专题22.3 相似三角形的性质（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，系统梳理对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等关键内容。承接相似三角形的判定，通过性质定理的证明构建知识体系，为解决线段计算、面积求解及比例证明问题提供学习支架。 资料采用“知识点梳理+即学即练+分层题型”设计，典例与变式结合，融入网格、坐标系等情境，培养学生几何直观与推理能力。课中助力教师实施分层教学，课后通过综合练习帮助学生巩固性质应用，查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题22.3 相似三角形的性质 教学目标 1.理解掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题； 2.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能 用来解决简单的问题。 教学重难点 1.重点 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方 2.难点 “相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比”的证明 知识点01 相似三角形的性质 如图：两个三角形相似，则有对应边成比例 ∵；∴ 如图；两个三角形相似，则有对应角相等 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上的中线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比的平方 ∵； ∴ 【即学即练】 1.若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（　　） A． B． C． D．不能确定 2.如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是　 　． 3.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为　 　． 题型01 利用相似三角形的性质求线段长度和角度 【典例1】如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【变式1】如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 【变式2】如图，已知中，，在中，，且，，则 时，图中的两个直角三角形相似． 【变式3】如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    题型02 利用相似三角形的性质求周长和面积 【典例2】如图，，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则下列等式一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【变式2】中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】如图，在平行四边形中，E为上一点，连接、，且、交于点F，，若的面积是4，则四边形的面积是 ．    题型03 利用相似三角形的性质证明比例关系 【典例3】如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，若，，，则的长为 .    【变式3】如图，在中，，点在边上，且，点是边上的点，当时，的长为 ． 题型04 网格及坐标系中的相似三角形 【典例4】如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等． (1)在图1中画，使点M，N均落在的边上． (2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形． 【变式1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 题型05 相似三角形的判定与性质综合 【典例5】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【变式1】如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 【变式2】如图， 在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD． （1）△ABC与△DEC相似吗?为什么? （2）若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=6，求EC的长． 【变式3】如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 1.两个相似三角形的相似比是，则它们的周长比是（　　） A． B． C． D． 2.如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（　　） A． B． C．或 D．无法确定 3.如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（　　） A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9 5.如图，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．4 6.如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（　　） A．18 B．27 C．72 D．81 7.如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8.如图，四边形是平行四边形，，则四边形的面积是（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 9.如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是 ． 10.如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是　 　． 11.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在方格纸的格点上．    (1)判断和是否相似，并说明理由． (2)，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似（要求写出所有符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）． 12.如图，将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得点C′与△ABC的内心重合，已知AC＝4，BC＝3，则阴影部分的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 13.如图，在中，D为边的中点，E为边上的任意一点，交于点O． （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.3 相似三角形的性质 教学目标 1.理解掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题； 2.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能 用来解决简单的问题。 教学重难点 1.重点 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方 2.难点 “相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比”的证明 知识点01 相似三角形的性质 如图：两个三角形相似，则有对应边成比例 ∵；∴ 如图；两个三角形相似，则有对应角相等 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上的中线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比的平方 ∵； ∴ 【即学即练】 1.若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案. 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长的比为， 故答案为：B 2.如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是　 　． 【答案】​​​​​​​ 【分析】由对应边的比得到面积比，进而求得的面积 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ，， 设，则，， ， ， ． 故答案为：． 3.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为　 　． 【答案】1：4 【分析】根据网格得到对应边的比，进而得到面积比 【详解】解：如图，设小方格的边长为1，E、F在格点上。 ∵△ABE、△DCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形， ∴∠ABE＝∠CDF＝45°，，， ∵BE//DF， ∴∠EBO＝∠FDO， ∴∠ABO＝∠CDO， 又∠AOB＝∠COD， ∴△ABO∽△CDO，（AAS） ∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2， ∴， 故答案为：1∶4． 题型01 利用相似三角形的性质求线段长度和角度 【典例1】如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 【变式1】如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”是解题的关键．首先求出线段、、的长度用表示，求出两个三角形对应边的比，进而证明，得出，问题即可解决． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由勾股定理得： ， ， 而 同理可证：，， ， 即， ， ， ， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，已知中，，在中，，且，，则 时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，当时，当时，然后利用比例性质求出对应的的长即可． 【详解】解：，，，， ， 当时， ，即， ； 当时， ，即， ， 故答案为：或． 【变式3】如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 利用相似三角形的性质求周长和面积 【典例2】如图，，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则下列等式一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答． 【详解】解：、， ， ，本选项错误； 、， ， ，本选项错误； 、， ， ，本选项错误； 、， ， ，本选项正确； 故选：． 【变式1】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵和分别是和的高，若， ∴其相似比为， ∴与的面积的比为． 故选：A． 【变式2】中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．根据题意做出图形，点、分别是、的中点，可得，，则可证得，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得的面积与的面积之比为，然后由三角形的周长比等于相似比，证得的周长与的周长之比为，选出正确的结论即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点，如图， ∴，， ∴，故正确； ∵，， 的面积与的面积之比为，故正确； 的周长与的周长之比为，故错误． 故选：C． 【变式3】如图，在平行四边形中，E为上一点，连接、，且、交于点F，，若的面积是4，则四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】根据四边形是平行四边形得到，得到，结合得到，即可得到，结合的面积是4即可得到四边形的面积，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设高的公比为k，底的公比为m， ∴，，，， ∵的面积是4， ∴， ∴， ∴四边形的面积是：， 故答案为：． 题型03 利用相似三角形的性质证明比例关系 【典例3】如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 【变式1】如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【变式2】如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【变式3】如图，在中，，点在边上，且，点是边上的点，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，求得是解题的关键． 分两种情况讨论，当，得，则，由，，求得，则；二是与不平行，且时，则，可证明是等边三角形，则，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 当时， ， ， ，， ， ； 当与不平行时，且时，则， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：或． 题型04 网格及坐标系中的相似三角形 【典例4】如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等． (1)在图1中画，使点M，N均落在的边上． (2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作相似图形和轴对称图形，熟练掌握相似的性质和轴对称的性质是解此题的关键． （1）利用相似图形的定义确定对应点的位置即可； （2）利用相似图形的定义和轴对称图形的定义确定对应点的位置即可． 【详解】（1）如图： 即为所求； （2）如图： 即为所求． 【变式1】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【变式2】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）①如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； ②如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①点如图所示， ； ②点如图所示， ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 题型05 相似三角形的判定与性质综合 【典例5】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． （）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （）先证明，再根据性质得出，由轴对称的性质可得，可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴ ，， 在和中， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式2】如图， 在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD． （1）△ABC与△DEC相似吗?为什么? （2）若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=6，求EC的长． 【答案】（1）相似；（2）EC=9 【分析】（1）先根据题意得到进而得到，再结合已知条件运用相似三角形的判定即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到进而得到，再结合已知条件代入即可求解。 【详解】（1）解：△ABC与相似，理由如下： （2）解：， . 又 . 【变式3】如图，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)[问题发现]当时，_____；当时，____； (2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明； (3)[问题解决]在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】(1) ； ； (2)没有变化，证明见解析； (3)． 【分析】（）利用等腰三角形的性质判断出， ，进而得出，得出，即可得出结论； 同的方法，即可得出结论； （） 利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论； （）判断出点在的延长线上时，最大，再求出 ，即可得出结论； 此题是考查了旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，的大小没有变化； 证明：在中， ∵，， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为， 在中，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1.两个相似三角形的相似比是，则它们的周长比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质（相似比等于周长比）即可求解。 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的周长比是， 故答案为：A 2.如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】设另一个三角形对应中线的长为 x，根据题意需要分两种情况讨论，再根据相似三角形对应中线的比等于相似比，列出方程，解出x即可. 【详解】解：设另一个三角形对应中线的长为 x ∴ 解得x=或 故答案为C. 3.如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，得出，，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 4.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（　　） A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案. 【详解】解：∵ △ABC∽△A'B'C' ∴△ABC与△A'B'C'的周长比为=BC：B'C'=AD：A'D'=10：6=5：3 故答案为：C 5.如图，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6.如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（　　） A．18 B．27 C．72 D．81 【答案】C 【分析】先证出△ADE∽△ABC，相似比为 ，再利用相似三角形的性质可得S△ABC=81，最后利用割补法求出四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72即可. 【详解】解：∵，， ∴△ADE∽△ABC，相似比为 ， ∴S△ADE：S△ABC=1：9， ∵S△ADE=9， ∴S△ABC=81， ∴四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72， 故答案为：C． 7.如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 8.如图，四边形是平行四边形，，则四边形的面积是（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据平行四边形性质得到AD//BC，及，进而得到八字型三角形相似，根据形似的性质对应边比例及面积比等于相似比的平方，，先求出，再根据等高，面积比等于底比，则，进而得出，，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形ABCD ∴， ∴， 故选：B． 9.如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是 ． 【答案】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解： ，， ， 与的周长之比是， 点A到的距离与点E到的距离之比是， 故答案为：． 10.如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是　 　． 【答案】​​​​​​​ 【分析】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ，， 设，则，， ， ， ． 故答案为：． 11.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在方格纸的格点上．    (1)判断和是否相似，并说明理由． (2)，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似（要求写出所有符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)；； 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，理解题意，根据勾股定理计算边的长度，并理解“三边对应成比例，两三角形相似”是关键． （1）先利用勾股定理计算出两个三角形的所有边长，通过计算对应边的比得到，再根据相似三角形的判定方法即可得到； （2）求以D，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边是否成比例，便可判定是否符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】（1）解：， 理由：根据题意，得，，， ，，， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得，，， ，，， ∴， ∴； 同理，；； 如图，   ． 12.如图，将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得点C′与△ABC的内心重合，已知AC＝4，BC＝3，则阴影部分的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由三角形面积公式可求C'E的长，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点C'作C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC，并延长C'E交A'B'于点F，连接AC'，BC'，CC'， ∵点C'与△ABC的内心重合，C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC， ∴C'E=C'G=C'H， ∵S△ABC=S△AC'C+S△AC'B+S△BC'C， ∴ AC×BC= AC×CC'+ BA×C'E+ BC×C'H ∴C'E=1， ∵将Rt△ABC平移到△A'B'C'的位置， ∴AB∥A'B'，AB=A'B'，A'C'=AC=4，B'C'=BC=3 ∴C'F⊥A'B'，A'B'=5， ∴ A'C'×B'C'= A'B'×C'F， ∴C'F= ， ∵AB∥A'B' ∴△C'MN∽△C'A'B'， ∴C阴影部分=C△C'A'B'× =（5+3+4）× =5. 故答案为：A. 13.如图，在中，D为边的中点，E为边上的任意一点，交于点O． （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）取中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，进行等量替换可得，即，即可求出答案. （2）取中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，进行等量替换可得，即，即可求出答案. （3）取中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，进行等量替换可得，即，即可求出答案. 【详解】（1）解：如图所示，取中点F，连接， ∵D为边的中点，F为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，取中点F，连接， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，取中点F，连接， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $