第74讲 二项式定理：通项与系数讲义-2027届高考数学一轮复习

第74讲 二项式定理：通项与系数 通项与特定项·常数项反求·二项式系数·赋值法 一、通项公式与特定项 1. 通项模板. 第 项 ——写通项时系数与幂次分家，指数方程 = 目标次数解出 后回代. 2. 先求 再求项. "第 项与第 项二项式系数相等"（）给 ，由对称性 ，即 （ 按项数计），再回到通项. 例1（填空·★★★☆☆） 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 变式1（填空·★★★☆☆） 二项式的展开式中，的系数为________. 变式2（单选·★★☆☆☆） 的展开式中的常数项为（） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 变式3（填空·★★☆☆☆） 在的展开式中，的系数是______ 二、常数项与参数反求 1. 常数项. 令指数为 解 ；根式指数 时 必须是 的倍数——无解就是不存在常数项. 2. 参数反求. "常数项为多少，反求 "：把 当系数写进通项，解方程即可；负号别丢. 例2（填空·★★★☆☆） 的展开式的常数项为___________．（用数字作答） 变式4（填空·★★★☆☆） 的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 变式5（填空·★★★☆☆） 已知二项式的展开式中的常数项为，则实数 = ______． 三、二项式系数性质与数列交汇 1. 系数最大与相等. 给 ；"仅有第 项二项式系数最大"给 （偶数个二项式系数时并列最大另论）. 2. 有理项. 指数含分母 时， 取 的倍数才使次数为整数——数一数范围内有几个即可. 3. 与数列交汇. "第几项的二项式系数"当数列通项用（如 ），后续裂项求和回指第63/64讲. 例3（单选·★★★☆☆） 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则 = （ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 变式6（填空·★★☆☆☆） 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 变式7（单选·★★☆☆☆） 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 变式8（解答·★★★★☆） 已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：. 四、赋值法与系数和 1. 赋值三件套. 令 得常数项；令 得系数和；令 得交错和——目标式子长什么样，就把 赋成什么. 2. 绝对值与取模. （）各项系数绝对值之和为 ——就是取 的交错和；带权 型则取 .被 除余数用 展开. 例4（单选·★★★☆☆） 已知，则被4除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 变式9（单选·★★☆☆☆） 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式10（多选·★★★☆☆） 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 变式11（单选·★★★☆☆） 若，则 = （ ） A. 0 B. 9 C. 12 D. 18 变式12（填空·★★☆☆☆） 若，则 = ___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第74讲 二项式定理：通项与系数 通项与特定项·常数项反求·二项式系数·赋值法 一、通项公式与特定项 1. 通项模板. 第 项 ——写通项时系数与幂次分家，指数方程 = 目标次数解出 后回代. 2. 先求 再求项. "第 项与第 项二项式系数相等"（）给 ，由对称性 ，即 （ 按项数计），再回到通项. 【通法】通项分家：系数归系数，幂次归幂次. 【通法】二项式系数相等 → n=k+l−2（按项数）. 例1（填空·★★★☆☆） 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【切入点】，令 ，，系数 。 【关键】指数 是 的一次式——"幂次方程解 "是通项法的唯一机关； 符号自然消除. 【答案】 变式1（填空·★★★☆☆） 二项式的展开式中，的系数为________. 【切入点】， 给 ：。 【关键】 很小， 直接口算；负号来自 。 【答案】 变式2（单选·★★☆☆☆） 的展开式中的常数项为（） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【切入点】拆乘积：。常数项两处来：前者取 的常数项 ，乘 得 ；后者取其 项（，系数 ）。合计 ，选 B。 【关键】多项式前缀拆成两部分各配目标次数—— 配常数项、 配 项，"错位取项"是积结构的标准处理. 【答案】B 变式3（填空·★★☆☆☆） 在的展开式中，的系数是______ 【切入点】， 给 ：。 【关键】 与 分开算再乘，符号先定. 【答案】 二、常数项与参数反求 1. 常数项. 令指数为 解 ；根式指数 时 必须是 的倍数——无解就是不存在常数项. 2. 参数反求. "常数项为多少，反求 "：把 当系数写进通项，解方程即可；负号别丢. 【通法】常数项：指数置 0 解 r. 【通法】反求 a：通项含 a 列方程. 例2（填空·★★★☆☆） 的展开式的常数项为___________．（用数字作答） 【切入点】， 给 ：常数项 。 【关键】 是系数部分、 的指数管 ——分家后各自处理； 用对称性少算. 【答案】 变式4（填空·★★★☆☆） 的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 【切入点】，令 得 ：。 【关键】 时 ； 符号消失、分母约尽——大数运算分三块各自化简. 【答案】 变式5（填空·★★★☆☆） 已知二项式的展开式中的常数项为，则实数 = ______． 【切入点】，：常数项 ，，。 【关键】 使方程是""——负号把 逼成负数， 别漏验. 【答案】 三、二项式系数性质与数列交汇 1. 系数最大与相等. 给 ；"仅有第 项二项式系数最大"给 （偶数个二项式系数时并列最大另论）. 2. 有理项. 指数含分母 时， 取 的倍数才使次数为整数——数一数范围内有几个即可. 3. 与数列交汇. "第几项的二项式系数"当数列通项用（如 ），后续裂项求和回指第63/64讲. 【通法】仅有第 m 项最大 → n=2(m−1). 【通法】有理项：r 取分母倍数. 例3（单选·★★★☆☆） 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则 = （ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【切入点】，由组合数性质 得 ，选 C。 【关键】（）⟺ ——比解方程快；下标是"项数减一"，第 项对应 别错位. 【答案】C 变式6（填空·★★☆☆☆） 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【切入点】 给 ；， 给 ：。 【关键】 的通项里 在分子——先定 再回通项，两步走不乱. 【答案】 变式7（单选·★★☆☆☆） 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【切入点】仅有第 项二项式系数最大：。， 为整数 ⟺ 偶：，有理项 项，选 A。 【关键】"仅有第 项最大"⟹ （奇数个二项式系数才唯一最大）；分母 决定 取偶数——有理项个数数 的合法值即可. 【答案】A 变式8（解答·★★★★☆） 已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：. 【切入点】(1) 时第 项二项式系数 ，， 单列。 (2) 。； 时 ，由 得 。 【关键】 让二项式系数与裂项数列握手—— 裂项相消（回指第63讲）；单调递增给左端点 . 【答案】（1）， 时 ；（2）证明见解析 四、赋值法与系数和 1. 赋值三件套. 令 得常数项；令 得系数和；令 得交错和——目标式子长什么样，就把 赋成什么. 2. 绝对值与取模. （）各项系数绝对值之和为 ——就是取 的交错和；带权 型则取 .被 除余数用 展开. 【通法】x=0,1,−1 三大赋值. 【通法】绝对值和取 x=−1 得 (a+b)ⁿ；余数用 (4+1)ⁿ. 例4（单选·★★★☆☆） 已知，则被4除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【切入点】令 ：；令 ：。故所求为 ，展开后除末项外都是 的倍数，余数 ，选 D。 【关键】赋值目标由所求式反推——系数带 就赋 ；"被 除余数"把 写成 只留末项 ，减 后余 . 【答案】D 变式9（单选·★★☆☆☆） 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】令 ：，选 C。 【关键】交错和就是 ；观察所求的符号节奏（正负交替）比背结论重要. 【答案】C 变式10（多选·★★★☆☆） 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】A：令 ，，对。B：令 ，总和为 ，故 ，错。C：、，和为 ，对。D：令 与 两式相加除 ：偶次项和为 ，对。选 ACD。 【关键】赋值法多选一题四问—— 三次赋值全覆盖；D 的"两式相加除二"是求偶次项和与奇次项和的标准组合拳. 【答案】ACD 变式11（单选·★★★☆☆） 若，则 = （ ） A. 0 B. 9 C. 12 D. 18 【切入点】 偶次项系数正、奇次项系数负，绝对值和为 ，令 ：。，选 D。 【关键】系数绝对值和=（正负全取正即 的交错和）；对数把 收口. 【答案】D 变式12（填空·★★☆☆☆） 若，则 = ___________． 【切入点】令 ：系数总和为 ；令 ：交错和为 ，即偶次项和与奇次项和相等，各为 。所求偶次和中挖掉 ：。 【关键】前缀 不碍赋值法—— 时整式为 给出"偶和=奇和"；所求从 起步，挖掉 . 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $