专题06 相似（期中真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期

**基本信息** 汇编安徽多校期中试题，聚焦相似6大高频考点，以情境化问题和分层设计实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|图形相似（黄金分割、比例线段）、三角形相似判定（AA/SAS）|结合哪吒身高、五角星等文化素材，如黄金分割应用| |填空|约20题|位似作图、比例性质计算|融入枫叶、矩形折叠等生活情境，考查基础计算| |解答|约40题|相似应用（测量旗杆、光学成像）、动态几何证明|设计跨学科问题（物理光学），综合考查推理与建模能力|

专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（       ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 2．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知，则下列结论一定成立的是（          ） A. ， B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽池州·期中）下面四组线段中，成比例的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）若，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·安徽中学·期中）已知：，则（       ） A. 6 B.  C. 1 D.  7．（九上·安徽合肥·期中）如果线段，那么和的比例中项是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）下列线段能构成比例线段的是 （     ） A. 1，2，3，4 B. 1，，，2 C. ，，，1 D. 2， 5， 3， 4 12．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知，，且，则下列结论一定正确的是（       ） A. ， B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）下列说法中，正确的是（       ） A. 相似三角形是全等三角形 B. 所有矩形都相似 C. 全等三角形是相似三角形 D. 所有等腰直角三角形不一定都相似 14．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如果（x，y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（     ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 16．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知（），则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知，则下列各式不成立的是（   ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A. 增大 B. 增大 C. 减小 D. 减小 20．（九上·安徽合肥·期中）如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·安徽池州·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）下列图形中不一定是相似图形的是（       ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 23．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）若，则的值是() A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）若且，求的值（，，均不为） 25．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是　　　千米． 26．（25-26学年九上·安徽中学·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，是一片美丽的枫树叶，叶尖到叶柄底端近似为一条线段，叶面与叶柄的交点B为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为　　　　． 28．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知，且，则　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是　　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年九上·安徽中学·期中）延长线段到点C，使得，则的值是　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知两地的实际距离是100米，如果画在地图上两地的距离为5厘米，那么地图上距离与实际距离的比是　　　　　　 ． 32．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）大自然是美的设计师，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　　　　　　　　　　（结果保留根号） 34．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知线段，则线段a和b的比例中项为　　　　　． 35．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知实数，，满足，求的值． 36．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知 ，且，求的值 37．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q为边上一点，连接．若平分这个图形的面积，则的值为　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知，求　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知，且，那么　　　　　　　　　　． 40．（九上·安徽合肥·期中）已知，且，则的值为　　　　　　． 41．（九上·安徽合肥·期中）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是　　　　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）（1）已知 ，且，求的值． （2）已知是线段上的一个黄金分割点，，，求线段的长． 43．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 44．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求． 45．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=　　　　　　　　　　cm． 46．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知，且，求的值． 47．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）若，试求的值 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，，，，，则的值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 5 2．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，，交于点C，，若，，，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 3．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，已知，，，线段的长为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，，，，，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（     ） A.  B. 1 C.  D.  7．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，已知，，，则　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，，，． （1），求； （2），求的长． 9．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求： （1）求BF和BD的长度． （2）四边形BDEF的周长． 10．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，，，，． （1）求的值； （2）求证：． 11．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知中，，，平分，求的周长． 12．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，． （1）若，求的长． （2）若，求的长． 13．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 14．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，的平分线为，交于点E． （1）求证： （2）若，求的值 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图，点在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（       ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）矩形中，，，点P是上的动点，当时，的长是（       ）． A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 1或4 11．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，分别是的中点，与相交于点，则（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 14．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A.  B. 2 C.  D.  16．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，使，延长交的延长线于点，下列结论不成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 2 18．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，锐角中，，，两动点、分别在边、上滑动，且，以为边向作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为，则与的函数图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，下列条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，矩形纸片，点分别在上，把纸片如图沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交线段于点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 24．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，，，交、于点、，在下方作正方形，若，则点到的距离为（     ） A.  B. 1 C.  D.  26．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，已知正方形的边长为6，点是边的中点，点是边的中点，连接，过点作交延长线于点，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（九上·安徽合肥·期中）如图，B，F，C三点共线，与交于点，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论有（       ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 29．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当 到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是（       ） A. 一直减小 B. 不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 30．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，已知四边形是矩形，为边上的动点，连接，过点作分别交于点，下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 31．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 若，则点是的黄金分割点 D. 若点是的黄金分割点，则 32．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在矩形中，，点分别在边上．将四边形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，连接、，则下面四个结论中错误的是（     ） A.  B. 线段的取值范围为 C.  D. 的最小值为 33．（九上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 34．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，． （1）求证：； （2）求的值． 35．（九上·安徽合肥·期中）如图，在中，，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 36．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝　　　　　． 37．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，已知，．求证：． 38．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）和均为等腰直角三角形． （1）如图1，当与重合时，_________． （2）如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，连接，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由． 39．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段的黄金分割点．如图2，在中，，，为的平分线． （1）求证：点D为的黄金分割点． （2）求的长． 40．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 41．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）求的值． 42．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）综合与实践 【项目主题】运用所学的数学和物理知识，测量学校旗杆的高度． 【项目实施】1．方案设计；2．人员分工；3．工具准备；4．测量与记录；5．计算；6．总结评价． 下面是第一小组设计的方案和测量的数据： 测量工具 一把标尺，一根皮尺 示意图（C处为人眼的位置，为标尺，为旗杆）     测量方案 测量方案：手举标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆的高度（即在同一条直线上，在同一条直线上）．测量的量：①人与标尺的水平距离；②人与旗杆的水平距离；③标尺的长度． 记录 ①②，③． 任务一：根据第一小组的方案和数据，计算学校旗杆的高度； 任务二：第二小组准备的工具是平面镜和一根皮尺，他们的测量方案为：将平面镜（点）水平放置在操场地面上，调整人的位置到点处，使得人眼（点）在平面镜中央处恰好能看到旗杆的顶端（点）；请你帮他们画出示意图，并说明需要测量的量（无需计算）． 43．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）求长的最小值． 44．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，在等腰中，，点D是边上的中点，过点C作，交的延长线于点E，过点B作，交于点F，交于点H，交于点G．求证： （1）； （2）． 45．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上），则的长为　　　　　　　　　． 46．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边，交于点O，连接． （1）求证： ①； ②； （2）当，时，求的面积． 47．（九上·安徽合肥·期中）如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果，且点，点的纵坐标相等，那么点，点的横坐标的比值为　　　　　　　　　　； （2）的值为　　　　　　　　　　（用含a，b的代数式表示）． 48．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 49．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知和有公共的顶点，，，且．与相交于点，连接，． （1）若点，，在一条直线上，如图1，求证：； （2）将绕点逆时针方向旋转一定的角度，的延长线交于点，如图2 ①证明：； ②若，求的值． 50．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点． （1）将向上平移3个单位得到，请在网格图中画出； （2）请画一个格点，使，且相似比不为1； （3）用无刻度直尺在上找出一个三等分点． 51．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图，已知：在中，，，，，平分．    （1）求的长； （2）求的值； （3）点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 52．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在中，，，，动点在（与点、不重合）边上，交于点． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长； （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 53．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 54．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在中，点在上，且，，． （1）求线段的长； （2）将沿直线翻折，使点C落在点E处，交边于点F，若，求的值． 55．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． （2）在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 56．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，于点F，于点G，． （1）求证：； （2）若，求的长． 57．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，求的值． 58．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． （1）求证：； （2）当时，求x的值； （3）当x为何值时，为等腰三角形？ 59．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 60．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上．、相交于点F，连结、，作，垂足为点H，交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 61．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，点是的边上一点，点在外部，且． （1）求证：； （2）交于点，如果，平分，求证：． 62．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，连接，求证：． 63．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） （1）在边上找一点，使得； （2）在边上找一点，使得． 64．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 65．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． （1）求证：； （2）求的值； （3）若，直接写出的长为________． 66．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 67．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 68．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，，高线与交于点，过点作于点．则： （1）的值为　　　　　　　　　　　； （2）的值为　　　　　　　　　　　． 69．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 70．（九上·安徽合肥·期中）如图，在正方形中，边长为，为中点，作射线，过点作垂直于射线交射线于点，交于点，过点作垂直于射线交射线于点，连接，，已知． （1）求的长； （2）证明：； （3）连接交于点，连接，，求的值． 71．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）模型探究： （1）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、如图 求证：； （2）模型应用： 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻四边形”．在“等邻四边形”中，，，为对角线，试探究的数量关系． （3）模型提升： 如图，在中，，，连接，，，，直接写出的长度为          ． 72．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为　　　　　　　　． 73．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．    （1）如图（1），求证：； （2）如图（1），若，求的值； （3）如图（2），连结交于G，若，求的值． 74．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，，则：①　　　　　　　　；②的面积为　　　　　　　　． 75．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 76．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．    （1）操作判断：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交、、于点E、F、N，连接并延长交于点Q，连接，如图①，当E为中点时，是___________三角形，___________； （2）迁移探究：如图②，若，且，求正方形的边长． （3）拓展应用：如图③，若（），直接写出的值为___________． 77．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在和中，． （1）求证：． （2）求证：． 78．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，为内部一点，，、分别平分、． （1）　　　　　　　　　　　． （2）连接，过作分别交、于点、，若，，则点的值为　　　　　　　　　　　． 79．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 80．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，已知反比例函数和在第二象限的图象，过上任意一点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，则　　　　　　　　　　　． 81．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，点在边上运动，连接为的中点，点在线段上，连接，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 82．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在中，点在边上，，点在延长线上，将沿折叠到的位置，点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 83．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． （1）若，则　　　　　； （2）若，则　　　　　． 84．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）【背景】如图，在矩形中，，，点在上，连接交对角线于点． 【填空】（1）若，则_____； （2）若，则_____； （3）若，则_____； …… 【猜想】若，则_____；（用含的式子表示） 【论证】证明你猜想中的结论． 85．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在正方形ABCD中，AB=4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列问题： （1）　　　　　　　； （2）当△MEN与△ABM相似时，AN=　　　　　　　. 86．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知∶在中，，是边上的中线，直线，E是边延长线上一点，交直线于点F，将沿翻折得，射线交直线于点G． （1）如图1，当时，求的值； （2）如图2，当点G在点F的右侧时； ①求证∶； ②设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）如果的面积为，求的长． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，，，若，则的长为（       ）． A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（     ） A.  B. 9或6 C. 9或 D. 3或 6．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知两个直角三角形的三边长分别是，和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（       ） A.  B. 15 C.  D. 或 8．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在线段上取一点，分别以，为边，在的同侧作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，． （1）　　　　　　　　． （2）线段的长度为　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，E是上一点，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点F，求证：． 10．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 11．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图所示，延长平行四边形一边至点，连接交于点，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 12．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 13．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）（多选）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 15．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为　　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（       ） A. （米） B. （米） C. （米） D. （米） 2．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（       ） A. 公平 B. 对小颖有利 C. 对小亮有利 D. 公平性不可预测 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 3．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）第届华中图书交易会于年月日至日在武汉国际会展中心举办．若小张随机从三个人口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为　　　　　　　　　． 6．（九上·安徽合肥·期中）安徽某古镇有一座清代石拱桥，因修缮需要，需测量桥面正中央的宽度（记为线段）．修缮工人采用如下方法：在桥下方的河岸边放置激光测距仪，选取一点，从点向发射激光束，测得，此时拿出一把尺子，将尺子水平放置，与桥面平行，，而且从点分别向A，B发射激光束时，点E，F分别在激光束，上．请根据以上信息，计算该古桥桥面的宽度． 7．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）综合与实践． 【主题】探究化学实验中的数学问题． 【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处． 【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管的长为，过点作的垂线段，垂足为，交于点，试管倾斜角，试管与导管的夹角． 【问题解决】 （1）求的度数； （2）铁夹到水平桌面的距离是，测量可得导管露在水槽外的部分为，则水槽的高度约为多少？（结果精确到；参考数据：，，，） 8．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； （3）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 9．（25-26学年九上·安徽中学·期中）在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 10．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； （2）△的面积为______． 2．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，的值为________． 3．（九上·安徽合肥·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限作一个与位似，相似比为； （2）在（1）的条件下，在内有一点，则内与点对应的点的坐标为__________． 4．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 5．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且相似比为2（保留画图痕迹，不写画法）． （2）请直接写出各顶点的坐标． 6．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．    （1）画出关于y轴对称的（点，，分别对应点A，B，C）； （2）在（1）的条件下，以点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为（点，，分别对应点，，）． 7．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）的面积是          ； （2）以点为位似中心，将缩小为原来的 ，得到， 请在轴右侧画出； （3）若与位似，位似比为 ，则______． 8．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 9．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 10．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 11．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第三象限内画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． （2）用无刻度直尺在上找点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 12．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，每一个小方格正方形的边长均为一个单位长度，的顶点的坐标分别为，，．    （1）请在网格中画出关于轴对称的图形； （2）以点为位似中心，位似比为，将放大得到，请在网格中画出（不要超出方格区域）； （3）求的面积是　   ． 13．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（       ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【分析】 本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】 解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 2．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知，则下列结论一定成立的是（          ） A. ， B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据比例的基本性质以及合比性质进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A．由，不能得到x＝3，y＝4，故本选项错误； B．由，不能得到y﹣x＝1，故本选项错误； C．由，可得4x＝3y；由，可得xy＝12，故本选项错误； D．由，可得，即，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键． 3．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义直接作答即可． 【详解】 解：设线段为，黄金分割点为，较长的边为，根据定义可知， ∴， 故选：D ． 4．（25-26学年九上·安徽池州·期中）下面四组线段中，成比例的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例线段，比例的基本性质，利用比例的基本性质判断比例线段是解题的关键． 通过计算每组线段的比例关系，判断是否满足或其它等价形式，只有选项B满足比例关系． 【详解】 ∵ 对于选项B：，，，， ∴，， ∴， 故选项成比例， 对于其他选项： 选项A：，，不相等； 选项C：，，不相等； 选项D：，，不相等， 故选：B． 5．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）若，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】设x=4k，y=3k，然后代入化简即可. 【详解】设x=4k，y=3k， ∴. 故选B. 【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，然后消掉所设的未知数，即可求得所给代数式的值，本题较为简单，属于基础题． 6．（25-26学年九上·安徽中学·期中）已知：，则（       ） A. 6 B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案． 【详解】 解：， ． 故选：A． 7．（九上·安徽合肥·期中）如果线段，那么和的比例中项是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了比例线段．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】 解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设a和b的比例中项是c， 则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． 那么和的比例中项是． 故选：D． 8．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查“黄金分割”，根据“黄金分割”的定义“把一条线段分割为两部分，使较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，比值为”即可求解，掌握“黄金分割”的定义是解题的关键． 【详解】 解：， ，故A选项错误； C为的黄金分割点（）， ，故D选项正确； ，故B，C选项错误； 故选D． 9．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 10．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据比例的性质得出，再代入所求式子求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故选C． 11．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）下列线段能构成比例线段的是 （     ） A. 1，2，3，4 B. 1，，，2 C. ，，，1 D. 2， 5， 3， 4 【答案】B 【分析】 考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 【详解】 解：A．，故选项错误； B．1×2=，故选项正确． C．1×≠×，故选项错误； D．，故选项错误． 故选：B． 12．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知，，且，则下列结论一定正确的是（       ） A. ， B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查比例的性质，根据比例性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，，故选项A、C错误，不符合题意； ∴，， 故选项B正确，符合题意，选项D错误，不符合题意， 故选：B． 13．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）下列说法中，正确的是（       ） A. 相似三角形是全等三角形 B. 所有矩形都相似 C. 全等三角形是相似三角形 D. 所有等腰直角三角形不一定都相似 【答案】C 【分析】 本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 【详解】 解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 14．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如果（x，y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了比例的性质，根据题意可设， （），再把， 代入各选项中计算求解即可． 【详解】 解：∵，且， ∴可设， （）， ∴，，，， ∴四个选项中，只有B选项中的式子正确，符合题意， 故选：B． 15．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（     ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【分析】 根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】 解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是x cm，则 ， 解得：， ∴我认为选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 16．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知（），则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】 解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 17．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知，则下列各式不成立的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．由已知条件，可设，（其中），代入各选项逐一验证是否成立． 【详解】 解：∵， ∴设，（）． 对于A：，成立． 对于B：，成立． 对于C：，不成立． 对于D：，成立． ∴不成立的是C． 故选：C． 18．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段c是线段a和b的比例中项”进行解答即可得． 本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义解题的关键． 【详解】 解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 19．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A. 增大 B. 增大 C. 减小 D. 减小 【答案】A 【分析】 本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】 解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 20．（九上·安徽合肥·期中）如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例线段，理解题意是关键；设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 21．（25-26学年九上·安徽池州·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出． 【详解】 解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴， 故选：B． 22．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）下列图形中不一定是相似图形的是（       ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】C 【分析】 根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】 因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键． 23．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）若，则的值是() A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了比例的性质；通过设定比例常数，表示、、，然后代入表达式直接计算． 【详解】 解：∵，设， ∴，，． ∴． 故选：D． 24．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）若且，求的值（，，均不为） 【答案】14 【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】设=k（k≠0）， 则a＝5k，b＝7k，c＝8k， 代入3a−2b＋c＝9得，15k−14k＋8k＝9， 解得k＝1， 所以，a＝5，b＝7，c＝8， 所以，2a＋4b−3c＝2×5＋4×7−3×8＝10＋28−24＝14． 【点睛】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便． 25．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是　　　千米． 【答案】20 【分析】 根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离． 【详解】 解：设实际距离为xcm，则： 1：500000＝4：x， 解得x＝2000000． 2000000cm＝20000m＝20km． 故答案为：20． 【点睛】 此题考查了比例尺的性质，比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要统一． 26．（25-26学年九上·安徽中学·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，是一片美丽的枫树叶，叶尖到叶柄底端近似为一条线段，叶面与叶柄的交点B为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可． 【详解】 解：为的黄金分割点，，， ， ． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为　　　　． 【答案】60 【分析】 本题主要考查了比例尺，根据比例尺及图上距离可得实际距离． 【详解】 ∵比例尺为，且的图上距离是3， ∴两地间实际距离是． 故答案为：60． 28．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，熟练掌握“利用比例性质将分子用分母表示进而化简分式”是解题的关键． 利用比例的性质，将分子中的、、用分母、、表示，再代入分式化简求解． 【详解】 解：由，得，，． ∴ ， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是　　　　　　　　　　　. 【答案】8 【分析】 根据线段的比例中项的定义得到，再代值求解即可． 【详解】 解：∵线段b是线段a和c的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查线段的比例中项，能根据定义正确列出a、b、c的关系式是解答的关键． 30．（25-26学年九上·安徽中学·期中）延长线段到点C，使得，则的值是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是线段的比例问题，解题的关键是设的长度，根据比例关系表示，再根据线段和表示，最后求比值． 【详解】 解：设，则， ， ， 故答案为：． 31．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知两地的实际距离是100米，如果画在地图上两地的距离为5厘米，那么地图上距离与实际距离的比是　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查比例尺概念，熟记比例尺定义是解决问题的关键． 将实际距离单位统一为厘米，再计算图上距离与实际距离的比即可得到答案． 【详解】 解：实际距离100米等于10000厘米，图上距离为5厘米， 故图上距离与实际距离的比为， 故答案为：． 32．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】 解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）大自然是美的设计师，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　　　　　　　　　　（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 直接利用黄金分割的定义计算即可． 【详解】 解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知线段，则线段a和b的比例中项为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】 解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 35．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知实数，，满足，求的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令，，（），代入求解即可． 【详解】 解：， 设，，（）， . 36．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知 ，且，求的值 【答案】33 【分析】 本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】 解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 37．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q为边上一点，连接．若平分这个图形的面积，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程等知识，首先设，根据题意得到下面的部分的面积为，解方程即可求得的长，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】 解：设， 根据题意得下面部分的面积为：， 解得：， ， ， 故答案为：． 38．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知，求　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 【详解】 解： ， ． 故答案为 ：． 39．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知，且，那么　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】 解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 40．（九上·安徽合肥·期中）已知，且，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比例的性质，根据，得到，利用等比性质，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 41．（九上·安徽合肥·期中）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】＋2 【分析】 根据黄金分割的定义可得：，，从而可AC+BD=AB+CD=（﹣1）AB，故可求得AB的长． 【详解】 ∵C、D两点都是AB的黄金分割点， ∴AC＝AB，BD＝AB， ∴AC＋BD＝（﹣1）AB， 即AB＋CD＝（﹣1）AB， ∵CD=1， ∴AB＝＋2， 故答案为：＋2． 【点睛】 本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出AB+CD=（﹣1）AB． 42．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）（1）已知 ，且，求的值． （2）已知是线段上的一个黄金分割点，，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了比例的性质，黄金分割点的定义； （1）设 ，则，代入已知等式求得，进而求得的值； （2）根据黄金分割的定义可得，进而求得的长． 【详解】 （1）解：设 ，则， ， ，解得， ． （2）解：点是线段的黄金分割点，，若， ， 43．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． (1) 小问详解： 解：， 设，， ， ， 解得， ，； (2) 小问详解： 线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 44．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】（1），，；     （2）．      【分析】 本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便． 设，可得：，，，根据可得关于的方程，解方程求出的值，再根据的值求出、、的值． 因为线段是线段，的比例中项，可得：，两边直接开平方求出的值，因为表示线段的长度，所以要把负值舍去． (1) 小问详解： 解：设， 则，，， ， ， 整理得：， 解得：， ，，； (2) 小问详解： 解：线段是线段，的比例中项， ， 两边同时开平方，可得：， 是线段的长度， 舍去负值， ． 