专题23.2 解直角三角形（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

专题23.2 解直角三角形 教学目标 1.理解解直角三角形的含义，能运用边角关系求出未知元素 2.掌握坡度坡角的概念，能解决斜坡、传送带、登高问题 3.理解仰角、俯角概念，能解决测高、测距问题 4.理解方向角概念，能解决航海、航空中的定位问题 5.能将实际问题抽象为直角三角形，作高构造直角三角形求解 教学重难点 1.重点 理解方向角的概念，用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题 2.难点 建立直角三角函数模型，解决实际问题． 知识点01 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 三边关系：a2＋b2＝c2（勾股定理） 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 边角关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝ 已知两个元素（至少一边），可求其余三个元素 【即学即练】 1.只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个AB＝4cm的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝30° B．BC＝6cm，∠B＝30° C．BC＝3cm，∠A＝30° D．BC＝5cm，AC＝6cm 【答案】C 【分析】根据选项中所给条件，结合题中的AB＝4cm，依次进行判断三角形的形状和大小是否确定即可解决问题． 【详解】解：∵∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠C＝90°， 则三角形的形状确定． 再根据∠A的正弦值和余弦值，可求出BC及AC的长， 所以三角形的大小也确定． 故A选项不符合题意． 因为AB＝6cm，AB＝4cm，且它们的夹角为∠B＝30°， 所以依据全等三角形的判定定理“SAS”可知，此三角形的形状和大小都确定． 故B选项不符合题意． 因为∠A＝30°，BC＝3cm，AB＝4cm， 所以此时△ABC的两边和一边的对角确定， 则△ABC的形状和大小都不确定． 故C选项符合题意． 因为AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm， 所以依据全等三角形的判定定理“SSS”可知，此三角形的形状和大小都确定． 故D选项不符合题意． 故选：C． 2.如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，求出，则，求出，分别求出当时，当时的的度数，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴，则； 当时， ∴， ∴，则； ∵， ∴， 故选：A． 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意构造出直角三角形，再结合余弦的定义进行计算即可． 【解答】解：连接AM， 由所给网格可知，AM⊥BC． 因为小正方形的边长为1， 所以AB， BM． 在Rt△ABM中， cosB． 故选：D． 知识点02 坡度与坡角问题 坡角α：坡面与水平面的夹角 坡度（坡比）i＝tanα＝ 常见坡度如i＝1：2即h：l＝1：2 斜坡长s满足s2＝h2＋l2 【即学即练】 1.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（　　） A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m 【答案】D 【详解】解：在Rt△ABC中，因为坡比BC：AC=1：，BC=10 m 所以AC=10m 则AB=m 故答案为：D。 2.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为　 　米. 【答案】 【分析】延长AD与BC的延长线交于M， 过D作DH⊥BC于H，根据坡度可设DH=m，CH=m，根据CD的值结合勾股定理可得m的值，根据同一时刻的物长与影长成正比可得， 求出HM的值，由BM=BC+CH+HM可得BM，据此求解. 【详解】解：如图，延长与的延长线交于 过作于 设 则 因为同一时刻测得1米杆在地面上的影长为2米， 而 同理可得： 故答案为：. 3.座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为90cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到135°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　 　 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.41） 【答案】18.5 【分析】过点E，点E′分别作AB的垂线，分别与BA的延长线相交于点N、点M，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点E，点E′分别作AB的垂线，分别与BA的延长线相交于点N、点M， 在Rt△AE′M中，AE′＝90cm，∠E′AB＝135°， ∴∠E′AM＝180°﹣∠E′AB＝45°， ∴AM＝E'MAE'＝45（cm）， 在Rt△AEN中，AE＝90cm，∠EAN＝180°﹣150°＝30°， ∴ENAE＝45（cm）， ∴E'M﹣EN＝（4545）（cm）≈18.5cm， 即椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约18.5（cm）． 故答案为：18.5． 知识点03 仰角、俯角问题 仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角 同一竖直线上两点的仰角、俯角常结合水平距离列方程 解题关键：过观测点作水平线，构造两个直角三角形 【即学即练】 1.如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D．    【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ． 故则这栋楼的高度为． 故选：B．    2.在高为60米的小山上，测得山底一座楼房的顶端和底部的俯角分别为30°和60°，则这座楼房的高为　 　． 【答案】40米 【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD=BE=AB﹣AE即可解题． 【详解】解：作CE⊥AB， ∵∠DAB=90°﹣60°=30°， tan30°=， ∴CE=BD=×AB=20（米）， ∵∠ACE=30°， ∴AE=CEtan30°=20×=20（米）， ∴CD=BE=AB﹣AE=60﹣20=40（米）， 故答案为：40米． 3.如图所示，为了测量出某学校教学大楼 的高度，数学课外小组同学在 处，测得教学大楼顶端 处的仰角为45°；随后沿直线 向前走了15米后到达 处， 在 处测得 处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物 的高度约为　 　米.（参考数据： ， ，结果按四舍五入保留整数） 【答案】21 【分析】利用已知易证四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形；设AG=x米，由∠AEG=45°，可表示出AG，FG的长，利用解直角三角形建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据AB=AG+BG，可求出AB的长. 【详解】解：由题意可得四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形 设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15， 在Rt△AFG中， 解得： ∴ 故答案为：21 知识点04 方向角问题 方向角一般以正北或正南为基准，如北偏东30°、南偏西50° 解题时以观测点为原点建立方向标（上北下南左西右东） 常作南北方向或东西方向的垂线构造直角三角形 注意方向角的转换：两观测点互为观测时角度互余或互补 【即学即练】 1.如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据列出方程：，解此方程即可． 【详解】解：设点到直线距离为米， 在中，， 在中，， 由题意得，， 解得，（米， 故选：． 2.如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行　 　海里． 【答案】 【分析】作PC⊥AB于点C，首先在直角三角形APC中求得PC，然后在直角三角形中求得PB的长，最后除以时间即可得到乙货轮航行的速度． 【详解】解：作PC⊥AB于点C， ∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发， ∴∠PAC=30°，AP=4×2=8， ∴PC=AP×sin30°=8× =4． ∵乙货船从B港沿西北方向出发， ∴∠PBC=45°， ∴PB=PC÷ =4 ，∴乙货船每小时航行4 ÷2=2 海里/小时，故答案为2 ． 3.气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 ．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为（　 　 ），台风中心转折点C的坐标为（ 　 　）；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ 【答案】（1）；；（2）11小时 【分析】（1）先求出B的坐标，再求出点C的坐标； （2）过点C作于点D，构造直角三角形求出CA的长，然后再根据速度求出台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间。 【详解】（1）； （2）过点 作 于点 ，则 ， 在Rt 中， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时． 题型01 解直角三角形 【典例1】如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解Rt△CAD，由tan∠CAD== ，可设CD=x，则AC=2x，根据勾股定理得出x2+ （2x）2=（）2，求出x=1，那么CD=1，AC=2．再解Rt△CAB，由tan∠ABC= ，求出BC=4，然后根据BD=BC-CD即可求解. 【详解】∵在Rt△CAD中,∠C=90°,tan∠CAD= =12， ∴可设CD=x，则AC=2x， ∵AD=， ∴由勾股定理得：x2+(2x)2=()2， 解得x=1， ∴CD=1，AC=2. ∵在Rt△CAB中,∠C=90°，tan∠ABC=， ∴BC=4， ∴BD=BC−CD=4−1=3. 故选B 【变式1】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接DE，先证明△ADE为直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接DE， ∵DE，AD＝2，AE， ∴DE2+AD2＝2+8＝10＝AE2， ∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，在3×1的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】连接AD，依题意得AC＝BD＝2，AC∥BD，∠ADE＝45°，∠CDE＝45°，由勾股定理得AD＝CD，∠ADO＝90°，证明△AOC和△BOD全等得OC＝ODCD，然后在Rt△AOD中，根据正切函数的定义即可得出tan∠AOD的值． 【详解】解：连接AD，如图所示： ∵正方形网格中，小正方形的边长均为1， ∴AC＝BD＝2，AC∥BD， 由勾股定理得：AD，CD， ∵AD，CD是小正方形的对角线， ∴∠ADE＝45°，∠CDE＝45°， ∴∠ADO＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴△AOD是直角三角形， ∵AC∥BD， ∴∠OAC＝∠OBD，∠OCA＝∠ODB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ASA）， ∴OC＝ODCD， 在Rt△AOD中，tan∠AOD2． ∴tan∠AOD的值为2． 故选：B． 【变式3】如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点． （1）求线段AD的长． （2）求tan∠ABC的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用三角函数可计算出CE＝1，，计算出DE＝3，利用勾股定理计算出AD即可； （2）利用正切函数的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， 在Rt△ACE中，，CE＝AC•cos∠C＝2×cos60°＝1， ∵BC＝8，点D是边BC上的中点， ∴， ∴DE＝CD﹣CE＝3， 在Rt△ADE中，； （2）由（1）可知，，DE＝3， ∴BE＝BD+DE＝7， 在Rt△ABE中，． 题型02 解直角三角形的实际应用 【典例2】如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（ ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【详解】试题解析：由已知得： 在中， (海里) 故选D. 【变式1】一树干被台风吹断，折成与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则树干原来的高度为（ ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再根据直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】如图所示：AB=20米，∠ABC=30°， ∴AC=AB•tan30°=20×=（米）； BC=（米）， ∴AC+BC=+=20（米）． 故选B． 【变式2】如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（　　） A．asin50° B．atan50° C．acos50° D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答． 【详解】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝a，∠ACB＝50°，且tan50°＝， 则AB＝AC×tan50°＝a•tan50°， 故选B． 【变式3】小智同学在距大雁塔塔底水平距离为138米处，看塔顶的仰角为24.8°（不考虑身高因素），则大雁塔市约为________米．（结果精确到0.1米） 【答案】63.5 【分析】先作出图形，则AB=138米，∠A=24.8°，最后，在RtABC中，利用三角函数的定义可求得BC的长． 【详解】解：如图， 在RtABC中， AB=138米，∠A =24.8°， ∵=tan24.8°， ∴BC=ABtan24.8°≈138×0.46≈63.5（米）． 故答案为：63.5． 题型03 坡度与坡角问题 【典例3】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB． 【详解】∵=sinα， ∴AB=. 故选D. 【变式1】河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________． 【答案】 【分析】解直角三角形的应用-坡度坡角问题,，坡度i=垂直距离÷水平距离． 【详解】由勾股定理得,BC==24米， 则斜坡AB的坡度i=AC:BC=1:2.4， 故答案为1:2.4. 【变式2】如图所示，某村要设计修建一条引水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道底面宽0.8m，渠道内坡度是1：0.5．引水时，水面要低于渠道上沿0.2m，水流的横断面（梯形ABFE）的面积为1.3m2，求水渠的深度h． 【答案】水渠的深度h为1.2m 【分析】作AM⊥EF于M，BN⊥EF于N．则四边形AMNB为矩形．MN＝0.8m．根据已知求得AM的值，再加上0.2即可． 【详解】解：作AM⊥EF于M，BN⊥EF于N．如图， 四边形AMNB为矩形．MN=0.8m． 由题意得=1÷0.5=2． ∴AM=2ME． 设ME为x，则AM=2x． ∴EF=2x+0.8． ∴×（0.8+2x+0.8）×2x=1.3． 解得x=或x=﹣1.3（舍去）． ∴AM=2×=1． ∴h=1+0.2=1.2（m）． 答：水渠的深度h为1.2m． 【变式3】如图，已知斜坡MN的坡脚N处有一颗大树PN，太阳光线以45°的俯角将树顶P的影子落在斜坡MN上的点Q处．如果大树PN在斜坡MN上的影子NQ长为6.5米，大树PN高为8.5米，求斜坡MN的坡度． 【答案】． 【分析】根据题意过点Q作于点E，进而利用勾股定理得出EN的长，再利用 求出其坡比即可． 【详解】解：如图所示：过点Q作于点E， ∵太阳光线以45°的俯角将树顶P的影子落在斜坡MN上的点Q处， ∴， ∴PE=EQ， 设EN=x，则EQ=PE=8.5-x, 则, 解得：（不合题意舍去），， 故, 则斜坡MN的坡度为：． 题型04 仰角、俯角问题 【典例4】如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα= ， 则飞机到目标B的水平距离BC为（　　） A．5400米                         B．5400米                         C．5600米                      D．5600米 【答案】A 【分析】利用所给角的正切函数求得线段BC的长即可. 【详解】由题知，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=α ，AC=4500 ， ∵tanα=       ∴BC=5400. 【变式1】如图，由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，则山高为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】首先根据题意分析图形；过点作，的垂线，垂足分别为，，构造两个直角三角形与，分别求解可得与的值，再利用图形关系，进而可求出答案． 【详解】过点B作CD，AC的垂线，垂足分别为E，F， ∵∠BAC=30°，AB=1500米， ∴BF=EC=750米． AF=AB•cos∠BAC=1500×=750（米）． 设FC=x米， ∵∠DBE=60°， ∴DE=x米． 又∵∠DAC=45°， ∴AC=CD． 即：750+x=750+x， 解得x=750． 则CD=750（+1）米． 故选C． 【变式2】如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30米，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（　　）米． A．10，30 B．30，30 C．30﹣3，30 D．30﹣30，30 【答案】D 【分析】在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，延长AE交CD于F，则AF∥BC，求得∠AFD＝90°，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度． 【详解】延长AE交CD于F，则AF∥BC， ∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AF⊥DC， ∴∠AFD＝∠AFC＝∠ABC＝∠BCD＝90°． ∴四边形ABCF为矩形， ∴AF＝BC＝30m，FC＝AB． ∵∠DAE＝45°， ∴∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝30m， 在Rt△BCD中，DC＝BC•tan∠DBC＝30， ∴FC＝DC−DF＝30−30， 答：甲建筑物的高AB为（30−30）m，乙建筑物的高DC为30m． 故选D． 【变式3】在高米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为和，则两船间的距离是________（精确到米，） 【答案】 【分析】在直角△ABC中，根据AB、∠ACB可以求得BC的长度，在直角△ADB中，根据AB、∠BAD可以求得BD的长度，根据CD=CB-BD可以求得CD的长度，即可解题． 【详解】如图： 根据题意得：∠C=∠EAC=15°，∠ADB=∠EAD=75°， ∴∠DAB=15°， 在Rt△ABD中，tan∠DAB=， ∵tan15°=2-， ∴BD=AB•tan15°=400-200， 在Rt△ABc中，tan∠ACB=tan15°=， ∴BC==400+200， ∴CD=BC-BD=400， ∴两船间的距离是400． 故答案为400． 题型05 方向角问题 【典例5】某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=（　　） A．7海里 B．14海里 C．3.5海里 D．4海里 【答案】A 【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解． 【详解】过P作PDAB于点D. PBD=PAB+APB=90°-60°=30°, PAB=90-75=15,PAB=APB, BP=AB=7(海里) 故答案选A. 【变式1】如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 【答案】． 【详解】解：在Rt△APC中，∵AP= ，∠APC=45°，∴AC=PC=40． 在Rt△BPC中，∵∠ PBC=30°，∴BC=PCcot30°=40×= ， ∴AB=AC+BC=（海里）． 故答案为． 【变式2】如图，在笔直的海岸线l上有两个观测点A和B，点A在点B的正西方向，AB＝2km．若从点A测得船C在北偏东60°的方向，从点B测得船C在北偏东45°的方向，则船C离海岸线l的距离为_____km．（结果保留根号） 【答案】1+ 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D， 设CD=x， ∵∠CBD=∠BCD=45°， ∴BD=CD=x， 又∵AB=2， ∴AD=AB+BD=2+x， 在Rt中，∵∠CAD=30°， ∴AD= ∴ ∴CD=x=1+ 故答案为：1+ 【变式3】如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB． 【答案】15 【分析】此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BD⊥AC于D，求出∠DBC＝30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的长，由勾股定理求出AB即可. 【详解】解：由示意图可知：∠ACB=60°， 由平行线的性质可知∠ABC=180°﹣30°﹣75°=75°， ∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=45°，BC=60×=30（海里）， 过B作BD⊥AC于D， 则∠BDC=90°，∠DBC=30°， ∴DC=BC=15海里， 由勾股定理得：BD=15海里， ∵∠A=45°，∠ADB=90°， ∴∠ABD=∠A=45°， ∴AD=BD=15海里， 由勾股定理得：AB=（海里）， 答：此时货轮距灯塔A的距离AB为海里． 1. 在中，，，，则边长为（ ） A. B. C.或 D.或 【答案】D 【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得和的长后即可求得线段的长． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 当为钝角三角形时，如图， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 由勾股定理得， ∴ ； 当为锐角三角形时，如图， ， 故选．   2.如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动， ．当小球向下滚动了米时，则小球下降的高度是         A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】C 【详解】 解：根据题意可得，小球向下滚动米时，小球下降的高度， 已知， 得，米， 故选.   3.已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为，如果它把一物体从地面送到离地面米高的地方，那么该物体所经过的路程是（ ） A.米 B.米 C.米 D.米． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】 如图：由题意得：斜坡的坡度：＝，＝米，， ∵ ， ∴ ＝米， ∴ 在中，（米）．  4.某河坝横截面如图，堤高米，迎水坡米，则迎水坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】首先根据勾股定理求出水平距离，再根据坡度垂直距离水平距离计算即可解答． 【详解】 解：∵ 堤高米，迎水坡米， ∴ ， ∴ 迎水坡的坡度是． 故选． 5.如图，把一台电视机（底面为矩形）放置于墙角的电视柜（其桌面为矩形）上，若，电视机长厘米，则的长为________厘米． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出进而利用锐角三角函数关系得出的长． 【详解】 解：∵ 矩形，， ∴ ， ∵ 厘米， ∴ 的长为：． 故答案为：． 6.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面的水平距离米，则旗杆的高度约为        （参考数据：，，） A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】B 【分析】如图延长交的延长线于，作于．则四边形是矩形．在中求出、，再根据，构建方程即可解决问题； 【详解】 解：如图，延长交的延长线于，作于． 则四边形是矩形． ∵ 在中，. 设，， 则有， ∴ ， ∴ ，，， . ∵ 在中，， ∴ ， 解得（米）. 故选. 7.在中，，，，则________度． 【答案】 【分析】由面积和边的长可求出边的长；再根据三角函数的值求． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ． ∴ ． 故答案为：. 8.如图，为测量旗杆的高度，在与距离为米的处测得旗杆顶端的仰角为，那么旗杆的高度约是________米（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】在直角三角形中，根据＝，＝即可求得的长． 【详解】 由题意知＝，＝， 故＝米， 9.在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的，如图，有一物体在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，物体的影长为米，在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为时，则物体的影长为________米；（结果保留根号） 【答案】 【分析】在中，依据正切函数求得的长，在中根据等角对等边即可求得． 【详解】 解；在中，∵ ， ∴ ， 在中，∵ ， ∴ ， ∴ （米） 故答案为． 10.如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌．小明在山坡的底部处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡垂直于视线，米，米，则这块宣传牌的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，）． 【答案】米 【分析】过分别作、的垂线，设垂足为、．分别在和中，通过解直角三角形求出、、的长，进而可求出即的长；在中，，则，由此可求出的长；根据即可求出宣传牌的高度． 【详解】 解：过作，交的延长线于，作于． 中，∵ ，， ∴ ，， ∴ ． 在中，∵ ，， ∴ ． 中，∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 答：宣传牌高约米． 故答案为米．   11.如图，一艘轮船以海里/小时速度从南向北航行，当航行至处时，测得小岛在轮船的北偏东度的方向处，航行一段时间后到达处，此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处．若海里，则轮船航行的时间为________． 【答案】小时 【分析】作于点，根据题意得：，，然后分别在中和中，求得和，从而求得线段的长，利用路程除以速度求得航行的时间． 【详解】 解：如图，作于点， 根据题意得：，， 在中， ∵ ， ∴ 海里，海里， 在中， ∵ ， ∴ ， ∴ 海里， ∵ 轮船的航行速度为海里/小时， ∴ 航行时间为小时， 故答案为：小时． 12.如图，在东西方向的海岸线上有、两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，同时乙货船从港沿西北方向出发，小时后相遇在点处，问乙货船每小时航行多少海里？ 【答案】乙货船每小时航行海里． 【分析】先作于点，根据甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，求出和，从而得出的值，根据乙货船从港沿西北方向出发，求出，得出的值，即可求出答案． 【详解】 解：作于点， ∵ 甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发， ∴ ，， ∴ ． ∵ 乙货船从港沿西北方向出发， ∴ ， ∴ ， ∴ 乙货船每小时航行海里/小时， 13. 如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长＝米，＝米，坡角＝，＝． （1）求段山坡的高度； （2）求山峰的高度．（，结果精确到米） 【答案】（1）400米；（2）541米． 【分析】（1）作于，如图，在中根据正弦的定义可计算出的长，从而得到的长； （2）先在中利用的正弦计算出，然后计算和的和即可． 【详解】 （1）作于，如图， 在中，∵ ， ∴ ＝＝， ∴ ＝＝； （2）在中，∵ ， ∴ ＝＝， ∴ ＝＝． 答：段山坡高度为米，山的高度约为米． 14.“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（　　）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98） A．200 B．250 C．300 D．540 【答案】B 【分析】根据坡度的概念和俯角的概念解答即可． 【详解】解：由题意得，∠EAC＝45°，EC＝100米， ∴AC＝EC＝100米， ∵BE的坡度为1：3， ∴BC＝3EC＝300米， ∴AB＝300＋100＝400米， 设DF＝x米， ∵BE的坡度为1：3， ∴BD＝3DF＝3x米， ∵∠DAF＝12°，tan12°≈0.2， ∴AD＝5DF＝5x米， 则8x＝400， 解得x＝50， ∴AD＝250米． 故选B． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.2 解直角三角形 教学目标 1.理解解直角三角形的含义，能运用边角关系求出未知元素 2.掌握坡度坡角的概念，能解决斜坡、传送带、登高问题 3.理解仰角、俯角概念，能解决测高、测距问题 4.理解方向角概念，能解决航海、航空中的定位问题 5.能将实际问题抽象为直角三角形，作高构造直角三角形求解 教学重难点 1.重点 理解方向角的概念，用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题 2.难点 建立直角三角函数模型，解决实际问题． 知识点01 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 三边关系：a2＋b2＝c2（勾股定理） 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 边角关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝ 已知两个元素（至少一边），可求其余三个元素 【即学即练】 1.只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个AB＝4cm的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝30° B．BC＝6cm，∠B＝30° C．BC＝3cm，∠A＝30° D．BC＝5cm，AC＝6cm 2.如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 知识点02 坡度与坡角问题 坡角α：坡面与水平面的夹角 坡度（坡比）i＝tanα＝ 常见坡度如i＝1：2即h：l＝1：2 斜坡长s满足s2＝h2＋l2 【即学即练】 1.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（　　） A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m 2.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为　 　米. 3.座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为90cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到135°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　 　 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.41） 知识点03 仰角、俯角问题 仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角 同一竖直线上两点的仰角、俯角常结合水平距离列方程 解题关键：过观测点作水平线，构造两个直角三角形 【即学即练】 1.如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D．    2.在高为60米的小山上，测得山底一座楼房的顶端和底部的俯角分别为30°和60°，则这座楼房的高为　 　． 3.如图所示，为了测量出某学校教学大楼 的高度，数学课外小组同学在 处，测得教学大楼顶端 处的仰角为45°；随后沿直线 向前走了15米后到达 处， 在 处测得 处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物 的高度约为　 　米.（参考数据： ， ，结果按四舍五入保留整数） 知识点04 方向角问题 方向角一般以正北或正南为基准，如北偏东30°、南偏西50° 解题时以观测点为原点建立方向标（上北下南左西右东） 常作南北方向或东西方向的垂线构造直角三角形 注意方向角的转换：两观测点互为观测时角度互余或互补 【即学即练】 1.如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）． A．米 B．米 C．米 D．米 2.如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行　 　海里． 3.气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 ．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为（　 　 ），台风中心转折点C的坐标为（ 　 　）；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ 题型01 解直角三角形 【典例1】如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在3×1的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式3】如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点． （1）求线段AD的长． （2）求tan∠ABC的值． 题型02 解直角三角形的实际应用 【典例2】如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（ ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式1】一树干被台风吹断，折成与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则树干原来的高度为（ ）米． A． B． C． D． 【变式2】如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（　　） A．asin50° B．atan50° C．acos50° D． 【变式3】小智同学在距大雁塔塔底水平距离为138米处，看塔顶的仰角为24.8°（不考虑身高因素），则大雁塔市约为________米．（结果精确到0.1米） 题型03 坡度与坡角问题 【典例3】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________． 【变式2】如图所示，某村要设计修建一条引水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道底面宽0.8m，渠道内坡度是1：0.5．引水时，水面要低于渠道上沿0.2m，水流的横断面（梯形ABFE）的面积为1.3m2，求水渠的深度h． 【变式3】如图，已知斜坡MN的坡脚N处有一颗大树PN，太阳光线以45°的俯角将树顶P的影子落在斜坡MN上的点Q处．如果大树PN在斜坡MN上的影子NQ长为6.5米，大树PN高为8.5米，求斜坡MN的坡度． 题型04 仰角、俯角问题 【典例4】如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα= ， 则飞机到目标B的水平距离BC为（　　） A．5400米                         B．5400米                         C．5600米                      D．5600米 【变式1】如图，由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，则山高为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30米，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（　　）米． A．10，30 B．30，30 C．30﹣3，30 D．30﹣30，30 【变式3】在高米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为和，则两船间的距离是________（精确到米，） 题型05 方向角问题 【典例5】某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=（　　） A．7海里 B．14海里 C．3.5海里 D．4海里 【变式1】如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 【变式2】如图，在笔直的海岸线l上有两个观测点A和B，点A在点B的正西方向，AB＝2km．若从点A测得船C在北偏东60°的方向，从点B测得船C在北偏东45°的方向，则船C离海岸线l的距离为_____km．（结果保留根号） 【变式3】如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB． 1. 在中，，，，则边长为（ ） A. B. C.或 D.或   2.如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动， ．当小球向下滚动了米时，则小球下降的高度是         A.米 B.米 C.米 D.米   3.已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为，如果它把一物体从地面送到离地面米高的地方，那么该物体所经过的路程是（ ） A.米 B.米 C.米 D.米． 4.某河坝横截面如图，堤高米，迎水坡米，则迎水坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 5.如图，把一台电视机（底面为矩形）放置于墙角的电视柜（其桌面为矩形）上，若，电视机长厘米，则的长为________厘米． 6.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面的水平距离米，则旗杆的高度约为        （参考数据：，，） A.米 B.米 C.米 D.米 7.在中，，，，则________度． 8.如图，为测量旗杆的高度，在与距离为米的处测得旗杆顶端的仰角为，那么旗杆的高度约是________米（结果保留整数）．（参考数据：，，） 9.在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的，如图，有一物体在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，物体的影长为米，在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为时，则物体的影长为________米；（结果保留根号） 10.如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌．小明在山坡的底部处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡垂直于视线，米，米，则这块宣传牌的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，）．   11.如图，一艘轮船以海里/小时速度从南向北航行，当航行至处时，测得小岛在轮船的北偏东度的方向处，航行一段时间后到达处，此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处．若海里，则轮船航行的时间为________． 12.如图，在东西方向的海岸线上有、两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发，同时乙货船从港沿西北方向出发，小时后相遇在点处，问乙货船每小时航行多少海里？ 13. 如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长＝米，＝米，坡角＝，＝． （1）求段山坡的高度； （2）求山峰的高度．（，结果精确到米） 14.“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（　　）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98） A．200 B．250 C．300 D．540 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $