第23章 解直角三角形高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第23章解直角三角形 ]高频考点突破 考点一锐角三角函数的概念 典例1如图，直线11亿2∥L3∥4，相邻两条 平行直线间的距离都是1.若正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则tana= C (典例1图) 分析 设AB与l2的交点为E.根据平行线分线 段成比例定理，得AE=BE=7AB;根据正方 形的性魔，得m乙AB-能-：粮搭两直 线平行的性质，得1am&=tan∠ADE=2 解答：.四边形ABCD是正方形，.AD= AB,∠A=90°.l1∥L2∥l3∥l4,相邻两条 平行直线间的距离都是1，.AE=BE= 号AB,∠a=∠ADE.AE=号AD. .AE_1 AD=2··tan∠ADE=AE=1 =AD=2 tana=tan∠ADE= 小结 当要求角的三角函数值不易直接求出时，可 通过平行线的性质、等角或同角的余角（补角）相 等、等腰三角形、全等三角形或相似三角形的相 关知识，将要求的角转化为与它相等的角，再根 据等角的三角函数值相等求解. 20 聚焦高频考点，各个击破 对应练习 1.[2026安庆段考]如图，在菱形ABCD 中，E为边CD上一点，点D关于AE的 对称点F在BE上.若AD=6,DE=2, 则BF的长为 ,sin∠DAE的值 为 (第1题) 考点二特殊角的锐角三角函数 典例2计算： 2sin60°-cos60 (1) tan260°+4cos45 (2)一题多解 √1-2tan60°+tan60° sin245°+cos245. 分析 (1)将特殊角的三角函数值分别计算出 来，再化简；(2)先开方，再代入特殊角的三角 函数值计算 2 解答：(1)原式 (3)2+4× 2 3+2√2 3-22 =3-2√2」 (3+2W2)(3-2√2) (2) 解法一 原式=√(1-tan60)产十 =am60-1+(2） 停5-1++. 解法二 原式=√(1-tan60)2十1= tan60°-1+1=√3 小结 (1)√(1一tan60)2是一个非负数，不要错 写成1-tan60°. (2)sin245°十c0s245°也可以根据sin2a+ cos2a=1直接得出. 对应练习 2.计算： (1)2cos230°-√3sin60°+ tan 45 tan60°-2cos45 (2)√Jcos230°-2cos30°+1+|tan60° tan45°. 考点三解直角三角形 典例3一题多解如图①，在四边形ABCD 中，∠ABC=120°，BA⊥AD,BC⊥CD.若 AB=4,CD=5√3，求四边形ABCD的 面积. (典例3图①) 第23章解直角三角形 分析 思维导图如下： 割→Sa造利ABcn=S△4DE+S号ABCE 如图② 作辅 、助线 计算 (补→Sa边5ABm=S△cE-S△BE 如图③ 解答：解法一如图②，过点A作AE⊥CD 于点E,过点B作BF⊥AE于点F. .BC⊥CD,∴.∠BFE=∠FEC=∠C= 90°..四边形BCEF是矩形..BC=EF, BF=CE,∠FBC=90°.∴.∠ABF= ∠ABC-∠FBC=120°-90°=30°.在 R△ABF中，AF=)AB=号X4=2, ∴.BF=AB·cos∠ABF=4Xcos30°= 2√5.∴.CE=BF=2√3，DE=CD-CE= 55-2√5=33..BA⊥AD,AE⊥CD, .∠AED=90°，∠DAB=90°，则∠D= 360°-∠DAB-∠ABC-∠C=60°..在 Rt△ADE中，AE=DE·tanD=33X tan60°=9.∴.BC=EF=AE-AF=9 2=7.∴.S四边形ABCD=S△ADE十S梯形ABCE= 2DE·AE+2(BC+AE)·CE=号X 35×9+2×(7+9)×2w3=59 2 解法二如图③，延长DA,CB交于点E. ∠ABC=120°，.∠ABE=180° 120°=60°.又BA⊥AD,.∠E=90° 60°=30°.，AB=4,∴.在Rt△ABE中， AB 4 AE= tanE-tan30=43.在Rt△DCE 中.∠E=30,CE=CD 53 tan E tan 30 6=15. 21 数学（沪科版）九年级上 SAE=合AB·AE=号X4X45 1 83SACDE-2CECD-2X15X53- 75√3 2 :.Sa边形ABD=SADE一SAAE= 75√3 -83= 59√3 2 2 ② ③ (典例3图) 小结 对于不规则的图形，通常可用割补法求其面 积对于含特殊角的三角形的割补，要将特殊角 构造在直角三角形中.若没有特殊角，而题目中 已知某些角的锐角三角函数值时，也要将这些角 构造在直角三角形中 对应练习 3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 5,BC=1,P为△ABC内一点， ∠BPC=90°，连接AP )若PB=?求线段AP的长. (2)若tan∠PBA= 求∠APB的 3 度数 (第3题) 22 考点四 解直角三角形的应用 典例4[2026蚌埠一模]如图①，为了测量 公园一荷花池的宽度AB,选定观测点C, D,已知点C在点A的北偏西22.6°方向上， 点D在点B的北偏东30°方向上，CA= 65m,CD=80m,∠BDC=90°，求荷花池的 宽度AB结果精确到1m,参考数据： sin22.6°≈ 12 3,cos2.6°≈13，tan22.6°≈ 23≈1.7小 北 北 D D ·东 ·东 GP 130 22.6 30 22.6 ① ② (典例4图) 分析 (1)过点C作CE⊥AB,过点D作DF⊥ AB,过，点C作CG⊥DF,构造矩形与直角三角 形.(2)在Rt△ACE中，由三角函数得AE= 25m,CE=60m,结合∠CDF=60°求得DF= 100m,算出BF,EF,进而求解AB. 解答：如图②，过点C作CE⊥AB于点E,过 点D作DF⊥AB于点F,过点C作CG⊥ DF于点G,则四边形GFEC是矩形.在 Rt△ACE中，∠CEA=90°，∠ACE= 22.6,.AE=AC·sin22.6≈65×13 25(m),CE=AC·cos22.6°≈65X1 2 60(m).由题意，得∠DBF=60°， .∠BDF=30°..∠BDC=90°， .∠CDF=60°.在Rt△CDG中，CG= CD·sm60=80×复=405(m).G 2 CD·cos60°=80×2=40(m).”四边形 GFEC是矩形，.EF=CG=40√3m, GF CE=60 m..'DF DG+GF 100m.在Rt△BDF中，BF=DF· ian∠BDF-SDF= 100w3 3 m,.'AB= BF+EF +AE 1003 3 十405十25≈ 150(m).∴.荷花池的宽度AB约为150m. 小结 解直角三角形时，常常将不规则图形转化为 直角三角形求解.题目中给的参考数据能帮助我 们找到要构造的直角三角形，将所给参考角放在 直角三角形中，然后利用线段之间的关系求解 对应练习 4.2025年春节联欢晚会上，16个人形机器 人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈 《秧BOT》.如图①是其动作1的示意图， 胳膊AB=40cm,OB=30cm,旋转的手 绢近似圆形，半径OD=20cm,手绢OD 与手臂OB始终保持垂直（参考数据： sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40， sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92). (1)若肘关节点B与肩关节点A之间的 竖直高度为16cm,即BF=16cm,求肘 关节角∠ABO的度数. 综合素养提升 1.[2026六安段考]比较tan50°，cos10°，sin7 A.tan50°<cos10°<sin70° C.sin70°<tan50°<cos10° 2.[2026宣城期末]已知公式sin(a十3)=sin A.6+② B.6-② 4 4 第23章解直角三角形 (2)在(1)的条件下，如图②，机器人手臂 绕肩关节点A向下旋转90°，即 ∠BAB′=90°，同时调节肘关节角 ∠ABO'=90°，完成动作2.问此时手绢 端点D'与机器人身体AE的水平距离， 即DG的长度为多少？ COD COD B B O' Gh---3D 机器人 机器人 ① ③ (第4题) 强化综合运用，融会贯通 0°的大小关系是 () B.tan50°<sin70°<cos10° D.sin70°<cos10°<tan509 xcos3+cos asin3,则sin75的值为() C1+5 4 D.3-1 2 23数学（沪科版）九年级上 1 2 S△GE 1 2 6 3 SANAC ⑤(1)由题意可知，四边形AOEC是矩形，.AC=EO, ∠CAO=∠AOE=90°.∴.∠EOF=180°-∠AOE=90°. .∠CAO=∠EOF.:AO=OF,∴.△CAO≌△EOF (SAS).∴.∠COA=∠EFO.∴.CO∥EF.∴.CO与EF没 有交点，此时“不成像”.(2)由题意可知，CA⊥AB, DB⊥AB,MN⊥AB,OA=u=8cm,∴.∠CAO= ∠DBO=∠EOF=90°.：∠COA=∠DOB,∴.△CAOn △D0器品即号高÷B0=12am像距 v为12cm.(3)由题意可知，CA⊥AB,DB⊥AB, ∴.∠CAO=∠DBO=90°.：∠COA=∠DOB, △ca0n△DB0院-号即原-点10 3BD.DB⊥AB,MN⊥AB,∴.∠DBO=∠EOF=90° :∠EO=∠DFB.△ErO△DFB.R- 10 5 10 DB08-10 DB-3BD-10 BD-19 cm .BO=3BD=30cm..像距v为30cm,像BD的长为 10cm. ⑥(1)：四边形ABCD是菱形，∴.ABCD..∠D+ ∠BAD=180.,∠AHF=∠D,∠FAE=∠BAD, ∠AHE+∠AHF=180°，∴.∠FAE=∠AHE. 巴∠AEH=∠FEA,△AHEn△FAE.&AE-PF, .AE=HE·EF.(2)①如图，连接AC.,四边形 ABCD是菱形，∴.∠ABC=∠D,AB∥CD,AD=CD= AB=BC.,∠D=60°，∴.△ACD是等边三角形.，E为 CD的中点，∴.DE=CE,AE⊥CD..∠EAD=30°.由 (1),得AE2=HE·EF=27.在Rt△ADE中，∠EAD 30°，∴，AD=2DE.根据勾股定理，得AD=DE2+AE, 即(2DE)2=DE2+27..DE=3.∴.CE=3,AD=CD= 6.:∠EAF=∠BAD,∴.∠BAF=∠DAE=30°.又 :∠ABC=∠D=60°，.∠AFB=60°-30°=30°= ∠BAF.∴.FB=AB=BC.BG∥CE,∴.△BFG∽ △CFE,0g=G=cE=是©如 图，设AC交EF于点O.:△AHE△FAE, .∠EAH=∠EFA.又'∠EAC=∠AFB=30, .∠HAO=∠CFO.:∠AOH=∠FOC,∴.△AHO∽ 30 △r0080-8.8器-8：∠0F=∠0c. ∴.△AOF∽△HOC.∴.∠CHO=∠FAO.AB∥CD, ∴.∠BAD=180°-∠D=120°.：△ACD是等边三角形， ∴.∠CAD=60°..∠CAB=120°-60°=60. ∴.∠FAO=30°+60°=90°.∴.∠CH0=90°，即CH LEF. (第6题) 第23章解直角三角形 [高频考点突破 045 如图，连接AF.:点D关于AE的对称点F 在BE上，∴.△AFE≌△ADE.∴.FE=DE=2,AF= AD=6,∠D=∠AFE,∠FAE=∠DAE.又，四边形 ABCD是菱形，∴.AB=BC=AD=AF=6,AD∥BC, AB∥CD..∠BEC=∠ABF=∠AFB=180°-∠AFE= 180°-∠D=∠C.∴.BE=BC=6.∴BF=BE-FE=4. 过点A作AM⊥BF于点M,过点F作FN⊥AE于点N, BM -FM-7 BF-2,AM -/AB-BV √62-2=4V2.又EM=BE-BM=6-2=4, .AE=√AMP+EM=√(4W2)2+42=43. :SAE=AE·FN=号FE·AM,FN A=2x42=3.∴·sin∠DAE=sin∠FAE月 AE 4W3 FN_6 AF=9: D (第1题) 1)原式=2×（停）°- 2+、 1 =2X 8-2x2 √+2 、=3+ √2.(2)原式=√(cos30°-1)+|tan60°-tan45|= 1s30-1+1am0-m451=9-1+w5-1 1-+-1 ③(1)如图①，过点P作PH⊥AB于点H.:∠BPC= 90,PB=名，x=1.s∠CP=设= ∴.∠CBP=60°.：∠ABC=90°，∴.∠PBH=90°-60°= 30PH-PB-1BH-PHAB-35, 4 .AH-AB-BH-AP-FAF 4 2 (2)如图②，过点A作AT⊥BP交BP的延长线于点T. :m∠T-部-号AB=5,易得AT=9 7 BT=2②.：∠BCP+∠CBP=90,∠CBP+ ∠ABP=90,∠BCP-∠ABP.tan∠BCP=P5= PC S:BC=1,易得PB=I.PT=BT-PB 2 7 T.&m∠APT=识=E.:∠AT=0 7 ∴.∠APB=180°-∠APT=120° ⊙ ② (第3题) ④(1)在Rt△ABF中，AB=40cm,BF=16cm, s乙ABF-裙-a4:ms成40,0乙ABF 66.4°.∴.∠AB0=180°-66.4°=113.6°.(2)如图，过 点A作OB的垂线，交OB的延长线于点F,过点B'作AE 的垂线，交AE于点M,过点O作GD'的垂线，交GD'于点 H,交MB的延长线于点N,则四边形GHNM是矩形.由 (1)知，∠ABF=66.4°，∴.∠BAF=90°-∠ABF=23.6°， :∠BAB'=∠FAM=90°，∴.易得∠MAB'=∠BAF= 23.6°.：∠AMB'=∠AB'O=∠B'NO'=∠B'OD'= 90°，∴.∠HOD'=90°-∠B'ON=∠NB'O=90°- ∠ABM=∠MAB'=23.6°.由旋转的性质可知，O'D'= OD=20 cm,AB'=AB=40 cm,O'B'=OB=30 cm.. 边形GHNM是矩形，∴.GH=MN.∴.D'G=GH+ 附：答案与解析 D'H=MN D'H=MB'+B'N+D'H AB'. sin23.6°+O'B′·cos23.6°+O'D'·sin23.6°≈40X 0.40+30×0.92+20×0.40=16+27.6+8=51.6(cm), 即D'G的长度为51.6cm. COD B (第4题) 综合素养提升】 ①Dsin70°=c0s20°且10°<20°，∴.cos10°> cos20°=sin70°，即sin70°<cos10°..'tan45=1,50> 45°，.tan50>1.又.cos10°<1，.cos10°<tan50. .sin70°<cos10°<tan50°. ②Asin75°=sin(30°+45)，∴.sin75°=sin30°· s45+m05-号×9+号×95+2 2 2 2 4 ③A(3tanA-3)2+|2cosB-3|=0, 3tan A=3,2cos B-/3.tan A=3,cos B=3 21 ∴.∠A=60°，∠B=30°.∴.∠C=180°-∠A-∠B=90° ∴.△ABC是直角三角形 ④A如图，过点A作AE⊥BC,AF⊥BD,垂足分别为 E,F,则四边形AEBF是矩形，∴.BE=AF,AE=FB. 斜坡AD的坡度i=3:4,∴.设AF=3x米，DF= 米心AD=5x米.：AD=6米，5=6，即x二号 B版=AF=S米，DF号米：BD=5米AE FB=DF+BD=兰+5=号（米），.由题意，得∠CAE= 60,.CE=AE·tan∠CAE=49,5米..BC=BE+ CE-49,5+18米，即古塔C的高度 493+18米. 5 5 D B (第4题) 如图，延长BC交格点于点M,连接AM.·每个 31