓基准，列式后结合实际作答 【作业1】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．有理数包括整数、分数和小数 B．万精确到百分位 C．属于整式 D．若，则 【作业2】．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如果把向北走记作，那么表示的实际意义是（     ）． A．向东走 B．向南走 C．向南走 D．向北走 【作业3】．（25-26七年级上·全国·期中）下列各数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24七年级下·河北唐山·期中）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，则一个月相当于减少二氧化碳排放的量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25七年级上·全国·期中）下列各式中，计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）地球上七大洲的总面积约为， 用四舍五入法精确到， 并用科学记数法表示，结果为_____． 【作业7】．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）如果a，b，c是非零有理数，那么的所有可能的值为______． 【作业8】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中，正数的个数有________个．，3.5，0，10%，，2023，，． 【作业9】．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）如果则的值可表示为_______． 【作业10】．（23-24七年级上·山东青岛·期中）在下列各数：7，，，，，，，0，1.2345678910111213.......中，属于分数的是__________，属于非负整数的是__________. 【作业11】．（24-25七年级上·广东湛江·期中）用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数是_____． 【作业12】．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）对于任意有理数、，定义一种新运算：，例如：，，则___________． 【作业13】．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点出发，规定向东为正，向西为负，如表是某一段时间内从点出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)机器人第次，走动后所在的位置在出发点的什么方向？与出发点的距离是多少？ (2)该时间段机器人最远处离出发点有多远？ (3)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【作业14】．（24-25七年级上·江西抚州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第个等式： ； (2)求的值； (3)求的值． 【作业15】．（23-24七年级上·广东湛江·期末）计算：． 【作业16】．（24-25七年级上·河北唐山·期中）有“燕山脚下的小吐鲁番”之美誉的潘家峪村被农业农村部命名为“葡萄华夏第一村”，其中优质品种“龙眼”，甘甜怡口，切而不流．质监局对该村某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出10箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 1 3 1 2 2 1 (1)这10箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)这10箱样品的总质量是多少千克？ 【作业17】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子： ，，，，； (1)请写出第个式子：___________； (2)计算：． 【作业18】．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大顺序，用“”连接． 【作业19】．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是________． 【作业20】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则____． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·有理数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华师大版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理有理数的概念体系，掌握正负数、相反数、倒数、绝对值等基本量 · 会用数轴表示有理数、比较大小，理解绝对值的几何意义 · 熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，灵活运用运算律 · 掌握科学记数法与近似数，能按精确度取近似值 · 能运用有理数知识解决实际问题与动点、程序流程图等综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 有理数：整数和分数统称有理数，按符号分为正、零、负三类 正负数：表示相反意义的量，0既不是正数也不是负数 相反数：只有符号不同的两数，a的相反数为-a，和为0 倒数：乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：-的相反数和倒数分别是多少？ 答案：相反数为，倒数为- 解析：相反数只变符号；倒数交换分子分母并保留原符号 ☆ 2.数轴与绝对值 数轴：规定原点、正方向、单位长度的直线，右边的数总比左边大 绝对值：数轴上点到原点距离，|a|≥0；负数绝对值是它的相反数 绝对值几何意义：|a-b|表示数轴上a、b两点间的距离 两个负数比较：绝对值大的反而小 概念辨析例题：已知|x-2|+|y+3|=0，求x+y的值 答案：-1 解析：两个非负数和为0则各自为0：x-2=0得x=2，y+3=0得y=-3，x+y=-1 ☆ 3.有理数的运算 加减法：同号相加取同号，异号相加取大绝对值符号；减法化加法 乘除法：同号得正异号得负，绝对值相乘除；除法转乘法乘倒数 乘方：an表示n个a相乘；负数偶次幂为正、奇次幂为负 混合运算：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内 概念辨析例题：计算：-22×(-)+| -3 |÷(-1) 答案：-1 解析：-22=-4，-4×(-)=2，3÷(-1)=-3，2+(-3)=-1 ☆ 4.科学记数法与近似数 科学记数法：把绝对值大于10的数写成a×10n，1≤|a|<10 n等于原数整数位数减1，小数点向左移动n位 近似数：四舍五入到哪一位就说精确到哪一位 有效数字：从左边第一个非零数字起至末位数字止 概念辨析例题：用科学记数法表示地球质量约5980000000000000000000000千克 答案：5.98×1024千克 解析：小数点左移24位，a=5.98满足1≤|a|<10 ☆ 5.有理数的实际应用 正负数表示相反意义量，先定基准再列式 路程、耗油量问题用绝对值求和 销售、盈亏问题列式后结合实际意义作答 数轴动点问题设时间t，表示位置后列距离等式 概念辨析例题：某冷库温度每小时下降3℃，8小时后从5℃降到多少？ 答案：-19℃ 解析：5+(-3)×8=5-24=-19℃ 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数与倒数 和为0互为相反数；积为1互为倒数 0没有倒数 绝对值 |a|≥0，负数取绝对值要变号 化简先判正负 数轴距离 |a-b|=两点距离 动点先设t 乘方符号 负数偶次幂正、奇次幂负 -an≠(-a)n 科学记数法 a×10n，1≤|a|<10 n=位数-1 混合运算 乘方→乘除→加减 括号优先 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念、分类与正负数（第1-9题） · 有理数先定符号再分整分，0是整数但非正非负 · 相反数只变符号、倒数交换分子分母、0无倒数 · 正负数表示相反意义量，先确定基准 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．两个有理数互为相反数，它们的商是 D．相反数等于它本身的数是0 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算、相反数的定义、倒数、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，倒数和相反数的定义，有理数的除法，正确理解零不能作除数是解题的关键．根据有理数的分类、倒数和相反数的定义及有理数的除法运算法则，即可判断答案． 【详解】A、有理数包括正数、负数和零，所以选项A错误，不符合题意； B、因为零没有倒数，所以选项B错误，不符合题意； C、因为零的相反数是零，但零不能作除数，所以选项C错误，不符合题意； D、相反数等于它本身的数是0正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川德阳·期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数的计算，熟练掌握取近似值的各种说法及四舍五入求近似值的方法是解题关键．根据四舍五入法，对0.05019按照各选项的精度要求进行近似计算，判断正误． 【详解】A、∵ 0.05019精确到0.1（十分位）时，百分位为5，应进位， ∴ 近似值为0.1，A正确； B、∵ 精确到0.0001（万分位）时，十万分位为9，应进位， ∴ 近似值为0.0502，B正确； C、∵ 精确到千分位时，万分位为1，应舍去， ∴ 近似值为0.050，C正确； D、∵ 精确到百分位时，千分位为0，应舍去， ∴ 近似值为0.05，但D选项为0.10，错误． 故选：D． 3．（25-26七年级上·天津·阶段检测）的倒数是________． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键． 根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）如果a是与0之间的有理数，则a可以为______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】有理数的定义、有理数大小比较 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解题的关键．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较的法则判断即可． 【详解】解：， 所以 a的值可以是． 故答案为：．（答案不唯一） 5．（23-24七年级下·上海宝山·期中）对于近似数，它有________个有效数字． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】考查了有效数字的概念，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，据此作答即可． 【详解】近似数的有效数字有4、5、0三个． 故答案是：3． 6．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②倒数等于它本身的数只有；③的底数为；④20200精确到千位为；⑤若，则或．其中一定正确的是_________（只需填写序号）． 【答案】①②⑤ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、倒数、有理数的分类、求一个数的近似数 【分析】本题考查倒数数，绝对值的意义，科学记数法和有理数乘方，运用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 利用有理数的分类可对①进行判断；根据绝对值的意义对②进行判断；根据倒数的意义对③进行判断；根据乘方的定义对④进行判断；利用科学记数法可对⑤进行判断；根据绝对值的意义可得⑥进行判断． 【详解】解：①整数和分数统称为有理数是正确的； ∴原说法成立，①正确； ②倒数等于它本身的数只有， ∴②正确； ③的底数为2， ∴③错误； ④20200精确到千位为， ∴④错误； ⑤∵， ∴a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当a，b，c都是正数，即时， 则； 当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则， 综上所述，或， ∴⑤正确． 故答案为：①②⑤． 7．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）请根据图示的对话解答下列问题． (1) ， ； (2)请用比较，，，的大小 【答案】(1)， (2) 【知识点】有理数大小比较、相反数的定义、倒数 【分析】（1）根据相反数、倒数的定义计算即可； （2）求出，的值，进而比较即可． 【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，b与​互为倒数， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 8．（23-24七年级上·云南文山·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果＋50米表示向东走50m，那么向西走100米，可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意及相反意义的量可进行求解． 【详解】解：向西走可表示为； 故选B． 9．（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）甲、乙、丙三地的海拔分别为，，，那么最高的地方比最低的地方高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了相反意义的量，有理数的减法．由题意得：最高的地方海拔为，最低的地方海拔为，利用最高海拔减去最低海拔即可求解． 【详解】解：由题意得：最高的地方海拔为，最低的地方海拔为， 则， 则最高的地方比最低的地方高， 故选：A． 【考点2】相反数与绝对值的化简（第10-17题） · 绝对值化简先判断内部正负，再去符号 · 带字母绝对值分情况讨论 · 多重符号化简：奇负偶正 10.5，，0，   ， 【答案】 解：， 数轴表示为： 从小到大排列为． 【知识点】求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对值，熟练掌握数轴上右边的数总比左边大是关键． 首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】略 11．（26-27七年级上·山西晋中·阶段检测）已知a，b是有理数，若a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算 【分析】先在数轴上找出表示的点，可得，结合绝对值性质及有理数减法法则逐项判断即可． 【详解】解：，a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， ∴， A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，故该选项符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴，故该选项不符合题意． 12．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）若，，且，则____． 【答案】或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】首先化简绝对值得到，，然后结合分两种情况讨论，分别代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，或． 13．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是________． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题主要考查绝对值以及倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据绝对值等于相反数以及倒数等于本身即可得到答案． 【详解】解：负数和0的绝对值等于它的相反数，的倒数等于它本身， 故小安心里想的这个数是， 故答案为：． 14．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查有理数的乘除法，绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 由可知与异号，代入表达式计算即可． 【详解】解：， ，异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故答案为： 15．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）用“”、“”填空： （1）__________；（2）__________；（3）__________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数大小比较的法则是解题的关键：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小． 直接根据有理数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：（1），， 而， ； （2），， 而， ； （3）是负数， ； 故答案为：，，． 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）在数轴上表示下列各数，并按照从小到大的顺序用“”连接起来； ，，，，     【答案】 ，，， 数轴表示如下所示： 则． 【知识点】求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值，乘方和化简多重符号，先计算绝对值，乘方、化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】略 17．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）若a､b非零且互为相反数，c､d互为倒数，m的绝对值为，求的值． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】本题主要考查相反数、绝对值及倒数的意义、有理数的运算，熟练掌握相反数、绝对值及倒数的意义、有理数的运算是解题的关键． 根据题意易得，，，，然后代值求解即可． 【详解】解：，非零且互为相反数，，互为倒数，的绝对值为， ，，，， ∴当时， ； 当时， ； 由上可得，值为． 【考点3】数轴、绝对值几何与动点距离（第18-28题） · 数轴右边数总比左边大，两负数比大小看绝对值 · |a-b|=数轴两点距离，动点问题设t列等式 · 翻折对称点到折痕距离相等 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数加法运算、绝对值的几何意义、相反数的应用 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，有理数加法，绝对值，相反数，熟记数轴特征和各个运算法则是解题的关键． 先在数轴上表示出，，再根据数轴知，且，然后根据有理数加法法则和利用数轴比较有理数大小逐个进行判断即可求解． 【详解】解：在数轴上表示出，，如图， 由数轴可知，，且， ，故①错误， ，故②错误， ，故③正确， ，故④正确， ，故⑤正确， 综上所述，③④⑤正确，有3个正确． 故选：C． 19．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字______的点重合（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算、数轴上的规律探究 【分析】计算数轴上与之间的距离，根据圆的周长确定循环周期，结合环绕方向确定对应位置． 【详解】解：数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合， ∴数轴上表示的点与起点的距离为； ∵圆的周长为， ， ∴数轴上表示的点对应圆周上从开始沿环绕方向移动个单位的点， 数轴按逆时针方向环绕，且圆周上数字顺时针排列为， ∴圆周上数字逆时针排列为， ∴从开始逆时针移动个单位对应的数字是． 20．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）下列说法中正确的个数是（　　） ①若，，则x，y都为负数； ②已知，则的值不可能为0； ③若，则的大小关系是； ④如果a、b、c为有理数，且，则的值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】根据加法法则即可判断①，根据绝对值的意义即可判断②，根据数的大小关系即可判断③，根据绝对值的意义即可判断④，熟练掌握加法法则、比较数的大小、绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：①若，，则x，y异号，且负数的绝对值较大，故①说法错误； ②已知，不妨设，则，故②说法错误； ③若，则的大小关系是，故③说法错误； ④∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴的值为1，故④说法错误． ∴说法中正确的个数是0． 故选：A． 21．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，其中点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是 ，它们的相对位置如图所示，下列对点A，B，C的位置描述正确的是（   ）． A．点A，C在原点的左侧 B．点B，C在原点的右侧 C．点A在表示数1的点的左侧 D．点B在表示数1的点的右侧 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】由数轴可知：，可得且，根据题意，按照的取值（范围）进行分类讨论，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，则且，所以且， ①当时，， 由得，即， 由得， ∴当时，，，满足题意， 此时，点在原点左侧，点在表示数的点的左侧，点A在表示数1的点的左侧， ∴选项B、D错误，不符合题意，（例如，，，）， ②当时，，点与点重合，不符合题意， ③当时，， 由得，即， 由得， ∴当时，，，满足题意， 此时，点A，C在原点的右侧，点A在表示数1的点的左侧， ∴选项A错误，不符合题意，（例如，，，）， ④当时，，点与点重合，不符合题意， ⑤当时，， 由得，即， 由得，与“”矛盾， ∴不符合题意， 综上可得，或， ∴点A在表示数1的点的左侧， ∴选项C正确，符合题意． 22．（24-25七年级上·广西钦州·期中）比较大小：________（用“>”，“<”或“=”填空）. 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小即可解答，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 23．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的相反数是2，的绝对值是，则______． 【答案】或 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式，绝对值，相反数，倒数的知识，解题的关键是掌握相反数的定义，则，，，再代入，即可． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴， 、互为倒数， ∴， ∵的相反数是， ∴， ∵的绝对值是， ∴； ∴当时，； 当时，； 故答案为：或． 24．（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 25．（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________． 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得，由条件分类讨论即可. 【详解】解：由题意得： 设得到的三条线段的长度分别为：， 则：， 解得： 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 时，如图所示： ∴ 折痕处对应的点所表示的数是：； 故答案为：或或 26．（23-24七年级上·四川成都·期中）规定：，例如，．下列结论中，正确的是_____(填写正确选项的番号)． ①式子的最小值是8；②若，则；③能使成立的x的值不存在；④若，则为定值． 【答案】①②④ 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值及代数式求值，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． ①写出的代数式，根据数轴上绝对值表示的几何意义解答即可；②根据绝对值的非负性质，分别求出x和y的值进行计算判断即可；③解关于x的绝对值方程：若有解，则说明使成立的x的值存在，否则，说明不存在；④当时，对进行化简，若结果含有x，则说明不为定值，否则，说明为定值． 【详解】解：①∵， ∴． ∵的几何意义是数轴上数为x的点分别到数为3和两个点的距离之和， ∴的最小值为8，①正确，故符合要求． ②∵， ∴，解得， ∴，②正确，故符合要求． ③∵， ∴， ∴，（无解）， ，解得，③不正确，故不符合要求． ④当时，，④正确，故附符合要求． 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 27．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接_____． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值，根据数轴上点的位置，绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵，且靠近，且远离， ∴， 故答案为：． 28．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知A，B，C，D在上分表示a，b，c，d，，则线段的长度为___________． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，正确画出数轴是解题的关键． 根据两点之间的距离，画出数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1， ∵， ∴， ∴点D与点A之间的距离为， 如图（1） 线段的长度为； 如图（2） 线段的长度为， 故答案为或． 【考点4】科学记数法与近似数（第29-33题） · a×10n中1≤|a|<10，n=整数位数-1 · 近似数精确度看四舍五入到哪一位 · 大数先数位数再写科学记数法 29．（25-26九年级下·江西上饶·期中）被誉为“大国重器”的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为12000公里（1公里米），若将此射程以“米”为单位用科学记数法表示，应为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】先完成单位换算，再根据科学记数法的定义表示结果，科学记数法的形式为，满足，为整数即可． 【详解】解：∵ 1公里米， ∴ 12000公里 米米． 将12000000用科学记数法表示，可得． 30．（23-24九年级上·吉林长春·期末）据统计，2023年中秋节、国庆节假期国内旅游出游约人次．同比增长，这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 31．（2022·贵州铜仁·模拟预测）每年的3月14日是“圆周率日”．谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位．其中数值31.4万亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：∵万亿， ∴万亿. 32．（24-25七年级上·重庆合川·期末）2024年9月25日，中国向太平洋公海试射了一枚洲际导弹，不仅准确地击中预定海域，而且导弹射程达到了惊人的12000千米．其中12000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为比原数整数位数少1的整数，确定a和n的值即可解题． 【详解】解：． 33．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下滴水，每滴水约毫升．小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，当小明离开小时后水龙头滴了________毫升水．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】当小明离开2小时后水龙头滴了约毫升．再表示成，其中，n表示整数． 【详解】解：毫升． 【考点5】有理数的乘除与乘方（第34-36题） · 乘除同号得正异号得负，除法转乘法乘倒数 · 乘方先定符号再算绝对值 · 注意-an与(-a)n的区别 34．（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A． 和 B． 和 C． 和 4 D．以上三组都互为倒数 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、倒数 【分析】乘积是 1 的两个数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 由此得三组数的乘积都等于 1，所以三组数都互为倒数． 35．（24-25七年级上·四川泸州·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的乘法运算，利用乘法分配律解题即可． 【详解】解： ． 36．（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）． ①对于任何正整数n，； ②（）； ③（a是有理数，，n是正整数）； ④； ⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． ①试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______． ②计算：． 【答案】(1)，4 (2)①②⑤ (3)①，；② 【知识点】有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据新定义，列式计算即可； （2）根据新定义，逐一进行判断即可； （3）①根据新定义结合除法法则，进行计算即可； ②根据新定义以及有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：表示个1相除，结果为1，故①正确； ，故②正确； 当时，，故③错误； ，故，故④错误； 负数的下正奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数；负数的下正偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤； （3）解：①； ； ② ． 【考点6】有理数的混合运算与运算律（第37-43题） · 严格按乘方→乘除→加减顺序 · 灵活用交换律、结合律、分配律凑整 · 程序流程图按箭头逐步代入 37．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为（   ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序图的计算，数字的变化规律． 根据程序图计算出部分数值，找出变化规律，再根据规律解答问题即可． 【详解】解：第一次输出为：； 第二次输出为：； 第三次输出为：； 第四次输出为：； 第五次输出为：； 第六次输出为：； 第七次输出为：； ……， 从第二次输出开始以9，3，1循环， ， ∴第2025次输出结果为3． 故选：C． 38．（2023七年级·全国·竞赛）算式的计算结果是___________． 【答案】0 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能计算出因数0是解题的关键． 根据题意先算出，再根据含有因数0的乘法运算乘积为0即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：0． 39．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算小括号内的减法，再计算乘方，接着计算除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 40．（24-25七年级上·北京·期中）计算． 【答案】33 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 41．（23-24七年级上·陕西安康·期中）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据有理数乘方的法则，混合运算的法则计算即可，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】 ． 42．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，小数化分数，有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内的部分，然后计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）先计算小括号内的部分，再计算中括号内的部分，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（26-27七年级上·辽宁辽阳·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)13 (2)2 (3)9 (4) (5)72 (6)46 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）化简去括号，按照有理数的加法法则计算即可． （2）先去绝对值，再按照有理数的加减混合运算计算即可． （3）先按照有理数的乘法法则计算，再按照有理数的加法法则计算． （4）先按照有理数的乘除法则计算，再按照有理数的减法法则计算． （5）按照有理数乘法的简便计算即可． （6）按照有理数的四则运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【考点7】有理数的实际应用（第44-49题） · 正负数应用先审基准与方向 · 总路程用绝对值之和，距离用差的绝对值 · 列式后结合实际意义作答 44．（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列关于代数式的值的结论：的值可能是正数；的值一定比大；③的值一定比小；的值随着的增大而减小．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用特殊值判断；利用作差法判断；根据越大，越小，越小判断，利用特殊值和作差法判断两数大小是解题的关键． 【详解】解：当时，，故符合题意； ∵， ∴，故符合题意； 当时，，故不符合题意； 越大，越小，越小，故符合题意； 故答案为：． 45．（25-26七年级上·山西晋中·期中）星期天，骑行爱好者小爱和小数相约从家骑自行车去后沟古村游玩． 请你根据以下信息完成相应任务． 信息一 小爱和小数给亲朋好友买了一些礼物，小爱买了2张A款年画和5张生肖剪纸，小数买了3张A款年画和2张生肖剪纸．A款年画每张a元，生肖剪纸每张b元． 信息二 进入秋季后，早晚气温变化较大．他俩9点到达后沟古村时气温为，14点前平均每小时升温，随后平均每小时降温． 任务： (1)小爱和小数给亲朋好友买礼物一共花了______元；（用含a，b的代数式表示，要求结果最简） (2)当日16点他俩从后沟古村返回，当时后沟古村的气温是多少？ (3)你还能提出什么数学问题？ 【答案】(1) (2)当日16点他俩从后沟古村返回，当时后沟古村的气温是 (3)小爱给亲朋好友买礼物的费用比小数多多少元？（答案不唯一） 【知识点】整式加减的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，有理数的混合运算的实际应用： （1）把两人的费用加起来，再化简即可； （2）根据气温的变化情况，即可解答； （3）小爱给亲朋好友买礼物的费用比小数多多少元． 【详解】（1）解：根据题意得：元， 即小爱和小数给亲朋好友买礼物一共花了元； （2）解：根据题意得：， 即当日16点他俩从后沟古村返回，当时后沟古村的气温是； （3）解：小爱给亲朋好友买礼物的费用比小数多多少元？ 46．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）小明看一本书，第一天看了50页，占全书页数的，第二天看了全书的，小明第二天看了多少页？ 【答案】小明第二天看了60页． 【知识点】有理数除法的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了分数的混合运算，将一本书整体看成“1”，用50页除以，求出这本书的总页数，即可求出第二天看的页数，准确熟练地进行计算是解答本题的关键． 【详解】解：∵第一天看了50页，占全书页数的； 由题意得， 整本书有：（页） ∴第二天看的页数：（页）． ∴小明第二天看了60页． 47．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． (1)若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为_____； (2)小明骑行的最短距离为_____． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加法的应用，有理数比较大小，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）分别求出各路线的距离，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据图示计算的路线距离为； 故答案为：； （2）解：找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的， 故答案为：． 48．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33米，慢车每秒行21米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25秒后快车超过慢车．那么两车长分别是多少? 【答案】快车长米，慢车长米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查行程问题中的追及问题．从两车头对齐开始，到快车车尾超过慢车车头，快车比慢车多行驶的路程等于快车的车长；从两车尾对齐开始，到快车车尾超过慢车车头，快车比慢车多行驶的路程等于慢车的车长。根据“路程差=速度差×追及时间”即可列式求解． 【详解】解：快车长：米， 慢车长：米， 答：快车长米，慢车长米． 49．（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正数与负数的意义，有理数的加减运算，绝对值的应用，将质量合格问题转化为数学计算问题是解题关键． （1）先利用第枚酥饼的质量和偏差求出标准质量，再用各枚酥饼的实际质量减去标准质量，得到对应的偏差值； （2）先计算所有酥饼的偏差总和，再判断其绝对值是否在合格范围（克）内，从而判断总质量是否合格． 【详解】（1）解：已知第枚酥饼质量克，与标准质量的差为克， 则标准质量为克， 第枚酥饼质量为克，则克， 第枚酥饼质量为克，则克． 答：，，． （2）解：各枚酥饼质量与标准质量的差的和为克， ，故酥饼在总质量上是合格的． 答：小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念关：正负数、相反数、倒数、绝对值要辨析清楚 · 数轴关：数形结合，比较大小、求距离、解动点都靠它 · 运算关：混合运算按顺序，运算律凑重要熟练 · 记数关：科学记数法a×10n，近似数看精确度 · 应用关：审题抓基准，列式后结合实际作答 【作业1】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．有理数包括整数、分数和小数 B．万精确到百分位 C．属于整式 D．若，则 【答案】C 【知识点】整式的判断、带有字母的绝对值化简问题、求近似数的精确度、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的定义、近似数的精确度、整式的概念以及绝对值的性质． 选项A错误，因为小数中的无限不循环小数不属于有理数；选项B错误，万中的数字精确到百位；选项C正确；选项D错误，因为当时，． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数），但小数中的无限不循环小数是无理数，不属于有理数， ∴选项A错误． ∵万表示数字，其中的最后一位8位于百位，因此精确到百位， ∴选项B错误； ∵整式要求分母中不含字母，而π是代表常数，不是字母，因此分母中不含字母，是整式， ∴选项C正确； ∵当时，，， ∴选项D错误； 故选：C． 【作业2】．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如果把向北走记作，那么表示的实际意义是（     ）． A．向东走 B．向南走 C．向南走 D．向北走 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查用正负数表示一对具有相反意义的量，根据已知条件得到向北为正方向，向南为负方向，继而得到答案． 【详解】解：∵向北走记作， ∴向北为正方向，向南为负方向， ∴表示向南走． 【作业3】．（25-26七年级上·全国·期中）下列各数中，绝对值最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、化简多重符号、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值、有理数乘方、利用相反数化简多重符号等知识点，掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0成为解题的关键． 分别利用有理数乘方、相反数化简，然后求出绝对值，最后比较即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的数是． 故选A． 【作业4】．（23-24七年级下·河北唐山·期中）体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放16320000吨，则一个月相当于减少二氧化碳排放的量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B 【作业5】．（24-25七年级上·全国·期中）下列各式中，计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．根据有理数有理数的乘除混合运算法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【作业6】．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）地球上七大洲的总面积约为， 用四舍五入法精确到， 并用科学记数法表示，结果为_____． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 【作业7】．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）如果a，b，c是非零有理数，那么的所有可能的值为______． 【答案】，0，4 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，分四种情况：当a，b，c三个数都是正数时，当两数为正数，一数为负数时，当一数为正数，两数为负数时，当三个数均为负数时，分别计算即可得解，熟练掌握绝对值的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当a，b，c三个数都是正数时，原式， 当两数为正数，一数为负数时，原式， 当一数为正数，两数为负数时，原式， 当三个数均为负数时，原式， 综上所述，的所有可能的值为，0，4， 故答案为：，0，4． 【作业8】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数中，正数的个数有________个．，3.5，0，10%，，2023，，． 【答案】4 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握实数分类及先关概念是解决问题的关键． 根据正数和负数的定义判断即可． 【详解】解：正数有：3.5，10%，2023，．共4个， 故答案为：4 【作业9】．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）如果则的值可表示为_______． 【答案】/ 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是有理数乘法的分配律．利用乘法的分配律把原式化为，再展开整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ． 故答案为：． 【作业10】．（23-24七年级上·山东青岛·期中）在下列各数：7，，，，，，，0，1.2345678910111213.......中，属于分数的是__________，属于非负整数的是__________. 【答案】 ，，，， 7，0 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类是本题的关键．根据有理数的分类归类即可． 【详解】解：7，，，，，，，0，1.2345678910111213.......中，属于分数的是，，，，，属于非负整数的是7，0， 故答案为：，，，，；7，0 【作业11】．（24-25七年级上·广东湛江·期中）用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数是_____． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到百分位的结果为， 故答案为：． 【作业12】．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）对于任意有理数、，定义一种新运算：，例如：，，则___________． 【答案】3 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算、有理数大小比较 【详解】解：，， ． 【作业13】．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 随着科技的迅猛发展，机器人正以前所未有的速度渗透进各行各业，逐渐取代工人承担起诸多重复性、高强度以及危险环境下的工作任务．某钢铁生产车间有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动进行调试设备、检测温度等工作．机器人从点出发，规定向东为正，向西为负，如表是某一段时间内从点出发的行走记录（单位：米）． 第次 第次 第次 第次 第次 (1)机器人第次，走动后所在的位置在出发点的什么方向？与出发点的距离是多少？ (2)该时间段机器人最远处离出发点有多远？ (3)若该机器人每千米耗电千瓦时，在这段行走过程中机器人共耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)在出发点的西边，与出发点的距离为米 (2)米 (3)千瓦时 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的运算，熟练掌握相关运算和定义是解题的关键． （1）第1次和第2次行走数据相加，即可解答． （2）分别求出每次走动后离出发点的距离，然后比较大小，即可得到最远距离． （3）将表格中所给数据的绝对值相加，求得总行走距离，再乘以每千米耗电量，即可得到总耗电量，注意单位换算． 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以机器人第次走动后所在的位置在出发点的西边， 因为， 所以机器人第次走动后所在的位置与出发点的距离为米． （2）解：由题意可知， 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）； 第次走动后离出发点的距离为（米）． 综上所述，该时间段机器人最远处离出发点的距离为米． （3）解：（米）， 所以（千瓦时）． 答：在这段行走过程中机器人共耗电千瓦时． 【作业14】．（24-25七年级上·江西抚州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第个等式： ； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的乘法，加减运算，理解规律计算，掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示方法，拆项，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）运用拆项，有理数加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【作业15】．（23-24七年级上·广东湛江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据加减混合运算法则，准确计算即可． 【详解】解： ． 【作业16】．（24-25七年级上·河北唐山·期中）有“燕山脚下的小吐鲁番”之美誉的潘家峪村被农业农村部命名为“葡萄华夏第一村”，其中优质品种“龙眼”，甘甜怡口，切而不流．质监局对该村某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出10箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 1 3 1 2 2 1 (1)这10箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)这10箱样品的总质量是多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)100.5千克 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据表格数据用最重的一箱的重量减去最轻的一箱的重量，即可求解； （2）标准质量乘以总箱数加上与标准质量的差的总和即可． 【详解】（1）解：由题意得，（千克）， 答：最重的一箱和最轻的一箱相差千克； （2）解：， （千克）， 答：10箱样品的总质量是100.5千克． 【作业17】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子： ，，，，； (1)请写出第个式子：___________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（）根据题目中的等式的特点，写出第个式子即可； （）利用（）中的规律将所求式子变形，然后拆项，即可计算出所求式子的值； 本题考查了数字的变化规律问题，有理数的混合运算，由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，，，， ∴第个式子为， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【作业18】．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大顺序，用“”连接． 【作业19】．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义可得，再计算加法即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【作业20】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则____． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；根据题中所给运算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 因为这两个两位数相乘的结果为2176，所以， ∵m、n为正整数， ∴或， 当时，，因为b、c是10以内的正整数，所以不存在两个正整数的乘积是22，故不符合题意； ∴， ∴； 故答案为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $