山东省实验中学2026-2027学年第一学期高二第一次学情检测数学试题

数学试题答案 2026.10 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 B D B D C D B ABD BCD ACD V6 12.2或V2 13.5V2 14.3 15.【答案】解：(1)因为直线4：2x+3y-2=0,:mr+(2m-)y+1=0,时， m2m-1,1 则2■ -2, 解得m=2, 此时直线的方程为2x+3y+1=0 d=1-2--3 所以两条直线间的距离 V22+3213 …6 (2)当m=1时，则直线的方程为：x+y+1=0, 2x+3y-2=0 联立(x+y+1=0 解得x=-5,y=4 即两条直线的交点P的坐标为（一5,4）， 又因为所求的直线垂直于x-2y+4=0,设所求的直线方程为2x+y+a=0 将P点的坐标代入可得2×(-5)+4+a=0 解得a=6 所以直线的方程为2x+y+6=0 。。。。。。。。。。。。。 …13 16.【答案】解：设CA=a,CB=b,CC=c, 根据题意得GHBHGI,ai=万.c=c.a=0, (1)证明：易知 E=6+.而-c+6a 匹而-6e59） -12+162=0 .CE⊥AD,即CE⊥A'D .7 (2)易知AC=-a+c,AC=2a. C CE5a :ac.c正=(a+06+ -e-lap ∴.cos<AC,CE>= |a2 10 2 V10 即异面直线CE与AC所成角的余弦值为10.…。 …15 17.【答案】解：(1)如图，设线段AD的中点为M,线段BC的中点为N, 连接PM,MN,PN 因为D为EC中点， 所以PD=PA=1. 又因为PM是等腰△PAD底边上的中线， 所以PM⊥AD 同理可得PN⊥BC 因为ABCE是矩形， 所以CD‖AB,AB⊥BC 因为M,N是中点， 所以MN是梯形ABCD的中位线。 所以MNI‖AB,从而MN⊥BC, 因为MNC平面PMN,PNc平面PMN,MNOPN=N, 所以BC⊥平面PMN. 因为PMC平面PMN, 所以BC⊥PM. 因为ADC平面ABCD,BCC平面ABCD,AD和BC相交 所以PM⊥平面ABCD 因为PMC平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD .7》 B (2)易得AD⊥BD.由(1)可知PM⊥平面ABCD, BDC平面ABCD,所以PM⊥BD, 因为ADC平面PAD,PMC平面PAD,PM∩AD=M, 所以BD⊥平面PAD 以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系D-2 则AW2,0,0).B(0,V2,0) 停 2 AB=(-V2,2,0). P7=1>0= 设TB 1+ -4B+ ,则 可得V21+2)A7=(-21-1,2元，1) 由BD⊥平面PAD,得平面PAD的一个法向量i=(O,1,O) 设直线AT与平面PAD所成角为日， incos<元，AT水li.AT 2入 √6 则 6 1元lAT1V(-22-1)2+(22)2+1 12=- = 1 化简得822-2元-1=0，解得2或4（舍）. PT 1 6 所以当TB2时，直线AT与平面PAD所成角的正弦值为6.…15 日4,286,5之 因为AB的中点在直线x-2y=0上， +龙-2×-2x=0 所以2 2 ,即=5x2, k=+2x=7五-7 所以直线AB的斜率，-戈4x,4, 7 y=- (x-1 所以直线AB的方程为4 ,即7x-4y-7=0 …4' (2)设直线AB的方程为七=my+1, x=my+1 A,1,1m< 联立x-y=0,得 1-m,所以气1-m'1-m x=my+1 20 ,1,2 m7所议2m+产2如 m=5w+swora2 1+2 1， 1 所以 2-2m2m+1 因为2-2m>0,2m+1>0. 1 1 1 +。 1.2-2m+2m+1 所以2-2m2m+1(2-2m2m+1 3 2m+1,2-2m1 2m+1.2-2m 4 2-2m 2m+i2+222m× 2m+1 1 m= 当且仅当 4时，等号成立， 4 1 所以5的最小值为3，此时m4,直线AB的方程为一子y+1, m=- xX=- ,即4x-y-4=0.…11 (3)由(2)知， 腰 1 2Wm2+1 2m+1 2m+1 2m+1 Vm2+1.2Vm2+12m2+2 2(m2+1) 2 PAPB= 1-m 2m+1-2m2+m+1-2(m+0+m+3-2+m+3 所以 m2+1, m+3 t t 1 1 m+3=t∈ P) m+10-》+1-60+107+10-6"2 2, 10-6 则 t 1 m+3 210-6,当且仅当t=10,即m=V0-3时，m+1取得最大值，|PAPB取得最小值，此 时直线AB的方程为x=(V0-3)y+1即x-(10-3)y-1=0 。。。。。。。。。。。 ..17 =y=-e-)-0= 19【详解】(1)因为直线的方程为2 ,即21-1， 可得直线上一个点的坐标为L0,),直线的一个方向向量为4=(2,1，-) .…4 (x-3)=y-1-2 x-3 y-1 z (2)直线2的方程为 42,即-142， 可知直线4过点P3,10),直线2的一个方向向量4，=（14,2)， 3-11-00-1 因为2 1-1,所以直线马过点P(31,0),且其一个方向向量为4=(2,1，-)， 则P(3,10)为平面a内一点， 设平面Q的法向量为元=（化，片，）. i4,=2x+y-名=0 则i4,=-x+4y+2名=0，令=2，则=-1，名=3，可得i=(2,-1,3) 所以平面C的方程为2x-y+3z=2×3+(-l)×1+3×0,即2x-y+3z=5」 ……10 (3)由集合M={(x,八，2z川x+y川+z2可知， 多面体2与坐标轴交于各点M(2,0,0),N(0,2,0),R(-2,0,0),S(0,-2,0),E(0,0,2), F(0,0,-2),如图所示， 可知四边形MWRS为正方形，边长MN=√(2-0)'+(0-2}2+02=2√2 所以正方形MNRS的面积为(2√2)2-8 1 而正四棱锥E一MNRS的高为OE=2'正四棱锥E-Ms三3×2×8=D 所以多面体2的体积为 V=2y四f.ns=2×6-32 33, 由集合M={《x,y,z川x+川y川+川z卡2}所有的点构成了多面体2的各个面， 点M(2,0,0),V(0,2,0),E(0,0,2)均满足方程x+y+z=2 可知平面MNE的方程为x+y+z=2,且该平面的一个法向量为ā=（山，l,) 同理可知，平面ENR的方程为x+y+z=2,该平面的一个法向量为b=（一山，1)， 平面MNF的方程为x+y-2=2,该平面的一个法向量为=(山，-)， cos(a,)=a-6=11 a.c1 所 3x3 cos(di.()al-3 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为3， 1 故多面体Ω相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为3， 32 综上，2的体积为3，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为3.… ..17 山东省实验中学2026～2027学年第一学期高二第一次 学情检测 数学试题 2026.10 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，，且，则 A．2 B． C．1 D． 2．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 A． B． C． D． 3．如图，已知斜三棱柱，设，，，，分别为与的中点，则 A． B． C． D． 4．已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为 A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知三条直线：，：，：不能围成三角形，则实数的取值集合为 A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，为其体对角线上的动点，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径．则 A．当点在体对角线上运动时，的值也在随之变化 B．当点在底面内运动时，的值也在随之变化 C．的取值范围是 D．的最大值为2 8．在三棱柱中，，，，则三棱锥的体积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，：，则 A．当时，直线的一个方向向量为 B．若，则 C．若与相互平行，则或1 D．若不经过第二象限，则 10．给出下列命题，其中是真命题的为 A．若直线的方向向量，平面的法向量，则 B．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列结论正确的是 A．在三棱锥中，点到平面的距离为定值 B．过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图所示，两条异面直线、所成的角为，在直线、上分别取点、和点、，使得且．已知，则　　　　　． 13．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合上述观点，可得的最小值为　　 ． 14．如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为　　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知直线：，：，其中为实数． （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 16．（本小题15分） 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求证； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17．（本小题15分） 如图，在矩形中，，，为中点，将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（本小题17分） 在平面直角坐标系中，已知射线：，射线：．过点作直线分别交射线，于点，． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 19．（本小题17分） 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； （2）若直线：与：都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $