精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学临港奉贤分校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

高二数学 满分150分，时间120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 3. 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 4. 在半径为的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为．若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________． 5. 已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，高为，则该圆台的母线长为______． 6. 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______． 7. 已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的__________条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 8. 如图所示，是空间四边形，分别是四边上的点，并且平面，平面，，，当是菱形时，的值是______． 9. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于_________________．（结果用反三角函数值表示） 10. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______ 11. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是______.（仰角为直线与平面所成的角） 12. 如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．若顶点、、到平面的距离分别为1、2、4，那么其余四个顶点到的距离构成的集合是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 14. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（ ） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 菱形的直观图是菱形 D. 三角形的直观图是三角形 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 16. 正方体的剖分是指若干多面体内部两两无交集（即无公共点），且并集（即拼接在一起）恰好等于原正方体，试判断下列两个命题的真假（ ） ①可将一个正方体剖分成5个四面体（不要求全等）： ②可将一个正方体剖分成3个全等的四棱锥． A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的高为4，求异面直线与所成角的大小． 18. 如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，，，． （1）求直线与平面所成角大小； （2）求证：平面． 19. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 20. 如图1，正的边长为是边上的高，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折成直二面角，如图2． （1）试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 21. 如图，在四面体中，，，是中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的最大值； （3）求二面角的正弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分150分，时间120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的范围可得结果. 【详解】异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：. 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 3. 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【解析】 【分析】连接，得到四点共面，推得不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与之异面的面对角线条数. 【详解】如图，连接， 因为六边形为正六边形，所以，因， 则，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而，又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 4. 在半径为的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为．若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，由已知可得，在直角三角形或直角三角形中，可得． 【详解】作出圆锥的轴截面， 由题意， ，取中点，连结，则，，光源高度． 故答案为： 5. 已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，高为，则该圆台的母线长为______． 【答案】 【解析】 【详解】设圆台上底面半径，下底面半径，高，母线长为. 由勾股定理得：. 6. 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出截面截面，为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可. 【详解】如图，在正方体中， 平面平面， 平面与平面的交线必过且平行于， 故平面经过的中点，连接，得截面， 易知截面是边长为的菱形，其对角线， ，截面面积． 故答案为：． 7. 已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的__________条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充要 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】充分性：因为， 所以共面， 又因为为两个不同的平面，， 所以， 所以，故充分性成立； 必要性：因为，所以， 又因为，所以，故必要性成立， 所以是的充要条件. 故答案为：充要. 8. 如图所示，是空间四边形，分别是四边上的点，并且平面，平面，，，当是菱形时，的值是______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为平面，在平面内，所以， 所以，所以，同理得，又， 所以，所以，所以，所以①， 又②，，所以得． 9. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于_________________．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及二面角平面角的定义，再利用异面直线所成角的定义及锐角三角函数的正切函数，结合反三角函数即可求解. 【详解】取的中点，作平面，连接，如图所示 由于，即有为侧面与底面所成二面角的平面角.则， 设，则, 将平移到，为异面直线与所成角. 则,所以. 故答案为：. 10. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______ 【答案】． 【解析】 【分析】讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围. 【详解】如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为， 连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化， 如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为； 如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 11. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是______.（仰角为直线与平面所成的角） 【答案】 【解析】 【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答. 【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图， 则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中， ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为. 故答案为：. 12. 如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．若顶点、、到平面的距离分别为1、2、4，那么其余四个顶点到的距离构成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据、、到平面的距离分别为1、2、4，可求出任两个点连线中点到平面的距离，通过中点距离转化，即可求出相关顶点到平面的距离． 【详解】因为、、到平面的距离分别为1、2、4， 所以的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为； 的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为； 的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为； 的中点到平面的距离为，则到平面的距离为； 因此其余四个顶点到的距离构成的集合是． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，又，所以，故A正确； 对于B，若，，则或，又，则与斜交、垂直、平行及均有可能，故B错误； 对于C，若，，则，又，则，故C正确； 对于D，若，，则或，又，则或，故D错误． 故选：AC． 14. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（ ） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 菱形的直观图是菱形 D. 三角形的直观图是三角形 【答案】D 【解析】 【详解】如图： 平面正方形的直观图为平行四边形，且，，，，. 所以对A：，但直观图中，，故A错误； 对B：平面图形中，，但直观图中，，，所以，故B错误； 对C：正方形（也是菱形）的直观图为平行四边形，因为，所以四边形不是菱形，故C错误； 对D：据斜二测画法的规则可知，三角形的直观图是三角形，故D正确. 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 16. 正方体的剖分是指若干多面体内部两两无交集（即无公共点），且并集（即拼接在一起）恰好等于原正方体，试判断下列两个命题的真假（ ） ①可将一个正方体剖分成5个四面体（不要求全等）： ②可将一个正方体剖分成3个全等的四棱锥． A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】命题①：正方体能够拆成中间 1 个正四面体加 4 个角落直角四面体，合计 5 个四面体，故①为真；命题②：从正方体一个顶点出发，可分出 3 个底面为正方形、高相等的全等四棱锥，故②为真. 【详解】①在正方体 中，取内部正四面体 ，此时正方体剩余4个“角”，每个角恰好是一个直角四面体，即四面体 、四面体、四面体、四面体，4个角的四面体与中间正四面体仅以面为界，内部互不重叠，因此正方体可以剖分成5个四面体.①是真命题. ②取正方体的一个顶点，如，以与该顶点相邻的三个正方形面分别为底面，作三个四棱锥、、，它们均为底面为正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥， 设正方体的棱长为，则三个四棱锥底面均为边长为 的正方形，高均为，可通过绕体对角线 旋转120°彼此重合，因此全等， 所以正方体可以剖分成3个全等的四棱锥.②是真命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的高为4，求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）根据题意可知， 注意到平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又直线平面， 所以直线平面； （2）​  【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明两平面平行，再借助面面平行的性质推导线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的数量积与模长，代入夹角公式求解；注意异面直线所成角取向量夹角余弦的绝对值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题知高， 则，，， 得向量：，. 计算数量积和模长：，， . 设异面直线与所成角为()，则​ . 异面直线所成角为. 18. 如图，已知矩形所在的平面，分别为的中点，，，． （1）求直线与平面所成角大小； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明：如图，取的中点，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 由（1）知为等腰直角三角形，所以， 因为，平面，所以平面． 又因为，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面． 【解析】 【小问1详解】 因为平面，所以是在平面内的射影， 所以即为与平面所成角， 又因为平面，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角大小为； 【小问2详解】 略 19. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，而平面，平面， 则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）连接，作于，证明平面，再计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，作于，由（1）知平面，平面，则， 而平面，则平面， 显然，，则， 而，于是≌，因此， 所以点到平面的距离为. 20. 如图1，正的边长为是边上的高，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折成直二面角，如图2． （1）试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）平面，理由如下： 在中，因为分别是上的点，且满足，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）通过题目所给比例条件，证明，可证明平面； （2）作出二面角的平面角，在直角三角形中，求出二面角的平面角的正切值，可求其大小. （3）由题意可得（或其补角）是异面直线与所成的角，利用余弦定理可求得，进而由余弦定理可得，求解即可. 【小问1详解】 平面，理由略； 【小问2详解】 过点作于点，连接． 因为， 所以是二面角的平面角． 所以，即， 又，平面． 所以平面，又平面，所以， 又，平面． 所以平面，又平面，所以． 所以是二面角的平面角． 在中，， 所以． 在中，． 所以． 即二面角的大小为． 【小问3详解】 因为，所以（或其补角）是异面直线与所成的角． 因为， 所以． 又， 所以 ． 所以． 所以． 解得． 21. 如图，在四面体中，，，是中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的最大值； （3）求二面角的正弦值的最小值． 【答案】（1）连接，，因为，是中点，由等腰三角形三线合一得. 在中，，，故，斜边中线, 在中，，是中点，故斜边中线. 在中,, 由勾股定理逆定理得，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合等腰三角形三线合一与直角三角形斜边中线性质，用勾股定理逆定理证明线线垂直； （2）先证面面垂直，将线面角转化为点到直线的距离与棱长的比值，利用垂线段最短求最值； （3）建立空间直角坐标系，用参数表示动点坐标，通过法向量推导二面角正弦的表达式，结合三角函数值域求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，，且，平面，因此平面， 又平面，故平面平面，交线为， 过作于，由面面垂直的性质得平面，则即为直线与平面所成的角，记为， 在中，，由垂线段最短得，当且仅当时取等号， 因此， 又，故的最大值为，即直线与平面所成角的最大值为. 【小问3详解】 以为原点，为轴，平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，为中点，可知在以为直径的圆（平面内）上， 设，且，，（当时，重合，当时，重合，都构不成四面体）， 设平面的法向量为，，， ，得 设平面的法向量为，向量， ， 得， 所以， ， 设二面角B－AD－C的平面角为，， 则， 所以， 当取最小值，即或时，分母最大为，此时取得最小值， 即二面角的正弦值的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $