二项式定理方法讲义-2027届高三数学一轮复习

二项式定理： 通项定指数，赋值求系数和 一、本质原理：乘法分配律“数”出系数 二项式定理常常被当成一个“要背的公式”，其实它只是乘法分配律在多括号相乘时的自然结果。这一节把公式的来历讲透，后面所有题型都只是这个来历的应用。 1.1 展开的本质：每个括号里二选一 就是 个 相乘。按分配律展开时，必须从每个括号里各取一个字母相乘，再把所有这样的乘积加起来。 于是每一项都长成 的样子，其中 表示“有 个括号取了 ”。剩下的问题是： 到底会出现多少次？答案就是“从 个括号里挑出 个来取 ”的方案数，即 。 图 1: 三个括号各取一个字母，取法总数与走法条数 1.2 二项式定理与通项公式 把上面的计数写出来，就得到二项式定理： 其中第 项记作通项： 项数与下标差 1 是这里唯一需要格外小心的地方： 是第 项，取 时得到的是首项 。做题时“第 5 项”对应 ，“含 的项”才是先求 再回头数项。 1.3 二项式系数与项的系数，不是一回事 叫做二项式系数——它只与 有关，永远是正数，与 长什么样无关。 而“项的系数”是该项化简成 之后前面那个数 ，它把 自身带的数字因数与负号全都算进去，可正可负。 两个“系数”的对照 以 的第 3 项为例（）： 它的二项式系数是 ，而项的系数是 24。若问“ 项的系数”，答 24；若问“第 3 项的二项式系数”，答 6。两问一字之差，答案差 4 倍。 1.4 二项式系数的四条性质 由杨辉三角可以直接“看”出二项式系数的四条规律。 图 2: 杨辉三角：对称性、行和与中间最大 把四条性质写清楚： 性质 1：对称性：。两个下标到两端的距离相等，值就相等。 性质 2：最大值： 为偶数时，中间一项 最大； 为奇数时，中间两项 与 相等且同时最大。 性质 3：各行之和：。这正是杨辉三角“行和”那一列。 性质 4：奇数项与偶数项各占一半：。 图 3: 与 时二项式系数的分布 二、判断识别：拿到题目先认模型 二项式定理的题面千变万化，但决定用哪一套动作的，是题干的结构而不是它的“题型名称”。本节先给一份考情梳理，再给“三问诊断”与六模型速查表。 2.1 考情梳理 二项式定理在高考中几乎全部以小题（选择或填空）出现，考查集中在三处：求指定项、求系数和、求系数的最值。下表只收录真正使用二项式定理的题目。 年份 卷别 题号 考点 所用方法 2019 全国 III 卷（理） 4 两个因式相乘求指定项 分组求项 2020 全国 I 卷（理） 8 两个因式相乘求指定项 分组求项 2020 全国 III 卷（理） 14 求常数项 通项 + 定指数 2021 天津卷 11 求含 的项 通项 + 定指数 2021 北京卷 11 求常数项 通项 + 定指数 2021 浙江卷 13 多项式的指定项系数与系数和 展开 + 赋值 2022 新高考 I 卷 13 两个因式相乘求指定项 分组求项 2022 北京卷 8 偶次项系数之和 赋值法 2022 浙江卷 12 指定项系数与系数和 展开 + 赋值 2024 全国甲卷（理） 13 各项系数中的最大值 相邻项比较 表1: 高考二项式定理考情梳理 2.2 动笔前的三问 拿到式子先问三句话 第 1 问：题目要的是“某一项”还是“一串系数之和”？ 要某一项——写通项，令指数等于目标值；要一串系数之和（“各项系数之和”“奇数项系数之和”）——不要去展开，直接赋值。 第 2 问：括号里只有一个二项式，还是两个因式相乘？ 只有一个——用通项直查；两个相乘（如 ）——必须拆成两路分别求，最后把系数相加。 第 3 问：问的是“二项式系数”还是“项的系数”？ 问二项式系数——答案只与 有关，永远是正数；问项的系数——必须把底数里的数字因数与负号一起算进去。 2.3 六类模型速查表 下表按题面结构把二项式定理的题分成六类。“一眼认出它的样子”一栏写的是题干里出现的特征结构。 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 模型一·单一二项式的指定项 只给一个 ，问“含 的项”“常数项”“有理项” 写通项，令指数等于目标值，解出 再回代 例 1、例 2 模型二·两个因式相乘 形如“某式 ”，问某个指定项 拆成两路，各路各凑目标指数，最后系数相加 例 3、例 4 模型三·系数的最值 问“系数最大的项”“二项式系数最大的项” 二项式系数看中间项；项的系数用相邻项不等式组 例 5 模型四·赋值法求系数和 给 ，求若干系数之和 令 、，两式加减 例 6 模型五·三项式 括号里出现三项以上，如 设三种来源各取几次，列方程组后分组计数相加 例 7 模型六·整除与余数 问某个大数的幂“除以……的余数” 把底数改写成“除数 ”，展开后只看不含除数的项 例 8 表2: 六类模型与核心动作速查 2.4 预警信号 看到这些就该踩一脚刹车 · 通项写成 。 才是第 项，这一步错会让“第几项”整体错一位。 · 底数带数字因数（如 、）时，直接用 作答——这样得到的是二项式系数，不是项的系数。 · 求“系数最大的项”时直接套用“中间项最大”。只有在 的数字因数都是 1 时两者才重合；一般情况下必须用相邻项不等式组。 · 三项式题只写了“指数构成方程”就收笔——方程只筛出了可能的次数分配，每一组分配还要用组合数计数。 三、常见情形：六类模型的分类讲解 下面按模型逐类拆解，每一类统一按“结构特征 → 识别标志 → 标准动作 → 易错点 → 对应例题”五个要素展开。 3.1 模型一 · 单一二项式的指定项 结构特征 只给一个 ，其中 可以是单项式、带系数、带负号甚至带根号；问展开式中“含 的项”“常数项”“有理项”或“第 项”。 识别标志 题干出现“展开式中 的系数是”“常数项是”“第 项的系数”“系数为有理数的项”。题面只有一个括号的 次方。 标准动作 动作 1：写通项并整理指数。把 中的指数合并成关于 的一次式 。 动作 2：用目标指数列方程。常数项令指数为 0；含 的项令指数为 ；有理项要求指数为整数。 动作 3：解出 后回代。把 代回通项，算出这一项的系数——此时要把底数里的数字因数一并算进去。 易错点 项数与下标差 1（ 是第 项）；解出 后忘记乘底数的数字因数；把负号漏掉（如 ）。 对应例题 例 1（求常数项）、例 2（求含 的项）。 3.2 模型二 · 两个因式相乘的指定项 结构特征 展开对象形如“某式 ”，如 、。前面的因式把问题劈成了两条路。 识别标志 题干里有两个括号相乘，其中至少一个括号要开 次方。 标准动作 动作 1：拆路。把前面的因式按它的每一项拆开，每一路都乘上 。 动作 2：各路分别凑指数。每一路各自用通项求出“取几次”才能凑出目标项。 动作 3：各路系数相加。两路互斥（同一个目标项只能从其中一路来），按分类加法原理相加，不是相乘。 易错点 只算了其中一路；或把两路的系数相乘（这是本模型的头号错误）。 对应例题 例 3（含两个字母）、例 4（数字系数的两路）。 3.3 模型三 · 二项式系数与项的系数的最值 结构特征 问“二项式系数最大的项”或“系数最大的项”，有时附带“各项系数中的最大值是多少”。 识别标志 题干出现“最大”“最大项”“最大值”。 标准动作 动作 1：先分清问的是哪一种系数。问二项式系数： 偶数取中间一项 ， 奇数取中间两项 与 ，二者相等。 动作 2：问项的系数就设不等式组。设第 项的系数 最大，则它不小于左右两项： 解出 的范围，取整数即可。 易错点 底数带数字因数时，项的系数最大项未必是二项式系数最大项——两者只有在所有数字因数都为 1 时才重合。不等式组解出的 要取整数，且必须落在 内。 对应例题 例 5。 3.4 模型四 · 赋值法求系数和 结构特征 给出 ，要求若干个系数之和。 识别标志 题干出现“各项系数之和”“奇数项系数之和”“”“”。 标准动作 动作 1：令 。得到全体系数之和 。 动作 2：令 。得到交错和 。 动作 3：两式加减。相加后除以 2 得偶下标系数之和；相减后除以 2 得奇下标系数之和。 易错点 把“二项式系数之和”（恒为 ，与 无关）与“各项系数之和”（等于 ，与 有关）混为一谈；赋值时忘记把 代进整个括号。 对应例题 例 6。 3.5 模型五 · 三项式（多个因式）的指定项 结构特征 括号里有三项以上，如 、。 识别标志 括号内不是两项，或者展开对象是 个三项式相乘。 标准动作 动作 1：设次数，列方程。设三种来源分别取了 次，则次数总和为 ，同时按目标项的指数再列一个方程。 动作 2：解出全部非负整数解。方程通常有多组解，必须一组不漏地列齐。 动作 3：逐组计数再相加。对每一组 ，用分步组合数 计数，各组结果相加。 易错点 只列方程不列解，或漏掉某一组解；把三个因子的组合数写成 （下标没有逐层减小，会重复计数）。 对应例题 例 7。 3.6 模型六 · 整除与余数 结构特征 问某个大数的幂除以某数所得的余数，或证明一个含幂的式子能被某数整除。 识别标志 题干出现“除以……的余数”“能被……整除”。 标准动作 动作 1：把底数改写成“除数 ”。必要时先提出公因数或拆开指数，把幂化成 的形状。 动作 2：展开并“划掉”含除数的项。展开后除最后一项 外，每一项都含因子 ，即都是除数的倍数。 动作 3：只留不含除数的部分。余数由这部分决定；若这部分仍大于除数，再取一次余数即可。 易错点 底数不能直接写成“除数 ”时硬套（应先提公因数或拆分指数，如把 拆成 ）；把“倍数项划掉”写成“等于 0”，应是“是除数的倍数”。 对应例题 例 8。 四、应对策略：从题面特征到动作选择 4.1 统一四步：所有例题都按这四步走 本讲义把二项式定理的解题流程固定为下面四步，顺序不可颠倒。 解题四步（贯穿全篇例题） 第 1 步 · 认模型：读题，判断属于六类模型中的哪一类，说出题干里支撑判断的特征结构。 第 2 步 · 写通项：写出 ，把指数整理成关于 的式子。赋值类题目这一步改成“写出待赋值的展开式”。 第 3 步 · 定指数：用目标指数列方程并解出 。赋值类题目这一步改成“选定 或 ”。 第 4 步 · 求值定论：把 代回通项算出系数（或把两式加减得出系数和），最后核一遍是否漏算了数字因数与负号。 4.2 方法选择表 下表给出“看到什么特征就用什么动作”的对照关系。它是并列选择，不是先后步骤。 题面特征 选用动作 最容易漏的一步 一个 ，问某一项 写通项 + 令指数相等 项数与下标差 1 “某式 ”，问某一项 拆两路，各路分别求 两路的系数应相加，不是相乘 问二项式系数最大 中间项（偶一项、奇两项） 奇数的 有两项并列 问项的系数最大 相邻项不等式组 解出的 要取整数 问系数之和、奇偶项系数和 赋值 与 别与二项式系数和 混淆 括号里三项以上 设次数、列方程、分组计数 非负整数解要列齐 问幂除以某数的余数 底数写成“除数 ”后展开 先提公因数或拆指数 表3: 题面特征与动作选择的对照 4.3 三个高频陷阱 算完请回头核对这三处 陷阱一：系数与二项式系数混用。底数带数字因数时， 只是项的系数的一部分。判断口径：题干问“系数”就必须把 里的数一起乘进去。 陷阱二：把“第 项”当成 。通项是 ，所以“第 5 项”要用 ；“含 的项是第几项”要先解 再加 1。 陷阱三：两路相乘。两个因式相乘求指定项时，两路的贡献是相加的，因为同一项不可能同时来自两路。 五、例题精讲 下面八道例题覆盖六类模型，其中六道取自高考真题（已在表 1 中标注年份、卷别与题号），两道为改编题。 例题 1（模型一 · 指定项）—— 2020 年全国 III 卷（理）第 14 题 的展开式中，常数项是。（用数字作答） 图 4: 一个括号贡献多少指数，就记一本账 解： 第 1 步 · 认模型：只给一个二项式，问“常数项”，属于模型一。 第 2 步 · 写通项：取 的部分（即 ）出现 次，则取 出现 次： 第 3 步 · 定指数：常数项要求 的指数为 0： 是 内的整数，合法。 第 4 步 · 求值定论：把 代回通项，得第 5 项： 答案：240。 回头核对：这里 是二项式系数（等于 15），而常数项是 240——差在底数里的 。这就是“项的系数”与“二项式系数”的区别。 例题 2（模型一 · 指定项）—— 2021 年天津卷第 11 题 在 的展开式中，含 的项是。（用数字作答） 图 5: 底数带数字因数时的指数与因数账 解： 第 1 步 · 认模型：一个二项式，问“含 的项”，属于模型一。 第 2 步 · 写通项：设取 共 次，取 共 次： 第 3 步 · 定指数：令 ： 合法。 第 4 步 · 求值定论： 答案：160。 回头核对：若只用 作答就漏掉了因数 。题面问的是“含 的项”，即该项的系数，必须带数字因数。 例题 3（模型二 · 两因式相乘）—— 2020 年全国 I 卷（理）第 8 题 的展开式中， 的系数为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 图 6: 一个因式把问题劈成两条路 解： 第 1 步 · 认模型：两个因式相乘，问指定项，属于模型二。 第 2 步 · 写通项：把 拆成 与 两条路，对 写通项： 第 3 步 · 定指数：分两路各凑出 。 来源一：，令 ，同时 的次数为 3，正好。贡献 。 来源二：，令 ，此时 的次数为 1+2=3，正好。贡献 。 第 4 步 · 求值定论： 10+5=15 答案：C（15）。 例题 4（模型二 · 两因式相乘）—— 2019 年全国 III 卷（理）第 4 题 的展开式中， 的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 图 7: 数字系数因式拆出的两条路 解： 第 1 步 · 认模型： 与 相乘，属于模型二。 第 2 步 · 写通项： 的通项是 。前一个因式的两项 1 与 分别构成一条路。 第 3 步 · 定指数： 来源一：用 1 去乘，需 ，令 ，贡献 。 来源二：用 去乘，需要 才能凑成 ，令 ，贡献 。 第 4 步 · 求值定论： 4+8=12 答案：A（12）。 回头核对：两路分别贡献 4 与 8，若误写成相乘得 32，四个选项里没有，可即时自查。 例题 5（模型三 · 系数最值）—— 2024 年全国甲卷（理）第 13 题 的展开式中，各项系数中的最大值为。 图 8: 系数先升后降，峰值由相邻项比值决定 解： 第 1 步 · 认模型：问“各项系数中的最大值”，属于模型三。 第 2 步 · 写通项：含 的项（即第 项）为 第 3 步 · 定指数（用不等式组定位最大值）：设 项的系数 最大，则它不小于左右相邻两项： 把两个组合数之比代入（，）并化简： 即 （也就是 ）。因为 是整数，取 。 第 4 步 · 求值定论：系数最大的项是第 9 项（含 ），代入通项： 答案：5。 回头核对：，，可见 确实最大。 为什么不能直接用“中间项最大”？因为底数 的数字因数不全是 1。二项式系数最大的是 （中间那一项），但其系数 ，远小于 5。 例题 6（模型四 · 赋值法）—— 2022 年北京卷第 8 题 若 ，则 （） A. 40 B. 41 C. −40 D. −41 图 9: 两次赋值把偶次项系数单独筛出来 解： 第 1 步 · 认模型：给出展开式的系数形式，求若干个系数之和，属于模型四。 第 2 步 · 写通项（此处为写出赋值对象）：把右边的和式记作 。注意这里不需要真的展开。 第 3 步 · 定指数（此处为选定赋值）：分别令 与 。 令 ： 令 ： 第 4 步 · 求值定论：两式相加， 与 的符号相反刚好抵消： 答案：B（41）。 回头核对：也可令 后与 的结果相减得 ，即奇下标系数和为 −40，两者之和 ，自洽。 例题 7（模型五 · 三项式）—— 改编题 求 的展开式中， 的系数。 图 10: 三项式里每个括号的三条出路 解： 第 1 步 · 认模型：括号里有三项，属于模型五。 第 2 步 · 写通项（此处为写出指数账）：4 个括号相乘，每个括号提供指数 0、1 或 2。设取 1 共 次、取 共 次、取 共 次。 第 3 步 · 定指数：两个方程 把 代回非负条件，逐组枚举非负整数解： 情形一：，则 ，，即 。 情形二：，则 ，，即 。 情形三：，则 ，，即 。 （ 时 ，无解。） 第 4 步 · 求值定论：对每一组解，用分步组合数在 4 个括号中指定各自取哪一项： 情形一：（四个括号全取 ）。 情形二：（先选 1 个取 1，再从剩下 3 个中选 2 个取 ）。 情形三：（先选 2 个取 ，剩下全取 1）。 三组相加： 1+12+6=19 答案：19。 回头核对：用另一种办法验证。。 的系数 = 从 取常数项乘 的 项，加上取 乘 的 项： 两种算法一致。 例题 8（模型六 · 整除与余数）—— 改编题 求 除以 7 所得的余数。 图 11: 把底数改成“除数加余数”的形状 解： 第 1 步 · 认模型：问大数幂除以某数的余数，属于模型六。 第 2 步 · 写通项（此处为把底数写成“除数 ”）：指数 2026 不是 3 的倍数，先提出一个 2 把剩下的部分凑成 8 的幂： 第 3 步 · 定指数（此处为展开并划掉倍数项）：由二项式定理， 前 675 项都含因数 7，都是 7 的倍数，可写成 （ 为整数）。 第 4 步 · 求值定论： 是 7 的倍数，所以 除以 7 的余数就是 2。 答案：2。 回头核对：，，，余数始终为 2，与结论一致。 六、对比总结：六类模型对照归位 把八道例题按模型归位，可以看清每一类模型的“适用边界”——什么时候这一招管用，什么时候必须换招。 模型 核心特征 标准动作 边界：什么时候会失手 模型一·指定项 一个 ，问某一项 通项 + 令指数相等 底数含 这类负指数时，指数方程可能出现无解，说明该次项不存在 模型二·两因式相乘 某式 拆两路，系数相加 前面因式的某一项与目标项“对不上”时该路贡献为 0，不要漏写 模型三·系数最值 问“最大的项”或“最大值” 二项式系数看中间；项的系数用不等式组 底数数字因数不全是 1 时，两者不重合，必须用不等式组 模型四·赋值法 ，求系数和 令 ，两式加减 求“绝对值系数和”时不能直接用 ，要先判断各系数的符号 模型五·三项式 括号内三项以上 设次数、列方程、分组计数 解集不唯一，漏一组解就漏项；变量顺序不能乱配组合数 模型六·整除与余数 问幂的余数或整除性 底数写成“除数 ”后展开 底数凑不出“除数 ”时先提公因数或拆指数，硬套必错 表4: 六类模型的适用边界对照 一句话记住三件事：找项用通项，求和用赋值，最值比相邻。这三句话对应模型一、二（找项）、模型四（求和）与模型三（最值），也是高考中出现频率最高的三条路。 七、巩固练习 练习 1（模型一 · 指定项） 在 的展开式中，含 的项的系数是。 练习 2（模型二与模型四 · 两因式相乘与赋值）—— 2022 年浙江卷第 12 题 已知多项式 ，则 ，。 练习 3（模型一 · 常数项）—— 2021 年北京卷第 11 题 在 的展开式中，常数项为。 练习参考答案与提示 练习 1：答案：252。 提示：认模型——一个二项式，求含 的项，属模型一。写通项：设取 共 次， 定指数：令 ，得 ，合法。求值：。 易错提醒：漏掉 就得 ——那只是二项式系数。 练习 2：答案：；。 提示：求 用模型二拆两路： 的 与 的 项相乘贡献 ； 的 2 与 的 项相乘贡献 。两路相加得 。 求 用模型四赋值：令 ，得 ；再求 ，令 得 。两式相减： 易错提醒： 求出的是“全部系数之和”，要减去 才得到题目要的和。 练习 3：答案：−4。 提示：认模型——求常数项，属模型一。写通项： 定指数：令 ，得 ，合法。求值：。 易错提醒：常数项为负——负号来自 ，不要因为“常数项”三个字就默认答案为正。 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $