23.2 第3课时 坡度问题及其他应用-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（沪科版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形的坡度、坡角及直线与x轴夹角应用。通过建筑大坝等现实情境导入，联系已学解直角三角形知识，搭建从实际问题到数学模型的学习支架，引出坡度概念。 资料特色在于以铁路路基、平板车、油纸伞设计等现实问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过合作探究中的辅助线作法与推理计算，发展数学思维，提升推理与运算能力。直线与x轴夹角结合斜率，体现数形结合，帮助学生用数学语言表达联系，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供丰富实例与变式训练。

第3课时　坡度问题及其他应用 ◇教学目标◇ 　　1.会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题. 　　2.理解并掌握直线与x轴的夹角与直线斜率的关系. 　　3.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法. 　　4.使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义. ◇教学重难点◇ 教学重点 解决有关坡度的实际问题. 教学难点 理解坡度的概念和有关术语，直线与x轴夹角的含义. ◇教学过程◇ 一、情境导入 在现实生活中，经常会有建筑大坝、修地基等，它们的截面上底和下底不是同样宽的，侧面是有斜坡的，且倾斜程度是不一样的，这些在设计图纸上都要注明，以便施工时遵循. 二、合作探究 探究点1　与坡度、坡角有关问题 典例1　如图，铁路路基的横断面是梯形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5.求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°). ［解析］　过点C作CF⊥AD于点F，得 CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β. ∵BE＝5.8 m，， ∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)， DF＝2.5×5.8＝14.5(m). ∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5＝33.6(m). 由tan α＝i＝，tan β＝i'＝，得 α＝32°，β＝22°. 答：铁路路基下底宽约为33.6 m，斜坡的坡角分别约为32°和22°. 探究点2　其他应用 典例2　图1是建筑工地搬砖平板车示意图，图2是平板车停放在水平地面上时侧面示意图，车把手与车板组成线段AB，AB＝200 cm，车轮和车板相切于点D，车轮直径为53 cm，车轮和地面接触点为C，BC＝69.8 cm，求车把手A到地面的距离.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 20.8°≈0.355，cos 20.8°≈0.935，tan 20.8°≈0.380，sin 41.6°≈0.664，cos 41.6°≈0.748，tan 41.6°≈0.888) 图1　　图2 ［解析］　过点A作AE⊥BC于点E，连接OB. ∴∠AEB＝∠OCB＝90°. 在Rt△OBC中，OC＝＝26.5， ∵tan ∠OBC＝≈0.380， ∴∠OBC≈20.8°. ∵BD，BC都是圆的切线， ∴∠ABE＝2∠OBC＝41.6°. 在Rt△ABE中，AE＝AB·sin ∠ABE≈200×0.664＝132.8(cm). 答：车把手A到地面的距离约为132.8 cm. 变式训练　湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构其中≈0.618：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20 cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°.请问最少需要准备多长的伞柄？(结果保留整数，参考数据：≈1.732) ［解析］　过点B作BE⊥AH于点E. ∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝60°， ∴AE＝AB·cos 60°＝20×＝10， BE＝AB·sin 60°＝20×＝10. ∵BD＝CD，∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝45°，∴DE＝BE＝10， ∴AD＝AE＋DE＝10＋10. ∵≈0.618，∴≈0.618， 解得AH≈72. 答：最少需要准备72 cm长的伞柄. 探究点3　直线与x轴的夹角 典例3　已知直线y＝kx＋b经过点(－1，2)且直线向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为60°，求直线的表达式. ［解析］　∵k＝tan 60°＝， 由－＋b＝2，解得b＝2＋， ∴直线的表达式为y＝x＋2＋. 变式训练　设直线y＝kx＋b向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为α，则tan α＝　　　　.  ［答案］　k 三、板书设计 坡度问题及其他应用 1.坡度(坡比)问题 2.其他应用 3.直线与x轴的夹角 ◇教学反思◇ 　　在教学过程中要多给学生提供练习的机会，让学生自己来作辅助线.在解直角三角形时让学生讨论，各抒己见.在有多种方法时，让学生讨论哪一种方法更简单. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $