第2单元 包装盒——长方体和正方体 单元整合提升·易错与拓展-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年五年级上册数学（青岛版五四制·新教材）

单元整合提升 疑难排查©幻易错点精练 类型一方木分割的表面积问题 一根方木每锯一次就增加两个横截面的面积。 1.一根方木的横截面是边长为0.3分米的正方 形，长为3米。 (1)这根方木的体积是多少立方分米？ (2)将这根方木锯成两段，表面积增加了多 少平方分米？锯成三段呢？ 类型二包装带长度问题 根据已知图或画图将需要参与求和的棱找出来，计算 时避免遗漏或重复。 2.新情境生活应用李叔叔用一根丝带为顾客捆扎 两个月饼盒，每个月饼盒长40厘米，宽35厘 米，高15厘米，按如图所示的方式捆扎并留 下18厘米长的手拎环。捆扎这两个月饼盒 至少需要丝带多少米？（损耗忽略不计） 类型三不规则物体的体积 计算不规则物体的体积时，需要将不规则的物体的体 积转化为规则的长方体（正方体）的体积。 3.新趋势说理表达一个正方体水箱里装了一些水 (如图)，乌鸦只能够到水箱最上沿，在水箱的 2 二包装盒一长方体和正方体 ·易错与拓展 旁边有大小不一的三块石头。你能选择其中 的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？请通过计 算加以说明。 137cm 358cm 454cm -20cm= ② 类型四选取合适的面组合成长方体 根据给出的长方形（正方形）选择出合适的几个，先确 定组成的长方体的长、宽、高，再进行计算。 4.下面哪几个面可以围成一个长方体？请你求 出这个长方体的体积和表面积。（单位：厘米） ① 6 ② 7 10 6 ⑤ 6 7 ⑥ /6 7 ⑦ ⑧ 6 10 6 ⑨ 6 0 10 10 类型五长方体的高增加（或减少）后变成正 方体，求原来长方体的体积 根据长方体的变化情况和正方体的特点，确定原来长 方体的长、宽、高，再利用长方体的体积计算公式求解。 5.如图，一个长方体，高减少2cm后正好变成 拔尖特训数学（青岛版五四学制）五年级上 一个正方体，表面积比原来长方体的表面积 减少了32cm2。求原来长方体的体积. 6.如图，一个长方体，如果高增加3厘米，就变成 一个正方体，这时表面积比原来增加了96平 方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 米 类型六包装纸面积问题 要想使用的包装纸最少，则需将最大的面叠加在 起，只有这样，露在外面的面的面积之和，即包装后的 表面积才能最小，所使用的包装纸最少。 7.将两盒长20厘米、宽15厘米、高5厘米的糖果 包装在一起，怎样才最节约包装纸？至少需要 多少平方厘米的包装纸？（接口处忽略不计） 8.有5块长方体形状的肥皂，量得每块肥皂的 长是10厘米，宽是6厘米，高是2厘米。如 果把这5块肥皂用包装纸包在一起，那么怎 样包装最节省包装纸？至少需要多少平方厘 米的包装纸？（接口处忽略不计） 2 视野开拓∞拓展点提升 拓展一最多装几盒 9.新情境地域特色崂山绿茶是青岛最具代表性的 茶叶，为国家地理标志保护产品。某茶厂工 人要将长、宽各为20cm、高为10cm的长方 体崂山绿茶茶叶盒装入棱长为30cm的正方 体纸箱，最多能装几盒？怎样才能装下？ 20 cm 30 cm 30 cm 思路提示：联系实际情况去考虑如何放才能有 效利用空间。 拓展二小正方体摆立体图形 10.新素养空间观念用棱长是1厘米的小正方体 摆成如图所示的立体图形，这个立体图形的 表面积和体积各是多少？ 思路提示：求体积需要数有多少个小正方体，求 表面积需要数每个面的数量。 2(15×8+15×4+8×4)×2=424(平方厘米) 答：这个盒子的体积是480立方厘米，表面积是 424平方厘米。 4.80厘米=0.8米40厘米=0.4米 (0.8×1.25×2十0.4×1.25×2)×20=60（平方米） 答：一共需要60平方米的铁皮。 5.6立方分米=6000立方厘米 48×25×24-6000×4=4800(立方厘米) 答：花岗石的体积是4800立方厘米。 6.24+12+16=52(平方分米) 答：原来花糕的表面积是52平方分米。 解析第一种切法增加的面积与上下两个面的面积和 相同：第二种切法增加的面积与左右两个面的面积和 相同；第三种切法增加的面积与前后两个面的面积和 相同。所有增加的面积总和即为长方体六个面的面 积和，从而求出原来花糕的表面积。 提分真题特训 1.(1)56002250(2)7.7 (3) 长/厘米 8 6 5 宽/厘米 1 2 3 高/厘米 2 2 2 2.(1)C(2)B 3. 后面 面 下面 面 上面 前面 (画法不唯一) 44 4.24÷4=6(分米)6-3=3（分米） 6×6×3=108(立方分米) 答：这个长方体泥塑的体积是108立方分米。 解析根据“正方形的边长=周长÷4”，求出这个长方 体泥塑的底面的边长，底面的边长减去3分米就是长 方体泥塑的高，再根据长方体的体积计算公式解答 即可。 5.8×6×(4-3)=48(立方分米)4×4×4= 64(立方分米)64-48=16（立方分米）16÷(5× 2)=1.6(分米)答：水槽中的水深1.6分米。 解析根据题意可知，用石块的体积减去长8分米、宽 6分米、高(4一3)分米的长方体体积，即可得到溢出 的水的体积，再根据长方体的体积计算公式，用溢出 的水的体积除以水槽的底面积即可求出这时水槽中 水的深度。 单元整合提升·易错与拓展 1.(1)3米=30分米0.3×0.3×30=2.7（立方分 米)答：这根方木的体积是2.7立方分米。 (2)2-1=1(次)1×2=2（个）0.3×0.3×2 0.18(平方分米)3一1=2（次）2×2=4（个） 0.3×0.3×4=0.36(平方分米)答：锯成两段，表面 积增加了0.18平方分米；锯成三段，表面积增加了 0.36平方分米。 2.15×2=30(厘米)40×2+35×2+30×4+18= 288(厘米)288厘米=2.88米 答：捆扎这两个月饼盒至少需要丝带2.88米。 3.20×20×(20-18)=800(cm3)358+454= 812(cm3)812>800答：选择②号和③号石头。 解析先算出水上升到最上沿时，上升的那部分水的 体积，再算出哪两块石头的体积之和大于或等于水上 升部分的体积」 4.①②⑦⑧⑨⑩可以围成一个长方体 体积：10×7×6=420（立方厘米） 表面积：(10×7+10×6+7×6)×2=344（平方厘米） 答：这个长方体的体积是420立方厘米，表面积是 344平方厘米。 5.32÷4÷2=4(cm)4+2=6(cm)4×4×6= 96(cm3)答：原来长方体的体积是96cm3。 解析根据“高减少2cm后正好变成一个正方体”可 知，这个正方体的表面积比原来长方体少了4个相同 的长方形的面积之和。根据“表面积比原来长方体的 表面积减少了32cm2”,可求出减少的1个长方形的 长为32÷4÷2=4(cm),也就是正方体的棱长，从而 求出原来长方体的高和体积。 6.96÷4÷3=8(厘米)8-3=5（厘米）8×8× 5=320(立方厘米) 答：原来长方体的体积是320立方厘米。 解析根据题意可知，原来长方体的长和宽相等，且比 高长3厘米，则增加的表面积是4个同样的长方形的 面积之和。由此，可以求出原来长方体的长和宽，从 而求出原来长方体的高和体积。 7.把长20厘米、宽15厘米的面重合包装在一起时， 才最节约包装纸5×2=10（厘米）(20×15+20× 10+15×10)×2=1300(平方厘米) 答：至少需要1300平方厘米的包装纸。 解析要想最节约包装纸，应将长方体最大的面重合 包装在一起，也就是把两盒糖果拼成一个长20厘米、 宽15厘米、高5×2=10（厘米）的长方体。 8.把长是10厘米、宽是6厘米的面重合摞起来包 装，才最节省包装纸2×5=10（厘米）(10×6十 10×10+6×10)×2=440(平方厘米)答：至少需要 440平方厘米的包装纸。解析根据题意可知，要 想最节省包装纸，则应将肥皂最大的面重合摞起来， 拼成一个长10厘米、宽6厘米、高(2×5)厘米的长 方体。 9.3十3=6（盒）答：最多能装6盒，下面一层平着 放1盒，立着放2盒；上面一层放置时，如果下面是平 着放的，上面就立着放，如果下面是立着放的，上面就 平着放。 10.表面积：(1×1)×(14+11+15)×2=80（平方厘米） 体积：1×1×1×36=36（立方厘米） 答：这个立体图形的表面积是80平方厘米，体积是 36立方厘米。解析由题图可得，从前面看有14个 小正方形，从右面看有11个小正方形，从上面看有 15个小正方形，1个小正方形的面积为(1×1)平方厘 米，所以表面积为(1×1)×(14+11+15)×2=80（平 方厘米)。1个小正方体的体积为(1×1×1)立方厘 米，有36个小正方体，所以体积为1×36=36（立方 厘米)。 三 小手艺展示一分数乘法 第1课时 分数乘整数 1.5青 27 1 2 122516 2.(1) 涂法不唯一) (2)2(3)王 177 3. 1000 ×4 177 250(千米) 171X2 250 贤千*) 答：他每天至少要走贸千米。 3 4.0D100X5=20(g) 答：每天至少应该食用易“ 大豆及坚果类食物。 8o×365-2贺a) (2) 答：每人每年（按365天 异)至少应该食用 kg大豆及坚果类食物。 解析根据题意，要求出5口人每天至少应该食用多 少千克大豆及坚果类食物和每人每年（按365天 算)至少应该食用多少千克大豆及坚果类食物，都要 按每人每天食用高kg大豆及坚界类食物计年。 5 5 5.(5-1)×2=8(个)6×8=2（平方米） 答：表面积会墙加号平方米。 解析一根长方体木料截成2段会增加(2-1)×2= 2(个)面，截成3段会增加(3-1)×2=4（个）面… 截成5段会增加(5-1)×2-8（个）面，即增加的表面 3是8个面积为6平方米的正方形的面积之和，也就 是表面积增加了6 5(平方米) 幻方法归纳 横截面的变化规律 将一根长方体（或正方体）木料截成n段，表 面积会增加2(n一1)个横截面的面积。 4 6.7-1=6(层) ×6=分) 答：恩思从1楼到7楼需要酷分钟。 第2课时 练习课 1.>=>>2品号号 2.3456 乘一个非零数，结果等于这个数 2 的一半