3.5 最基本的图形——点和线 梯度提升训练2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

3.5 最基本的图形——点和线 梯度提升训练 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册 一、单选题 1．下列图形中，表示“射线”的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 3．如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的基本事实是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 5．如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 6．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 7．“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 8．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 9．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 10．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 二、填空题 11．点在线段的延长线上，且，点是线段的中点，若，点为的四等分点（把线段分成相等的四段的点），则________________． 12．在同一平面内，三条互不重合的直线把平面至少分成___________部分． 13．已知直线经过四点，线段的长为6，点是线段的三等分点，若，则的长为________． 14．已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为_________． 15．如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是：________ ．所求作的线段是线段________ ． 三、解答题 16．已知线段和线段，用直尺和圆规作一条线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，已知线段，点C为AB上的一点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若，求DE的长； （2）若，求DE的长． 18．如图，在任意四边形内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说说你的理由． 19．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C B A C B B 1．【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了射线的定义，射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线，据此求解即可． 【详解】解：表示“射线”的是： ． 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 【详解】解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线．根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的基本事实是：两点确定一条直线， 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 5．【答案】C 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查了点和线的关系，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据图形可得点在直线上，或线段的延长线上，或射线上， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】线段的应用 【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可． 【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S， ∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上， ∵PS的延长线在区域② ∴点Q在区域②． 故选择B． 【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 7．【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的动态关系，需将雨滴和雨丝抽象为几何图形，结合概念判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， ∴点运动形成线，对应数学原理为点动成线， 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是得出．连接，则，根据两点之间线段最短，得出当N在A，C之间时，最小，然后求出最小值即可． 【详解】解：如图，连接，则，    ∵两点之间线段最短， ∴当N在A，C之间时，最小，且最小值， ∴的最小值为， 故选：B． 10．【答案】B 【知识点】直线相交的交点个数问题、用代数式表示数、图形的规律 【分析】此题考查的是相交线，摸清数字的变化规律是解决此题的关键．根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题． 【详解】解：根据题意，得， 两条直线最多将平面分成4个区域，即， 三条直线最多将平面分成7个区域，即， 四条直线最多将平面分成11个区域，即，．．． 则， ， ．．． ∴， ∴ ＝ ， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 11．【答案】6或9或12 【知识点】两点间的距离 【分析】根据求出，根据点是线段的中点求出，点为的四等分点，分类讨论求得的值，即可求得． 【详解】∵， ∴， ∵点是线段的中点，， ∴， 点为的四等分点， ①点E接近B点， ∴， ∴． ②点E为中点， ∴， ∴． ③点E接近C点， ∴， ∴． 故答案为：6或9或12． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的计算． 12．【答案】 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了平面内直线的位置关系，充分考虑平面内三条直线不同的位置关系并分类讨论是解题的关键． 根据平面内互不重合的三条直线的位置分析判断即可． 【详解】解：在同一平面内，当三条互不重合的直线相互平行时，把平面分成4部分，分成的部分最少． 故答案为：． 13．【答案】1或3或5 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和与差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 点是线段的三等分点，分靠近和靠近两种情况；点的位置分在左侧和右侧，结合，计算的长度． 【详解】解：线段的长为6，点是线段的三等分点， 当点靠近点时，， 若点在点左侧，则点顺序为，； 若点在点右侧，则点顺序为，． 当点靠近点时，， 若点在点左侧，则点顺序为，； 若点在点右侧，则点顺序为，． 综上所述，的长为1或3或5． 14．【答案】8 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段n等分点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 15．【答案】 ③②①④ 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：正确的作图排序是：③②①④； ， 故答案为：③②①④；． 16．【答案】 如图所示，线段即为所求； 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点，则线段即为所求． 【详解】略 17．【答案】（1）6cm；（2）6cm 【知识点】两点间的距离 【分析】（1）根据AB、AC的长度可得出BC的长度，由点D、E分别是AC和BC的中点，可得出CD、CE的长度，将其代入DE=CD+CE中即可求出DE的长； （2）根据AB、AC的长度可得出BC的长度（用含a的代数式表示），由点D、E分别是AC和BC的中点，可得出CD、CE的长度（用含a的代数式表示），将其代入DE=CD+CE中即可求出DE的长． 【详解】（1）∵AB=12cm，AC=4cm， ∴BC=AB-AC=8cm， 又∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CD=AC=2cm，CE=BC=4cm， ∴DE=CD+CE=6cm； （2）∵AB=12cm，AC=acm， ∴BC=AB-AC=(12-a)cm， 又∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CD=AC=acm，CE=BC=(12-a)cm， ∴DE=CD+CE=a+(12-a)=a+6-a=6cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，找出CD、CE的长度；（2）根据各线段之间的关系，找出CD、CE的长度（用含a的代数式表示）． 18．【答案】当点O是四边形对角线的交点时，最小． 理由如下：  在四边形内任取一点P，连接， 那么， 即， 同理可得， 则． 而当O是的交点时，，， 此时距离之和． 故点O是线段的交点时，最小． 【知识点】两点之间线段最短 【分析】把距离之和拆分为和两部分，分别分析两部分的最小值条件．根据两点之间线段最短，可得如果点在线段上，那么的最小值为的长度；同理如果点在线段上，那么的最小值为的长度．结合两个条件，确定同时满足在和上的点即为所求点，再通过任取其他点，利用三角形三边关系验证该点的距离之和最小． 【详解】解：略． 19．【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算； （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； ②根据、，可知、，所以可得，从而可得； ③由，，知，，即得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）①因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $