第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 求角的三角函数值 题型2 已知三角函数值求边长 题型3 特殊角的三角函数值运算 题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5 三角函数值比较大小 题型6 利用同角三角函数关系求值 题型7 互余两角三角函数的关系 题型8 解直角三角形 核心提升：重难题型归纳 题型1 解非直角三角形 题型2 仰俯角问题 题型3 方位角问题 题型4 坡度坡比问题 题型5 求不规则图形的边长或面积 题型6 三角函数综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 求角的三角函数值 1．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 5．在中，，那么等于__________． ◆题型2 已知三角函数值求边长 1．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 2．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在中，，则的长度为_____． 5．在中，，若，，则_______． ◆题型3 特殊角的三角函数值运算 1．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．计算：______． 3．计算 (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． ◆题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 1．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 2．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 4．在中，为锐角， ，则的度数是_____． 5．在中，若，，都是锐角，则的度数_____． ◆题型5 三角函数值比较大小 1．若，，，则由小到大的顺序为______． 2．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 3．______（选填“”或“”或“”）． ◆题型6 利用同角三角函数关系求值 1．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知（为锐角），则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 4．在中，如果，，那么的值是______． 5．已知 (为锐角)，则 ___________ ◆题型7 互余两角三角函数的关系 1．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 3．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知α为锐角，，则____． 5．已知，如图，在中，，若，则______． ◆题型8 解直角三角形 1．在中，． (1)已知，，求，，． (2)已知，，求，，． 2．如图，在中，，，，求． 3．在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 4．如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． ◆题型1 解非直角三角形 1．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 3．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 4．如图，在中，，则的长为___________． 5．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是______.（参考数据：，） ◆题型2 仰俯角问题 1．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 2．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 3．在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 4．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． ◆题型3 方位角问题 1．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 3．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 4．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） ◆题型4 坡度坡比问题 1．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 2．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 3．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 4．如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） ◆题型5 求不规则图形的边长或面积 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）    A．15 B．18 C．20 D．22 3．如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 4．如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号) 5．如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． ◆题型6 三角函数综合 1．如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点D，E是线段上一点，连接并延长交于点F．若 ， ，，则线段的长为________． 3．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的方向向终点运动，连接（点不与点A、重合），点运动的时间为（秒）． (1)点到的距离为________； (2)点在上运动时，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； (3)点在运动的过程中，以为斜边向的右侧作等腰直角三角形．若边与的边所成的角被的直角边平分时，求与重叠部分图形的面积． 4．在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 1．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 3．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的长为______________________． 6．如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 7．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 8．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 9．计算 (1)； (2)． 10．计算： (1)； (2)． 11．如图，在中，，，，则求的长． 12．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 13．如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 14．综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 15．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 求角的三角函数值 题型2 已知三角函数值求边长 题型3 特殊角的三角函数值运算 题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 题型5 三角函数值比较大小 题型6 利用同角三角函数关系求值 题型7 互余两角三角函数的关系 题型8 解直角三角形 核心提升：重难题型归纳 题型1 解非直角三角形 题型2 仰俯角问题 题型3 方位角问题 题型4 坡度坡比问题 题型5 求不规则图形的边长或面积 题型6 三角函数综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 求角的三角函数值 1．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出的长，再计算正弦即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． 3．如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的定义，计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 4．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】/ 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 5．在中，，那么等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据正切函数的定义，在直角三角形中，一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，据此直接计算即可． 【详解】解：如下图，在，， 由正切函数的定义得：． 故答案为：． ◆题型2 已知三角函数值求边长 1．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 2．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 3．如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 4．如图，在中，，则的长度为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 5．在中，，若，，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义，得出，根据，计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． ◆题型3 特殊角的三角函数值运算 1．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】解： ． 2．计算：______． 【答案】7 【分析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简，再合并即可． 【详解】解： 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. ◆题型4 根据特殊角的三角函数值求角的度数 1．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据特殊角三角函数值得出，求解得到，验证为锐角，得到结果． 【详解】解：∵已知为锐角，， ∴， ∴． 2．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 3．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 4．在中，为锐角， ，则的度数是_____． 【答案】/45度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 5．在中，若，，都是锐角，则的度数_____． 【答案】/度 【分析】本题考查非负性，特殊角的三角函数值，根据非负性，以及特殊角的三角函数值求出，的度数，三角形的内角和定理，求出的度数，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，都是锐角， ∴， ∴； 故答案为：． ◆题型5 三角函数值比较大小 1．若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 2．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 3．______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． ◆题型6 利用同角三角函数关系求值 1．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 2．已知（为锐角），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的概念，根据为锐角可知，再利用同角三角函数的平方关系求解即可． 【详解】解：，且为锐角， ， ， ， ． 故选：B． 3．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 4．在中，如果，，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得到，再根据勾股定理得到，最后根据的定义进行计算即可． 【详解】解：在中， ， ， ， 由勾股定理得：， ． 5．已知 (为锐角)，则 ___________ 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． ◆题型7 互余两角三角函数的关系 1．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，且，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选∶B． 2．在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及互余角的三角函数关系，熟练掌握“直角三角形中，两锐角互余，且一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”是解题的关键． 利用直角三角形中两锐角互余的性质，结合互余角的三角函数关系（）来求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 5．已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． ◆题型8 解直角三角形 1．在中，． (1)已知，，求，，． (2)已知，，求，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由直角三角形的性质可得，再由正弦的定义计算即可得出结果； （2）由三角形内角和定理可得，由等腰三角形的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ． 2．如图，在中，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．先利用求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，进而可以求出的余弦值． 【详解】解：∵， 即， 又∵， ∴， 解得， 在中，， ， ∴． 故答案为：． 3．在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握边角之间的转化． （1）先求正切值，即可求解度数，再由勾股定理求解斜边，以及直角三角形锐角互余求解即可； （2）先根据直角三角形锐角互余求解，然后正切求解，再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，∵，， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； （2）由可知，根据正弦的定义求出． 【详解】（1）解：， ， 设，， 在中，， ， ， 解得：或(负值舍去)， ； （2）解：由（1）可知， ，， ． ◆题型1 解非直角三角形 1．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 3．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 4．如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 5．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是______.（参考数据：，） 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可． 【详解】如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． ◆题型2 仰俯角问题 1．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，，在中可求出． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得． 2．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 3．在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 【答案】小山的铅直高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设米，由正切函数得，可求出，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，，， 设米，则米， 在中，， 解得：， 米， 在中，， ， ， 解得． 小山的铅直高度为米． 4．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． ◆题型3 方位角问题 1．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 2．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 3．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 4．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． ◆题型4 坡度坡比问题 1．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 2．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 3．如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 4．如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 【答案】该汽车超速， 理由如下：过作于点， 于点，则矩形 在中， ． 在中， 设，， 则． ∵矩形中， ，，则， 在中，， ， 在中，， ∴米/秒， ∴米/秒， 则， 所以该汽车超速了． 【分析】作， ，则矩形，根据坡比求出，再设，，可得，然后根据求出，接下来根据勾股定理得，即可得出米/秒，最后比较可得答案． 【详解】略 ◆题型5 求不规则图形的边长或面积 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）    A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案． 【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3， 由勾股定理可得：， ∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4， ∴， 又∵BB’=3，A’C’= 3， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高． 3．如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， 设BE＝x， ∵∠ABE＝α， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝， ∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键． 4．如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号) 【答案】 【分析】过顶点A作AB⊥大直角三角形底边，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可 【详解】如图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边 由题意： ∴      =cm ∴小等腰直角三角形的直角边为cm ∴大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm2 小等腰直角三角形面积为=36-16cm2 ∴ 【点睛】本题主要考查阴影部分面积的计算，涉及到直角三角形的基本性质，本题关键在于做出正确的辅助线进行计算 5．如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，∵， 在中，∵， . 则该空地的面积 故答案为：． ◆题型6 三角函数综合 1．如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到，结合已知得到，求解即可． 【详解】解：矩形，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， 故． 2．如图，在中，，于点D，E是线段上一点，连接并延长交于点F．若 ， ，，则线段的长为________． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点M，证明，，求解即可． 【详解】解：， ，     ， ， ， ， ， ， ， 解得，（边长不能为负，负的舍去） ， ， ， ， 过点A作，交的延长线于点M， ∴， ∴， ∴， 解得，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 3．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的方向向终点运动，连接（点不与点A、重合），点运动的时间为（秒）． (1)点到的距离为________； (2)点在上运动时，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； (3)点在运动的过程中，以为斜边向的右侧作等腰直角三角形．若边与的边所成的角被的直角边平分时，求与重叠部分图形的面积． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）过点B作于点D，利用特殊角的三角函数求解即可； （2）过点B作于点N，取的中点M，则，过点M作于点M，交于点E，则是线段的垂直平分线，根据平行四边形的性质，矩形的判定和性质求解即可； （3）设的交点为G，过点G作于点H，并设，则，当时，设的交点为P，过点P作于点Q，并设，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ，， ； （2）解：过点B作于点N， ，，， ，； 取的中点M，则， 过点M作于点M，交于点E， 则是线段的垂直平分线， 故， 故是以为底的等腰三角形， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ； （3）解：解：过点B作于点H，连接， ，， ；， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 当与重合时，则， 故， ，符合题意； 设的交点为G，过点G作于点H，并设， 则， ，， ， 根据题意，得， ， 解得， 故重叠部分的面积为：； 当时，则， 故， ，符合题意； 设的交点为P，过点P作于点Q，并设， 则， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 根据题意，得， ， 解得， 故重叠部分的面积为： 4．在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理解答即可． （2）延长交于点，根据菱形的性质，旋转的性质，三角函数的定义解答即可． 根据勾股定理，三角函数的定义，菱形的性质解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）解：在菱形中， ∴， ∴． （2）①如图1，延长交于点， 由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，．在菱形中， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ②解 ：如图2，． ∵， ∴最小时，也最小，要想最小，只需最小． ∵为定角， ∴当时，有最小值为， 此时， ∴的最小值为 1．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴构造直角三角形，根据点坐标结合正切定义求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 2．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 【答案】D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 3．如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 4．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数即可得到上升的高度． 【详解】解：过点P作于点D， 在中，， 根据题意可知，， ． 即木桩上升了． 5．如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的长为______________________． 【答案】2 【分析】过点作延长线于点，证明，再结合角的正切值，得出，则，，再在中，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点作延长线于点，则， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ，， ，即， 在中，， ， ， ， ， ． 6．如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 【答案】米 【分析】根据坡度定义求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：由题意可知，在中，，． 斜坡的坡度， ， 在中，由勾股定理得：， 故斜坡的长度是米． 7．在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 8．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】设，则，由折叠可得，再结合矩形的性质和勾股定理计算得出，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵是的中点， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ， 解得， ， ∴． 9．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 11．如图，在中，，，，则求的长． 【答案】 【分析】过作，根据三角函数定义求出，再在中，解直角三角形求出，最后求出结果即可． 【详解】解：过作于点D， 在中，，， ， 在中，， ，即， 根据勾股定理得：， 12．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 13．如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，，则点的对应点必在线段上． （2）在中利用勾股定理可求得，从而得到，再在中利用勾股定理即可求得的长． （3）过点作于点，设，则，，从而得到．在中利用锐角三角函数可求得的长，在和中利用勾股定理可依次求得，的长，再由锐角三角函数的定义即可求得的值，由旋转可知，，即可求得的值． 【详解】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转，得到，是点的对应点，则，． 是点的对应点， 点在线段上． （2）解：由旋转可知，，． 在中，， ． ， ， 在中，， （负值已舍去）． （3）解：如图，过点作于点． 设，则，， ． ， ． 在中，． 在中，． 在中，， ． 由旋转可知，， ． 14．综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)99米 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； （2）解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 15．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1求角的三角函数值 1.A 2.C 3.B 5 4.3 5 5. 12 ◆题型2已知三角函数值求边长 1.B 2.B 3.A 4.6 5.2 ◆题型3特殊角的三角函数值运算 1.A 2.7 3. 【详解】( )解：原式=3-4x2x2 2×2 =3-2 =l; 5.11 (2)解：原式=2×22 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 51 42 4. 【详解】1解：原式=3×51+2×)=5+1+1=2+5， 3 （2)解：原式=5x5+5-2X 53+5-2×35 ◆题型4根据特殊角的三角函数值求角的度数 1.D 2.A 3.B 4.450 5.105° ◆题型5三角函数值比较大小 1.b<a<c 2.> < 3.< ◆题型6利用同角三角函数关系求值 1.A 2.B 3.A 2W5 4.5 5.3 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7互余两角三角函数的关系 1.B 2.C 3.A 4.30° 1 5.3 ◆题型8解直角三角形 1 【详解】(1)解：∠C=90°，∠A=30° -1c=1x23=5, ÷∠B=90°-∠A=600,a=2C=2 .sinB= c 6=66mB=25x5=3. (2)解：∠C=90°，∠A=45°， .∠B=90°-∠A=45°， ∴∠B=∠A, .b=a=5V6, c=a+B=56°+56=103 2. 【详解】解：sinB= 即sinB=AC1 AB 3 又：AC=2, 21 AB3' 解得AB=6, 在Rt△ABC中，∠C=90°， 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=VAB2-AC2=V62-22=4W2, :.cosB=BC-422 AB 6 3 故答案为： 2v2 3 3. 【详解】(1)解：如图，a=4,b=4V5,∠C=90°， BC a3 .'tan 4= ACb3 AB=c=va+b=8 ∠A=30°， .∠B=90°-∠A=60°， 、c=8,∠A=30°，∠B=60°： B (2)解：如图，a=3V6,∠A=45,∠C=90°， B=90-4=45,4C=b-8C=a=36. tan A tan A 、AB=c=VBC2+AC2=6N3, .b=3V6,∠B=45°，c=6W5. B C 【详解】()解：，anB= 3, tanB=AC-V万 AB 3 设AC=V7x,AB=3x, 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABC中，AB+AC2=BC2, BC=8, (7x+3x2=82, 解得：x=2或x=-2(负值舍去)， .AB=6: (2)解：由(1)可知AB=6, :BC=8,∠A=90°， ..sinC=4B6 3 BC84· 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1解非直角三角形 1.C 2.D 3.B 4.9+3v5 5.30 ◆题型2仰俯角问题 1.D 2.221 3. 【详解】解：由题意得，CD=18米，AB=60米，∠ACH=45°，∠BDH=30°，∠AHC=90°， 设BH=x米，则AH=(60+)米， 在Rt△BDH中，an∠BDH=tan30°=BH-t-5 DH DH 3 解得：DH=V3x, 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CH=I8+V3x)米， 在Rt△ACH中，∠ACH=45°， .AH=CH, ∴.60+x=18+V3x, 解得x=21V3+21 :小山的铅直高度BH为(21W5+21)米。 4. 【详解】解：设AG=xm,FG=m,由题意知CD=200m, AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC, ·.BGI DF ICE 又CE=DF=BG. 即CEIDF且CE=DF, ∴四边形CEFD为平行四边形， ,CE⊥BC,即∠C=90°， ∴四边形CEFD为矩形， 同理可得四边形FGBD、四边形ECBG也为矩形， .EF=CD=200m,∠BGF=90°，∠AGF=180°-∠BGF=90°， :tan∠AEG=4G=x EG EF+FG 200+y' am∠AFG=4C-S≈0.72， FG y tam∠4EG=200+y=y≈0.36_1 tan∠AFG x200+y0.722 y 解得y≈200」 ∴.x≈0.72y=144 .AB=AG+BG=x+1.5=145.5m ◆题型3方位角问题 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.A 2.28.2 3. 【详解】解：由题意，得AB=20×3=60海里，∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°-45°=45°， 过点C作CD⊥AB于点D, 北 111111 45° 160 D B∠ADC=∠BDC=90° 在Rt4CD中，AD=,CD tan30=3CD 在RtACDB中，·∠ABC=45°， ∴.BD=CD ·AB=60海里， ∴.V3CD+CD=60, 解得CD≈22海里. 答：该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离约为22海里， 4. 【详解】(1)解：如下图所示， ∠BAD=23°，∠DAC=60° ∴.∠BAC=60°-23°=37°，∠CAE=30°， ..BCIl AE ∠C=∠CAE=30°： 北D B A E东 (2)解：如下图所示，过点B作BF⊥AC, 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北D B A 龙东 在R1△ABF中，∠BAF=37°，∠AFB=90°，AB=20海里， :BF=ABsin37°=0.6×20=12海里，AF=AB cos37°=20×0.8=16海里， 在RIABCF中，∠C=30°，∠CBF=60°， tan∠CBF=CF BF,BC=2BF=24海里， .CF=BFtan60°=12V3海里， AC=AF+FC=16+12W3≈37海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了24海里，此时海监执法船行驶了37海里 ◆题型4坡度坡比问题 1.D 2.25 3 【详解】解：如图，过点C作CF⊥AD,垂足为F,过点E作EG⊥BD,垂足为G, B E G 5°d A F 由题意得四边形CFDG是矩形， ∴CF=DG 在直角三角形ACF和直角三角形BEG中， AC、sin∠BEG=BG ·sin∠A= EB ·sinl5°=C 、sin10=BG 100 150’ :.C℉=100×sin15°≈100×0.26=26=DG、BG=150×sin10°≈150×0.17=25.5， .BD=BG+DG=26+25.5=51.5(米). 8/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：小亮沿垂直方向上升了51.5米 4. 【答案】该汽车超速， 理由如下：过D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,则矩形DNBM 月M 日B 在Rt△ABC中an∠ACB=g-4AB BC39, .AB=12 在RtsDNC中an∠DCN=DN=! NC3 设DW=x,CN=3x, 则BN=9+3x ,矩形DNBM中， ∴.BM=DN=x,DM=BN=9+3x,则AM=AB-BM=12-x, 在RtA4DM中，tan∠ADM==2二x=tanl5°=s, DM 9+3x 3” 在RtADCN中，DC=DN2+C=iOx=5iO, 3 -0+2-o848米秒。 30÷3.6=2 ≈8.33米/秒， 则8.43>8.33， 所以该汽车超速了. ◆题型5求不规则图形的边长或面积 1.A 2.A 3.C 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.14+162 5.6255 ◆题型6三角函数综合 1.C 2.2 3. 【详解】(1)解：过点B作BH⊥AD于点H, :AB=2,∠A=60° ∴.BH=ABsin A=2sin60°=2× -5； 2 B C E H D (2)解：过点B作BN⊥AD于点N, AB=2,∠A=60°，AD=2AB, ÷AN=ABc0sA=2c0s60°=2x;=1, 2AD=2AB=4 取AD的中点M则AM=DM=)AD=2, B E 过点M作ME⊥AD于点M,交BC于点E, 则ME是线段AD的垂直平分线， 故AE=ED, 故△AED是以AD为底的等腰三角形， :四边形ABCD是平行四边形， .BC AD ∴.BC⊥BN, 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形BWME是矩形， :BE=MN=AM-AN=1: (3)解：解：过点B作BH⊥AD于点H,连接BD, :AB=2,∠A=60° .=4Bsin 4-2sim60x:AH=Acos4=2c0s6x 2 21, B D .·AD=2AB=4 .DH AD-AH=3. tan∠ADB= H3 DH 3' ∠ADB=30°， ∴∠ABD=90°， .BD=VAD2-AB2=2√3， :四边形ABCD是平行四边形， ∴.BA∥CD,BC∥AD :∠ABD=∠BDC=90°，∠ADB=∠CBD=30°， :∠DFE=90°，DF=FE, ∠FED=∠FDE=45°， 当DE与DB重合时，则∠FDB=45°， 故∠CDF=∠BDC-∠FDB=45°， LCDF=∠FDB,符合题意： 设DF,BC的交点为G,过点G作GH⊥BD于点H,并设GH=x, 则∠CDF=∠HGD=∠FDB=45°， GH ∴.HD=GH=x’BH =tan30°， B(E) G BH= GH=x=3x' H an30°V3 D 根据题意，得DH+BH=BD, 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.x+V5x=25, 25 解得x= 255-255--3-5」 5+1（3+13-1) 3-1 散重叠部分的面积为：BD.GH=×253-)=35-3, 当DE⊥CB时，则∠DEF=45°， 故∠CEF=∠DEC-∠DEF=45°， ∠DEF=∠CEF,符合题意： 设EF,DC的交点为P,过点P作PO1DE于点O,并设PO=m, 则∠DEF=∠EPg=∠CEF=45° ∴.EQ=PQ=m :四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C=60°，DE=BN=V3 .∠EDC=30°， .Pg=tan30°. DO ·DQ= Pg=”=3m tan30°-√3 3 根据题意，得DO+EO=DE, m+V3m=√3 B E 5(5-5(5-3-5 解得m= 3+1(W3+13- 2 2 放玉桑怒分的面积为：号0E-PQ=分x5x3）-35-3 2 4 4. 【详解】(1)解：在菱形ABCD中，BD=6,AC=8 00=BD=3.0A=0C=,AC=4,R 2 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=VOA2+OB2=5」 (2)①如图1，延长FE交BC于点G 由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，∠EGC=∠BAE.在菱形ABCD中，BD=6,AC=8 OD=BD=3.0A-0C-4C=4.BD 2 ∴.AB=VOA2+OB2=5. .'AB=BC=CD=DA=5 又：EF BD ∴.∠BAE=∠EGC=∠CBO, .sin∠BAE=sin∠CBO= 0C4 GB 图1 ②解：如图2，DP-AP=OD+OP-AP 图2 Ap2=16+OP2, ,AP最小时，OP也最小，要想DP-AP最小，只需AP最小. :∠F为定角 324 二当AP1EF时，AP有最小值为4Csim∠F=8× 55 此时OP=VAP2-OA 24-4=4 八 5 六DP-AP的最小值为OD+OP-AP=4而-9 5 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型专练 高频重难特训 1.A 2.D 3.B 4.D 5.2 6.1010 7.直角三角形 8 8.15 9. 【详解】(1)解：(2sin30)2+cos30°-1， 5- =1+1- 2 2、3 2 (2)解：9tan230°-23sin60°+V2cos45°， =9x 5-25x5+2x 3 2 2 =9x-V5x3+1, 3 =3-3+1, =1. 10 【详解】(1)解：原式=1-4+V3+3=√3： 14/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：原式=2+2× 2 5x1 2x3=2 11 【详解】解：过A作AD⊥BC于点D, B D 1 在Rt4BD中，sB=4,AB=4 .AD AB.sinB=1, 1 在Rta4CD中，tanC= 2 AD 1 CD2,即CD=2 根据勾股定理得：AC=VAD2+CD2=VP+22=V5, 12. 【详解】(1)解：过点A作AH⊥CH,交CB的延长线于点H, E :∠ABC=120°， ∴.∠ABH=60°， 在RIAABH中，AB=30cm, .BH=AB:cos∠ABH=30×215(cm) ∴.点B与点A在水平方向上的距离为l5cm (2)解：过点C作CM上AM,交AB的延长线于点M, 15/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B C 4H=AB-sin∠ABM=30x5=155(em） .∠AB'C'=135°， ∠CB'M=45°， .BC=B'C'=20cm, .CM-CB.sin/C8M-20x-0(em). ∴点C与点C'在竖直方向上的距离为：AH+C"M=15V3+102≈40(cm) 13. 【详解】(1)解：将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D是点A的对应点，则 ∠AED=90°，.∠AEC=90°. C是点C的对应点， 点C在线段AE上. (2)解：由旋转可知，AE=DE,∠AED=90°， :在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2=42, AE=DE=22」 .DE =2CE, .CE=2, :在RtAEC中，AC2=AE2+CE2=(22°+(2=10， AC=0(负值已舍去). (3)解：如图，过点C作CF1AD于点F. 设CE=x,则AE=DE=2x,CE=x, .AC'=x. :∠AED=90°， ∴.∠EAD=∠EDA=45° 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RACEA中，CF=AC.sin∠EAD=2 在Rt△C'ED中，CD=VCE2+DE2=V5x. 在RLACFD中，DF=VCD2-CF_3N 2 -x, .tan∠B'DCc'= CF 2 3 2 -x 由旋转可知，∠BAC=∠B'DC, 1 ∴.tan∠BAC= 3 B B E 14. 【详解】(1)解：由题意得AB⊥BC, 在Rt△ABC中，∠ACB=a,BC=m米， .AB=BC.tana=m tan a(米)： (2)解：设BD=x米， CD=74.8米， .BC=CD+BD=(74.8+x米， 在Rt△ABC中，∠ACB=a=37°， AB=BC-tan37°=(74.8+x)×0.75(米)， 在RtAABD中，∠ADB=B=60°， .AB=BD.tan60°=x×V3(米)， x×V5=(74.8+x)×0.75. 解得x≈57.24， 17/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4B=(74.8+57.24)×0.75≈99（米）， 故塔高AB约为99米. 15. 【详解】(1)解：D在B正北，B在A正东， ∴.BD⊥AB,∠ABD=90°： D在A北偏东30°， ∴∠DAB=90°-30°=60°，且AB=100W3米. D 30 45° 在RtAABD中，由三角函数定义： CoS∠DAB=AB AD AD=AB=1005=200N5 代入cos60=1得： c0s60° 1 2 答：AD的长为200W3米 (2)走B→C→D说明机器狗识别路径的能力较强.理由： BD=AB.tan60°=100W3×3=300米 由题意：D在C西北方向，B在C西南方向， .∠CDB=45°，∠CBD=45° :.∠BCD=90°，BC=CD.△BCD是等腰直角三角形， 设BC=CD=x, 由勾股定理： x2+x2=BD2, 2x2=3002, 解得x=150W2, :线路B→A→D长度：AB+AD=100V3+200V3=300W5≈519.6米， 线路B→C→D长度：BC+CD=2×1502=300W2≈424.3米， .3002<300V3, 18/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴速度相同时，走B→C→D用时更短. 故走B→C→D说明机器狗识别路径的能力较强. 19/19