专题22.2 相似三角形的判定（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的判定这一核心知识点，通过类比三角形全等的条件引导学生猜想相似条件，系统梳理三边对应成比例、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等三个判定定理，并结合A字型、8字型等常见模型，构建从猜想探究到应用的学习支架。 该资料以类比思想驱动探究过程，发展学生推理意识，如通过全等三角形类比猜想相似条件。常见模型总结强化几何直观，帮助学生从图形结构中发现关系。题型涵盖网格、坐标系、动点问题，如动点问题结合动态变化培养应用意识，课中辅助教师分层教学，课后通过即学即练和变式题帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

专题22.2 相似三角形的判定 教学目标 1.类比三角形全等猜想三角形相似的条件； 2.掌握三角形相似的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三条边对应成比例两个三角形 相似； 3.在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。 教学重难点 1.重点 相似三角形的判定方法的探索，并会用判定方法进行简单的推理和计算 2.难点 灵活运用相似三角形的判定定理解决相关问题 知识点01 相似三角形的判定定理 相似三角形的判定 判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似 如图 ∵； ∴ 判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似 如图 ∵； ∴ 判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；； ∴ 【即学即练】 1.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 3.如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 知识点02 相似三角形的常见模型 1.“A”字型相似 如图1，中，，则 如图2，中，若∠AED=∠B，则 图1 图2 2.“8”字型相似 如图3，若，则 如图4，若∠A=∠D，则 图3 图4 3.子母型相似 如图5，中，点D在BC边上，若∠ADB=∠CAB，则 图5 4.射影定理 在RtABC中，∠ACB=90゜，CD丄AB于点D，则 （1） （2）AC2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=AD·BD 【即学即练】 1.如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 2.如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是　 　．（写一个即可） 3.如图所示，点在的边AC上，若要使与相似，可添加的一个条件是　 　.(只需写出一个) 题型01 相似三角形的判定 【典例1】如图，能使∽成立的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且．求证： （1）ΔDEF∽ΔBCD； （2）． 【变式2】如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点，且，则①；②.下列关于①②的判断，正确的是（　　）. A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【变式3】如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　） ①；②； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 相似三角形的常见模型 【典例2】如图，中，D、E分别是、上的点，且，．    (1)求证：； (2)若，求的长度 【变式1】如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．    (1)当，时，求的长； (2)求证：． 【变式2】如图，在平行四边形中，的角平分线分别与、交于点E、F．若，，求的值．    【变式3】如图，在中，为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型03 网格背景中的相似三角形 【典例3】如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【变式1】如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝ ． 【变式3】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 题型04 坐标系中的相似三角形 【典例4】如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【变式1】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【变式2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 题型05 相似三角形中的动点问题 【典例5】如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【变式1】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α． （1）证明△MPD∽△NPE． （2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置． （3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值． 【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？ 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts． 求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2.直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 3.如图，在中，为锐角，，，要在边上找一点，使，需添加一个条件，下列方案不正确的是（　　） A． B． C．平分 D． 4.下列条件中，能使△ABC和△DEF相似的条件是（　　）． A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF= B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1 C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6 D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3 5.如图，在△ABC纸片中，∠A＝72°，∠B＝38°．将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 6.如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（　　） A． B． C． D． 7.如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（　　） A． B． C． D． 8.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2) 9.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　 　． 10.如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为　 　时，△PBQ与△ABC相似． 11.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为　 　时，△ADP和△ABC相似. 12.如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接． （1）求证：平分； （2）求证：△EMC∽△MAB. 13.如图，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，且AD=2，BC=6，AB=7．P是线段AB上的一个动点．问：是否存在一点P，使以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若存在，求出PA的长；若不存在，请说明理由． 14.在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（　　） A． B． C． D． 15.如图 （1）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明） （2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD． （3）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，则DE的长为　 　． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.2 相似三角形的判定 教学目标 1.类比三角形全等猜想三角形相似的条件； 2.掌握三角形相似的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三条边对应成比例两个三角形 相似； 3.在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。 教学重难点 1.重点 相似三角形的判定方法的探索，并会用判定方法进行简单的推理和计算 2.难点 灵活运用相似三角形的判定定理解决相关问题 知识点01 相似三角形的判定定理 相似三角形的判定 判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似 如图 ∵； ∴ 判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似 如图 ∵； ∴ 判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；； ∴ 【即学即练】 1.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，由角的和差得，由相似三角形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， A.由两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似得，故不符合题意； B.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； C.无法判断，故符合题意； D.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； 故选：C． 2.如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 3.如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似， 熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得：， ， ， ①∵， ∴， ∴， 故①能判定； ②∵， ∴， ∴， 故②能判定； ③∵， ∴， 即两组对应边的比相等且相应的夹角相等， ∴， 故③能判定； ④， 对应边成比例但无法得到其夹角相等， 故④不能判定； 故答案为：①②③． 知识点02 相似三角形的常见模型 1.“A”字型相似 如图1，中，，则 如图2，中，若∠AED=∠B，则 图1 图2 2.“8”字型相似 如图3，若，则 如图4，若∠A=∠D，则 图3 图4 3.子母型相似 如图5，中，点D在BC边上，若∠ADB=∠CAB，则 图5 4.射影定理 在RtABC中，∠ACB=90゜，CD丄AB于点D，则 （1） （2）AC2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=AD·BD 【即学即练】 1.如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 【详解】解：①，且，∴，①符合题意． ②且，∴，②符合题意． ③，但比一定与相等，故与不一定相似，③不符合题意． ④且，∴，④符合题意． ⑤由，得无法确定出，故不能证明与相似，⑤不符合题意． 符合题意的有： ①②④ 。 故答案为：A. 2.如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是　 　．（写一个即可） 【答案】 【分析】根据三角形相似的判定定理，有两对相对应的角相等的两个三角形相似来判定即可. 【详解】解：当∠D=∠C，∠DAE=∠CAB时，△ADE∽△ACB； 当∠E=∠B，∠DAE=∠CAB时，△ADE∽△ACB； ∴添加的条件可以是∠D=∠C或∠E=∠B. 故答案为：∠E=∠B. 3.如图所示，点在的边AC上，若要使与相似，可添加的一个条件是　 　.(只需写出一个) 【答案】(答案不㫿一) 【分析】由于△ABD与△ACB中，已经具有∠BAD=∠CAB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得可以随便再添加一组角对应相等即可；根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可以添加，据此即可得出答案. 【详解】解：△ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB； △ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当∠ABD=∠ABC时，△ABD∽△ACB； △ABD与△ACB中，∵∠BAD=∠CAB，∴当时，△ABD∽△ACB； 故答案为：∠ABD=∠C(答案不㫿一). 题型01 相似三角形的判定 【典例1】如图，能使∽成立的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理进行逐一判定即可求解. 【详解】由图可得∠A=∠A， 若添加，得不到∽，不符合题意； 若添加，得不到∽，不符合题意； 若添加 ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得∽，符合题意； 若添加 ，得不到∽，不符合题意； 故答案为：C. 【变式1】已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且．求证： （1）ΔDEF∽ΔBCD； （2）． 【答案】见详解 【分析】（1）根据两角对应相等即可证明 △DEF∽△BCD ； （2）根据DE∥BC，可得出，再根据EF∥CD，可得，故而可得，即 ． 【详解】（1）证明：∵∠ADE=∠B， ∴，∴∠CDE=∠BCD， ∵，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BCD=∠DEF， 又∵∠ADE=∠B， ∴△DEF∽△BCD （2）证明：∵∠ADE=∠B，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴． 【变式2】如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点，且，则①；②.下列关于①②的判断，正确的是（　　）. A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】由两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断①正确，在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再也找不出任何一对角相等，也找不出夹此角的两边成比例，故判断不出△AOD与△BOC相似，从而判断②错误. 【详解】解：∵ 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴∠AOB=∠COD，又， ∴△AOB∽△COD，故①正确， 在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再也找不出任何一对角相等，也找不出夹此角的两边成比例， 故判断不出△AOD与△BOC相似，故②错误， 所以A、C、D三个选项都不符合题意，只有B选项正确，符合题意. 故答案为：B. 【变式3】如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　） ①；②； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故答案为：C． 题型02 相似三角形的常见模型 【典例2】如图，中，D、E分别是、上的点，且，．    (1)求证：； (2)若，求的长度 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）由，，得出，，即可证明； （2）由，得出，，进而得出，得出，，证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．    (1)当，时，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可得到答案； （2）分别证明，得到，，进而得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在平行四边形中，的角平分线分别与、交于点E、F．若，，求的值．    【答案】 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进一步求得． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】如图，在中，为上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论得出，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：设， ， ， 解得： 即 题型03 网格背景中的相似三角形 【典例3】如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝ ． 【答案】45° 【分析】根据勾股定理得到AC＝＝，求得＝，根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠CAE，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】∵AC＝＝，CD＝1，CE＝2， ∴＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ACD＝∠ECA， ∴△ACD∽△ECA， ∴∠ADB＝∠CAE， ∴∠ADB+∠AEB＝∠AEB+∠CAE＝∠ACB＝45°， 故答案为：45°． 【变式3】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ． 【答案】 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 题型04 坐标系中的相似三角形 【典例4】如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【变式1】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 【变式2】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 题型05 相似三角形中的动点问题 【典例5】如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．用，可得到和一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似． 【详解】．理由如下： ， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ． 【变式1】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α． （1）证明△MPD∽△NPE． （2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置． （3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值． 【答案】（1）见解析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55° 【分析】(1)利用相似三角形的判定定理证明即可； (2)根据全等三角形对应边相等得到MP＝NP，即点P是MN的中点； (3)需要分类讨论：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】(1)证明：∵a∥b， ∴△MPD∽△NPE． (2)∵a∥b， ∴∠MDP＝∠NEP， ∴当△MPD与△NPE全等时， MP＝NP，即点P是MN的中点； (3)∵a∥b， ∴∠1＝∠PNE＝70°， ①若PN＝PE时， ∴∠PNE＝∠PEN＝70°． ∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°． ∴∠a＝40°； ②若EP＝EN时，则a＝∠PNE＝70°； ③若NP＝NE 时，则∠PEN＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE＝110°， ∴α＝∠PEN═55°； 综上所述，α的值是40° 或70° 或55°． 【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5； 【分析】求出AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE=AB=2cm，即可得出t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=BD=cm，得出AE=3.5cm，t=3.5s；即可得出结果． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=4cm， 分两种情况： ①当∠EDB=∠ACB=90°时， DE∥AC，△EBD∽△ABC， ∵D为BC的中点， ∴BD=CD=BC=1cm，E为AB的中点，AE=BE=AB=2cm， ∴t=2s； ②当∠DEB=∠ACB=90°时， ∵∠B=∠B， ∴△DBE∽△ABC， ∴∠BDE=∠A=30°， ∴BE=BD=cm， ∴AE=3.5cm， ∴t=3.5s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5； 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts． 求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）Rt△CPQ的面积为S＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；（2）PQ＝10cm；（3）t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP.CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP CQ求解 (2)在Rt△CPQ中,当t=2秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出 (3)应分两种情况:当R△CPQ∽R△CAB时・根据 ,可将时间t求出;当Rt△ CPQ∽Rt△CBA时,根据 ,可求出时间t. 【详解】（1）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， 因此Rt△CPQ的面积为S＝ CP×CQ＝ （16﹣4t）×3t＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）； （2）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， 当t＝2秒时，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm， 在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝ ； （3）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， ∵AC＝16cm，BC＝12cm． ∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝2秒； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即，解得t＝ 秒． 因此t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断. 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2， 在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ， 因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似. 故答案为：A. 2.直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 3.如图，在中，为锐角，，，要在边上找一点，使，需添加一个条件，下列方案不正确的是（　　） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。 【详解】解：A.∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA， ∴， ∴该选项不符合题意； B.∵，CD=6cm， ∴BD=BC-CD=2cm， ∴，， ∴， ∵∠ABD=∠CBA， ∴， ∴该选项不符合题意； C.∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 此时不能判定△ABC与△ABD相似， ∴该选项符合题意； D.∵∠ADB=∠BAC，∠ABD=∠CBA， ∴， ∴该选项不符合题意； 故答案为：C. 4.下列条件中，能使△ABC和△DEF相似的条件是（　　）． A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=，EF=，DF= B．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1 C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6 D．AB=，AC=，BC=，DE=，EF=3，DF=3 【答案】C 【分析】分别求出两个三角形对应边的比，根据有三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判断，得出答案. 【详解】解：A、根据AB=c，AC=b，BC=a，，，， 不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，A错误； B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DF=1，EF=8，DE=12， ∴，，， ∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，B错误； C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DF=6，EF=8，DE=12， ∴， ∴△ABC和△DEF相似，C正确； D、∵，，，，EF=3，DF=3， ∴，，， ∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，D错误； 故答案为：C． 5.如图，在△ABC纸片中，∠A＝72°，∠B＝38°．将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可得出答案. 【详解】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，∴△BDE∽△BAC； 图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似； 图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，∴△CDE∽△CAB； 图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似； 所以阴影三角形与原三角形相似的有①③， 故答案为：D. 6.如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可. 【解析】【解答】解：∵，， ∴， 故A选项不符合题意； ∵∠，， ∴， ∴∠DBF＝∠ECF， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，不能推出， ∴C选项符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D选项不符合题意； 故答案为：C． 7.如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由 ，证得∠DAE=∠BAC，再根据相似三角形的判定定理依次判断即可. 【详解】解：， ∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE， ∠DAE=∠BAC， A、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，A不符合题意； B、若 ，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，B不符合题意； C、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，C不符合题意； D、若，且∠DAE=∠BAC，不能判定∽，D符合题意. 故答案为：D. 8.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2) 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案. 【解析】【解答】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1）， ∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°， A.当E（6，5）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°， ∴，∠ABC=∠EDC， ∴△ABC∽△EDC， B.当E（6，0）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°， ∴，∠ABC=∠CDE， ∴△ABC∽△CDE， C.当E（6，4）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°， ∴≠，∠ABC=∠EDC， ∴△ABC与△EDC不相似， D.当E（4，2）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°， ∴，∠ABC=∠DCE， ∴△ABC∽△DCE， 故答案为：C. 9.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　 　． 【答案】△MCB 【分析】先根据矩形的性质得到，再根据折叠的性质结合题意即可得到，从而运用相似三角形的判定即可求解。 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠可知， ， ， 故答案为： 10.如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为　 　时，△PBQ与△ABC相似． 【答案】0.8s或2s 【分析】分两种情况：当△PBQ∽△ABC时和当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形的性质分别解答即可. 【详解】解： 设经过x秒后△PBQ与△ABC相似 ，则AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=(8-2x)cm， 当△PBQ∽△ABC时， ∴，即， 解得x=2， 当△PBQ∽△CBA时， ∴，即， 解得：x=0.8， ∴经过0.8s或2s时， △PBQ与△ABC相似． 故答案为：0.8s或2s. 11.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为　 　时，△ADP和△ABC相似. 【答案】4或9 【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案. 【详解】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似. 故答案为： 4或9 . 12.如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接． （1）求证：平分； （2）求证：△EMC∽△MAB. 【答案】见详解 【分析】（1）要证ME平分∠PMC，只需证∠PME=∠CME，通过证即可；通过本题已知折叠条件分析，BM=CM=PM，∠MPE=∠C=90° ， EM=EM，符合直角三角形全等的判定条件（HL）； （2）由AM平分∠BMP，ME平分∠PMC，可知∠AME=90°，构成典型的K型图，△EMC∽△MAB的证明要熟练掌握；其条件是：，. 【答案】（1）证明：由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∵点M是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：由折叠性质可得：， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴ 13.如图，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，且AD=2，BC=6，AB=7．P是线段AB上的一个动点．问：是否存在一点P，使以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若存在，求出PA的长；若不存在，请说明理由． 【答案】PA的长为3，或4，或 【分析】分两种情况：①若△PAD∽△CBP ，则；②若△PAD∽△PCB，则，根据比例式分别求解即可. 【详解】解：设AP=x，则PB=7-x．若△PAD∽△CBP ，则，即，解得x=3或x=4． 若△PAD∽△PCB，则，即=，解得x= 综上所述，PA长为3，或4，或时，以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似． 14.在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹看得到的条件是否符合判定相似的定理，题中给定 ， 故可直接看作图痕迹是否是垂线且能说明 ，能则可判定相似。 【详解】 A：根据作图痕迹，判断AD是 的角平分线，不符合题意； B：根据作图痕迹，判断所作直线是AB的垂线，但无法判断 相似，不符合题意； C：根据作图痕迹，判断CD是AB的垂线，可以判断相似，符合题意； D：根据作图痕迹，无法判断 相似，不符合题意。 故选：C 15.如图 （1）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明） （2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD． （3）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，则DE的长为　 　． 【答案】（1）解：∵∠APD=90°， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∵∠B=90°， ∴∠APB+∠BAP=90°， ∴∠BAP=∠DPC， ∵AB∥CD，∠B=90°， ∴∠C=∠B=90°， ∴△ABP∽△DCP． （2）解：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD， ∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD． ∵∠B=∠APD， ∴∠BAP=∠CPD． ∵∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD （3） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. （1）如图①，由条件AB∥CD，∠B=90°， 易得 ∠C=∠B=90°， 由另一条件∠APD=90° 可知，要证 △ABP∽△PCD 还差一对角相等；接下来需找∠BAP=∠DPC，显然这两个角都与∠APB 互补，故它们相等. 还可以找哪一对角相等呢？ （2）如图②，与第（1）题相比，第（2）题的图形虽然发生了变化，但是结论没变，条件也几乎没变（第（1）的条件可看作∠B=∠C=∠APD=90° ），通过类比可知，它们有相同的证明思路：除已知条件∠B=∠C外，还需找∠BAP=∠DPC，由图可知∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC，而∠B=∠APD，易得∠BAP=∠DPC. （3）如图③， 由∠B=∠C=45°可知，△ABC是一个等腰直角三角形，由斜边BC=6 ，可求得AC=AB=6，由CE=4，易得AE=2，只需求出AD的长，就可利用勾股定理求出DE的长. 与前两题作比，易得△BDP∽△CPE，，而BP=CP=3 ，CE=4，可求BD，进而求出AD. 【详解】解：拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE， ∴ ， ∵点P是边BC的中点， ∴BP=CP=3 ， ∵CE=4， ∴ ， ∴BD= ， ∵∠B=∠C=45°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°， 即AC⊥AB且AC=AB=6， ∴AD=AB﹣BD=6﹣ = ，AE=AC﹣CE=6﹣4=2， 在Rt△ADE中，DE= ． 故答案是： ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $