陕西 宝鸡市第一中学西关校区2026-2027学年度上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026-2027学年第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分。） 1.下列方程是一元二次方程的是() A.(x2+3)2=9 B.ax2+bx+c=0 C.x2+3=0 D.x2+2=4 2.如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，AB=6,则CD=() A.3.5cm B.3cm C.4.5cm D.6cm 3.如图，在菱形ABCD中，连接AC,BD.若∠1=20°，则∠2的度数为() A.20° B.60° C.70° D.80° 0 啊 132 6 780 第2题图 第3题图 第5题图 第7题图 4.用配方法解一元二次方程2x2+4x-5=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则a+b的值为 () A.8 B c D 5.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列规判断它是正方形的条件是() A.AB=BC=CD=DA B.A0=BO=CO=D0.,ACLBD C.A0=C0.B0=D0.AC⊥BD D.AB=BC.CD⊥DA 6.顺次连结菱形各边中点所得四边形是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接 AE、CF,若AB=V3.∠DCF=30°。则EF的长为() A.1 B.3 C. D.3 8.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(x≠0)，下列命题： ①若a、c异号，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根： ②若a-b+c=0.,则方程ax2+bx+c=0有一个根为-1： ③若b=0.则方程ax2+bx+c=0的两根互为相反数， @a2.b-3,c=4,由根与系数的关系可得x1十？=-号1=2：其中真命题有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分。） 9.若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个解，则c的值为 10.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°AC=3.则AB的长为 A D B 第10题图 第11题图 第12题图 11.关于x的一元二次方程(k-1)x2一x+2=0有实数根，则k的取值范围是 12.某“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛60场，如果设有x个队 参加比赛，根据题意，可列由方程为 l3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，过点A作AH⊥BC于点H,若B0=2,菱形ABCD 的面积为4，则AH的长为 14、如图，正方形ABCD边长是8，M在CD上，且DM=2.,点N为AC上一个动点，则DN+N的最小值 是 三、计算题：（本大题共1小题，共16分。） 15.用适当的方法解方程： (1)2x2=32: (2)x2-4x+1=0: (3)2x2-7x-3=0: (4)2(x-3)2=x2-9. 四、解答题：（本题共10小题，共62分，解答应写出文字说明，证明过程要验算步骤。） 16.(本小题5分)已知m是方程x2-2x-3=0的一个根，求代数式m(m-2)-5的值。 17.(本小题5分)如图，已知矩形ABCD,连接对角线AC,过点B作BE⊥AC于点E,过点D作DF ⊥AC于点F.求证：AE=CF. D 18.(本小题5分)如图，，在矩形ABCD中，连结AC,尺规作图，作菱形AECP,使得点E,F分别 在边AB,CD上（保留作图痕迹，不写作法）· B 19.(本小题5分)已知关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长. (1)k为何值时，方程有两个实数根。 (2)当矩形的对角线长为V5时，求k的值。 20.（本小题3分)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AB和BC上的点，且BE=BF.求证：DE=DF. 21.(本小题7分)某古城旅游经济持续向好。具统计，2023年某古城全年接待游客容量为 100万人次，到2025年接待的游客量达到144万人次. (1)求2023年到2025年该古城游客量的年平均增长率。 (2)古城某特产店销售一款纪念品，已知该纪含品平均每天可售由20个，每个盈利40元。 在“十一”黄金周期间，该店决定降价促销，如果售价每降低1元，平均每天可多售出2件。 在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降 价多少元. 22.(本小题6分)阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形 式，交换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方 与一个常数的和的形式.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、 求最值等问题中都有广泛应用. 一、配方法在因式分解中的应用 二、配方法在求最值问题中的应用 例1因式分解：x2+4x-5. 例2求x2-4x+1的最小值. 解：原式=x2+4x+4-4-5第一步 解： 原式=(x2-4x)+1 =(x+2)2-9第二步 =(x2-4x+4)-4+1 =(x+2+3)(x+2-3)第三步 =(x-2)2-4+1 =(x-2)2-3. =(x+5)(x-1)第四步 .(x-2)2≥0， ∴.当(x-2)2-3≥-3 (x-2)2=0,即x=2时，x2-4x+1的 值最小，最小值为0-3=-3. (1)用配方法将x2-6x+8因式分解： (2)用配方法求：当x为何值时，代数式2x2一4x+7有值最小，最小值是多少？ 23.（本小题6分)某学校艺术节期同举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场、 如图，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米 的栏杆围成一个矩形场地，场地中问用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2 米宽的小门，方便参加比赛的选手出入.设矩形场地的宽EF为x米. (1)请你写出FN的长为 米；（用合x的代数式表示） (2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽EF的长度。 24.(本小题8分) 如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是边AD上一动点，PF⊥AB,PH⊥DE,垂足分别为F,H. (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PFEH是矩形？请予以证明。 (2)在(1)中，动点P运动到什么位置时，矩形PFEH变为正方形？为什么？ 25.(本小题10分) (1)[问题提出]如图1，在矩形ABCD中。AB=3.BC=5.P是矩形ABCD内一动点，且SPAB= SPCD,则PC+PD的最小值为 (2)[问题探究]如图2，在菱形ABCD中，∠B=60°，B,F分别是边BC,CD上的两个动点，且 BE=CF,连接AE、AF、AC.求证：AE=AF. (3)(问题解决]如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形花园ABCD,其中AB=40m. ∠A=∠B=∠C=90°，AD=CD..根据要求，现计划在该花园内修建两条笔直的绿色长廊DE,DF, 且绿色长廊的入口定为点D.出口E、F分别设在边AB和边BC上，且AB=BF.为了节省成木，要 求绿色长廊DE与DF的长度之和最短。试求DE+DF的最小值.（绿色长廊的宽度忽略不计） B E B 图1 图2 图3