45．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=　　　　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质：比例中项的平方等于两条线段的乘积解答即可． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以c2=ab，即b2=3×6=18， 解得b=． 故答案为 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 46．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知，且，求的值． 【答案】39 【分析】 本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，而，那么，求出，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】 解：设，则， ， ， 解得：， ， ． 47．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）若，试求的值 【答案】或 【分析】 本题考查了比例的性质，熟知比例的性质，根据题意分和两种情况分类讨论即可求解． 【详解】 解：当时， ∵， ∴； 当时， ． 故答案为：或 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，，，，，则的值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 5 【答案】D 【分析】 本题考查了平行线截线段成比例，掌握其比例的计算方法是关键． 根据平行线截线段成比例得到，由此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， 故选：D ． 2．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，，交于点C，，若，，，则（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质．由，即可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的长． 【详解】 解：， ， ， ，，， ， 解得：． 故选：D． 3．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，已知，，，线段的长为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【详解】 解：∵, ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 4．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别，，于点，，，若，，则的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据平行线分线段成比列得到，代入数值即可求解． 【详解】 直线 ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查平行线线段成正比例，解题的关键是明确题意，找出问题所求的关键． 5．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，，，，，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】 解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 7．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，已知，，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，运用比例对应思想，易错点是比例对应错误或忽略线段的和差关系，思路是由得，代入已知比例和线段长度计算． 【详解】 解：∵， ∴ 即 ∵， 设，， 则， 又∵， ∴ 解得 故答案为． 8．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，，，． （1），求； （2），求的长． 【答案】（1）6     （2）5      【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 9．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求： （1）求BF和BD的长度． （2）四边形BDEF的周长． 【答案】(1) 、BF=6；BD=2；(2) 、16. 【详解】试题分析：(1) 、根据平行线截线段成比例的性质分别求出BF和BD的长度；(2) 、根据平行四边形的性质得出四边形的周长. 试题解析：(1) 、∵AE=2CE， ∴ ， ∵EF∥AB ∴ ， ∵BC=9， ∴BF=6， ∵DE∥BC ∴ ，∵AB=6， ∴BD=2； (2) 、∵EF∥AB，DE∥BC ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴BD=EF=2，DE=BF=6， ∴四边形BDEF的周长2（2+6）=16． 考点：(1) 、平行线截线段成比例；(2) 、平行四边形的性质 10．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，，，，． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）8     （2） 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知中，，，平分，求的周长． 【答案】（1） 证明：如图2，过作，交的延长线于， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． （1）过作，交的延长线于，则，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再根据（1）的结论可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据三角形的周长公式求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， ∵在中，平分， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴的周长为． 12．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，． （1）若，求的长． （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是利用平行线分线段成比例定理，结合线段的比例关系建立等式求解． （1）根据平行线分线段成比例定理，可得，先求出的长度，再代入已知数据求解即可． （2）由平行线分线段成比例定理可知，结合已知比例和的长度求出，进而求出即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 13．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线截线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 14．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，的平分线为，交于点E． （1）求证： （2）若，求的值 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题重点考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，本题中熟练掌握相似三角形的判定与性质以及常用结论是解题的关键． （1）根据可以得到，同时根据角平分线的性质和平行线的性质得到，进而得到，即完成求证． （2）先令，根据三角形相似以及，可以推导得到，然后利用角平分线上的点到线段两边距离相等推到得到的值，利用得到的值，最后得到的值，即完成求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， 由已知条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴和在和边上的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的值为． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】 解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 2．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，已知一个公共角相等，所以再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成比例即可判断两三角形相似，据此即可求解． 【详解】 解：已知， A. ，两边成比例，夹角相等，可证明，不符合题意， B. ，不能证明，符合题意，        C. 加上条件       ，可证明，不符合题意， D. 加上条件，可证明，不符合题意， 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 3．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，，且，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质．由，可得，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方．即可求得的值，继而求得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等，和两组对应边对应成比例，夹角相等，进行判断即可． 【详解】 解：在和中，， 要使，只需，，或或即可； 当时， ∵， ∴，能使； 综上：只有选项A不能证明； 故选A． 6．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图，点在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】 解：A．若，，则，故此选项不符合题意； B．若，其夹角不相等则不能判定，故此选项符合题意； C．若，，则，故此选项不符合题意； D．若，，则，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 7．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、，， ，故该选项不符合题意； B、，， ，故该选项不符合题意； C、，， ，故该选项不符合题意； D、与，与不是对应边，无法判断，故该选项符合题意． 故选：D． 8．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的判定．熟知相似三角形的判定方法把每个选项逐一分析即可得出． 【详解】 A．，，，，，故该选项不合题意； B．，，，，，，故该选项不合题意； C．，，，，，理由同A选项，故该选项不符合题意； D．，，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意； 故选：D 9．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】 解：A. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项A不符合题意； B.∵，， ∴，故选项B不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C不符合题意； D. 条件，，无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 10．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）矩形中，，，点P是上的动点，当时，的长是（       ）． A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 1或4 【答案】D 【分析】 结合矩形的性质，证明，即可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】 ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 整理：， 解得：，或者， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，证明是解答本题的关键． 11．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键．根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：由题意得， A、若添加，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； B、若添加，则，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； C、若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； D、若添加，不能判定与相似，符合题意 故选：D． 12．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，运用勾股定理计算是解题的关键．设，根据勾股定理得到求出长，进而得到的长，证明，然后证明计算即可． 【详解】 解：∵，，， 设，则， ∵是的两条高，即， ∴，即， 解得， ∴，， ∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 13．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，分别是的中点，与相交于点，则（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 此题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，连接，得到，，由此证明，根据相似三角形的性质列得，由此求出． 【详解】 解：连接， ∵， ∴, ∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：∵是公共角， ∴添加当或时，根据两角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判断，故选项正确，不合题意； 当添加时，因为不是夹角，不能判断，故选项不正确，符合题意； 故选：． 15．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点，     ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 16．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，使，延长交的延长线于点，下列结论不成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握：两角分别相等的两个三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，对应角相等．通过两角分别相等的两个三角形相似证明,，，则,，， ，将式子变形即可解答． 【详解】 解：，， ， 为等腰三角形， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选项错误， ，， , 又， ， ， ， ， ， 故选项正确， 在和中， ， 又， ， ， ， 故选项正确， ， ， ， 故选项正确， 故选：． 17．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，关键是由，推出．取中点M，连接，由三角形重心的性质得到，E是中点，由三角形中位线定理推出，，判定，推出，得到，求出，即可得到的值． 【详解】 解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ∴，E是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 18．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，锐角中，，，两动点、分别在边、上滑动，且，以为边向作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为，则与的函数图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分两种情况：① 公共部分全在内；② 公共部分的一部分在内，另一部分在外．方法一：先利用相似三角形的性质求出在边上时的值，再利用正方形和长方形的面积公式求出与的函数关系式即可得；方法二：先利用面积法求出在边上时的值，再利用正方形和长方形的面积公式求出与的函数关系式即可得． 【详解】 如图，过点作于点， ，， ， 解得， 方法一：当在边上时，则的边上的高为， ， ，即， 解得， 由题意，分以下两种情况： ① 当公共部分全在内，即时， 则； ② 当公共部分的一部分在内，另一部分在外，即时， 如图，设交于点，且，则， ， ，即， 解得， 则， 由此可知，与的函数图象大致是选项的图象； 方法二：当在边上时，则的边上的高为，， ， ， 即， 解得， 由题意，分以下两种情况： ① 当公共部分全在内，即时， 则； ② 当公共部分的一部分在内，另一部分在外，即时， 如图，设交于点，且，则， ， ， 解得， 则， 由此可知，与的函数图象大致是选项的图象； 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，正确分两种情况讨论，并求出临界位置时的值是解题的关键． 19．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解． 【详解】 ∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADC与△ACB的周长比1:2， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键． 20．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，下列条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】 解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定；        C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 21．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意易得，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即； 故选C． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 22．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，矩形纸片，点分别在上，把纸片如图沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交线段于点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得，，根据相似三角形判定推出，再利用矩形判定及性质证得，即可求得结果． 【详解】 解：如图，过点F作于点H，    ∵点，的对应点分别为，， ∴，， ∴是的垂直平分线． ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴； 故选：D． 【点睛】 本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 【答案】A 【分析】 根据四边形ABCD是平行四边形，得到DEAB，DC=BA，得到△DEF∽△BAF， 得到，，从而得到，整理即可． 【详解】 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DEAB，DC=BA， 所以△DEF∽△BAF， 所以，， 所以， 所以==4：10：25， 故选A． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 24．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】 解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 25．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，，，交、于点、，在下方作正方形，若，则点到的距离为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，交于点，交于点，由等腰三角形三线合一可得的长，由勾股定理可求的长，由可得，则，可得的长，证明四边形是矩形，可得的长，，求得的长，即为点到的距离． 【详解】 解：如图，过点作于点，交于点，交于点， ，， ． 在中，． ， ，． ，即， ． 四边形是正方形， ，． ， ． 四边形是矩形． ． ． 点到的距离为． 故选：A． 26．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，已知正方形的边长为6，点是边的中点，点是边的中点，连接，过点作交延长线于点，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理的应用，作辅助线构建直角三角形是解题的关键． 根据题意可证，得到，解得，，再过作交于，交的延长线于，利用等面积求得，继而得到，最后利用勾股定理分别求出求比值即可． 【详解】 解：∵在正方形中，，即，点是边的中点， ，， 又， , 又， ， ，即， 解得，， 过作交于，交的延长线于， ， ，， ， ， ∵，，， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ． 故选：D． 27．（九上·安徽合肥·期中）如图，B，F，C三点共线，与交于点，若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段性质得，，然后由相似三角形的性质即可求解，由平行线之间距离性质得，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ． 故选：B． 28．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④当E是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论有（       ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 通过证明推出，即可判断① ；再证明，即可判断② ；利用角平分线的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③ ；证明，，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④ ；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤ ． 【详解】 解：四边形是正方形， ，． ∵， ， ，故① 正确； 由① 得， ∵， ∴， ∴， ∴，故② 正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边的高与中边的高相等， 又， ，故③ 正确； 设正方形的边长为， 当E是的中点时，，， 由勾股定理得：，， ，， ， ， ． ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是的中点时，，故④ 错误； 当时，， ， ， ， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤ 错误． 综上，① ② ③ 正确； 故选：B． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形． 29．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，于点，点在的右侧，且，连接，从点出发，沿方向运动，当 到达点时，停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是（       ） A. 一直减小 B. 不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数综合，由勾股定理可得，设边上的高为，由等面积法得出，证明，设，求得，，进而可得，表示出，再由二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， 设边上的高为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，阴影部分面积随着的增大而减小，当时，阴影部分面积随着的增大而增大， 故阴影部分面积的大小变化的情况是先减小后增大， 故选：C． 30．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，已知四边形是矩形，为边上的动点，连接，过点作分别交于点，下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 设，则，证明，得出，求出，得出，根据x的范围即可得出的最小值，判断① 正确；根据，，求出最小值，判断② 正确；根据，得出点G在以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，根据当M、G、D三点共线时，最小，求出最小值即可判断③ 错误；根据勾股定理，根据二次函数性质求出最值即可，判断④ 错误． 【详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即， ∴， ∴， ∴当时，最小，且最小值为，故① 正确； ∵，， ∴当时，有最小值，且最小值为，故② 正确； ∵， ∴点G在以为直径的圆上运动， 如图，以的中点M为圆心，为半径画弧，连接， 则， 根据勾股定理得：， 当M、G、D三点共线时，最小，且最小值为：，故③ 错误； 连接，如图所示： ∵，， ∴根据勾股定理得： ， ∵， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴的最小值为，故④ 错误； 综上分析可知：正确的有2个； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，矩形的性质，二次函数性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 31．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C. 若，则点是的黄金分割点 D. 若点是的黄金分割点，则 【答案】D 【分析】 设，过点作，根据平分交于点，得出，，根据，则，即可表示出，即可判断A选项；设的边上的高为h，根据等面积法表示出，即可判断B选项；由，得，证明，，得出，则点是的黄金分割点，即可判断C选项；根据顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比，讨论即可判断． 本题考查了黄金分割，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．掌握以上知识点是解决问题的关键． 【详解】 解：A：设，过点作， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确； B：设的边上的高为h， 则， ∴，故B正确； C：由，得， ∵平分交于点， ， ，， ， ， ∵， ， ， ∵， ， 即点是的黄金分割点，故C正确； D：根据选项C可知若，则点是的黄金分割点，， 即， 则， 即顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比． 如图， 当时，作等腰三角形， 则， 利用“”可证，则， 故，即点是的黄金分割点． 故若点是的黄金分割点，则存在或满足条件，故D错误． 故选：D． 32．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在矩形中，，点分别在边上．将四边形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，连接、，则下面四个结论中错误的是（     ） A.  B. 线段的取值范围为 C.  D. 的最小值为 【答案】D 【分析】 本题考查了折叠和矩形的性质，相似三角形的判定与性质．利用翻折变换，矩形的性质，轴对称的性质解答． 由折叠性质可知，折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，则垂直平分，，得到选项A结论正确；当在和点时，分别求出，即可得到线段的取值范围为，选项B结论正确；过作于，证明得到，选项C结论正确；作关于的对称点，连接、，根据对称性得到，当且仅当、、共线时，等号成立，此时，即的最小值为，得到选项D结论错误． 【详解】 解：∵在矩形中，， ∴，， 由折叠性质可知，折叠后对应点的连线被折痕垂直平分， ∴垂直平分，， ∴选项A结论正确，不合题意； 当在点时，； 当在点时，，，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴线段的取值范围为， ∴选项B结论正确，不合题意； 过作于，则， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴选项C结论正确，不合题意； 作关于的对称点，连接、， ∴，， ∴，当且仅当、、共线时，等号成立， 此时，， ∴， ∴的最小值为， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 33．（九上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定点E在线段上运动是解题的关键；连接交的延长线于点F，过点D作于点G；由题意知，进而可得，则，而，从而，则可证明，，则点E在线段上运动，当与重合时，最小，当与重合时，最大，再求出最小值与最大值即可． 【详解】 解：如图，连接交的延长线于点F，过点D作于点G； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P与点A重合时，点E与点B重合，当点P与点D重合时，点E与点F重合， ∴点E在线段上运动， 当与重合时，最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，且， ∴当与重合时，最大，最大值为线段的长，即为， ∵， ∴， 即的最小值为， 综上，的最大值和最小值分别为和． 故答案为：B． 34．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，，， ，， ， ， ；     （2）16      【分析】 本题考查了平行四边形的性质得到相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用平行四边形的性质得到，，，进而得到，再结合相似三角形的性质证明； （2）由，得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方以及面积的比例关系求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 又， ． 35．（九上·安徽合肥·期中）如图，在中，，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴；     （2）18      【分析】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质可得，即可解答； （2）利用相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝　　　　　． 【答案】 【分析】 由，得出，可求出，则AE=，再证明 △AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到AO：OB的值． 【详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 37．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由可得，从而得到，得到即可证明． 【详解】 略 38．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）和均为等腰直角三角形． （1）如图1，当与重合时，_________． （2）如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，连接，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 第（1）问的结论仍然成立，理由： ∵， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质易证，由题意得到，推出，进而得到，易证，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 当与重合时，， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略． 39．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段的黄金分割点．如图2，在中，，，为的平分线． （1）求证：点D为的黄金分割点． （2）求的长． 【答案】（1） 解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在和中： ，， ∴， 故， ∵， ∴， ∴点为𝐴𝐵的黄金分割点；     （2）      【分析】 本题考查黄金分割，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据已知可证明，故，可证，所以，结合黄金分割的定义证明点是黄金分割点； （2）设， 利用黄金分割的比例关系建立方程，求解 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵，故， 由黄金分割的比例关系即： 即， ， ∵线段长度为正， ∴， 即． 40．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】 略 41．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 42．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）综合与实践 【项目主题】运用所学的数学和物理知识，测量学校旗杆的高度． 【项目实施】1．方案设计；2．人员分工；3．工具准备；4．测量与记录；5．计算；6．总结评价． 下面是第一小组设计的方案和测量的数据： 测量工具 一把标尺，一根皮尺 示意图（C处为人眼的位置，为标尺，为旗杆）     测量方案 测量方案：手举标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆的高度（即在同一条直线上，在同一条直线上）．测量的量：①人与标尺的水平距离；②人与旗杆的水平距离；③标尺的长度． 记录 ①②，③． 任务一：根据第一小组的方案和数据，计算学校旗杆的高度； 任务二：第二小组准备的工具是平面镜和一根皮尺，他们的测量方案为：将平面镜（点）水平放置在操场地面上，调整人的位置到点处，使得人眼（点）在平面镜中央处恰好能看到旗杆的顶端（点）；请你帮他们画出示意图，并说明需要测量的量（无需计算）． 【答案】任务一：旗杆的高度为； 任务二：示意图： 测量的量：① 人眼离地面的高度，② 人与平面镜的水平距离，③ 旗杆底部与平面镜的水平距离 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：证明，运用相似三角形的性质求解即可； 任务二：根据相似三角形的判定画出图形即可，再说明需要测量的量． 【详解】 解：任务一：由题意得：， ， 又 ， 又， ． 答：旗杆的高度为． （2）测量的量： ① 人眼离地面的高度， ② 人与平面镜的水平距离， ③ 旗杆底部与平面镜的水平距离． 43．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）求长的最小值． 【答案】（1） 证明： ， 又 ， ， ；     （2） ， 又 ， ；     （3）长的最小值为2      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半）、勾股定理及垂线段最短的性质，解题的关键是通过角的关系证明相似三角形，利用相似性质转化线段和角度，结合最值模型求解。 （1）利用垂直关系得，通过角的和差及已知推出，根据两角对应相等证明相似； （2）由（1）的相似得边的比例，结合证明，利用相似比得出线段关系； （3）由相似推出，根据直角三角形斜边中线性质得，通过（1）的相似转化与的关系，利用垂线段最短求最小值，进而求出最小值。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 44．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，在等腰中，，点D是边上的中点，过点C作，交的延长线于点E，过点B作，交于点F，交于点H，交于点G．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ∴； ， ∴， ∴ ，即．     （2） 证明：∵， ∴． ∵，点D是边上的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，即 ．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，平行线的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角可得，由垂线的定义可得，据此可证明，再由相似三角形的性质即可证明结论； （2）由三线合一定理可得，，证明，推出，则可证明，推出，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上），则的长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与． 设，根据点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上可得，，再由与相似可得由此可解． 【详解】 解：由题意可知，，，， 设，则， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，即， 则有， 整理可得， 解得（舍去），， ∴则的长为． 故答案为： ． 46．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边，交于点O，连接． （1）求证： ①； ②； （2）当，时，求的面积． 【答案】（1） 解：①证明：∵将绕点旋转得到， ，，， ， ； ② ∵将绕点旋转得到， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①利用旋转的性质得出，，，即可得出，即可证明． ②由相似三角形的性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出． （2）过作于，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理进一步得出，再计算出，最后根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：过作于， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ， ， ， ， ． 47．（九上·安徽合肥·期中）如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果，且点，点的纵坐标相等，那么点，点的横坐标的比值为　　　　　　　　　　； （2）的值为　　　　　　　　　　（用含a，b的代数式表示）． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质： （1）设点，点的纵坐标为m，可得点，即可求解； （2）分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D，证明，可得，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得：，即可求解． 【详解】 解：（1）设点，点的纵坐标为m， 当时，两函数解析式分别为， ∴点， ∴，的横坐标的比值为； 故答案为： （2）如图，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的比例系数的几何意义得：， ∴． 故答案为： 48．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形性质，菱形的性质和判定，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用等腰三角形性质得到，进而证明四边形为菱形，推出，再结合同角的余角相等，即可证明； （2）利用菱形的性质得到，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， 即，解得， ． 49．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知和有公共的顶点，，，且．与相交于点，连接，． （1）若点，，在一条直线上，如图1，求证：； （2）将绕点逆时针方向旋转一定的角度，的延长线交于点，如图2 ①证明：； ②若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 又，， ∴， ∴． 在和中，，， ∴，即；     （2） ①证明：∵和都是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 又， ∴； ②      【分析】 （1）根据，可得，可证明，可得，再由三角形内角定理，即可； （2）①根据等腰三角形的性质可得，可证明，从而得到，即可；②连接，由（1）得，可得，由① ，得，可得，，可证明，从而得到，再由锐角三角函数，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①略 ② 如图，连接， 由（1）得， ∴． 由①，得， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴，即， 又是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 50．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点． （1）将向上平移3个单位得到，请在网格图中画出； （2）请画一个格点，使，且相似比不为1； （3）用无刻度直尺在上找出一个三等分点． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求．      （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． （3）取格点D，E，F，G，连接，则与的交点即为所求． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：略． 51．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图，已知：在中，，，，，平分．    （1）求的长； （2）求的值； （3）点是射线上上一点，如果与相似，求的长． 【答案】（1）16     （2）     （3）或.      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，证明，得出，代入数据计算即可得出答案； （2）作，垂足为，由角平分线的性质定理得出，证明得出，由勾股定理得出，代入数据计算出，即可得解； （3）先求出，由得出，再分两种情况：，，利用相似三角形的性质分解求解即可． (1) 小问详解： 解：，， ，， ， ， ， ， ， ， (2) 小问详解： 解：作，垂足为，    平分，，， ， ， ， ， ， 又，，， ， ， ； (3) 小问详解： 解：，，， ， ，， ， ， ， 如果，则， ， ； 如果，则， ， ； 的长为或． 52．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在中，，，，动点在（与点、不重合）边上，交于点． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长； （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方和相似三角形对应边成比例求解． （1）根据题意得的面积是的面积的，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出； （2）根据相似三角形对应边成比例，设的长为，用表示出的长度，再根据周长相等列出等式，解方程即可． (1) 小问详解： 解：的面积与四边形的面积相等， ， 又， ， ，且， ； (2) 小问详解： 解：设的长为， ， ， ， 由的周长与四边形的周长相等，得， 解得， 的长为． 53．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在中，点在上，且，，． （1）求线段的长； （2）将沿直线翻折，使点C落在点E处，交边于点F，若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，翻折变换的性质，熟练掌握以上知识点并找出相似三角形是解题的关键． （1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，可求出，再根据角角相等判定，然后根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求解； （2）根据翻折的性质可得，，再根据平行线的性质可得，再进行等量代换，然后求出，再根据两角对应相等判定，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ，， ， ，即， 或（舍去）． 即：． (2) 小问详解： 解：由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ． 55．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且． （2）在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求； 【分析】 本题考查格点图中画相似三角形． （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 56．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，于点F，于点G，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，，由，可求，进而可证； （2）由（1）可知，，由勾股定理得，，证明，则，即，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：， 由勾股定理得，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，． 57．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 58．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． （1）求证：； （2）当时，求x的值； （3）当x为何值时，为等腰三角形？ 【答案】（1） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2），     （3）或      【分析】 （1）根据等边对等角得，利用三角形外角和的性质得即有相似成立； （2）利用第一问相似三角形的性质对应边的比相等，列方程即可求得答案； （3）分类讨论等腰三角形腰和底的情形，结合相似三角形的性质解出x的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 解得，； (3) 小问详解： ①， ∵， ∴， ∴，即； ②，则有， ∵，与矛盾， ∴此种情况不成立； ③，则有， ∴， ∴， 则，解得， 即当或时，为等腰三角形． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质，以及分类讨论思想，熟练掌握利用三角形相似的性质是解题的关键． 59．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 【答案】（1） 如图所示：△即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 （1）根据要求，画出一个△，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得△△； （2）根据题意可知，进而可知△△的相似比为，求出边长即可作图． (1) 小问详解： 解：设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， △△． (2) 小问详解： 解：，，且△△， 则， △△的相似比为， 则，，． 60．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上．、相交于点F，连结、，作，垂足为点H，交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵ 和均是等腰直角三角形， ，， ， ∵， ， ， ， ∴；     （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴，， ，， ， 由（1）知：， ， ， ∴是的垂直平分线， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质． （1）推导出，，进而得证； （2）过点作，交的延长线于点，借助，推导出，通过推导出，得到，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，点是的边上一点，点在外部，且． （1）求证：； （2）交于点，如果，平分，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ；     （2） 证明：， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，，， ， ， ．      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定方法，证明，即可证明结论； （2）证明，得到，即可得到，证明，得到，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 62．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是正方形的边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：如图，取中点，连接交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴垂直平分， ∴；     （3） 证明：如图，过作于点， ∴， ∴，， ∴，， 由（）得， 设，则， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，，， 由勾股定理得：，， ∴， ∴．      【分析】 （）由正方形性质可得，，又分别是正方形的边和的中点，可证，然后证明，最后通过全等三角形的性质和角度和差即可求证； （）取中点，连接交于点，证明四边形是平行四边形，故有，则，根据性质得，所以，故垂直平分，根据垂直平分线的性质得出； （）过作于点，先证明，，根据相似三角形的性质可得，，设，则，则，设，则，，，求出，因此得出，，，再由勾股定理得出，，从而求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 63．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） （1）在边上找一点，使得； （2）在边上找一点，使得． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求；      （2）如图所示，点即为所求，      【分析】 本题主要考查了网格作图、相似三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识， （1）取格点，结合勾股定理可得，进而证明，然后根据“ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明即可； （2）取格点，连接交于点，证明四边形为平行四边形，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”即可证明结论． (1) 小问详解： 解：理由：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 如图所示，取格点，连接交于点，点即为所求； 理由：∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 64．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． (1) 小问详解： 解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 65．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． （1）求证：； （2）求的值； （3）若，直接写出的长为________． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， 在与中，， ．     （2）2     （3）      【分析】 （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据点为的中点，得出，根据，得出，设，则，根据，得出，根据，得出，从而得； （3）由（2）知，，则，证明，得出，求出，，证明，得出，由（2）知，设，则，则，从而求出，在 中，根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ∵， ∴， ； (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，设，则， ， 即， 解得：或（舍去）， ， 在 中，． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 66．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 【答案】 【分析】 本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设，，根据相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面积，最后根据二次函数求最大值即可． 【详解】 解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 67．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】（1）     （2） 证明：， 理由如下： 如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴．     （3）      【分析】 （1）根据四边形是正方形，得出，过点F作于P，则四边形是矩形，得出，证明，即可得． （2）如图3，平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，则四边形是矩形．得出，，证明，得出，结合，，即可求出． （3）根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，结合，，得出，设，则．求出．根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：． 理由：∵四边形是正方形， ∴， 过点F作于P， 则四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点D作，过点A作交于点H，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 同（2）得：． 【点睛】 该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 68．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，，高线与交于点，过点作于点．则： （1）的值为　　　　　　　　　　　； （2）的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． （1）只需证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）在上取一点，使得，证明,然后求即可． 【详解】 （1）， , ， ， ， ； 故答案为：． （2）在上取一点，使得，则为等腰直角三角形， ， ,, ． 故答案为：． 69．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】 解：（1）四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形中，， ，， ， ， ， ， ，， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】 本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 70．（九上·安徽合肥·期中）如图，在正方形中，边长为，为中点，作射线，过点作垂直于射线交射线于点，交于点，过点作垂直于射线交射线于点，连接，，已知． （1）求的长； （2）证明：； （3）连接交于点，连接，，求的值． 【答案】（1）；     （2） 证明：由（1）知，，． ∴，， ∴． ∵， ∴．     （3）．      【分析】 （1）先利用勾股定理求出的长，再通过证明，利用相似三角形的性质求出的长． （2）计算和的比值，结合公共角，证明． （3）通过正方形性质、相似三角形的判定与性质，结合角度关系和线段长度计算，求出的值． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形，边长为，， ∴，，．， 在中，，，由勾股定理． ∵， ∴，又， ∴． ∴，即， 解得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴， 由第（）得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵（公共角）， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵，即， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 71．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）模型探究： （1）如图1，点D、E分别为的边上的两点，，将绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、如图 求证：； （2）模型应用： 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻四边形”．在“等邻四边形”中，，，为对角线，试探究的数量关系． （3）模型提升： 如图，在中，，，连接，，，，直接写出的长度为          ． 【答案】（1）证明：， ， ， 绕点A逆时针旋转某个角度得， ，，， ，， ， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）可得出，，从而； 将绕点A逆时针旋转的度数至，连接，从而得出，，由（1）知，∽，从而，，从而得出，，进一步得出结果； 将绕点D逆时针旋转至，连接，作于X，从而得出，，，，进而得出，从而，解三角形得出结果． 【详解】 略 如图1，将绕点A逆时针旋转的度数至，连接， ，，，， ∵， ∴， ∴∽， ， ， ∵ ， ， ， ； 如图2，将绕点D逆时针旋转至，连接，作于X， ，，， ∴ ， ， ， ， ， 作，则：， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是利用旋转作辅助线，构造相似三角形． 72．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，点为边上靠近的三等分点，连接交于点，若，则的面积为　　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵点为边上靠近的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18． 73．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．    （1）如图（1），求证：； （2）如图（1），若，求的值； （3）如图（2），连结交于G，若，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，    ， ， ， ， ，， ， ；     （2）8     （3）      【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两对角相等，来证明； （2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得 的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得； （3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， ， ， ； (3) 小问详解： 延长交于点，    ， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 74．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，，则：①　　　　　　　　；②的面积为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据 证出是解题的关键．设点A的坐标为，则有，由此即可得出，结合，证得，再根据相似三角形的性质即可得出的值，再利用相似三角形的性质求出的面积． 【详解】 解：设点A的坐标为， ∵作x轴的平行线交于B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于D，交x轴于点E， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 75．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，， ①求的长度；②直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；     （2）①；②      【分析】 （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可得证； （2）① 先由勾股定理求出，然后导角证明，则设，则，再由即可求解； ② 过点作于点，由角平分线的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，即； ② 过点作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 76．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．    （1）操作判断：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交、、于点E、F、N，连接并延长交于点Q，连接，如图①，当E为中点时，是___________三角形，___________； （2）迁移探究：如图②，若，且，求正方形的边长． （3）拓展应用：如图③，若（），直接写出的值为___________． 【答案】（1）等边，     （2）     （3）      【分析】 （1）由折叠的性质可得，，利用平行线的性质得，进而得，，再利用直角三角形中线的性质可得，即可证明为等边三角形，根据，可得，再由，，可得，证明，可得； （2）由（1）可知，，可得，证明，可得，从而求得，，再利用勾股定理求得的长，再算出的长，即可求出正方形的边长； （3）设，根据题意可得，，，设，则，根据，可得，再代入计算解出x即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴点N为的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，    故答案为：等边，； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即正方形的边长为； (3) 小问详解： 解：设， ∵若， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转化法，灵活运用所学知识是解题的关键． 77．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在和中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 解：∵，， ∴．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角的和差等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）直接运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 78．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，为内部一点，，、分别平分、． （1）　　　　　　　　　　　． （2）连接，过作分别交、于点、，若，，则点的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）结合三角形内角和性质以及角平分线的定义进行分析，即可作答． （2）先得出平分（三角形的角平分线交于点），再证明，是等边三角形，结合两组对角相等，得出，再作图，根据切线长定理得，再根据勾股定理以及30度角的直角三角形的性质进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】 解：（1）∵， ∴ ∵、分别平分、． ∴， ∴， 则， 故答案为：； （2）∵、分别平分、． ∴平分（三角形的角平分线交于点）， ∴， ∵过作分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点P是的角平分线的交点， ∴点P是的内心， 分别过点P作，如图所示： 则， 结合切线长定理得， ∵， ∴， 设 ∵是等边三角形，， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线长定理，内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 79．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， ， ；     （2） 证明：中，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 即；     （3）的值为．      【分析】 （1）由，推得，结合即可证明； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（1）、（2）得：，，， ，， ， 即， ， ， ， 中，， ， ，， ， ，， ，， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】 本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 80．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，已知反比例函数和在第二象限的图象，过上任意一点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，连接，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 设，则，则，易得，进而证明可得，即，然后求解即可． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 81．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，点在边上运动，连接为的中点，点在线段上，连接，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先通过线段比例和公共角证明三角形相似，得出垂直关系，从而确定点的轨迹为以为直径的圆；再利用中位线定理求出的长度；最后根据三角形三边关系求出的最小值． 【详解】 解：如图，取的中点O，连接、， 在中，，，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即， ∴． ∵ 是中点，是中点， ∴ 是的中位线， ∴ ． 根据三角形三边关系， ∴ 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定和三角形三边关系是解题的关键． 82．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在中，点在边上，，点在延长线上，将沿折叠到的位置，点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质得， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ；     （2）．      【分析】 由折叠的性质得，由平行四边形的性质可得，根据对顶角相等可得，等量代换可得，又因为，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； 根据可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，又可证，根据全等三角形的性质可知，根据相似三角形的性质可得，解方程即可求出的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由折叠知，， ， ， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 由得， ， ， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质与全等三角形的性质找边之间的关系． 83．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． （1）若，则　　　　　； （2）若，则　　　　　． 【答案】① 2    ② 【分析】 本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据矩形的性质得出相等的边和直角，根据直角三角形的性质得出相等角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后证明即可； （2）过点作于点，连接，证明，得出对应边成比例，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解析：（1）四边形是矩形， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 。 故答案为：2； （2）如图，过点作于点，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， 即， 故答案为：． 84．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）【背景】如图，在矩形中，，，点在上，连接交对角线于点． 【填空】（1）若，则_____； （2）若，则_____； （3）若，则_____； …… 【猜想】若，则_____；（用含的式子表示） 【论证】证明你猜想中的结论． 【答案】【填空】（1）；（2）；（3）； 【猜想】； 【论证】证明：四边形是矩形， ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，由勾股定理得， ∴． 【分析】 本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． [填空] （1）先根据矩形性质得到，，，，证明得到，再根据比例性质，进而可求解； （2）同（1）方法结合已知得到，进而可求解； （3）同（1）方法结合已知得到，进而可求解； [猜想] 根据[填空]中规律可猜想得到； [论证]同（1）方法结合已知得到即可求解． 【详解】 解：[填空] （1）四边形是矩形， ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，由勾股定理得， ∴, 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：； [猜想] 若，则 故答案为：； [论证]略 85．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，在正方形ABCD中，AB=4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列问题： （1）　　　　　　　； （2）当△MEN与△ABM相似时，AN=　　　　　　　. 【答案】①     ② 或或5 【分析】 （1）根据为正方形，得，再推导出，证明出，在中，，即可算出； （2）①当，由（1）得，证明，得出，由勾股定理：，得，再利用相似求解；②当时，得，，证明出四边形为矩形，根据，即可得到． 【详解】 解：（1）四边形为正方形， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 中，， ， 故答案为：； （2）①当时， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理：， 由， ， 即：， 解得：； ②当时，如下图： ，， ， ， 四边形为矩形， ， 故答案为：5或2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定及性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理、矩形的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理及利用相似的性质建立等式进行求解． 86．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知∶在中，，是边上的中线，直线，E是边延长线上一点，交直线于点F，将沿翻折得，射线交直线于点G． （1）如图1，当时，求的值； （2）如图2，当点G在点F的右侧时； ①求证∶； ②设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）如果的面积为，求的长． 【答案】（1）4     （2） ①证明：由翻折，得， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； ②     （3）的值为2或8      【分析】 （1）由，，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由，得到三角形为等边三角形，由的长求出与的长，同时求出，由与平行，利用两直线平行内错角相等得到，再由垂直于，得到和都为直角，在直角三角形中，求出为，利用两直线平行内错角相等可得出也为，而由求出为，利用对顶角相等得到为，即，利用等角对等边可得出，由的长即可求出的长； （2）① 当点G在点F的上方时，如图2所示，由翻折，得，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出；② 相似得到，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出点到的距离，利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）分两种情况考虑：点在点的左侧 和点在点的右侧，分别求出的长即可． (1) 小问详解： 解：，， ， ， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ① 略 ② 由，得， ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∶， 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； (3) 小问详解： 当点G在点F的右侧时， 由（2）可知： ∴， 整理，得， 解得(不合题意，舍去)； 当点G在点F的左侧时，如图3所示∶ 同理得到，即， ∴， 整理，得， 解得(不合题意，舍去)， 综上所述，的值为2或8． 【点睛】 此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，，，若，则的长为（       ）． A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题关键．根据，求出，进而得到，即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 2．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】 解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴其面积之比是， 故选：D 【点睛】 此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键． 3．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求解即可，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】 解：， ， ， ， 或(不符合题意，舍去)， ， ， 故选：． 4．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】 解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 5．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（     ） A.  B. 9或6 C. 9或 D. 3或 【答案】C 【分析】 本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】 解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 6．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 取格点，连接，证明，得到，则可证明，证明是等腰直角三角形，得到，则． 【详解】 解：如图所示，取格点，连接， 由网格的特点可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 7．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知两个直角三角形的三边长分别是，和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（       ） A.  B. 15 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，勾股定理．根据勾股定理，分别计算两个直角三角形中未知边和的可能值，再根据两个三角形不相似的条件，排除相似组合，得到的可能值，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵第一个直角三角形的边长： 则斜边可能为或， 若为斜边，则， 若为直角边，则斜边为，， 对于第二个直角三角形，边长： ∵ 斜边可能为或， 若为斜边，则； 若为直角边，则斜边为 ，， ∵ 两个直角三角形不相似， ∴ 不能同时且（此时三边对应成比例）， 也不能同时且（此时三边对应成比例）， ∴可能情况：① ，则； ② ，则， ∴ 的值为 或． 故选：D 8．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在线段上取一点，分别以，为边，在的同侧作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，． （1）　　　　　　　　． （2）线段的长度为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握菱形的边与角的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）利用菱形的性质，结合平行线的性质推导的度数； （2）先证为直角三角形，再利用直角三角形斜边中线的性质求的长度． 【详解】 解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． ∴， ∴， 故答案为： （2）连接，， ∵四边形是菱形，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． 故答案为： 9．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，E是上一点，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点F，求证：． 【答案】证明：设交于点G， ∵在正方形中， ∴，， 由题意，， 在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用正方形性质证明，得到，进而推出，从而证明垂直． 【详解】 略 10．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．    （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ；     （2）12      【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 11．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图所示，延长平行四边形一边至点，连接交于点，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ；     （2）9      【分析】 （1）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的判定，根据平行四边形性质得到，推出角相等，即可证明三角形相似． （2）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的性质，根据平行四边形性质得到，根据相似三角形的性质，推出，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是平行四边形， ， 由（1）可得，， ， ． 12．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 【答案】（1）补全图形如下图， DM与ME之间的数量关系为DM=ME．                   证明：连接AE，AD， ∵ ∠BAC=90°，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°． ∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°． ∵ 由旋转，∠BCD=90°， ∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°． ∴ ∠ABE=∠ACD． ∵ AB=AC，BE=CD， ∴ △ABE ≌ △ACD．              ∴ AE=AD． ∵ AM⊥DE于M， ∴ DM=EM．           （2）                                                             证明：连接AD，AE，BM． ∵ AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 由（1）得DM=EM， ∴ BM是△CDE的中位线．    ∴ ，BM∥CD． ∴ ∠EBM=∠ECD=90°． ∵ ∠ABE=135°， ∴ ∠ABM=135°=∠ABE． ∵ N为BE中点， ∴ ． ∴ BM=BN．    ∵ AB=AB， ∴ △ABN ≌ △ABM． ∴ AN=AM． ∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD， ∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE． ∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°， ∴ ∠EAD=90°． ∵ DM=EM， ∴ ． ∴ ．                                                 【分析】 （1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM． （2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到． 【详解】    （1）略；                             （2）略． 【点睛】 本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 13．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 14．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）（多选）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）证明：∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=． 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG． 【分析】 （1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 15．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为a，则的面积为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键 ．先证，再根据即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（       ） A. （米） B. （米） C. （米） D. （米） 【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】 解：如图所示，过点作， 由图可知，， ， ∵根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ∵小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（       ） A. 公平 B. 对小颖有利 C. 对小亮有利 D. 公平性不可预测 【答案】A 【分析】 本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】 解： 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 3．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】 解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 4．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）第届华中图书交易会于年月日至日在武汉国际会展中心举办．若小张随机从三个人口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了概率和树状图，画树状图后，得到所有可能的结果总数以及从口进入且从口离开的结果只有种，进而求概率． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，所有可能的结果总数为种， 其中，从口进入且从口离开的结果只有种， 根据概率公式，即：． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为　　　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的性质，结合已知的线段比例和蜡烛高度，求出像的长度． 【详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， 故答案为： 6．（九上·安徽合肥·期中）安徽某古镇有一座清代石拱桥，因修缮需要，需测量桥面正中央的宽度（记为线段）．修缮工人采用如下方法：在桥下方的河岸边放置激光测距仪，选取一点，从点向发射激光束，测得，此时拿出一把尺子，将尺子水平放置，与桥面平行，，而且从点分别向A，B发射激光束时，点E，F分别在激光束，上．请根据以上信息，计算该古桥桥面的宽度． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的应用，证明，运用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】 解：， ， ， ，，， ， ． 7．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）综合与实践． 【主题】探究化学实验中的数学问题． 【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处． 【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管的长为，过点作的垂线段，垂足为，交于点，试管倾斜角，试管与导管的夹角． 【问题解决】 （1）求的度数； （2）铁夹到水平桌面的距离是，测量可得导管露在水槽外的部分为，则水槽的高度约为多少？（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了解直角三角形的应用． （1）利用角的和差和平行线的性质即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，求出，，即可求出． (1) 小问详解： 解：∵．． ∴ 由题意可知， ∴ (2) 小问详解： 过点作，交的延长线于点， ∵试管的长为， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∵ ∴ 即水槽的高度约为 8．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； （3）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵立杆相交于点， ． ， ， ∴；     （2），     （3）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）证明，即可求解，再证明，即可求解； （3）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖到地面上． 9．（25-26学年九上·安徽中学·期中）在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为18.2米． 【分析】 本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】 解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 10．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； (2) 小问详解： 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； （2）△的面积为______． 【答案】（1） 解：如图，为所作；点的坐标为；      （2）8      【分析】 （1）延长到使，延长到使，从而得到；然后写出点的坐标； （2）利用面积公式直接进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：． 【点睛】 本题考查位似三角形的作图，解题的关键是：熟练掌握位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 2．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限内画出以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，的值为________． 【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，且与的相似比为，分别在第四象限内找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据位似图形的周长比等于相似比，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得与的相似比为 ∴的值为． 3．（九上·安徽合肥·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限作一个与位似，相似比为； （2）在（1）的条件下，在内有一点，则内与点对应的点的坐标为__________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形对应点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）将点的横纵坐标乘以即可得到点的坐标，即可描点，顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在内有一点，则内与点对应的点的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1） 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为．     （2） 如图所示，即为所求作的三角形． 【分析】 本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且相似比为2（保留画图痕迹，不写画法）． （2）请直接写出各顶点的坐标． 【答案】（1）      （2）      【分析】 本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）按相似比画图即可； （2）按照（1）的图写出坐标即可． (1) 小问详解： 解：根据相似比为，如图： (2) 小问详解： 解：根据（1）可写出各点坐标， ． 6．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．    （1）画出关于y轴对称的（点，，分别对应点A，B，C）； （2）在（1）的条件下，以点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为（点，，分别对应点，，）． 【答案】（1） 如图，即为所求．         （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）由（1）及位似的性质可进行作图即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 7．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）的面积是          ； （2）以点为位似中心，将缩小为原来的 ，得到， 请在轴右侧画出； （3）若与位似，位似比为 ，则______． 【答案】（1）4     （2） 如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题考查坐标与位似，求三角形的面积，位似图形的性质； （1）根据图形以及三角形的面积公式计算即可求解． （2）根据位似的性质，画出即可； （3）根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：与位似，位似比为 ， ∴与的面积比为， 的面积是，则 故答案为：． 8．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】（1）作图见解答过程     （2）     （3）作图见解答过程      【分析】 本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． (1) 小问详解： 解：如图所示，点即为所求； (2) 小问详解： 解：与的位似比等于； (3) 小问详解： 解：如图所示，即为所求． 【详解】 9．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】（1） 如图所示，即为所求图形；      （2）即为所求作图形． 【分析】 本题主要考查轴对称图形，位似图形的性质及作图，掌握作图方法是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据相似比为，得到， 在平面直角坐标系中描点，连线即可作图， 10．（25-26学年九上·安徽中学·期中）如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 【答案】 【分析】 本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点，得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】 解：∵与位似，点O是位似中心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可以假设的面积为，的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为． 11．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第三象限内画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． （2）用无刻度直尺在上找点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）解：如图即为所求， 作      （2） 解：如图，点即为所求； 【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，相似三角形的判定与性质，无刻度 作图． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后顺次连接即可； （2）取格点，连接与交点即为点，此时，则，故． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，每一个小方格正方形的边长均为一个单位长度，的顶点的坐标分别为，，．    （1）请在网格中画出关于轴对称的图形； （2）以点为位似中心，位似比为，将放大得到，请在网格中画出（不要超出方格区域）； （3）求的面积是　   ． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ；     （2） 解：如图，即为所求， ；     （3）22      【分析】 本题考查了作图—位似变换、作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积，熟练掌握位似变换和轴对称变换的性质是解此题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到答案； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到答案； （3）由位似图形的性质可得，再利用割补法计算出的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：以点为位似中心，位似比为，将放大得到， 与的相似比为， ， ， ， 故答案为：22． 13．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，点D即为所求． 【分析】 本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．D 3．D 4．B 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．C 11．B 12．B 13．C 14．B 15．C 16．B 17．C 18．B 19．A 20．C 21．B 22．C 23．D 24．【答案】14 【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】设=k（k≠0）， 则a＝5k，b＝7k，c＝8k， 代入3a−2b＋c＝9得，15k−14k＋8k＝9， 解得k＝1， 所以，a＝5，b＝7，c＝8， 所以，2a＋4b−3c＝2×5＋4×7−3×8＝10＋28−24＝14． 【点睛】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便． 25．【答案】20 【分析】 根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离． 【详解】 解：设实际距离为xcm，则： 1：500000＝4：x， 解得x＝2000000． 2000000cm＝20000m＝20km． 故答案为：20． 【点睛】 此题考查了比例尺的性质，比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要统一． 26．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可． 【详解】 解：为的黄金分割点，，， ， ． 故答案为：． 27．【答案】60 【分析】 本题主要考查了比例尺，根据比例尺及图上距离可得实际距离． 【详解】 ∵比例尺为，且的图上距离是3， ∴两地间实际距离是． 故答案为：60． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，熟练掌握“利用比例性质将分子用分母表示进而化简分式”是解题的关键． 利用比例的性质，将分子中的、、用分母、、表示，再代入分式化简求解． 【详解】 解：由，得，，． ∴ ， 故答案为：． 29．【答案】8 【分析】 根据线段的比例中项的定义得到，再代值求解即可． 【详解】 解：∵线段b是线段a和c的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查线段的比例中项，能根据定义正确列出a、b、c的关系式是解答的关键． 30．【答案】 【分析】 本题考查的是线段的比例问题，解题的关键是设的长度，根据比例关系表示，再根据线段和表示，最后求比值． 【详解】 解：设，则， ， ， 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查比例尺概念，熟记比例尺定义是解决问题的关键． 将实际距离单位统一为厘米，再计算图上距离与实际距离的比即可得到答案． 【详解】 解：实际距离100米等于10000厘米，图上距离为5厘米， 故图上距离与实际距离的比为， 故答案为：． 32．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】 解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 直接利用黄金分割的定义计算即可． 【详解】 解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 34．【答案】6 【分析】 本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】 解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令，，（），代入求解即可． 【详解】 解：， 设，，（）， . 36．【答案】33 【分析】 本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】 解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 37．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程等知识，首先设，根据题意得到下面的部分的面积为，解方程即可求得的长，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】 解：设， 根据题意得下面部分的面积为：， 解得：， ， ， 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 【详解】 解： ， ． 故答案为 ：． 39．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】 解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 本题考查比例的性质，根据，得到，利用等比性质，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 41．【答案】＋2 【分析】 根据黄金分割的定义可得：，，从而可AC+BD=AB+CD=（﹣1）AB，故可求得AB的长． 【详解】 ∵C、D两点都是AB的黄金分割点， ∴AC＝AB，BD＝AB， ∴AC＋BD＝（﹣1）AB， 即AB＋CD＝（﹣1）AB， ∵CD=1， ∴AB＝＋2， 故答案为：＋2． 【点睛】 本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出AB+CD=（﹣1）AB． 42．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了比例的性质，黄金分割点的定义； （1）设 ，则，代入已知等式求得，进而求得的值； （2）根据黄金分割的定义可得，进而求得的长． 【详解】 （1）解：设 ，则， ， ，解得， ． （2）解：点是线段的黄金分割点，，若， ， 43．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． (1) 小问详解： 解：， 设，， ， ， 解得， ，； (2) 小问详解： 线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 44．【答案】（1），，；     （2）．      【分析】 本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便． 设，可得：，，，根据可得关于的方程，解方程求出的值，再根据的值求出、、的值． 因为线段是线段，的比例中项，可得：，两边直接开平方求出的值，因为表示线段的长度，所以要把负值舍去． (1) 小问详解： 解：设， 则，，， ， ， 整理得：， 解得：， ，，； (2) 小问详解： 解：线段是线段，的比例中项， ， 两边同时开平方，可得：， 是线段的长度， 舍去负值， ． 45．【答案】 【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质：比例中项的平方等于两条线段的乘积解答即可． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以c2=ab，即b2=3×6=18， 解得b=． 故答案为 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 46．【答案】39 【分析】 本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，而，那么，求出，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】 解：设，则， ， ， 解得：， ， ． 47．【答案】或 【分析】 本题考查了比例的性质，熟知比例的性质，根据题意分和两种情况分类讨论即可求解． 【详解】 解：当时， ∵， ∴； 当时， ． 故答案为：或 考点02 平行线分线段成比例 1．D 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，运用比例对应思想，易错点是比例对应错误或忽略线段的和差关系，思路是由得，代入已知比例和线段长度计算． 【详解】 解：∵， ∴ 即 ∵， 设，， 则， 又∵， ∴ 解得 故答案为． 8．【答案】（1）6     （2）5      【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 9．【答案】(1) 、BF=6；BD=2；(2) 、16. 【详解】试题分析：(1) 、根据平行线截线段成比例的性质分别求出BF和BD的长度；(2) 、根据平行四边形的性质得出四边形的周长. 试题解析：(1) 、∵AE=2CE， ∴ ， ∵EF∥AB ∴ ， ∵BC=9， ∴BF=6， ∵DE∥BC ∴ ，∵AB=6， ∴BD=2； (2) 、∵EF∥AB，DE∥BC ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴BD=EF=2，DE=BF=6， ∴四边形BDEF的周长2（2+6）=16． 考点：(1) 、平行线截线段成比例；(2) 、平行四边形的性质 10．【答案】（1）8     （2） 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 11．【答案】（1） 证明：如图2，过作，交的延长线于， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． （1）过作，交的延长线于，则，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再根据（1）的结论可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据三角形的周长公式求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， ∵在中，平分， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴的周长为． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是利用平行线分线段成比例定理，结合线段的比例关系建立等式求解． （1）根据平行线分线段成比例定理，可得，先求出的长度，再代入已知数据求解即可． （2）由平行线分线段成比例定理可知，结合已知比例和的长度求出，进而求出即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 13．【答案】（1） 证明：∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线截线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 14．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题重点考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方，本题中熟练掌握相似三角形的判定与性质以及常用结论是解题的关键． （1）根据可以得到，同时根据角平分线的性质和平行线的性质得到，进而得到，即完成求证． （2）先令，根据三角形相似以及，可以推导得到，然后利用角平分线上的点到线段两边距离相等推到得到的值，利用得到的值，最后得到的值，即完成求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， 由已知条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴和在和边上的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的值为． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．D 9．D 10．D 11．D 12．A 13．B 14．D 15．A 16．A 17．D 18．D 19．B 20．B 21．C 22．D 23．A 24．C 25．A 26．D 27．B 28．B 29．C 30．B 31．D 32．D 33．B 34．【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，，， ，， ， ， ；     （2）16      【分析】 本题考查了平行四边形的性质得到相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用平行四边形的性质得到，，，进而得到，再结合相似三角形的性质证明； （2）由，得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方以及面积的比例关系求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 又， ． 35．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴；     （2）18      【分析】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质可得，即可解答； （2）利用相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．【答案】 【分析】 由，得出，可求出，则AE=，再证明 △AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到AO：OB的值． 【详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 37．【答案】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由可得，从而得到，得到即可证明． 【详解】 略 38．【答案】（1）     （2） 第（1）问的结论仍然成立，理由： ∵， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质易证，由题意得到，推出，进而得到，易证，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 当与重合时，， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略． 39．【答案】（1） 解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在和中： ，， ∴， 故， ∵， ∴， ∴点为𝐴𝐵的黄金分割点；     （2）      【分析】 本题考查黄金分割，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据已知可证明，故，可证，所以，结合黄金分割的定义证明点是黄金分割点； （2）设， 利用黄金分割的比例关系建立方程，求解 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵，故， 由黄金分割的比例关系即： 即， ， ∵线段长度为正， ∴， 即． 40．【答案】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】 略 41．【答案】（1） 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 42．【答案】任务一：旗杆的高度为； 任务二：示意图： 测量的量：① 人眼离地面的高度，② 人与平面镜的水平距离，③ 旗杆底部与平面镜的水平距离 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：证明，运用相似三角形的性质求解即可； 任务二：根据相似三角形的判定画出图形即可，再说明需要测量的量． 【详解】 解：任务一：由题意得：， ， 又 ， 又， ． 答：旗杆的高度为． （2）测量的量： ① 人眼离地面的高度， ② 人与平面镜的水平距离， ③ 旗杆底部与平面镜的水平距离． 43．【答案】（1） 证明： ， 又 ， ， ；     （2） ， 又 ， ；     （3）长的最小值为2      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半）、勾股定理及垂线段最短的性质，解题的关键是通过角的关系证明相似三角形，利用相似性质转化线段和角度，结合最值模型求解。 （1）利用垂直关系得，通过角的和差及已知推出，根据两角对应相等证明相似； （2）由（1）的相似得边的比例，结合证明，利用相似比得出线段关系； （3）由相似推出，根据直角三角形斜边中线性质得，通过（1）的相似转化与的关系，利用垂线段最短求最小值，进而求出最小值。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 44．【答案】（1） 证明：， ∴； ， ∴， ∴ ，即．     （2） 证明：∵， ∴． ∵，点D是边上的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，即 ．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，平行线的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角可得，由垂线的定义可得，据此可证明，再由相似三角形的性质即可证明结论； （2）由三线合一定理可得，，证明，推出，则可证明，推出，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与． 设，根据点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上可得，，再由与相似可得由此可解． 【详解】 解：由题意可知，，，， 设，则， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，即， 则有， 整理可得， 解得（舍去），， ∴则的长为． 故答案为： ． 46．【答案】（1） 解：①证明：∵将绕点旋转得到， ，，， ， ； ② ∵将绕点旋转得到， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①利用旋转的性质得出，，，即可得出，即可证明． ②由相似三角形的性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出． （2）过作于，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理进一步得出，再计算出，最后根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：过作于， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ， ， ， ， ． 47．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质： （1）设点，点的纵坐标为m，可得点，即可求解； （2）分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D，证明，可得，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得：，即可求解． 【详解】 解：（1）设点，点的纵坐标为m， 当时，两函数解析式分别为， ∴点， ∴，的横坐标的比值为； 故答案为： （2）如图，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的比例系数的几何意义得：， ∴． 故答案为： 48．【答案】（1） 证明：， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形性质，菱形的性质和判定，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用等腰三角形性质得到，进而证明四边形为菱形，推出，再结合同角的余角相等，即可证明； （2）利用菱形的性质得到，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， 即，解得， ． 49．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 又，， ∴， ∴． 在和中，，， ∴，即；     （2） ①证明：∵和都是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 又， ∴； ②      【分析】 （1）根据，可得，可证明，可得，再由三角形内角定理，即可； （2）①根据等腰三角形的性质可得，可证明，从而得到，即可；②连接，由（1）得，可得，由① ，得，可得，，可证明，从而得到，再由锐角三角函数，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①略 ② 如图，连接， 由（1）得， ∴． 由①，得， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴，即， 又是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 50．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求．      （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． （3）取格点D，E，F，G，连接，则与的交点即为所求． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：略． 51．【答案】（1）16     （2）     （3）或.      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，证明，得出，代入数据计算即可得出答案； （2）作，垂足为，由角平分线的性质定理得出，证明得出，由勾股定理得出，代入数据计算出，即可得解； （3）先求出，由得出，再分两种情况：，，利用相似三角形的性质分解求解即可． (1) 小问详解： 解：，， ，， ， ， ， ， ， ， (2) 小问详解： 解：作，垂足为，    平分，，， ， ， ， ， ， 又，，， ， ， ； (3) 小问详解： 解：，，， ， ，， ， ， ， 如果，则， ， ； 如果，则， ， ； 的长为或． 52．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方和相似三角形对应边成比例求解． （1）根据题意得的面积是的面积的，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出； （2）根据相似三角形对应边成比例，设的长为，用表示出的长度，再根据周长相等列出等式，解方程即可． (1) 小问详解： 解：的面积与四边形的面积相等， ， 又， ， ，且， ； (2) 小问详解： 解：设的长为， ， ， ， 由的周长与四边形的周长相等，得， 解得， 的长为． 53．【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，翻折变换的性质，熟练掌握以上知识点并找出相似三角形是解题的关键． （1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，可求出，再根据角角相等判定，然后根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求解； （2）根据翻折的性质可得，，再根据平行线的性质可得，再进行等量代换，然后求出，再根据两角对应相等判定，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ，， ， ，即， 或（舍去）． 即：． (2) 小问详解： 解：由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ． 55．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求； 【分析】 本题考查格点图中画相似三角形． （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 56．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，，由，可求，进而可证； （2）由（1）可知，，由勾股定理得，，证明，则，即，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：， 由勾股定理得，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，． 57．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 58．【答案】（1） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2），     （3）或      【分析】 （1）根据等边对等角得，利用三角形外角和的性质得即有相似成立； （2）利用第一问相似三角形的性质对应边的比相等，列方程即可求得答案； （3）分类讨论等腰三角形腰和底的情形，结合相似三角形的性质解出x的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 解得，； (3) 小问详解： ①， ∵， ∴， ∴，即； ②，则有， ∵，与矛盾， ∴此种情况不成立； ③，则有， ∴， ∴， 则，解得， 即当或时，为等腰三角形． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质，以及分类讨论思想，熟练掌握利用三角形相似的性质是解题的关键． 59．【答案】（1） 如图所示：△即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 （1）根据要求，画出一个△，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得△△； （2）根据题意可知，进而可知△△的相似比为，求出边长即可作图． (1) 小问详解： 解：设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， △△． (2) 小问详解： 解：，，且△△， 则， △△的相似比为， 则，，． 60．【答案】（1） 证明：∵ 和均是等腰直角三角形， ，， ， ∵， ， ， ， ∴；     （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴，， ，， ， 由（1）知：， ， ， ∴是的垂直平分线， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质． （1）推导出，，进而得证； （2）过点作，交的延长线于点，借助，推导出，通过推导出，得到，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ；     （2） 证明：， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，，， ， ， ．      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定方法，证明，即可证明结论； （2）证明，得到，即可得到，证明，得到，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 62．【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是正方形的边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：如图，取中点，连接交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴垂直平分， ∴；     （3） 证明：如图，过作于点， ∴， ∴，， ∴，， 由（）得， 设，则， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，，， 由勾股定理得：，， ∴， ∴．      【分析】 （）由正方形性质可得，，又分别是正方形的边和的中点，可证，然后证明，最后通过全等三角形的性质和角度和差即可求证； （）取中点，连接交于点，证明四边形是平行四边形，故有，则，根据性质得，所以，故垂直平分，根据垂直平分线的性质得出； （）过作于点，先证明，，根据相似三角形的性质可得，，设，则，则，设，则，，，求出，因此得出，，，再由勾股定理得出，，从而求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 63．【答案】（1） 如图所示，点即为所求；      （2）如图所示，点即为所求，      【分析】 本题主要考查了网格作图、相似三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识， （1）取格点，结合勾股定理可得，进而证明，然后根据“ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明即可； （2）取格点，连接交于点，证明四边形为平行四边形，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”即可证明结论． (1) 小问详解： 解：理由：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 如图所示，取格点，连接交于点，点即为所求； 理由：∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 64．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． (1) 小问详解： 解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 65．【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， 在与中，， ．     （2）2     （3）      【分析】 （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据点为的中点，得出，根据，得出，设，则，根据，得出，根据，得出，从而得； （3）由（2）知，，则，证明，得出，求出，，证明，得出，由（2）知，设，则，则，从而求出，在 中，根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ∵， ∴， ； (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，设，则， ， 即， 解得：或（舍去）， ， 在 中，． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 66．【答案】 【分析】 本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设，，根据相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面积，最后根据二次函数求最大值即可． 【详解】 解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 67．【答案】（1）     （2） 证明：， 理由如下： 如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴．     （3）      【分析】 （1）根据四边形是正方形，得出，过点F作于P，则四边形是矩形，得出，证明，即可得． （2）如图3，平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，则四边形是矩形．得出，，证明，得出，结合，，即可求出． （3）根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，结合，，得出，设，则．求出．根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：． 理由：∵四边形是正方形， ∴， 过点F作于P， 则四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点D作，过点A作交于点H，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 同（2）得：． 【点睛】 该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 68．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． （1）只需证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）在上取一点，使得，证明,然后求即可． 【详解】 （1）， , ， ， ， ； 故答案为：． （2）在上取一点，使得，则为等腰直角三角形， ， ,, ． 故答案为：． 69．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】 解：（1）四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形中，， ，， ， ， ， ， ，， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】 本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 70．【答案】（1）；     （2） 证明：由（1）知，，． ∴，， ∴． ∵， ∴．     （3）．      【分析】 （1）先利用勾股定理求出的长，再通过证明，利用相似三角形的性质求出的长． （2）计算和的比值，结合公共角，证明． （3）通过正方形性质、相似三角形的判定与性质，结合角度关系和线段长度计算，求出的值． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形，边长为，， ∴，，．， 在中，，，由勾股定理． ∵， ∴，又， ∴． ∴，即， 解得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴， 由第（）得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵（公共角）， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵，即， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 71．【答案】（1）证明：， ， ， 绕点A逆时针旋转某个角度得， ，，， ，， ， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）可得出，，从而； 将绕点A逆时针旋转的度数至，连接，从而得出，，由（1）知，∽，从而，，从而得出，，进一步得出结果； 将绕点D逆时针旋转至，连接，作于X，从而得出，，，，进而得出，从而，解三角形得出结果． 【详解】 略 如图1，将绕点A逆时针旋转的度数至，连接， ，，，， ∵， ∴， ∴∽， ， ， ∵ ， ， ， ； 如图2，将绕点D逆时针旋转至，连接，作于X， ，，， ∴ ， ， ， ， ， 作，则：， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是利用旋转作辅助线，构造相似三角形． 72．【答案】18 【分析】 本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．四边形是平行四边形，，得，，则，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵点为边上靠近的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18． 73．【答案】（1） 证明：四边形是矩形，    ， ， ， ， ，， ， ；     （2）8     （3）      【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两对角相等，来证明； （2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得 的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得； （3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， ， ， ； (3) 小问详解： 延长交于点，    ， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 74．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据 证出是解题的关键．设点A的坐标为，则有，由此即可得出，结合，证得，再根据相似三角形的性质即可得出的值，再利用相似三角形的性质求出的面积． 【详解】 解：设点A的坐标为， ∵作x轴的平行线交于B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于D，交x轴于点E， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 75．【答案】（1） 证明：∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；     （2）①；②      【分析】 （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得，即可得证； （2）① 先由勾股定理求出，然后导角证明，则设，则，再由即可求解； ② 过点作于点，由角平分线的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，即； ② 过点作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 76．【答案】（1）等边，     （2）     （3）      【分析】 （1）由折叠的性质可得，，利用平行线的性质得，进而得，，再利用直角三角形中线的性质可得，即可证明为等边三角形，根据，可得，再由，，可得，证明，可得； （2）由（1）可知，，可得，证明，可得，从而求得，，再利用勾股定理求得的长，再算出的长，即可求出正方形的边长； （3）设，根据题意可得，，，设，则，根据，可得，再代入计算解出x即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴点N为的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，    故答案为：等边，； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即正方形的边长为； (3) 小问详解： 解：设， ∵若， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转化法，灵活运用所学知识是解题的关键． 77．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 解：∵，， ∴．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角的和差等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）直接运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 78．【答案】①     ② 【分析】 （1）结合三角形内角和性质以及角平分线的定义进行分析，即可作答． （2）先得出平分（三角形的角平分线交于点），再证明，是等边三角形，结合两组对角相等，得出，再作图，根据切线长定理得，再根据勾股定理以及30度角的直角三角形的性质进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】 解：（1）∵， ∴ ∵、分别平分、． ∴， ∴， 则， 故答案为：； （2）∵、分别平分、． ∴平分（三角形的角平分线交于点）， ∴， ∵过作分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点P是的角平分线的交点， ∴点P是的内心， 分别过点P作，如图所示： 则， 结合切线长定理得， ∵， ∴， 设 ∵是等边三角形，， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线长定理，内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 79．【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， ， ；     （2） 证明：中，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 即；     （3）的值为．      【分析】 （1）由，推得，结合即可证明； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（1）、（2）得：，，， ，， ， 即， ， ， ， 中，， ， ，， ， ，， ，， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】 本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 80．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 设，则，则，易得，进而证明可得，即，然后求解即可． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 81．【答案】 【分析】 先通过线段比例和公共角证明三角形相似，得出垂直关系，从而确定点的轨迹为以为直径的圆；再利用中位线定理求出的长度；最后根据三角形三边关系求出的最小值． 【详解】 解：如图，取的中点O，连接、， 在中，，，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即， ∴． ∵ 是中点，是中点， ∴ 是的中位线， ∴ ． 根据三角形三边关系， ∴ 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定和三角形三边关系是解题的关键． 82．【答案】（1） 证明：由折叠的性质得， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ；     （2）．      【分析】 由折叠的性质得，由平行四边形的性质可得，根据对顶角相等可得，等量代换可得，又因为，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； 根据可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，又可证，根据全等三角形的性质可知，根据相似三角形的性质可得，解方程即可求出的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由折叠知，， ， ， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 由得， ， ， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质与全等三角形的性质找边之间的关系． 83．【答案】① 2    ② 【分析】 本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据矩形的性质得出相等的边和直角，根据直角三角形的性质得出相等角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后证明即可； （2）过点作于点，连接，证明，得出对应边成比例，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解析：（1）四边形是矩形， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 。 故答案为：2； （2）如图，过点作于点，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， 即， 故答案为：． 84．【答案】【填空】（1）；（2）；（3）； 【猜想】； 【论证】证明：四边形是矩形， ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，由勾股定理得， ∴． 【分析】 本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． [填空] （1）先根据矩形性质得到，，，，证明得到，再根据比例性质，进而可求解； （2）同（1）方法结合已知得到，进而可求解； （3）同（1）方法结合已知得到，进而可求解； [猜想] 根据[填空]中规律可猜想得到； [论证]同（1）方法结合已知得到即可求解． 【详解】 解：[填空] （1）四边形是矩形， ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，由勾股定理得， ∴, 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：； [猜想] 若，则 故答案为：； [论证]略 85．【答案】①     ② 或或5 【分析】 （1）根据为正方形，得，再推导出，证明出，在中，，即可算出； （2）①当，由（1）得，证明，得出，由勾股定理：，得，再利用相似求解；②当时，得，，证明出四边形为矩形，根据，即可得到． 【详解】 解：（1）四边形为正方形， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 中，， ， 故答案为：； （2）①当时， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理：， 由， ， 即：， 解得：； ②当时，如下图： ，， ， ， 四边形为矩形， ， 故答案为：5或2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定及性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理、矩形的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理及利用相似的性质建立等式进行求解． 86．【答案】（1）4     （2） ①证明：由翻折，得， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； ②     （3）的值为2或8      【分析】 （1）由，，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由，得到三角形为等边三角形，由的长求出与的长，同时求出，由与平行，利用两直线平行内错角相等得到，再由垂直于，得到和都为直角，在直角三角形中，求出为，利用两直线平行内错角相等可得出也为，而由求出为，利用对顶角相等得到为，即，利用等角对等边可得出，由的长即可求出的长； （2）① 当点G在点F的上方时，如图2所示，由翻折，得，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出；② 相似得到，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出点到的距离，利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）分两种情况考虑：点在点的左侧 和点在点的右侧，分别求出的长即可． (1) 小问详解： 解：，， ， ， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ① 略 ② 由，得， ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∶， 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； (3) 小问详解： 当点G在点F的右侧时， 由（2）可知： ∴， 整理，得， 解得(不合题意，舍去)； 当点G在点F的左侧时，如图3所示∶ 同理得到，即， ∴， 整理，得， 解得(不合题意，舍去)， 综上所述，的值为2或8． 【点睛】 此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握菱形的边与角的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）利用菱形的性质，结合平行线的性质推导的度数； （2）先证为直角三角形，再利用直角三角形斜边中线的性质求的长度． 【详解】 解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． ∴， ∴， 故答案为： （2）连接，， ∵四边形是菱形，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． 故答案为： 9．【答案】证明：设交于点G， ∵在正方形中， ∴，， 由题意，， 在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用正方形性质证明，得到，进而推出，从而证明垂直． 【详解】 略 10．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ；     （2）12      【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 11．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ；     （2）9      【分析】 （1）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的判定，根据平行四边形性质得到，推出角相等，即可证明三角形相似． （2）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的性质，根据平行四边形性质得到，根据相似三角形的性质，推出，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是平行四边形， ， 由（1）可得，， ， ． 12．【答案】（1）补全图形如下图， DM与ME之间的数量关系为DM=ME．                   证明：连接AE，AD， ∵ ∠BAC=90°，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°． ∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°． ∵ 由旋转，∠BCD=90°， ∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°． ∴ ∠ABE=∠ACD． ∵ AB=AC，BE=CD， ∴ △ABE ≌ △ACD．              ∴ AE=AD． ∵ AM⊥DE于M， ∴ DM=EM．           （2）                                                             证明：连接AD，AE，BM． ∵ AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 由（1）得DM=EM， ∴ BM是△CDE的中位线．    ∴ ，BM∥CD． ∴ ∠EBM=∠ECD=90°． ∵ ∠ABE=135°， ∴ ∠ABM=135°=∠ABE． ∵ N为BE中点， ∴ ． ∴ BM=BN．    ∵ AB=AB， ∴ △ABN ≌ △ABM． ∴ AN=AM． ∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD， ∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE． ∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°， ∴ ∠EAD=90°． ∵ DM=EM， ∴ ． ∴ ．                                                 【分析】 （1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM． （2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到． 【详解】    （1）略；                             （2）略． 【点睛】 本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 13．【答案】2 【分析】 本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 14．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）证明：∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=． 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG． 【分析】 （1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键 ．先证，再根据即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．A 2．A 3．C 4．【答案】 【分析】 本题考查了概率和树状图，画树状图后，得到所有可能的结果总数以及从口进入且从口离开的结果只有种，进而求概率． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，所有可能的结果总数为种， 其中，从口进入且从口离开的结果只有种， 根据概率公式，即：． 故答案为：． 5．【答案】厘米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的性质，结合已知的线段比例和蜡烛高度，求出像的长度． 【详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， 故答案为： 6．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的应用，证明，运用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】 解：， ， ， ，，， ， ． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了解直角三角形的应用． （1）利用角的和差和平行线的性质即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，求出，，即可求出． (1) 小问详解： 解：∵．． ∴ 由题意可知， ∴ (2) 小问详解： 过点作，交的延长线于点， ∵试管的长为， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∵ ∴ 即水槽的高度约为 8．【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵立杆相交于点， ． ， ， ∴；     （2），     （3）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）证明，即可求解，再证明，即可求解； （3）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖到地面上． 9．【答案】塔的高度为18.2米． 【分析】 本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】 解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； (2) 小问详解： 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 考点06 位似 1．【答案】（1） 解：如图，为所作；点的坐标为；      （2）8      【分析】 （1）延长到使，延长到使，从而得到；然后写出点的坐标； （2）利用面积公式直接进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：． 【点睛】 本题考查位似三角形的作图，解题的关键是：熟练掌握位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 2．【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，且与的相似比为，分别在第四象限内找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据位似图形的周长比等于相似比，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得与的相似比为 ∴的值为． 3．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形对应点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）将点的横纵坐标乘以即可得到点的坐标，即可描点，顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在内有一点，则内与点对应的点的坐标为， 故答案为：． 4．【答案】（1） 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为．     （2） 如图所示，即为所求作的三角形． 【分析】 本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．【答案】（1）      （2）      【分析】 本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）按相似比画图即可； （2）按照（1）的图写出坐标即可． (1) 小问详解： 解：根据相似比为，如图： (2) 小问详解： 解：根据（1）可写出各点坐标， ． 6．【答案】（1） 如图，即为所求．         （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）由（1）及位似的性质可进行作图即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 7．【答案】（1）4     （2） 如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题考查坐标与位似，求三角形的面积，位似图形的性质； （1）根据图形以及三角形的面积公式计算即可求解． （2）根据位似的性质，画出即可； （3）根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：与位似，位似比为 ， ∴与的面积比为， 的面积是，则 故答案为：． 8．【答案】（1）作图见解答过程     （2）     （3）作图见解答过程      【分析】 本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． (1) 小问详解： 解：如图所示，点即为所求； (2) 小问详解： 解：与的位似比等于； (3) 小问详解： 解：如图所示，即为所求． 【详解】 9．【答案】（1） 如图所示，即为所求图形；      （2）即为所求作图形． 【分析】 本题主要考查轴对称图形，位似图形的性质及作图，掌握作图方法是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据相似比为，得到， 在平面直角坐标系中描点，连线即可作图， 10．【答案】 【分析】 本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点，得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】 解：∵与位似，点O是位似中心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可以假设的面积为，的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为． 11．【答案】（1）解：如图即为所求， 作      （2） 解：如图，点即为所求； 【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，相似三角形的判定与性质，无刻度 作图． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后顺次连接即可； （2）取格点，连接与交点即为点，此时，则，故． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 解：如图，即为所求， ；     （2） 解：如图，即为所求， ；     （3）22      【分析】 本题考查了作图—位似变换、作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积，熟练掌握位似变换和轴对称变换的性质是解此题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到答案； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到答案； （3）由位似图形的性质可得，再利用割补法计算出的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：以点为位似中心，位似比为，将放大得到， 与的相似比为， ， ， ， 故答案为：22． 13．【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，点D即为所求． 【分析】 本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $