精品解析：上海市市北中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026学年第一学期高一第一次月考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分．要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】找出集合A与集合B的公共元素，即可确定出交集． 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 2. 用列举法写出下列集合 _____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程的非负整数解即可. 【详解】由，得或或， 所以. 故答案为： 3. 已知实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 解得， 所以的取值范围是. 4. 已知、为方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为、为方程的两个实数根， 所以，，所以. 5. 已知，，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上所述，的最小值为3. 6. 对任意实数，等式恒成立，则______． 【答案】 【解析】 【详解】， ， . 7. 命题：“存在，使得”的否定形式是__________． 【答案】对于任意的，都有 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称命题写出结果. 【详解】对于任意的，都有. 8. 已知集合有且仅有两个子集，则实数___________ 【答案】0或1 【解析】 【分析】由集合有且仅有两个子集可得集合只有1个元素，再对分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵集合有且仅有两个子集， ∴集合只有1个元素， ∴方程只有1个实数根， 当时，方程化为，得，符合题意； 当时，由根的判别式有，得， 故答案为：0或1． 【点睛】本题主要考查方程集合的子集个数，考查方程解的个数，属于基础题． 9. 设，已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知不等式的解集推出的关系，再代入所求不等式求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且是的解，，即， ，即， 将代入，得，即，解得， 故不等式的解集为. 10. 已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，又设，则是的真子集，再求得的取值范围. 【详解】由不等式|x－m|<1，得，即其解集， 又设，由已知知是的真子集， 得（等号不同时成立） ，得. 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式的解法，考查了将充分不必要条件转化为集合的包含关系，属于基础题. 11. 定义，设集合，，，则集合__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义依次求集合元素即可. 【详解】 故答案为: 【点睛】新定义题关键在于审题，是高考常见题型. 12. 已知集合有10个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案. 【详解】集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况 ①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积； ②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个 ③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个 其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0， ④只含元素-1的子集1个，满足， 综上：所有子集中元素乘积. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分．每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分） 13. 下列说法中，正确说法的个数是（ ）． ①联合国安理会常任理事国能组成一个集合； ②市北中学很喜欢足球的同学能组成一个集合； ③实数，，，，，，组成的集合中有6个元素． A. 0； B. 1； C. 2； D. 3． 【答案】B 【解析】 【详解】①满足集合的定义，故①正确； ②不满足集合的确定性，市北中学很喜欢足球的同学不能组成一个集合，②错误； ③，，根据集合的元素互异性，集合中共有5个元素.③错误. 14. 已知全集，集合，集合，则正确表示集合与集合关系的文氏图是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合和，判断出、的关系，由此确定正确选项. 【详解】， 等价于，解得. ，. ，解得. 集合中的元素都属于集合，且中存在无数实数不属于， 所以是的真子集，在内部.选项D符合. 15. 已知，则下列四个命题正确的个数是（ 　 ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，，，，则，. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 【详解】①当时，，两边同时除以，得到，正确； ②，那么，即，正确； ③ ， ，正确； ④令 同样能满足 ，不正确. 共有3个正确. 故选C. 【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小. 16. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合，判断、、、的大小. 【详解】因为. 设函数，作函数，的图象如下： 由图可知： 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 设全集，已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由交集与并集的定义即可得解； （2）先计算出集合的补集，再由集合的包含关系得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若，则，又因为， 故，. 【小问2详解】 因为，故或. 因为恒成立，故. 因此，若，则有或， 解得或， 即的取值范围为. 18. （1）解不等式； （2）已知、都是有理数，满足，请用反证法证明：． 【答案】（1） （2）证明：假设、中至少有一个不为零． ①当时，，与矛盾； ②当时，，与矛盾； ③当时，，但，则，矛盾． 综上，假设不成立，所以． 【解析】 【详解】（1）①当时，左边非负，右边为负，不等式显然成立； ②当时，两边平方，， 解得或，结合，得或， 综上，不等式解集为：． （2）略 19. 某物流公司为了扩大业务量，计划建造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）设仓库前面墙体的长为米（），甲工程队的整体报价为元．若该物流公司计划投入的建造资金不超过60000元，求前面墙体长的取值范围． （2）在（1）的条件下，当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ 【答案】（1） （2）当仓库前面墙体的长度为6米时，甲工程队的整体报价最低，为57600元 【解析】 【详解】（1）甲队整体报价为：元 要求，即，化简得 由于，则不等式化为， 解得，， 所以前面墙体长的取值范围为． （2）甲队整体报价： 当且仅当，即，解得（满足）时等号成立， 所以当仓库前面墙体的长度为6米时，甲工程队的整体报价最低，为57600元． 20. 已知函数. （1）当，时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，且，，则当，取何值时，值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）或； （2）； （3）；最小值为 【解析】 【分析】（1），解一元二次不等式，求出解集； （2）转化为，是两根，且，，由韦达定理得到方程组，求出答案； （3）由得到，利用基本不等式“1”的代换求出最小值. 【小问1详解】 将，代入可得，即， 解得或；所以解集为或； 【小问2详解】 由题意可知，是两根，且， 同时的开口向上可得， 根据韦达定理可得，解得； 【小问3详解】 由1是的零点，所以，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以取的最小值，且最小值为 21. 已知集合为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合、（不必写出计算过程）． （2）若集合，，且，求证：． （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1）， （2）集合，， 且，中也只包含四个元素，即， 由集合中元素的互异性，易得且， 所以. （3）1351 【解析】 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）根据，，以及，再由不等式的关系得到k的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合满足题意，其中， 则， ，又，， ，， 而中最小的元素为0，最大的元素为，， ，， 事实上，当时满足题意，证明如下， 设， 则，， 由条件，，的最小值为676， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数最大值是1351． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高一第一次月考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分．要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分） 1. 已知集合，，则______． 2. 用列举法写出下列集合 _____ 3. 已知实数满足，则的取值范围是______． 4. 已知、为方程的两个实数根，则__________． 5. 已知，，则的最小值为__________． 6. 对任意实数，等式恒成立，则______． 7. 命题：“存在，使得”的否定形式是__________． 8. 已知集合有且仅有两个子集，则实数___________ 9. 设，已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________． 10. 已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是________ 11. 定义，设集合，，，则集合__________ 12. 已知集合有10个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分．每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分） 13. 下列说法中，正确说法的个数是（ ）． ①联合国安理会常任理事国能组成一个集合； ②市北中学很喜欢足球的同学能组成一个集合； ③实数，，，，，，组成的集合中有6个元素． A. 0； B. 1； C. 2； D. 3． 14. 已知全集，集合，集合，则正确表示集合与集合关系的文氏图是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 15. 已知，则下列四个命题正确的个数是（ 　 ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，，，，则，. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分．解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 设全集，已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围. 18. （1）解不等式； （2）已知、都是有理数，满足，请用反证法证明：． 19. 某物流公司为了扩大业务量，计划建造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． （1）设仓库前面墙体的长为米（），甲工程队的整体报价为元．若该物流公司计划投入的建造资金不超过60000元，求前面墙体长的取值范围． （2）在（1）的条件下，当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ 20. 已知函数. （1）当，时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，且，，则当，取何值时，值最小？最小值是多少？ 21. 已知集合为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合、（不必写出计算过程）． （2）若集合，，且，求证：． （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $