第二十三章 解直角三角形（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

第二十三章 解直角三角形 教学目标 1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数。 2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数。 3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 4.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； 5.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形； 6.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题. 教学重难点 1. 重点 能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2. 难点 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。会利用解直角三角形，解决简单的实际问题。 知识点01 锐角三角函数 1.正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切（拓展） （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 5.常见特殊角度的三角函数值 sin30°＝， cos30°＝， tan30°＝ sin45°＝cos45°＝， tan45°＝1 sin60°＝， cos60°＝， tan60°＝ 知识点02 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 知识点03 解直角三角形的实际应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 3.解直角三角形的常见类型 （1）仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. （2）方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. （3）坡度与坡角 坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 题型01 锐角三角函数 【典例1】如图，在矩形中，连接，点E是上一点，连接，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，再由，求得，即可求得的长为8，根据勾股定理求得的长为10，即可求得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    【变式2】如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到格点，连接，可得，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，如下图：    由题意可得：， 由勾股定理可得：，， 故选：D 【变式3】若锐角A、B满足(tan A-3)2+|2cos B-1|=0,则△ABC是 (　　) A.直角三角形　　　 B.等边三角形 C.含有60°角的任意三角形　　 D.顶角为钝角的等腰三角形 【答案】B　 【详解】∵(tan A-3)2+|2cos B-1|=0,∴tan A-3=0,2cos B-1=0,∴tan A=,cos B=,∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.故选B. 题型02 锐角三角函数的性质 【典例2】比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　） A．tan50°＜cos10°＜sin70° B．tan50°＜sin70°＜cos10° C．sin70°＜tan50°＜cos10° D．sin70°＜cos10°＜tan50° 【答案】D 【分析】利用三角函数的关系将sin70°转化为cos20°，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较cos10°和cos20°，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较tan50°与cos10°即可． 【详解】解：∵在锐角范围内，余弦函数递减，且10°＜20°， ∴cos10°＞cos20°＝sin70°， 即sin70°＜cos10°． ∵tan45°＝1，且正切函数在锐角范围内递增，50°＞45°， ∴tan50°＞1， 又∵cos10°＜1（余弦函数递减，cos0°＝1）， ∴cos10°＜tan50°， 综上，sin70°＜cos10°＜tan50°． 故选：D． 【变式1】tan60°　　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】> 【分析】利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案． 【详解】解：∵60°＞40°， ∴tan60°＞tan40°， 故答案为：＞． 【变式2】已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在25°到65°的区间内，当α取最小值25°时，cosα取得最大值． 【详解】解：已知25°≤α≤65°，当α取最小值时，即α＝25°，cosα的值最大，即最大值为cos25°． 故选：A． 【变式3】已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 【答案】A 【分析】根据特殊锐角三角函数值得出sin30°，进而得到sinα＞sin30°，再根据三角函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵sin30°，而sinα， ∴sinα＞sin30°， ∴α＞30°， 又∵α为锐角， ∴α＜90°， ∴30°＜α＜90°， 故选：A． 题型03 解直角三角形 【典例1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等，得到∠BCD＝∠A，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴， 在Rt△CDB中，， ∵CD＝6， ∴BD＝9； 故选：C． 【变式1】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接DE，先证明△ADE为直角三角形即可求解． 【解答】解：如图，连接DE， ∵DE，AD＝2，AE， ∴DE2+AD2＝2+8＝10＝AE2， ∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用和分别求出AD、DC长，再利用勾股定理求出BD长，从而求解BC的长． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，， ∴， 解得：AD＝4， ∴， 在Rt△ADC中，， ∴， ∴DC＝8， ∴BC＝BD+CD＝3+8＝11． 故选：A． 【变式3】只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个AB＝4cm的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝30° B．BC＝6cm，∠B＝30° C．BC＝3cm，∠A＝30° D．BC＝5cm，AC＝6cm 【答案】C 【分析】根据选项中所给条件，结合题中的AB＝4cm，依次进行判断三角形的形状和大小是否确定即可解决问题． 【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠C＝90°， 则三角形的形状确定． 再根据∠A的正弦值和余弦值，可求出BC及AC的长， 所以三角形的大小也确定． 故A选项不符合题意． 因为AB＝6cm，AB＝4cm，且它们的夹角为∠B＝30°， 所以依据全等三角形的判定定理“SAS”可知，此三角形的形状和大小都确定． 故B选项不符合题意． 因为∠A＝30°，BC＝3cm，AB＝4cm， 所以此时△ABC的两边和一边的对角确定， 则△ABC的形状和大小都不确定． 故C选项符合题意． 因为AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm， 所以依据全等三角形的判定定理“SSS”可知，此三角形的形状和大小都确定． 故D选项不符合题意． 故选：C． 题型04 实际应用——仰角俯角 【典例1】如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是　 　 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 【答案】89.28 【分析】作AD⊥BC，分别解Rt△ADC和Rt△ADB，求出CD，BD的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：作AD⊥BC，由题意，AD＝36米，∠CAD＝37°，∠DAB＝60°， 在Rt△ADC中，CD＝AD•tan37°≈36×0.75＝27（米）， 在Rt△ADB中，（米）， ∴BC＝BD+CD＝89.28； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 【变式1】如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m， ∴∠CBD＝∠NCB＝30°，∠CAD＝∠MCA＝45°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴，， ∴． 故答案为：（120+120）． 【变式2】长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【答案】（1）150米；（2）97米 【分析】（1）根据题意可得：OD⊥DE，然后在Rt△ODE中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，即可解答； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°，从而可得∠AOG＝30°，然后设DF＝OG＝x米，则EF＝（200﹣x）米，分别在Rt△AOG和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：OD⊥DE， 在Rt△ODE中，∠OED＝37°，DE＝200米， ∴OD＝DE•tan37°≈0.75×200＝150（米）， ∴塔干OD的长度约为150米； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G， 由题意得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， 设DF＝OG＝x米，则EF＝DE﹣DF＝（200﹣x）米， 在Rt△AOG中，AG＝OG•tan30°x（米）， 在Rt△AEF中，∠AEF＝59°， ∴AF＝EF•tan59°≈1.7（200﹣x）米， ∵AF﹣AG＝FG， ∴1.7（200﹣x）x＝150， 解得：x≈82.6， ∴OG≈82.6米， 在Rt△AOG中，AO97（米）， ∴风叶OA的长度约为97米． 【变式3】为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 【答案】（1）12米；（2）没有超速 【分析】（1）求出∠PBQ＝53°，再由锐角三角函数定义求出BQ的长即可； （2）过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，则四边形ACQD是矩形，得AD＝CQ，DQ＝AC，设AC＝x米，则BC＝3x米，由勾股定理求出ABx米，则PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，进而求出∠PAD＝27°，再由锐角三角函数定义求出AD≈（32﹣2x）米，然后由AD＝CQ列出方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°， ∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°， ∵∠PQB＝90°， ∴∠PBQ＝53°， ∵tan∠PBQ＝tan53°， ∴BQ12（米）， 答：路段BQ的长约为12米； （2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D， 则四边形ACQD是矩形， ∴AD＝CQ，DQ＝AC， ∵引桥坡度i＝1：3， ∴， 设AC＝x米，则BC＝3x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：ABx（米）， ∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米， ∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°， ∴∠APD＝90°﹣27°＝63°， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PAD＝27°， ∵tan∠PAD＝tan27°， ∴AD（32﹣2x）（米）， ∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米， ∴3x+12＝32﹣2x， 解得：x＝4， ∴ABx≈12.8（米）， ∴该车的平均速度为v6.4（米/秒）＝23.04km/h， ∵23.04km/h＜30km/h， ∴小汽车没有超速． 题型05 实际应用——方向角 【典例1】如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4千米处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】过点B作BD⊥OC于点D，过点A作AE⊥OB于点E，由勾股定理和锐角三角函数定义分别求出AE、BE的长，再求出OB的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥OC于点D，过点A作AE⊥OB于点E， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4千米， ∴AE＝BEAB＝2（千米）， 在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，∠AOE＝30°， ∴OE2（千米）， ∴OB＝OE+BE＝（22）千米， 在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠BOD＝30°， ∴BDOB＝（）（千米）， 即船A离灯塔B的最近距离是（）千米， 故选：A． 【变式1】如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在其北偏西45°方向上，A在其北偏东30°方向上，测得A，C之间的距离为100米，则A，B之间的距离为　 　 米．（结果精确到1米．参考数据：，） 【答案】137 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD中，求出BD的长度，继而可求得AB的长度． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，∵AC＝100米，∠ACD＝30°， ∴（米）， （米）， 在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°， ∴（米）， ∴（米）， 即A，B之间的距离约为137米． 故答案为：137． 【变式2】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为核心素养教育下的新内容和新方式．某中学组织学生进行研学活动，学生到达基地后，他们先从如图所示的基地门口A处沿南偏西方向走了400米，到达昆虫博览馆B处，再从B处向正东方向走了400米到达农耕体验区D处，然后从D处沿正北方向到达户外拓展区C处，最后再从C处沿北偏西方向回到A处．求户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离．（参考数据：）    【答案】250米 【分析】过点A作于点E，过点C作于点F，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】解∶如图，过点A作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形，    ∴， 根据题意可知∶米，米，， ∴（米），， ∴（米）， ∴米． 在中，， ∴（米）． 答：户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离为250米． 【变式3】如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东30°方向且在观测点D的北偏东60°方向． （1）求CD的距离； （2）求AC的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）海里；（2） 海里 【分析】（1）根据方向角的定义得出∠BDA＝∠BAD＝45°，∠DAC＝30°，∠FDC＝60°，利用三角函数的定义求出AD＝200，利用外角的性质得出∠DAC＝∠ACD＝30°，根据等角对等边即可得答案； （2）过点C作CE⊥AD于E，根据三角函数求出海里，再根据，含30°角的直角三角形的性质求出AC的长即可． 【解答】解：（1）如图所示： ∠BDA＝∠BAD＝45°题意可得，（海里），∠BDA＝∠BAD＝45°， ∴∠B＝90°， ∴（海里）， ∵目的地C在观测点A的北偏东30°方向且在观测点D的北偏东60°方向， ∴∠DAC＝30°，∠FDC＝60°， ∴∠ACD＝∠FDC﹣∠DAC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴CD＝AD＝200（海里）． （2）如图，过点C作CE⊥AD于E， ∵CD＝200海里，∠FDC＝60°， ∴（海里）， ∵∠DAC＝30°， ∴（海里）． 题型06 实际应用——坡度、坡角 【典例1】如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了　 　 米． 【答案】20 【分析】设汽车竖直方向上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为x米， ∵斜坡的坡度i＝1：2， ∴汽车前进的水平宽度为2x米， 有勾股定理得：x2+（2x）2＝1002， 解得：x＝20（负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为20米， 故答案为：20． 【变式1】如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】B 【分析】过点B作BC垂直地面于点C，设BC＝x米，则AC＝2.4x米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，过点B作BC垂直地面于点C， 由题意可得：， 设BC＝x米，则AC＝2.4x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即x2+（2.4x）2＝262， 解得：x＝10， ∴物体离地面的高度为10米， 故选：B． 【变式2】图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°． （1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【答案】（1）0.4m；（2）1.68m． 【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质求出ED的长度； （2）根据正弦的定义求出GF，根据正切的定义求出EF，进而求出此运动员的身高． 【详解】解：（1）在Rt△EDM中，∠EMD＝30°，EM＝0.8m， 则DEEM0.8＝0.4（m）， 答：此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m； （2）∵GD＝1.04m，DE＝0.4m， ∴GE＝GD﹣DE＝1.04﹣0.4＝0.64（m）， 在Rt△GEF中，∠GFE＝53°， ∵sin∠GFE，tan∠GFE， ∴GF0.8（m），EF0.48（m）， ∴GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）， 答：此运动员的身高约为1.68m． 【变式3】如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i＝1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，1.41） （1）求点D到FC的距离； （2）求塔AB的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）5米；（2）25.5米． 【分析】（1）过D点作DM⊥BF于M点．如图，根据坡度的定义得到，设DM＝x，CMx，则CD＝2x，所以2x＝10，解方程得x＝5（米），从而得到点D到FC的距离； （2）过D点作DH⊥AB于H点，如图，易得四边形DMBH为矩形，则BH＝DM＝5米，DH＝CM+BC，在Rt△ADH中利用∠ACB＝45°得到BC＝AB＝AH+5，则DH＝AH+5+5，在Rt△ADH中利用正切的定义得到AH＝DH•tan31°，即AH＝0.6（AH+5+5），然后解方程求出AH，最后计算AH+BH即可． 【详解】解：（1）过D点作DM⊥BF于M点．如图， ∵斜坡CE的坡度i＝1：， ∴， 设DM＝x，CMx， ∴CD2x， 即2x＝10， 解得x＝5（米）， ∴DM＝5米，CM＝5米， 答：点D到FC的距离为5米； （2）过D点作DH⊥AB于H点，如图， ∵∠DMB＝∠DHB＝∠HBM＝90°， ∴四边形DMBH为矩形， ∴BH＝DM＝5米，DH＝CM+BC， 在Rt△ADH中，∵∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝AH+5， ∴DH＝BC+CM＝AH+5+5， 在Rt△ADH中，∵tan∠ADH， ∴AH＝DH•tan31°， 即AH＝0.6（AH+5+5）， 解得AH≈20.475（米）， ∴AB＝AH+BH＝20.475+5≈25.5（米）． 答：塔AB的高度为25.5米． 1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴cosA． 故选：A． 2.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得：，，， ∵AC2+BC2＝20+5＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴． 故选：D． 3.若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵sinα， ∴锐角α的度数是45°． 故选：B． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为　 　 ． 【答案】 【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠B＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系即可求出cos∠ACD的值． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15， ∴， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴． 故答案为：． 5.计算：cos60°　 　 ． 【答案】 【分析】将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 6.在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　 　 ． 【答案】90° 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再由锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 故答案为：90°． 7.计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2027． 【答案】 【分析】先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解：原式 ． 8.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3， 则tanB， 故选：B． 9.若，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【分析】通过解方程，利用特殊角的三角函数值 ，求出α的度数． 【详解】解：由题意得， 又∵，且α为锐角， ∴α+10°＝30°， ∴α＝20°． 故选：A． 10.在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　 　 ． 【答案】2 【分析】首先，根据已知条件，得出AG∥FC，得∠AEB＝∠BCF，最后，得． 【详解】解：如图，在3×3的正方形网格中， ∵AG∥FC， ∴∠BCF＝∠AEB， ∵∠BFC＝90°， ∴A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则． 故答案为：2． 11.如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【答案】B 【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m， 由三角函数可得：． 故选：B． 12.如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　） A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5 【答案】B 【分析】过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的性质求出BE，根据题意求出AE，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点B作BE⊥AD于E， 则四边形BEDC为矩形， ∴BE＝CD＝2米， 由题意得：AE＝7﹣2﹣1＝4（米）， ∴斜坡AB的坡比是：BE：AE＝2：4＝1：2， 故选：B． 13.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是　 　 海里（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83）． 【答案】130 【分析】首先根据题意得出∠APC＝90°﹣65°＝25°，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，在Rt△APC中，∠APC＝90°﹣65°＝25°， ∴PC＝PA•sin∠APC≈80×0.91＝72.8．在Rt△BPC中，∠B＝34°， ∴（海里）， 即：海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里． 故答案为：130． 14.一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　） A．2m B．4m C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，从而可得∠EOC+∠ECO＝90°，再利用平角定义可得∠FOB+∠EOC＝90°，从而可得∠FOB＝∠ECO，进而可得∠α＝∠ECO，再利用对顶角相等可得∠EOD＝∠α，从而可得，然后分别在Rt△ECO和Rt△EOD中，利用锐角三角函数的定义求出EC和ED的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°， ∴∠EOC+∠ECO＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°， ∴∠FOB＝∠ECO， ∴∠α＝∠ECO， ∵∠EOD＝∠α， ∴， 在直角三角形ECO中，OE＝3m， ∴， 在直角三角形EOD中，， ∴， 故选：C． 15.小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°． 问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）． 【答案】（1）β＝90°﹣α；（2）米． 【分析】（1）延长OD交PK于L，根据题意可得：OL⊥PK，从而可得：∠OLP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长GQ交EF于点M，根据题意可得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5米，GQ＝HR＝12米，然后设EM＝x米，分别在Rt△EGM和Rt△EQM中，利用锐角三角函数的定义求出GM和QM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）如图：延长OD交PK于L， 由题意得：OL⊥PK， ∴∠OLP＝90°， ∵∠POD＝α， ∴∠OPL＝90°﹣∠POD＝90°﹣α， ∴β＝90°﹣α； （2）延长GQ交EF于点M， 由题意得：GQ＝HR＝12m，GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.5m， 设EM＝x米， 在Rt△EGM中，∠GEM＝60°， ∴（米）， 在Rt△EQM中，∠QEM＝45°， ∴QM＝EM•tan45°＝x（米）， ∵GM﹣QM＝GQ， ∴， 解得：， ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 16.从2025年春晚机器人“秧BOT”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武BOT”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻…这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内． （1）转动连杆BC、手臂CD使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE．（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33） （2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】（1）106cm；（2）手臂端点D能碰到点M． 【分析】（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，根据三角函数求出CQ，根据DE＝CP＝CQ+PQ即可得解； （2）根据勾股定理求出当点B、C、D三点共线时AD，比较AD与AM大小关系，即可得解． 【详解】解：（1）如图2，过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，则∠ABQ＝∠BQC＝90°， 由题意得：四边形CDEP，ABQP都是矩形， ∵∠ABC＝143°， ∴∠CBQ＝143°﹣90°＝53°， 在Rt△BCQ中，BC＝70cm， ∴CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56（cm）， ∵CD∥l，PQ＝AB＝50cm， ∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106（cm）， 答：手臂端点D离操作台l的高度DE约为106cm； （2）手臂端点D能碰到点M．理由如下： 如图3， 当B、C、D三点共线时，BD＝60+70＝130（cm），AB＝50cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD120（cm）， ∵120cm＞110cm， ∴手臂端点D能碰到点M． 17.图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝9cm，BC＝38cm，∠ABC＝24°．（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） （1）如图2，∠BCE＝　 　 度； （2）如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm） （3）如图3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为0.7cm，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 【答案】（1）114；（2）15.6cm；（3）20.7cm． 【分析】（1）易得∠CBF的度数，进而根据平行线的性质可得∠BCE的度数； （2）根据BC的长和∠ABC的正弦值可得CG的长； （3）作ME⊥CD于点E，易得∠CME＝24°，进而根据CE长和∠CME的正切值可得ME的长度，加上杯托的深度即为乘客水杯的最大深度． 【详解】解：（1）由题意得：AB⊥BF， ∴∠ABF＝90°， ∵∠ABC＝24°， ∴∠CBF＝90°﹣24°＝66°， ∵CD∥BF， ∴∠BCE＝180°﹣66°＝114°， 故答案为：114； （2）延长DC交AB于点G，则∠BGC＝90°， ∵BC＝38cm，∠ABC＝24°， ∴CG＝38×sin24°≈38×0.41≈15.6（cm）． 答：点C到靠背AB的距离约为15.6cm； （3）作ME⊥CD于点E，则∠MEC＝90°， ∵CD∥BF， ∴∠ACD＝∠CBF＝66°， ∴∠CME＝90°﹣66°＝24°， ∵CE＝9cm， ∴ME20（cm）， ∵杯托凹陷深度为0.7cm， ∴乘客水杯的最大高度为20.7cm． 18.某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m． （1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离； （2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果． （结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．） 【答案】（1）3.6m；（2）0.76m. 【分析】（1）依据题意，过B点作BM⊥AD于M，在Rt△ABM中，cosα，则sinα，故BM＝ABsinα＝3.93.6（m），从而得解； （2）依据题意，在Rt△ABM中，AM＝AB•cosα＝1.5m，则MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m），又C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P，故BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m，则EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m），在Rt△CEF中，CE＝EF•tan70°≈1×2.747＝2.747（m），可得BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753（m），要确保DF≥2.6m，求得BC＝0.76． 【详解】解：（1）过B点作BM⊥AD于M， 在Rt△ABM中，cosα， ∴sinα， ∴BM＝ABsinα＝3.93.6（m）． 答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离为3.6m； （2）如图，在Rt△ABM中，AM＝AB•cosα＝1.5m， ∴MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m）， 过C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P， ∴BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m， ∴EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m）． 在Rt△CEF中，CE＝EF•tan70°≈1×2.747＝2.747（m）， ∴BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753， ∵DF≥2.6m， ∴BC至少要0.76m才能确保遮阳效果． 答：档板BC至少要0.76m才能确保遮阳效果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 解直角三角形 教学目标 1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数。 2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数。 3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 4.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； 5.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形； 6.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题. 教学重难点 1. 重点 能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2. 难点 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。会利用解直角三角形，解决简单的实际问题。 知识点01 锐角三角函数 1.正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切（拓展） （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 5.常见特殊角度的三角函数值 sin30°＝， cos30°＝， tan30°＝ sin45°＝cos45°＝， tan45°＝1 sin60°＝， cos60°＝， tan60°＝ 知识点02 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 知识点03 解直角三角形的实际应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 3.解直角三角形的常见类型 （1）仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. （2）方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. （3）坡度与坡角 坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 题型01 锐角三角函数 【典例1】如图，在矩形中，连接，点E是上一点，连接，若，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】若锐角A、B满足(tan A-3)2+|2cos B-1|=0,则△ABC是 (　　) A.直角三角形　　　 B.等边三角形 C.含有60°角的任意三角形　　 D.顶角为钝角的等腰三角形 题型02 锐角三角函数的性质 【典例2】比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　） A．tan50°＜cos10°＜sin70° B．tan50°＜sin70°＜cos10° C．sin70°＜tan50°＜cos10° D．sin70°＜cos10°＜tan50° 【变式1】tan60°　　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【变式2】已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 【变式3】已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 题型03 解直角三角形 【典例1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，，CD＝6，则BD的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．12 【变式1】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3】只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个AB＝4cm的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝30° B．BC＝6cm，∠B＝30° C．BC＝3cm，∠A＝30° D．BC＝5cm，AC＝6cm 题型04 实际应用——仰角俯角 【典例1】如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是　 　 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 【变式1】如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 【变式2】长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【变式3】为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 题型05 实际应用——方向角 【典例1】如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4千米处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式1】如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在其北偏西45°方向上，A在其北偏东30°方向上，测得A，C之间的距离为100米，则A，B之间的距离为　 　 米．（结果精确到1米．参考数据：，） 【变式2】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为核心素养教育下的新内容和新方式．某中学组织学生进行研学活动，学生到达基地后，他们先从如图所示的基地门口A处沿南偏西方向走了400米，到达昆虫博览馆B处，再从B处向正东方向走了400米到达农耕体验区D处，然后从D处沿正北方向到达户外拓展区C处，最后再从C处沿北偏西方向回到A处．求户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离．（参考数据：）    【变式3】如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东30°方向且在观测点D的北偏东60°方向． （1）求CD的距离； （2）求AC的距离（结果保留根号）． 题型06 实际应用——坡度、坡角 【典例1】如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了　 　 米． 【变式1】如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2.4，它把物体从点A处传送到斜坡高处，物体沿斜坡AB方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（　　） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【变式2】图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°． （1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【变式3】如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i＝1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，1.41） （1）求点D到FC的距离； （2）求塔AB的高度．（结果精确到0.1米） 1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 2.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 3.若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为　 　 ． 5.计算：cos60°　 　 ． 6.在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　 　 ． 7.计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2027． 8.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 9.若，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 10.在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　 　 ． 11.如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 12.如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（　　） A．i＝1：1.5 B．i＝1：2 C．i＝1：3 D．i＝1：3.5 13.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是　 　 海里（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83）． 14.一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　） A．2m B．4m C． D． 15.小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走12米站在点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°． 问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果GH，QR，EF在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为1.5米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）． 16.从2025年春晚机器人“秧BOT”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武BOT”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻…这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B、C是转动点，且AB、BC与CD始终在同一平面内． （1）转动连杆BC、手臂CD使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE．（结果精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33） （2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 17.图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝9cm，BC＝38cm，∠ABC＝24°．（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） （1）如图2，∠BCE＝　 　 度； （2）如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm） （3）如图3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为0.7cm，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 18.某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m． （1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离； （2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果． （结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $