专题23.1 锐角三角函数（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

专题23.1 锐角三角函数 教学目标 1.理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中正确求值 2.掌握锐角三角函数的增减性，能比较同名及异名三角函数值的大小 3.掌握同角三角函数关系sin2A＋cos2A＝1及tanA＝ 4.掌握互余两角关系sinA＝cos(90°－A)，能灵活转化 5.熟记30°、45°、60°的三角函数值并能进行混合运算 教学重难点 1.重点 能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 2.难点 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 知识点01 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝ cosA＝＝ tanA＝＝ 关键：先分清对边、邻边、斜边，再代定义 【即学即练】 1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,则cos C=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【答案】D 【详解】在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,由勾股定理得BC===4,所以cos C==.故选D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小为原来的,则sin A的值 (　　) A.放大为原来的5倍　　　B.缩小为原来的　　　C.不变　　　D.无法确定 【答案】C　 【详解】∵∠C=90°,∴sin A=, ∵△ABC的三边都缩小为原来的,∴∠A的对边与斜边的比不变, ∴sin A的值不变.故选C. 3.如图，在矩形中，连接，点E是上一点，连接，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，再由，求得，即可求得的长为8，根据勾股定理求得的长为10，即可求得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 知识点02 锐角三角函数的增减性 在0°～90°范围内 sinα随α增大而增大 cosα随α增大而减小 tanα随α增大而增大 当α＝45°时sinα＝cosα； α＜45°时sinα＜cosα， α＞45°时sinα＞cosα 【即学即练】 1.比较大小：sin47° 　 　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】> 【分析】根据正弦函数是0°～90°范围内是单调递增的，即可得到结果． 【解答】解：∵0°＜43°＜47°＜90°， ∴sin43°＜sin47°， 即sin47°＞sin43°， 故答案为：＞． 2.已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．60°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 【答案】A 【分析】根据特殊锐角三角函数值得出sin60°，进而得到sinα＞sin60°，再根据三角函数的增减性进行解答即可． 【解答】解：∵sin60°，而sinα， ∴sinα＞sin60°， ∴α＞60°， 又∵α为锐角， ∴α＜90°， ∴60°＜α＜90°， 故选：A． 3.已知α为锐角，当15°≤α≤55°时，sin α的最大值为（　　） A．sin 15° B．sin 55° C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数在锐角范围内的角度越大，正弦值越大．因此，在15°到55°的区间内，当α取最大值55°时，sin α取得最大值． 【解答】解：已知15°≤α≤55°，当α取最大值时，即α＝55°，sin α的值最大，即最大值为sin 55°． 故选：B． 知识点03 同角与互余两角的三角函数关系 同角平方关系：sin2A＋cos2A＝1 同角商数关系：tanA＝ 互余关系：sinA＝cos(90°-A)，cosA＝sin(90°-A)，tanA·tan(90°-A)＝1 已知一个三角函数值，可求其余两个 【即学即练】 1.在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据sin2A+cos2A＝1代入计算即可． 【详解】解：∵sinA，sin2A+cos2A＝1， ∴cosA， 故选：B． 3.如图,AB∥CD,∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E,若cos∠1=,则∠2的正切值为　　　　.  【答案】 【详解】∵AB∥CD,∴∠ABD+∠CDB=180°.∵BE是∠ABD的平分线,∴∠1=∠ABD.∵DE是∠CDB的平分线,∴∠2=∠CDB,∴∠1+∠2=90°.∵cos∠1=,∴∠1=30°,∴∠2=60°,∴tan∠2=tan 60°=. 知识点04 特殊角三角函数值与计算 sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝ sin45°＝cos45°＝，tan45°＝1 sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝ 混合运算：先代值，再按实数运算法则计算 【即学即练】 1.计算|1-tan 60°|的值为(　　) A.1-　　　B.0　　　C.-1　　　D.1- 【答案】C　 【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】|1-tan 60°|=|1-|=-1.故选C. 2.在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是　 　 ． 【答案】直角三角形 【分析】先根据非负数的性质确定，继而求出∠A＝60°，∠C＝30°，即可判断三角形ABC的形状． 【详解】解：∵， ∴∠A＝60°，∠C＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴三角形ABC的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 3.计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°＝　 　 ． 【答案】 【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 题型01 锐角三角函数的定义及性质 【典例1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5 ，BC=3，则tanB的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可． 【详解】∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴tanB==． 故选B． 【变式1】在中，，若，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解. 【详解】在中，，若，则∠B=30° 故∠A=60°，所以sinA= 故选：C 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=3，则cosA=__． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AC的长，再利用锐角三角函数关系求出答案． 【详解】解：∵∠C=90°，a=2，b=3， ∴AB=c= ∴cosA=. 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【详解】由Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，得 cosA=sinB=， 故选C． 题型02 特殊角三角函数值与计算 【典例2】在中，，当，时，的值是（ ） A．c=4 B．c=5 C．c=6 D．c=7 【答案】C 【详解】解：在中，，当， 则sinA=sin60°=， 则c=6， 故选C． 【变式1】中，，于点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由已知中，，求出，，，由，在中求得的长． 【详解】∵∠A：∠B：∠C=l：2：3， ∴∠A=180× =30°， ∠B=180°×=60°， ∠ACB=180°×=90°， 又∵CD⊥AB， ∴在Rt△BCD中， CD=BC•sin∠B=a． 故选B． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____． 【答案】 【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可． 【详解】解：∵， ∴∠A＝60°， ∴． 故答案为． 【变式3】计算________． 【答案】1 【详解】解：原式=．故答案为1． 1. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先画出图形，再由锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】 解：． 故选． 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ） A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55° 【答案】B 【分析】根据互为余角三角函数，可得∠A的度数，根据角的正弦，可得答案． 【详解】解：由∠A=90°﹣35°=55°， 由正弦函数的定义，得 sin55°=， BC=ABsin55°=7sin55°， 故选：B． 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等可得∠A=∠DCB，从而可得cosA=cos∠DCB，利用一个锐角的余弦=逐一判断即可. 【详解】解：∵CD是斜边AB上的高， ∴∠BDC=90°， ∴∠B+∠DCB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠DCB， ∴cosA= 故答案为：A． 4.等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作AD⊥BC于D点，利用等腰三角形的性质可得CD=5cm，AB=AC，从而可得AB=AC=13cm，由cosC=即可求出结论. 【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点． 则CD=5cm， AB=AC=13cm． ∴底角的余弦= ． 故答案为：C． 5.在以O为坐标原点的直角平面内有一点A(2,4)，如果AO与x轴正半轴的夹角为a，那么a的余弦值为　 　. 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式可求出OA的长，由余弦函数的定义即可求出结论. 【详解】解：根据题意可得 所以 故答案为： 6.下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】 解：、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 7. ________． 【答案】 【分析】将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可． 【详解】 解：原式． 故答案为：． 8. 、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的增减性解答． 【详解】 解：∵ 、都是锐角，且， ∴ ， ∴ ，，． 故选． 9. 、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据的关系，可把余弦转化成正弦，根据正弦、正切在上是增函数，可得答案． 【详解】 解：， 正弦、正切在上是增函数， ， ， ∴ ， 故选：． 10.已知在中，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】把代入，即可求出答案． 【详解】 解：∵ ，， ∴ ， ∵ 为锐角， ∴ ． 故选． 11.在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】根据正切定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切可得，再代入进行计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 12.计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|． 【答案】6 【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式=3+1+2×+2﹣ =4++2﹣ =6． 13.如图，方格纸中有三个格点A，B，C，则sin∠ABC=　 　. 【答案】 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，利用割补法先求出△ABC的面积，再根据S△ABC= ×BC×AD，即可求出AD的长，利用sin∠ABC= 即可求出结论. 【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC， ∵S△ABC=20﹣ ×2×5﹣ ×2×4﹣ ×1×4=9， S△ABC= ×BC×AD=9， ∴ ×2 AD=9， 解得：AD= ， 故sin∠ABC= = = ． 故答案为： ． 14.如图，在长和宽分别是8和7矩形内，放置了如图中5个大小相同的正方形，则正方形的边长是__________. 【答案】 【分析】设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题． 【详解】解：设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ， 在Rt△ACB、Rt△A′DF、Rt△OHK中， GK=GJ+JK=2xsinθ+xcosθ， KH=2xcosθ， ∴GH=GK+KH=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=8，① 同理得出EF=ED+DJ+JF=3xcosθ+xsinθ=7，② 解得xsinθ=1，xcosθ=2； 两边平方相加得x2=5， 所以正方形的边长x=． 故答案为：． 15.如图所示的网格是正方形网格， ．（填“”，“＝”或“”） 【答案】 【分析】解法一：取点、，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据＝，＝，来作判断； 解法二：作辅助线，构建三角形及高线，先利用面积法求高线，再分别求、的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断． 【详解】 解法一：在上取一点，在网格上取点，构建为等腰直角三角形， ∵ ，， ∴ ； 解法二：连接，，过作于， ＝， ， ， 中，， 中，， ∵ 正弦值随着角度的增大而增大， ∴ ， 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.1 锐角三角函数 教学目标 1.理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中正确求值 2.掌握锐角三角函数的增减性，能比较同名及异名三角函数值的大小 3.掌握同角三角函数关系sin2A＋cos2A＝1及tanA＝ 4.掌握互余两角关系sinA＝cos(90°－A)，能灵活转化 5.熟记30°、45°、60°的三角函数值并能进行混合运算 教学重难点 1.重点 能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 2.难点 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 知识点01 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝ cosA＝＝ tanA＝＝ 关键：先分清对边、邻边、斜边，再代定义 【即学即练】 1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,则cos C=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小为原来的,则sin A的值 (　　) A.放大为原来的5倍　　　B.缩小为原来的　　　C.不变　　　D.无法确定 3.如图，在矩形中，连接，点E是上一点，连接，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 知识点02 锐角三角函数的增减性 在0°～90°范围内 sinα随α增大而增大 cosα随α增大而减小 tanα随α增大而增大 当α＝45°时sinα＝cosα； α＜45°时sinα＜cosα， α＞45°时sinα＞cosα 【即学即练】 1.比较大小：sin47° 　 　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 2.已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．60°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 3.已知α为锐角，当15°≤α≤55°时，sin α的最大值为（　　） A．sin 15° B．sin 55° C． D． 知识点03 同角与互余两角的三角函数关系 同角平方关系：sin2A＋cos2A＝1 同角商数关系：tanA＝ 互余关系：sinA＝cos(90°-A)，cosA＝sin(90°-A)，tanA·tan(90°-A)＝1 已知一个三角函数值，可求其余两个 【即学即练】 1.在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 3.如图,AB∥CD,∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E,若cos∠1=,则∠2的正切值为　　　　.  知识点04 特殊角三角函数值与计算 sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝ sin45°＝cos45°＝，tan45°＝1 sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝ 混合运算：先代值，再按实数运算法则计算 【即学即练】 1.计算|1-tan 60°|的值为(　　) A.1-　　　B.0　　　C.-1　　　D.1- 2.在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是　 　 ． 3.计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°＝　 　 ． 题型01 锐角三角函数的定义及性质 【典例1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5 ，BC=3，则tanB的值是（ ） A． B． C． D． 【变式1】在中，，若，则的值为( ) A． B． C． D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=3，则cosA=__． 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值为（ ） A． B． C． D． 题型02 特殊角三角函数值与计算 【典例2】在中，，当，时，的值是（ ） A．c=4 B．c=5 C．c=6 D．c=7 【变式1】中，，于点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____． 【变式3】计算________． 1. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ） A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55° 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（　　） A． B． C． D． 4.等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5.在以O为坐标原点的直角平面内有一点A(2,4)，如果AO与x轴正半轴的夹角为a，那么a的余弦值为　 　. 6.下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 7. ________． 8. 、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10.已知在中，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 11.在中，，，，求的长． 12.计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|． 13.如图，方格纸中有三个格点A，B，C，则sin∠ABC=　 　. 14.如图，在长和宽分别是8和7矩形内，放置了如图中5个大小相同的正方形，则正方形的边长是__________. 15.如图所示的网格是正方形网格，_______．（填“”，“＝”或“”） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $