重难点培优02 刷透二项式定理的十大必刷题型（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦二项式定理核心考点，涵盖正用逆用、特定项系数、多项式积、三项展开式等十大必刷题型，按知识精讲、题型深研、分层训练逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破难点。 讲义突出题型通法与变式训练，如用“双通法”解决多项式积特定项问题，结合分层练习培养数学思维与应用意识，适配高考真题提升解题效率，为教师提供精准复习节奏把控依据，助力学生高效备战。

重难点培优02 刷透二项式定理的十大必刷题型内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 二项式定理的正用、逆用 2 题型2 二项展开式中的特定项及系数 3 题型3 求两个多项式积的特定项 3 题型4 三项展开式问题 4 题型5 求系数或二项式系数的最值 4 题型6 展开式系数和问题 5 题型7 近似计算 6 题型8 求余数或整除问题 7 题型9 杨辉三角问题 7 题型10 利用二项式定理证明等式或不等式 9 分层进阶·双阶训练验成效 10 巩固过关 10 创新提升 14 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 二项式定理 1.二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＋) 二项式通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 (k＝0，1，2，…，n) 2.(a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从，，一直到，. 知识点2 二项式系数的性质 题型深研·通法变式提能力 题型1 二项式定理的正用、逆用 【典例1-1】（2026·山东德州·三模）若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 方法技巧 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．-2 【变式1-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 题型2 二项展开式中的特定项及系数 【典例2-1】（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【典例2-2】（25-26高二下·天津西青·阶段检测）二项式的展开式的常数项是（     ） A．28 B．56 C．36 D．40 方法技巧 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【变式2-1】（25-26高二下·天津西青·阶段检测）二项式的展开式的常数项是（     ） A．28 B．56 C．36 D．40 【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·期中）的展开式的中间项为 ． 题型3 求两个多项式积的特定项 【典例3-1】（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 【典例3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为____． 方法技巧 求两个多项式积的特定项的方法——双通法 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 【变式3-1】(多选)关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．常数项为2 B．的系数为64 C．各项系数之和为5 D．展开式中不存在项 【变式3-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【变式3-3】（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为______. 题型4 三项展开式问题 【典例4-1】（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 【典例4-2】的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 方法技巧 三招破解三项展开式问题 1.分解因式法：通过因式分解将三项式转化为两个二项式，然后利用二项式定理分别展开. 2.逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开; 3.利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分拆项的构成，注意最后应把各个同类项相合并.面的涂色问题一般转化为区域涂色问题处理. 【变式4-1】（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中，共有多少项（ ） A．45 B．55 C．120 D．165 【变式4-2】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 题型5 求系数或二项式系数的最值 【典例5-1】（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【典例5-2】（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 方法技巧 求系数或二项式系数最值的策略 1.求二项式系数最大项：如果是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项（第项）的二项式系数相等并最大 2.求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用，从而解出来，即得. 【变式5-1】（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式5-2】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项. 题型6 展开式系数和问题 【典例6-1】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 【典例6-2】（多选）(25-26高二下·黑龙江绥化·期中)设，则(    ) A． B． C．中最大的是 D． 方法技巧 二项展开式中系数和的求法 1.对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． 2.一般地，若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为． 【变式6-1】（25-26高二下·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 【变式6-2】（25-26高三上·江苏·阶段检测）设，则（   ） A．7 B．14 C．6 D．13 【变式6-3】（多选）（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 题型7 近似计算 【典例7-1】（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【典例7-2】（25-26高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 方法技巧 用二项式定理求近似值问题的方法 用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开. 【变式7-1】（25-26高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【变式7-2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 题型8 求余数或整除问题 【典例8-1】（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【典例8-2】（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 方法技巧 求余数或整除问题的具体策略 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 【变式8-1】（2026·河北邯郸·二模）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式8-2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 题型9 杨辉三角问题 【典例9-1】（多选）（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有出现．如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（   ） A．三角形的两个腰上的数字都是1 B．在第8行中，从左到右第5个数字是70 C．第9行所有数字之和为1024 D．在第2026行所有数字中，从左到右第1014个数字最大 【典例9-2】（多选）（2026·湖北黄石·一模）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 方法技巧 杨辉三角问题求解策略 1．杨辉三角核心求解策略为递推法，核心规律： 首尾元素均为 1，其余每个元素等于上一行相邻两个元素之和。 2．解题可通过二维数组迭代实现，先初始化每行首尾数值，再逐层遍历填充中间数值。利用其特性可快速求解组合数. 【变式9-1】(多选)（25-26高二下·四川内江·期末）如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【变式9-2】（2026高三下·山东·竞赛）如图所示的数阵中，每一行中除了第一个与最后一个数为1外，其他数都等于它“肩上”的两个数之和．则将最外层的1全部删去后，前9行的数字和为______________．    题型10 利用二项式定理证明等式或不等式 【典例10】（2026高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 方法技巧 利用二项式定理证明等式或不等式的具体策略 1．证明等式：核心用赋值法，对二项展开式代入 1、-1、2 等特殊值，匹配组合数求和结构；也可通过对比同次项系数、拆分奇偶项，推导组合恒等式，适配各类求和等式证明. 2．证明不等式：主打放缩法，利用二项式展开多项式，求证上界舍去多余正项、求证下界保留前几项；结合式子结构适度简化放缩，严控放缩尺度。针对含正整数 n 的不等式，可结合取值与单调性辅助证明，是高频解题手段. 【变式10-1】求证： 【变式10-2】已知函数，，满足：①对任意，都有；②对任意都有. (1)试证明：为上的严格增函数； (2)求； (3)令，，试证明：. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（ 25-26广西部分学校高二下阶段性检测）的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 2．（25-26高二下·四川自贡·期末）的展开式中第6项系数为（    ） A．1120 B． C． D．448 3．（25-26高二下·浙江金华·期末）的展开式中，第3项为常数项，且该常数项为60，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·重庆北碚·期末）乘积展开后的项数为（    ） A．27 B．32 C．35 D．60 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 6．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．10 D．50 7．（2026高三·全国·专题练习），则等于（    ） A． B． C．8 D．7 8．（2026高三下·吉林·竞赛）已知，若，则被除所得的余数为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．若展开式中各项系数的和为1024，则第5项的系数最大 D．展开式中奇数项的二项式系数的和为512 10．(多选)（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知，下列结论中正确的是（    ） A．若第项和第项的二项式系数同时最大，则 B．当时， C．当时， D．当时， 11．(多选)（25-26高二下·河南郑州·期末）已知多项式按二项式定理展开后，各项的二项式系数依次排列，可构成经典的杨辉三角（如图1）.我们对杨辉三角中的数字进行染色：若二项式系数为奇数，则将该位置涂为黑色；若为偶数，则涂为白色，染色后得到的几何图案，即为谢尔宾斯基三角形（如图2）.请结合杨辉三角与谢尔宾斯基三角形的相关性质，判断下列说法中正确的是（    ） A． B．在“杨辉三角”中，第12行的奇数项数字之和为2048 C．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第62行的黑色圆比白色圆多一个 12．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在的展开式中无理项的项数共有________项． 13．（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大，则在的展开式中，的系数为______． 14．（广东深圳实验学校2026-2027学年高一上学期摸底考试数学试题）设，那么________． 15.（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则______，______. 16．（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为______. 17．（25-26高二下·重庆渝北·期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中，的系数为10，则实数的值为____________. 18．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 19．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 20．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 创新提升 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知，计算的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知最小值为，则二项式展开式中常数项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项 3.（26-27高三上·上海·开学考试）若且 ， ，则的奇偶性（   ） A．一定为奇数 B．一定为偶数 C．与的奇偶性相同 D．与的奇偶性相反 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知为等比数列的前项和，且公比，．若将除以所得余数记为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 5．（25-26高二下·山东济宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 6．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. (1)若，求和； (2)求 ； (3)证明： 7．（25-26高二·江苏南京·期末）在的展开式中，把，，，，叫做三项式系数． (1)当时，写出三项式系数，，的值； (2)类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明； (3)求的值． ． 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 刷透二项式定理的十大必刷题型内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 二项式定理的正用、逆用 2 题型2 二项展开式中的特定项及系数 4 题型3 求两个多项式积的特定项 5 题型4 三项展开式问题 6 题型5 求系数或二项式系数的最值 8 题型6 展开式系数和问题 10 题型7 近似计算 12 题型8 求余数或整除问题 14 题型9 杨辉三角问题 15 题型10 利用二项式定理证明等式或不等式 19 分层进阶·双阶训练验成效 21 巩固过关 21 创新提升 30 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 二项式定理 1.二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＋) 二项式通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 (k＝0，1，2，…，n) 2.(a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从，，一直到，. 知识点2 二项式系数的性质 题型深研·通法变式提能力 题型1 二项式定理的正用、逆用 【典例1-1】（2026·山东德州·三模）若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据二项式定理，的展开式为：. 当为偶数时，，项为有理数，构成：； 当为奇数时，，项为乘以有理数，构成：，所以. 则. 【典例1-2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 方法技巧 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】用待定系数法或配方法求解即可 【详解】易知 左右式子相等，对应系数相等，则， 解得，即 【变式1-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 【答案】 【详解】 ， 题型2 二项展开式中的特定项及系数 【典例2-1】（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 【典例2-2】（25-26高二下·天津西青·阶段检测）二项式的展开式的常数项是（     ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【详解】二项式的展开式通项为： , 令，解得， 所以常数项为. 方法技巧 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【变式2-1】（25-26高二下·天津西青·阶段检测）二项式的展开式的常数项是（     ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【详解】二项式的展开式通项为： , 令，解得， 所以常数项为. 【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·期中）的展开式的中间项为 ． 【答案】 【详解】由二项式定理可知，展开式共项， 所以的展开式的中间项为第项， 所以，由二项式定理展开的通项公式得： 所以的展开式的中间项为 题型3 求两个多项式积的特定项 【典例3-1】（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 【答案】A 【详解】若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得；若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得，故的展开式中的系数为20－80＝－60, 故选： A． 【典例3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为____． 【答案】 【详解】展开式的通项为，， 所以展开式中的系数为． 方法技巧 求两个多项式积的特定项的方法——双通法 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 【变式3-1】(多选)关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．常数项为2 B．的系数为64 C．各项系数之和为5 D．展开式中不存在项 【答案】ACD 【分析】应用二项式定理写出的展开式通项，结合乘积形式判断A、C、D；应用赋值法判断C. 【详解】对于，展开式通项为，， 当，则，故原式的常数项为2，A对； 当，则，故的系数为，B错； 令，各项系数之和为，C对； 当，则，当，则， 所以项的系数为，D对. 故选：ACD 【变式3-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 【变式3-3】（2026·山西忻州·模拟预测）的展开式中，的系数为______. 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式可求得结果. 【详解】根据二项式定理，的展开式的通项公式为，其中， 的展开式的通项公式为，其中， 因此，要求的展开式中的系数，则， 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 因此的系数为. 题型4 三项展开式问题 【典例4-1】（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 【答案】 【详解】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 【典例4-2】的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 方法技巧 三招破解三项展开式问题 1.分解因式法：通过因式分解将三项式转化为两个二项式，然后利用二项式定理分别展开. 2.逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开; 3.利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分拆项的构成，注意最后应把各个同类项相合并.面的涂色问题一般转化为区域涂色问题处理. 【变式4-1】（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中，共有多少项（ ） A．45 B．55 C．120 D．165 【答案】B 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项含有1个字母时，有项， 当展开式的项含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， 所以的展开式共有项. 【变式4-2】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 题型5 求系数或二项式系数的最值 【典例5-1】（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 【典例5-2】（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 【答案】（1）第6项和第7项；（2）；（3）；（4）． 【详解】由二项式定理可得的展开式的通项为． （1）设第项系数的绝对值最大． 则∴解得． 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． （2）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 所以． （3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为． （4）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，系数最小的项为． 方法技巧 求系数或二项式系数最值的策略 1.求二项式系数最大项：如果是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项（第项）的二项式系数相等并最大 2.求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用，从而解出来，即得. 【变式5-1】（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【详解】展开式共有项，二项式系数最大的项是中间项，即第5项. 【变式5-2】（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； (1)记，则的值是多少； (2)求展开式中系数最大的项； 【分析】（1）根据二项式系数性质以及赋值法计算即可求出结果； （2）利用展开式通项构造不等式，根据系数最大解不等式可求出符合题意的项. 【详解】（1）展开式末三项的二项式系数分别为 则，即； 整理可得， 解得：（舍）或， 令， 故， 故 （2）由（1）知，则展开式通项为 设第项即为系数最大的项， 所以，整理可得， 解得； 因此系数最大的项为或． 题型6 展开式系数和问题 【典例6-1】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 【答案】B 【详解】当时，， 当时，， 相减得，即. 【典例6-2】（多题）(25-26高二下·黑龙江绥化·期中)设，则(    ) A． B． C．中最大的是 D． 【答案】AB 【详解】设，则，所以， A选项正确； 令，得，B选项正确； 为负数，显然C选项错误； 令，得， 令，得，所以，D选项错误.故选：AB. 方法技巧 二项展开式中系数和的求法 1.对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． 2.一般地，若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为． 【变式6-1】（25-26高二下·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，结合二项式展开式的通项公式求出值，求和即可. 【详解】由该多项式展开式的二项式系数和为64，得，解得， 则展开式通项公式为， 所以，. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 所以. 【变式6-2】（25-26高三上·江苏·阶段检测）设，则（   ） A．7 B．14 C．6 D．13 【答案】D 【分析】等式两边同时求导，利用赋值计算即可. 【详解】令可得， 对两边同时求导得: ， 令有，， 所以. 故选：D 【变式6-3】（多选）（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题考查二项式定理的应用，通过赋值法、通项公式、求导法分别求解各选项涉及的系数相关问题. 【详解】 选项A：令，代入等式得，即，故A正确； 选项B： 令，得 ①； 令，得 ②； ①-②得，即，故B正确； 选项C：二项展开通项为， 取得，故C错误； 选项D：对原等式两边关于求导，得， 令代入得， 即，故D正确. 题型7 近似计算 【典例7-1】（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 【典例7-2】（25-26高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 方法技巧 用二项式定理求近似值问题的方法 用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开. 【变式7-1】（25-26高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【答案】C 【分析】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【详解】． 故选：C． 【变式7-2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 题型8 求余数或整除问题 【典例8-1】（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 【典例8-2】（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【详解】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 方法技巧 求余数或整除问题的具体策略 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 【变式8-1】（2026·河北邯郸·二模）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得. 【详解】， 由 ， 由于最后一项为，所以被10除的余数为9. 【变式8-2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 【答案】B 【分析】利用二项式定理求除以7的余数，再结合星期的周期规律，从星期五往后数对应天数即可求得. 【详解】因为一周是7天，所以只需计算除以7 的余数. 因为 ，（） 因为除最后一项，其余项都是7的倍数，所以除以7的余数等于除以7 的余数， 又因为， 而 ，（） 除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7 整除，所以除以7 的余数是1， 因此除以7的余数为，今天是星期五，往后数4天就是星期二. 题型9 杨辉三角问题 【典例9-1】（多选）（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有出现．如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（   ） A．三角形的两个腰上的数字都是1 B．在第8行中，从左到右第5个数字是70 C．第9行所有数字之和为1024 D．在第2026行所有数字中，从左到右第1014个数字最大 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角的性质及二项式系数的性质分别判断即可． 【详解】对于A，由杨辉三角的定义及图形可知，三角形的两个腰上的数字都是1， 即和，故选项A正确； 选项B：第8行的数字对应展开式的二项式系数，即， 从左到右第5个数字对应，即，故选项B正确； 选项C：第行所有数字之和为，所以第9行所有数字之和为，而，故选项C错误； 选项D：第2026行共有个数字，因为为偶数， 所以二项式系数在时取得最大值， 此时对应的是从左到右第个数字，故选项D正确． 【典例9-2】（多选）（2026·湖北黄石·一模）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BCD 【分析】根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质，即可求解D. 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B,由题意可得,B正确， 对于C, 第48行的所有数字之和为 ,由于能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D,第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为， 第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为 则此数列前135项的和为. 方法技巧 杨辉三角问题求解策略 1．杨辉三角核心求解策略为递推法，核心规律： 首尾元素均为 1，其余每个元素等于上一行相邻两个元素之和。 2．解题可通过二维数组迭代实现，先初始化每行首尾数值，再逐层遍历填充中间数值。利用其特性可快速求解组合数. 【变式9-1】(多选)（25-26高二下·四川内江·期末）如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ACD 【分析】A选项：第行第个数为，再结合进行运算；B选项：根据组合数性质进行运算；C选项：先由组合数性质得到第48行的所有数字之和，再结合二项式定理展开可得结论；D选项：根据组合数性质解出，再结合二项式定理展开进行运算. 【详解】第2027行中从左到右第29个数是，第2000个数是，因为， 所以第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等，A正确. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为， 因为，所以， 即每一行的第4个数字之和为，B错误. 第48行的所有数字之和为， 因为， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确. 因为，即（且）为公差不为0的等差数列， 则，解得， 又， 所以，又， 故，D正确. 【变式9-2】（2026高三下·山东·竞赛）如图所示的数阵中，每一行中除了第一个与最后一个数为1外，其他数都等于它“肩上”的两个数之和．则将最外层的1全部删去后，前9行的数字和为______________．    【答案】2026 【分析】根据杨辉三角的特征，及二项式定理求出第n行的数字和，从而根据等比数列，等差数列的前n项和求出前n行的数字和，进而代入即可求解． 【详解】图中数阵为杨辉三角，删去最外层后，对正整数n，第n行的n个数字依次为， 由二项式定理，第n行的数字和为 则前n行的数字和为， 所以当时，即为2026． 题型10 利用二项式定理证明等式或不等式 【典例10】（2026高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 【详解】（1）由于，则， 又，故. （2）根据公式，对个正数，总有，式子等号成立的充要条件为， 故，而， 这样， 所以，又， 所以. 方法技巧 利用二项式定理证明等式或不等式的具体策略 1．证明等式：核心用赋值法，对二项展开式代入 1、-1、2 等特殊值，匹配组合数求和结构；也可通过对比同次项系数、拆分奇偶项，推导组合恒等式，适配各类求和等式证明. 2．证明不等式：主打放缩法，利用二项式展开多项式，求证上界舍去多余正项、求证下界保留前几项；结合式子结构适度简化放缩，严控放缩尺度。针对含正整数 n 的不等式，可结合取值与单调性辅助证明，是高频解题手段. 【变式10-1】求证： 【证明】令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 【变式10-2】已知函数，，满足：①对任意，都有；②对任意都有. (1)试证明：为上的严格增函数； (2)求； (3)令，，试证明：. 【分析】（1）对①中等式变形，利用定义法判断出的单调性； （2）先假设，根据题意求的值，即可求解出的值，再结合（1）的单调性确定出的值，由此计算出结果； （3）根据条件判断出为等比数列并求解出通项公式，利用不等式以及二项展开式采用放缩方法证明不等式. 【详解】（1）证明：由①可知：对任意，， 整理得， 不妨设，则，从而， 所以函数为上的单调增函数. （2）令，则，显然，否则，与矛盾. 从而，而由，即得. 又由（1）知，即. 于是得，且，从而，即. 由知. 于是， ，， ，， ， 由于， 而且由（1）知，函数为单调增函数，因此. 从而. （3）证明：， ，. 即数列是以为首项，以为公比的等比数列. ∴ 于是，显然， 另一方面， 从而. 综上所述，. 【点睛】关键点睛：对于指数式与多项式的不等式证明问题，常利用二项式定理分析证明，本题即为. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（ 25-26广西部分学校高二下阶段性检测）的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 【答案】C 【详解】的展开式共有项. 2．（25-26高二下·四川自贡·期末）的展开式中第6项系数为（    ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【详解】展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 3．（25-26高二下·浙江金华·期末）的展开式中，第3项为常数项，且该常数项为60，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，先根据第三项为常数项求出展开式的次数，再结合常数项的值为求解正数. 【详解】对于，其展开式通项， 第3项对应，即，由第3项是常数项，得，解得. 已知常数项为，代入得，即，解得， 又，所以. 4．（25-26高二下·重庆北碚·期末）乘积展开后的项数为（    ） A．27 B．32 C．35 D．60 【答案】D 【详解】多项式乘法原理：展开每一项，都是从每个括号里各选一个字母相乘得到， 第1个括号有3种选择，第2个括号有5种选择，第3个括号有4种选择， 根据分步乘法计数原理得， 所以展开后的项数是60. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 6．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．10 D．50 【答案】C 【详解】的通项公式， 项系数为；项系数为， 则的展开式中的系数为. 7．（2026高三·全国·专题练习），则等于（    ） A． B． C．8 D．7 【答案】D 【详解】令，得①， 令，得②， ①-②，并除以2，得，所以. 8．（2026高三下·吉林·竞赛）已知，若，则被除所得的余数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】赋值法求得，应用二项式定理展开式即可判断被除所得的余数. 【详解】令，则， 而， 所以部分可被整除， 且末项，所以被除所得的余数为. 9．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．若展开式中各项系数的和为1024，则第5项的系数最大 D．展开式中奇数项的二项式系数的和为512 【答案】ABD 【详解】对A：由已知，，所以，故A正确； 对B：的系数为，故B正确； 对C：因为展开式中各项系数的和为1024，所以或. 因为，所以. 所以第5项的系数为，第6项系数为， 因为，即第5项的系数小于第6项系数，故C错误； 对D：展开式中奇数项的二项式系数和为，故D正确. 10．(多选)（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知，下列结论中正确的是（    ） A．若第项和第项的二项式系数同时最大，则 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】由二项式定理写出展开式通项，结合各项描述及赋值法判断各项的正误. 【详解】的展开式第项为， A：根据二项式系数的性质，第项和第项二项式系数同时最大， 所以为奇数，且，解得，故正确； B：当时，为的系数， 取代入通项得，故错误； C：当时，展开式项系数的绝对值为， 因此等价于的所有项系数和， 令代入得，故正确； D：当时，展开式为， 由， 将代入，得， 因此，故正确. 11．(多选)（25-26高二下·河南郑州·期末）已知多项式按二项式定理展开后，各项的二项式系数依次排列，可构成经典的杨辉三角（如图1）.我们对杨辉三角中的数字进行染色：若二项式系数为奇数，则将该位置涂为黑色；若为偶数，则涂为白色，染色后得到的几何图案，即为谢尔宾斯基三角形（如图2）.请结合杨辉三角与谢尔宾斯基三角形的相关性质，判断下列说法中正确的是（    ） A． B．在“杨辉三角”中，第12行的奇数项数字之和为2048 C．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第62行的黑色圆比白色圆多一个 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数的性质可判断ABC选项，由谢尔宾斯基三角形的定义可判断D选项 【详解】由题意可得，故A正确； 由“杨辉三角”的性质可知第行的所有数字之和为， 又奇数项数字之和与偶数项数字之和相等，故第12行的奇数项数字之和为，故B正确； 在“杨辉三角”第行的数有个，中间项的值最大，故最大为第个数，故C错误； 由“杨辉三角”的规律观察可得第行是奇偶相间的，又， 所以第62行的63个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，故D正确. 12．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在的展开式中无理项的项数共有________项． 【答案】20 【详解】二项式展开式的通项公式为， 当且仅当为整数时，为有理项，此时， 因此在的展开式中有理项的项数共有5项，而展开式的总项数为25项， 所以在的展开式中无理项的项数共有20项. 13．（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大，则在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【详解】的二项式系数之和为，令，代入得， 则，解得， ，其二项展开通项公式为： ， 令，得， 代入通项得． 14．（广东深圳实验学校2026-2027学年高一上学期摸底考试数学试题）设，那么________． 【答案】 【详解】在中， 取，得，取，得， 所以. 15.（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则______，______. 【答案】 【详解】令，则，从而原式可转化为， 则. 令，则；令，则. 故. 16．（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为______. 【答案】 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解. 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 17．（25-26高二下·重庆渝北·期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中，的系数为10，则实数的值为____________. 【答案】 【分析】根据广义杨辉三角的展开式，得到项为，列出方程，即可求解. 【详解】由广义杨辉三角，可得：， 即在的展开式中，的系数为45，的系数为30， 所以在的展开式中，项为， 所以，解得. 18．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 【分析】（1）所有二项式系数之和为，由此求出n；利用n为奇数时，中间两项的二项式系数最大即可求解； （2）写出通项公式，令x的指数为整数，找出k的可取整数值，算出有理项. 【详解】（1）由题可知，， 展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项. 展开式的通项公式为 ；. 综上，展开式中二项式系数最大的项为和； （2）由（1）知展开式的通项公式为， 有理项要求的指数为整数，即，其中， 易知当，，，时，其对应的项依次为： ；； ；. 19．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 【分析】（1）先求出通项公式，让的指数为整数，可得有理项； （2）先利用通项公式求出第4项与第6项的系数，根据条件求出，然后利用赋值法可得答案. （3）利用二项式系数的性质及系数的最大项求出，再列不等式求出即可. 【详解】（1）的通项公式. 令，解得，对应有理项为，，. （2）的通项公式. 第4项系数为，第6项系数为. 因为系数比，所以，化简得，解得（舍去）. 令，则各项系数和为. （3）只有第5项二项式系数最大，所以为偶数，中间项为第5项，故. 设第项系数绝对值最大，则， 解得，即或. 当，系数绝对值最大的项； 当，系数绝对值最大的项. 20．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知. (1)当时，，求中的最大值； (2)若，求. 【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可； （2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可. 【详解】（1）当时，， ，则， 显然为奇数时，；为偶数时，； 则当取到最大值时，为偶数， 设为最大项，其中．当时， 得，即， 解得，又因为，经验证得：． 又因为，所以最大项为． （2）法一：因为， ， 令，得：，所以：． 法二： 则，因为，所以， 所以 创新提升 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理展开，得到，，将这两个等式相加计算得解. 【详解】因为，其中， 设， 因为，，， 所以， ，则选项C正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知最小值为，则二项式展开式中常数项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项 【答案】B 【分析】利用去绝对值求出函数的最小值，根据二项式定理的通项计算常数项． 【详解】因为，则 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 综上；则； 通项为， 令，解得；故常数项为第项． 3.（26-27高三上·上海·开学考试）若且 ， ，则的奇偶性（   ） A．一定为奇数 B．一定为偶数 C．与的奇偶性相同 D．与的奇偶性相反 【答案】D 【分析】根据二项式展开式，分析可得，据此求出的表达式，可取某些特殊的n值进行分析，由此进行判断； 【详解】， 同理，， 两者对比可知为奇数时，， 又为偶数时，为有理数，且， 即两者展开式中k为偶数的部分，为相等的有理数， 所以可知，， 因此可解得， 对于A，取，可得为偶数，与一定为奇数矛盾，故A错误； 对于B，取，可得为奇数，与一定为偶数矛盾，故B错误； 对于C，为奇数，为偶数，奇偶性不同，故C错误； 对于D， 当为偶数时，为奇数； 当为奇数时，为奇数，为偶数，D选项正确； 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知为等比数列的前项和，且公比，．若将除以所得余数记为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据等比数列前项和公式求出，从而得到的通项公式，再根据二项式定理的展开式即可求出． 【详解】由等比数列公比， 则， 解得，所以， 又， 又， 则不含有因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2，即． 5．（25-26高二下·山东济宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 【分析】（1）利用不等式法求系数最大的项即可求出； （2）把所求式提出，对，令，即可求解； （3）利用倒序相加以及二项式系数和的性质即可求解. 【详解】（1）因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或； （2）， 原式； （3）①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， . 6．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. (1)若，求和； (2)求 ； (3)证明： 【解析】（1）若， 而 （2）当时， ， 当时，由 可得 ； 综上所述，. （3）结合第二问结论知， 要证 只需证 ， 令，易知， 则， 所以， 一方面， 另一方面，， 当且时， 由于， 比较两式中的系数可得：， 则 由 可知=， 当时，由 可知：， 此时命题也成立. 当时， 也成立. 综上所述，. 7．（25-26高二·江苏南京·期末）在的展开式中，把，，，，叫做三项式系数． (1)当时，写出三项式系数，，的值； (2)类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以. （2）类比二项式系数性质，三项式系数有如下性质： ， 因为， 所以， 上式左边的系数为，而上式右边的系数为， 由为恒等式， 得 （3） ， 其中系数为， 又， 而二项式的通项， 因为2024不是3的倍数，所以的展开式中没项， 由代数式恒成立，得 ． 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $